УДК 255:29

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ДАЙДЖЕСТУ
УДК 621.3.016
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ С
ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
M. C. Малякова, А. П. Калинов
Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського
вул. Першотравнева, 20, м. Кременчук, 39600, Україна. е-mail: marry_88@mail.ru
На основе проведенного обзора литературных источников для аналитического анализа электрических цепей
с полупроводниковыми преобразователями предложено использование метода малого параметра, который
относится к группе методов возмущений, как наиболее эффективный, универсальный и простой в реализации, а
также реализация его в частотной области. Расчет электрической цепи с диодом при
активно-индуктивной нагрузке данным методом показал, что он позволяет осуществлять как численный, так и
аналитический анализ. Показано что реализация расчетов в частотной области позволяет существенно
упростить процесс анализа, за счет замены перемножения рядов тока и напряжения, что влечет за собой
сложные тригонометрические преобразования, на операцию дискретной свертки в частотной области.
Необходимо отметить, что точность расчета зависит от точности аппроксимации ВАХ диода. В предыдущих
работах было показано, что с увеличением степени полиномиальной зависимости, точность расчета возрастает.
Предложенный метод малого параметра в частотной области обеспечивает высокую точность и эффективность
получения численных значений амплитудных составляющих тока, даже при невысокой степени
аппроксимационного полинома.
Ключові слова: электрическая цепь, полупроводниковый элемент, метод малого параметра, частотная
область.
АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. На сегодняшний
день не теряет актуальность задача исследования
процессов,
протекающих
в
цепях
с
полупроводниковыми преобразователями, которые
являются элементами с явно выраженной
нелинейностью [1-4]. К главным вопросам, которые
ставят перед собой исследователи при анализе таких
систем
можно
отнести:
определение
закономерностей и повышения эффективности
энергопреобразования [1-4], определение природы
возникновения
реактивной
мощности
[2],
разработка эффективных методов расчета токов [3].
Как известно, работу цепей описывают
нелинейные дифференциальные уравнения, решение
которых позволяет определить токи, протекающие в
цепи.
На
основе
проведенного
анализа
литературных источников для решения таких
уравнений был выбран метод малого параметра
(ММП) [5], относящийся к группе методов
возмущений,
как
наиболее
эффективный,
универсальный и простой в реализации.
Необходимо отметить, что ММП реализуется во
временной области, что сопровождается сложными
тригонометрическими преобразованиями, и снижает
его эффективность. Для повышения эффективности
аналитических расчетов предложено реализовать
ММП в частотной области с использованием
алгоритма дискретной свертки [6].
Таким образом, целью работы является
аналитическое
определение
гармонических
составляющих
тока
электрических
цепей,
содержащих полупроводниковые преобразователи с
использованием ММП в частотной области.
МАТЕРИАЛ
И
РЕЗУЛЬТАТЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ. В качестве примера реализации
предлагаемого
метода
была
рассмотрена
электрическая цепь с диодом и активно-индуктивой
нагрузкой (Рис. 1).
iC(t)
R
VD
uVD(t)
uS(t)
L
Рисунок 1 – Исследуемая электрическая цепь
Согласно ММП [4], было сформировано
дифференциальное
уравнение,
описывающее
исследуемую цепь:
di  t 
(1)
uS  t   uVD  t   L
 i t  R ,
dt
где uS  t  , uVD  t  , uR  t  , uL  t  – напряжение на
источнике питания, диоде, активном сопротивлении,
индуктивности, соответственно; L – индуктивность;
R – активное сопротивление.
В
качестве
аппроксимирующей функции
вольт-амперной характеристики (ВАХ) диода была
выбрана полиномиальная зависимость второй
степени:
(2)
i  u   a  bu  cu 2 ,
VD
VD
VD
где a, b, с – коэффициенты полинома.
Для реализации расчета исследуемой цепи ММП
в
частотной
области
с
использованием
автоматизированного
метода
формирования
составляющих мгновенных величин [5] были
получены косинусные (3) и синусные (4)
ортогональные составляющие всех компонент
уравнения (1) в частотной области:
U aSn  U aVDn  U aLn  U aRn
;
UbSn  UbVDn  UbLn  UbRn
(3)
(4)
,
где U aVDn , U aLn , U aSn , U aRn – n-e косинусные
составляющие
напряжения
на
диоде,
индуктивности, источнике питания и активном
ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ДАЙДЖЕСТУ
сопротивлении, соответственно; U bVDn , UbLn , U bSn ,
UbRn – n-e синусные составляющие напряжения на
диоде, индуктивности, источнике питания и
активном сопротивлении, соответственно; n – номер
гармоники напряжения.
Выражения (3) и (4) представляют собой систему
уравнений, имеющих нелинейный характер. Для их
решения напряжение на диоде было представлено в
виде степенного ряда по малому параметру. В данном
случае в качестве малого параметра выступает
коэффициент
с
при
максимальной
степени
полиномиальной зависимости (2).
Напряжение диода было описано в функции
малого параметра полиномом второй степени:
uVD  c   a0  a1c  a2c 2 ,
(5)
где a0, a1, a2 – коэффициенты степенного ряда.
Было принято, что ортогональные составляющие
коэффициента a0 определяется как:
 0 
 0 




