Задание 2. Разбор задач ЛОГИКА, СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Материалы сайта http://infoegehelp.ru
Разбор задачи A3 (демо ЕГЭ 2012)
(А3-2012) Время выполнения-2 мин, уровень сложности-базовый
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
XYZF
0 0 00
0 0 10
1 1 11
Каким выражением может быть F?
1) X /\ Y /\ Z
2) ¬X \/ ¬Y \/ Z
3) X \/ Y \/ Z
4) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z
Решение:
Будем решать подстановкой предлагаемых вариантов.
F=XΛYΛZ=1 только в случае,когда X,Y,Z=1. В остальных случаях F=0. Проверяем по
таблице. Подходит.
F=¬XV¬YVZ.Подставляем значения из таблицы:
1V1V0=1.F=0. Следовательно, не подходит.
F=XVYVZ=0 тольков случае,когда X,Y,Z=0.В остальных случаях F=1. Проверяем по
таблице. Не подходит.
F=¬XΛ¬YΛ¬Z.Подставляем значения из таблицы:
1Λ1Λ1=1.F=0. Следовательно, не подходит.
Разбор задачи A10 (демо ЕГЭ 2012)
(А10-2012) Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный
Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная →
последняя буква гласная)?
1) КРИСТИНА
2) МАКСИМ
3) СТЕПАН
4) МАРИЯ
Решение:
Имя должно удовлетворять условию, значит, F=1.
Заменим выражения на логические переменные:
первая буква согласная-А
вторая буква согласная-В
предпоследняя буква гласная-С
последняя буква гласная-D
(A→B)Λ(C→D)=1.
Расставляем приоритеты логических операций. Сначала должна выполняться
конъюнкция.Чтобы выражение было равно 1,необходимо, чтобы (A→B)=1 и (C→D)=1.
Теперь рассмотрим импликации. В каждой из них есть по 3 возможных варианта, когда
импликация равна 1.
A→B=1.
А В A→B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
C→D=1.
C D С→D
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Теперь будем проверять каждое имя.
КРИСТИНА: А=1,В=1,С=0,D=1.A→B=1.C→D=1.Следовательно,это имя подходит.
МАКСИМ: А=1,В=0,С=1,D=0.A→B=0.C→D=0.Следовательно,это имя не подходит.
СТЕПАН: А=1,В=1,С=1,D=0.A→B=1.C→D=0.Следовательно,это имя не подходит.
МАРИЯ: А=1,В=0,С=1,D=1.A→B=0.C→D=1.Следовательно,это имя не подходит.
Разбор задачи B12 (демо ЕГЭ 2012)
(В12-2012) Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный
В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ»
используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого
сегмента сети Интернет.
Запрос
Найдено страниц
(в тысячах)
Шахматы | Теннис
7770
Теннис
5500
Шахматы & Теннис
1000
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор
страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Ответ:3270
Решение:
Изобразим запросы в виде диаграмм Эйлера-Венна.
Запрос "Шахматы" обозначим символом "Ш", "Теннис" - символом "Т".
Ш=(Ш|Т)-Т+(Ш&Т)=7770-5500+1000=3270.
Разбор задачи B15 (демо ЕГЭ 2012)
(В15-2012) Время выполнения-10 мин, уровень сложности-высокий
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1,x2, ... x9,
x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) =1
((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) =1
...
((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) =1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, ... x9,
x10, при которых выполнена данная система
Ответ:64
Решение:
Проведем замену:
(x1 ≡ x2)=y1
(x3 ≡ x4)=y2
(x5 ≡ x6)=y3
(x7 ≡ x8)=y4
(x9 ≡ x10)=y5
Перепишем систему уравнений с учетом замены:
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=1
(y2Vy3)Λ(¬y2V¬y3)=1
....
(y4Vy5)Λ(¬y4V¬y5)=1
Решим первое уравнение (y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=1.Преобразуем логическое выражение
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2):
(y1Vy2)Λ(¬y1V¬y2)=(y1Λ¬y1)V(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1)V(y2Λ¬y2)=0V(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1)V0
=(y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1).
Отобразим логическое выражение (y1Λ¬y2)V(y2Λ¬y1) с помощью диаграммы ЭйлераВенна:
Видно по рисунку,что это инверсия эквиваленции: ¬(y1≡y2) или ¬(y1↔y2).