aa 0   A01  ; ab0   B01  ,
(6)
 0 
 0 




где A01 , B01 – коэффициенты, зависящие от
параметров цепи.
Для корректного определения гармонического
состава коэффициентов a1 и a2 была проанализирована
система уравнений, полученная из уравнений (3)-(4) с
учетом (5) путем приравнивая коэффициентов при
одинаковых степенях малого параметра c. Во
внимание принимались только коэффициенты при
нулевой, первой и второй степенях. Полученные
выражения имеют вид:
 A10 
 0 
 0 
 0 








aa1   0  ; ab1   0  ; aa 2   À21  ; ab 2   B21  , (7)
 0 
 0 
B 
À 




 12 
 12 
где A10 , A12 , B12 , A21 , B21 – коэффициенты,
зависящие от параметров цепи.
В соответствии с вышеизложенным были записаны
массивы косинусной и синусной составляющих
степенного ряда (5) в частотной области с учетом (6) и
(7), определяющие напряжение на полупроводниковом
преобразователе:
A10 ñ
0






2
2
U aVD   À01  À21ñ  ; U aVD   B01  B21ñ  .
(8)




À12 ñ
 B12 ñ



Подставляя (8) в выражения (3) и (4), была
сформирована система уравнений, из которой были
определены соответствующие коэффициенты A01 ,
B01 
A10 
1  2bR  b R   L b
2
2 RU a21
1  bR  1  2bR  b 2 R 2  2 L2b 2 
(10)
;
(11)
(12)
 3R 2b 2  2b3 R3  32b 2 L2  
LU a21 



 22 L2 R  1

,
B12 
3
2 2
2 2 2
1  2bR  b R   L b
(13)




где U a1 – напряжение питания;  – угловая частота
напряжения питания.
Выражения для коэффициентов A21 и B21 не
приводятся из-за громоздкости.
Полученные аналитические выражения для
коэффициентов A01 , B01 , A10 , A12 , B12 , A21 , B21
подставлялись в выражения (8). Это позволило
определить составляющие напряжения на диоде.
Путем подстановки их в выражение (2), описывающее
ВАХ диода, были cформированы массивы косинусной
и синусной составляющих тока цепи в аналитическом
виде.
Для оценки точности расчета проводилось
сравнение кривой тока, полученной с использованием
предлагаемых выражений, и кривой тока, полученной
путем численного структурного моделирования
(Рис. 2). При этом были приняты следующие
коэффициенты аппроксимации ВАХ диода a  0.046 ,
b  0.466 , c  0.503 , напряжение питания U Sa1  1 B
и параметры цепи R  1 Ом, L  0.0015 Гн.
В качестве критериев оценки точности расчета
были выбраны относительные ошибки ортогональных
косинусных δ(Ian) и синусных δ(Ibn) составляющих
гармоник тока. Полученные результаты приведены в
табл. 1.
i(t), А
0.6
0.4
0.2
0
0.005
0.01
0.015
0.02 t, с
0.2
1  bR U a1
2
;
1  2bR  b 2 R 2  2 L2b 2
 3R2 L2b 2  R  3bR 2  3b 2 R3  
U a21 

  b3 R 4  4 L4b3  32 L2b


;
A12 
3
2 2
2 2 2
1  2bR  b R   L b
B01 , A10 , A12 , B12 , A21 , B21 :
A01 
bLU a1
2 2 2
;
(9)
Рисунок 2 – Кривые сигнала тока,
где пунктиром показана кривая, построенная по
рассчитанным значениям, сплошная кривая получена
путем численного структурного моделирования
ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ДАЙДЖЕСТУ
Таблица 1 – Результаты проверки точности
Номер
Ian,
Ibn,
δ(Ian), δ(Ibn),
гармоA
A
%
%
ники
0
0.149
–
–7.77
–
1
0.125
2.1·10-5
+5.93
–7.11
2
0.049
1.5·10-5
+3.92
–9.86
ВЫВОДЫ. Расчет электрической цепи с диодом
с использованием метода малого параметра в
частотной области показал, что предложенный
метод позволяет осуществлять как численный, так и
аналитический анализ. Относительная ошибка
определения
значения
ортогональных
составляющих искомого тока не превысила 10 %
даже при невысокой степени аппроксимирующего
полинома, что свидетельствует о приемлемости
изложенного метода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Czarnecki L. S. Phisical interpretation of the
reactive power in terms of the CPC power theory //
Electrical power quality and utilization journal, 2007. –
Vol. 13. – No.1. – PP. 87–93,
2. Osnach O. The apparent power of electric
circuits with switching elements in single-phase systems
// Proc. of 10-th International Conference on Electrical
Power Quality and Utilization, Lodz, Poland, 2009. –
PP. 1–5,
3. Kalinov A. and Maliakova M., The calculation
of the electric circuit with a diode with the
instantaneous power technique // Transactions of
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi State University,
2010. – Vol. 4(63). –No. 3. – PP. 31–35 [in Ukrainian].
4. Zagirnyak M., Kalinov A., Maliakova M.
Analysis of instantaneous power components of electric
circuit with a semiconductor element // Archive of
Electrical Engineering, 2013. – Vol.62(3). –
PP. 473–486,
5. Nayfer H., Chev C-Y. Perturbation methods
with mathematica, Nonlinear dynamic, New York,
Wiley, 1999. – P. 346.
6. Zagirnyak M., Kalinov A., Maliakova M. An
algorithm for electric circuits calculation based on
instantaneous power component balance, Przegląd
Elektrotechniczny (Electrical Review), 2011. – R. 87. –
No. 12b. – PP. 212–215.
ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS WITH SEMICONDUCTOR ELEMENTS,
USING SMALL PARAMETER METHOD IN FREQUENCY-DOMAIN
M. Maliakova, A. Kalinov
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University
vul. Pershotravneva, 20, Kremenchuk, 39600, Ukraine. E-mail: marry_88@mail.ru
On the basis of the literature analysis the small parameter method, referring to the perturbation methods group, was
chosen for solution of such equations, as the most efficient, universal and simply realized one, as well as its
implementation in the frequency-domain. Calculation of the electrical circuit with a diode with active-inductive load
using this method has shown that it enables both numerical and analytical analysis. It is shown that the implementation
of the calculations in the frequency-domain allows to simplify the analysis process, by replacing the multiplication of
series of current and voltage, which entails complex trigonometric transformations on discrete convolution operation in
the frequency-domain. It should be noted, that the accuracy of the calculation depends on the accuracy of approximation
of the diode current-voltage characteristic. In previous papers it was shown that with increasing degree of polynomial
dependence, calculation accuracy increases. The proposed method of a small parameter in the frequency-domain
provides high accuracy and efficiency of obtaining numerical values of the amplitude current components even at a low
degree of the polynomial approximation.
Кey words: electric circuit, semiconductor element, small parameter method, the frequency-domain.
REFERENCES
1. Czarnecki, L.S. (2007) "Phisical interpretation
of the reactive power in terms of the CPC power
theory", Electrical power quality and utilization journal,
Vol. 13, No.1, pp. 87–93.
2. Osnach, O. (2009), "The apparent power of
electric circuits with switching elements in single-phase
systems", Proceedings of 10-th International
Conference on Electrical Power Quality and
Utilization, Lodz, Poland, pp. 1–5.
3. Kalinov, A. and Maliakova, M. (2010) "The
calculation of the electric circuit with a diode with the
instantaneous power technique", Transactions of
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi State University
Vol. 4(63), No. 3, pp. 31–35 [in Ukrainian].
4. Zagirnyak, M., Kalinov, A., Maliakova, M.
(2013) "Analysis of instantaneous power components of
electric circuit with a semiconductor element", Archive
of Electrical Engineering, Vol.62(3), pp. 473–486,.
5. Nayfer, H., Chev, C-Y. (1999) Perturbation
methods with mathematica, Nonlinear dynamic, New
York, Wiley.
6. Zagirnyak, M., Kalinov, A., Maliakova, M.
(2011) "An algorithm for electric circuits calculation
based on instantaneous power component balance",
Przegląd Elektrotechniczny (Electrical Review), R. 87,
No. 12b, pp. 212–215.