Перепишем уравнение: ¬(y1≡y2)=1. Отсюда (y1≡y2)=0. Такое уравнение имеет 2
решения:y1=1,y2=0 или y1=0,y2=1.
Рассмотрим 2-ое уравнение. С учетом преобразований оно становится таким:¬(y2≡y3)=1.
Решим систему из двух уравнений:
¬(y1≡y2)=1
¬(y2≡y3)=1
Перепишем систему в одно уравнение:¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3)=1.
Преобразуем ¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3):
¬(y1≡y2)Λ¬(y2≡y3)=¬( (y1≡y2)V(y2≡y3) )-выносим отрицание за скобки.
Уравнение примет вид:¬( (y1≡y2)V(y2≡y3) )=1. Отсюда (y1≡y2)V(y2≡y3)=0.
Логическое выражение выполняется, только когда (y1≡y2)=0 и (y2≡y3)=0.
Пусть y2=0.
y1≡0=0-выполняется при y1=1.
0≡y3=0-выполняется при y3=1.
Получаем одно решение:y2=0,y1=1,y3=1.
Пусть y2=1.
y1≡1=0-выполняется при y1=0.
0≡y3=0-выполняется при y3=0.
Получаем одно решение:y2=1,y1=0,y3=0.
Общее число решений при двух уравнениях системы:1+1=2 решения.
Таким образом,при добавлении одного уравнения к самому первому уравнению не
меняется число решений, остается равным двум. Следовательно, добавление остальных
уравнений не изменит общее количество решений. Остается два решения.
Теперь перейдем к поиску количества решений, используя обратную подстановку для y.
y1=(x1 ≡ x2)-для каждого из значений y1 есть два решения. Например,если y=0,то
x1=0,x2=1 или x1=1,x2=0.
y2=(x3 ≡ x4)-для каждого из значений y2 есть два решения.
Аналогично и для остальных:y3,y4,y5. Пары решений
(x1,x2),(x3,x4),(x5,x6),(x7,x8),(x9,x10) - не зависят друг от друга, поэтому комбинаций
решений равно 25=32.(основание равно 2,т.к. каждая пара дает два решения, а степень
равна 5,т.к. у нас есть 5 пар).
В данном случае мы не учли, что и y1,y2,y3,y4,y5 дают нам в два раза больше решений.
Общее количество решений:32*2=64 решения.
Разбор задачи A1 (демо ЕГЭ 2012)
1.(А1-2012) Время выполнения-1 мин, уровень сложности-базовый
Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?
1) 1
2) 2
3) 10
4) 11
Решение:
1 способ:
1025 | 2 _
10
512 | 2___
2
4
256 | 2__
2
11 2
128 | 2__
5
10
5
12 64 | 2__
4
12 4
8 6 32 | 2__
1
12 16
8
4 2 16 | 2_
0 16
0 4 12 16 8 | 2_
0
0 12 0 8 4 | 2
0
0 4 2|2
0 2 1
0
Выписываем конечный результат и остатки.Получаем: 100000000012. В числе 2-е
единицы.
2 способ (метод быстрого перевода):
Метод описан в статье: "Быстрый перевод числа из десятичной системы счисления в
двоичную".
1025=1024+1.
1024=100000000002 (10 нулей, т.к. 1024=210)
1024+1=100000000002+12=100000000012. В числе 2-е единицы.
Быстрый перевод числа из десятичной системы
счисления в двоичную
Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно
хорошо знать числа "2 в степени". Например, 210=1024 и т.д. Это позволит решать
некоторые примеры на перевод буквально за секунды. Одной из таких задач является
задача A1 из демо ЕГЭ 2012 года. Можно, конечно, долго и нудно делить число на "2".
Но лучше решать по-другому, экономя драгоценное время на экзамене.
Метод очень простой. Суть его такая: если число, которое нужно перевести из
десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе
содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1".
Примеры:



Переведем число 2 из десятичной системы. 2=21. Поэтому в двоичной системе
число содержит 1 нуль. Впереди ставим "1" и получаем 102.
Переведем 4 из десятичной системы. 4=22. Поэтому в двоичной системе число
содержит 2 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 1002.
Переведем 8 из десятичной системы. 8=23. Поэтому в двоичной системе число
содержит 3 нуля. Впереди ставим "1" и получаем 10002.
На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым
цветом-десятичное.
Аналогично и для других чисел "2 в степени".
Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной
системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.


Переведем 3 из десятичной системы. 3=22-1. Поэтому в двоичной системе число
содержит 2 единицы. Получаем 112.
Переведем 7 из десятичной системы. 7=23-1. Поэтому в двоичной системе число
содержит 3 единицы. Получаем 1112.
На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым
цветом-десятичное.
Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".
Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто
знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы
поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных
чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.
Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в
степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени".
Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая.
Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без
перевода.
Если число больше, то решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему
разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.
Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.
19=16+3.
16=24. 1610=100002.
310=112.
1910=100002+112=100112.
Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1".
Решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него
разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.
Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2.
29=31-2.
3110=111112.
210=102.
2910=111112-102=111012
Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех, то можно
разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.
Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно
512 и 16.
512=29 . 51210=10000000002.
16=24. 1610=100002.
Теперь сложим столбиком:
Данная методика позволяет тратить минимум времени на перевод чисел из десятичной
системы в двоичную, но при условии, что Вы прекрасно знаете числа "2 в степени". Если
это не так, то заучите эти числа. Тем более, что в задачах по информатике они активно
используются.
Разбор задачи B4 (демо ЕГЭ 2012)
(В4-2012) Время выполнения-2 мин, уровень сложности-базовый
Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном
порядке.Вот начало списка:
1. ААААА
2. ААААО
3. ААААУ
4. АААОА
……
Запишите слово, которое стоит на 240-м месте от начала списка.
Решение: Из списка видно,что используются только символы: "А", "О", "У". Пусть "А"=0,
"О"=1, "У"=2.
Список после замены станет таким:
1.
2.
3.
4.
00000
00001
00002
00010
Видно, что это числа идущие по порядку от нуля в троичной системе. В десятичной
системе счисления список бы был таким: 0, 1 , 2, 3
Нам нужно найти, какое число будет стоять на 240 месте. Т.к. список чисел начинается с
нуля, следовательно, нам нужно перевести число 239 в троичную систему счисления:
239 | 3 _
21 79 | 3__
29 6 26 | 3__
27 19 24 8 | 3
2 18 2 6 2
1
2
Перепишем полученное число: 222123. Переведем обратно в символы: УУУОУ.
Ответ:УУУОУ
Разбор задачи B8 (демо ЕГЭ 2012)
(В8-2012) Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4
цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Ответ:3
Решение:
Начнем с двоичной системы. Для хранения числа 67 необходимо 7 цифр, т.к. 64<67<128.
128=27.
Троичная система. Для хранения числа 67 нужно 4 цифры, т.к. 27<67<81. 81=34.
Следовательно,троичная система удовлетворяет условию:"число содержит 4 цифры".
Теперь необходимо проверить,удовлетворяет данная система условию:"число
оканчивается на 1". Для этого нужно перевести 6710 в троичную систему. Но полный
певевод делать не надо,т.к. нас интересует только первый остаток, на него и будет
оканчиваться 67 в троичной системе.
67 | 3 _
6 22
7
6
1
Остаток равен 1. Следовательно, и второе условие выполнено, поэтому троичная система
подходит. Основание троичной системы равно 3.
Самостоятельная работа
1) Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?
1) 10010112
2) 11001012
3) 10100112
4) 1010012
2) Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
3) Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот
начало списка:
1.
2.
3.
4.
……
ААААА
ААААО
ААААУ
АААОА
Запишите слово, которое стоит на 101-м месте от начала списка.
4) Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот
начало списка:
1.
2.
3.
4.
……
ААААА
ААААО
ААААУ
АААОА
Запишите слово, которое стоит на 125-м месте от начала списка.
5) Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых
запись числа 22 оканчивается на 4.
6) В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите
это основание.
7
8
9) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения
запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер
по каждому запросу.
А)
Б)
В)
Г)
физкультура
физкультура & подтягивания & отжимания
физкультура & подтягивания
физкультура | фитнесс
10) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения
запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер
по каждому запросу.
А)
Б)
В)
Г)
волейбол
волейбол
волейбол
волейбол
|
|
|
&
баскетбол | подача
баскетбол | подача | блок
баскетбол
баскетбол & подача
11) Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(90 < X·X) → (X < (X-1))
12) Сколько различных решений имеет уравнение
(K  L  M)  (¬L  ¬M  N) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные
наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа
вам нужно указать только количество таких наборов.