Ответы к вариантам

Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 1/23)
Система оценивания
0-4
5-11
12-16
17-25
«2»
«3»
«4»
«5»
Ответы к заданиям В1-В15
Каждое из заданий B1-B15 считается выполненным верно, если экзаменуемый
дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно
выполненное задание оценивается 1 баллом
№
задания
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
8
2640
8
7920
22
0,2
3,2
138
-2
2,25
-30
60
200
32
1,5
13
1870
9
7400
24
0,68
2
167,5
-7
6,25
-34
60
70
36
1,5
17
3565
7
3940
15
0,4
3
97,5
3
1225
-3
60
160
35
1,5
5
1440
6
3020
18
0,2
2,6
95
6
729
-46
60
200
40
1,5
4
2400
7
3110
35
0,44
4,8
140
1
196
-14
60
50
42
0,5
Хабаровск, 2014
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 2/23)
Решения и критерии оценивания заданий С1-С4
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий C1-C4, зависит от
полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение
должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи
ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный
ответ,
выставляется
максимальное
число баллов.
Правильный
ответ
при
отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования
к выставлению баллов.
При выполнении задания
можно
использовать без доказательства и
ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных
пособиях,
входящих
в Федеральный
перечень
учебников,
рекомендованных
(допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
Хабаровск, 2014
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 3/23)
Вариант 1
С1
а) Решите уравнение 12 sin x = 4 sin x
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
4 sin x ∙ 3 sin x = 4 sin x ∙
откуда
3 sin x =
sin x =
tg x =
,
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
, б)
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Максимальный балл
Хабаровск, 2014
2
Диагностическая работа по математике, 11 класс
С2
Решения и критерии
(2014 - 4/23)
В правильной четырехугольной призме
сторона основания
равна 11, а боковое ребро
. Точка принадлежит ребру
и делит
его в отношении
, считая от вершины . Найдите площадь сечения этой
призмы плоскостью, проходящей через точки
.
Решение.
Пусть L — точка, в которой плоскость сечения пересекает ребро C1D1. Отрезок KL параллелен
диагонали BD. Искомое
сечение — трапеция BDLK (рис. 1). Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой BD, параллельной B1D1, значит, KL параллельно B1D1.
Треугольники
подобны, следовательно,
Значит,
В равных
.
прямоугольных треугольниках
и
имеем
, значит, трапеция
равнобедренная.
Пусть LH — высота трапеции BDLK, проведённая к основанию BD (рис. 2),
тогда:
Ответ:
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.
ИЛИ
При правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Хабаровск, 2014
Баллы
2
1
0
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 5/23)
Максимальный балл
С3
2
Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
;
нет решений.
Второй случай:
;
откуда
.
Решение первого неравенства исходной системы:
.
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Решение исходной системы неравенств:
Ответ:
.
.
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах
исходной системы
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве
исходной системы
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Хабаровск, 2014
Баллы
3
2
1
0
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Максимальный балл
С4
В треугольник
точке , причем
(2014 - 6/23)
3
вписана окружность радиуса , касающаяся стороны
.
а)Докажите, что треугольник
в
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
площадь треугольника
, если известно, что
в точках
и
и
.
. Найдите
Решение.
а) Пусто О – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, АО –
биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
. Следовательно,
.
б) Обозначим
. По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности,
и
. По
теореме Пифагора
, или
. Из
этого уравнения находим, что
Тогда
Следовательно,
.
.
Ответ: 40.
Содержание критерия
Имеется верное доказательство утверждения а) и обоснованно
получен верный ответ в пункте б)
Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пункт а) не
выполнен
Обосновано получен верный ответ в пункте б), при этом
используется недоказанное утверждение из пункта а).
Хабаровск, 2014
Баллы
3
2
1
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 7/23)
ИЛИ
Выполнен пункт а), пункт б) не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
0
3
Вариант 2
С1
а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
.
Значит,
либо
,
откуда
откуда
,
или
либо
,
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
.
Ответ: а)
б)
,
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Хабаровск, 2014
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Максимальный балл
С2
В
(2014 - 8/23)
2
прямоугольном
параллелепипеде
известны рёбра
. Точка
принадлежит ребру
и делит его в
отношении
, считая от вершины . Найдите площадь сечения этого
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
и .
Решение.
Пусть плоскость
пересекает ребро
в точке Р. Плоскость сечения
пересекает плоскость
по прямой
, параллельной
, следовательно,
искомое сечение – параллелограмм
(рис.1)
Треугольники
и
равны,
следовательно,
.
Далее,
значит,
–
ромб
со
стороной
(рис.2).
,
и
диагональю
Тогда другая диагональ
.
Ответ:
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
Хабаровск, 2014
Баллы
2
1
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 9/23)
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.
ИЛИ
При правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С3
0
2
Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
;
нет решений.
Второй случай:
;
откуда
.
Решение первого неравенства исходной системы:
.
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Решение исходной системы неравенств:
Ответ:
.
.
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах
исходной системы
Хабаровск, 2014
Баллы
3
2
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве
исходной системы
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С4
В треугольник
точке , причем
(2014 - 10/23)
1
0
3
вписана окружность радиуса , касающаяся стороны
.
а)Докажите, что треугольник
в
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
площадь треугольника
, если известно, что
в точках
и
и
.
. Найдите
Решение.
а) Пусто О – центр вписанной окружности треугольника ABC. Центр
окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, АО –
биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
. Следовательно,
.
б) Обозначим
. По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности из одной точки,
и
.
По
теореме
Пифагора
,
или
. Из этого уравнения находим, что
Тогда
.
Следовательно,
Ответ:
.
.
Содержание критерия
Имеется верное доказательство утверждения а) и обоснованно
получен верный ответ в пункте б)
Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пункт а) не
выполнен
Обосновано получен верный ответ в пункте б), при этом
Хабаровск, 2014
Баллы
3
2
1
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
используется недоказанное утверждение из пункта а).
ИЛИ
Выполнен пункт а), пункт б) не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
(2014 - 11/23)
0
3
Вариант 3
С1
а) Решите уравнение
5 sin x
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
,
откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
, б)
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Максимальный балл
Хабаровск, 2014
2
Диагностическая работа по математике, 11 класс
С2
Решения и критерии
(2014 - 12/23)
В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной
стороны
основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точку
и середину ребра
параллельно прямой
.
Решение.
Пусть точка – середина ребра
. Отрезок
пересекает плоскость
в
точке . В треугольнике
точка является точкой пересечения медиан,
следовательно,
, где
– центр основания пирамиды. Отрезок
параллелен
и проходит через точку
(точка принадлежит ребру
, – ребру
), откуда
.
Четырехугольник
треугольника
Поскольку прямая
четырёхугольника
Ответ:
– искомое сечение. Отрезок
– медиана
, значит,
.
перпендикулярна плоскости
, диагонали
перпендикулярны, следовательно,
.
и
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.
Хабаровск, 2014
Баллы
2
1
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 13/23)
ИЛИ
При правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С3
0
2
Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
;
нет решений.
Второй случай:
;
откуда
Решение первого неравенства исходной системы:
.
.
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Решение исходной системы неравенств:
Ответ:
.
.
.
Содержание критерия
Хабаровск, 2014
Баллы
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Обоснованно получены верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах
исходной системы
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве
исходной системы
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С4
В треугольник
точке , причем
(2014 - 14/23)
3
2
1
0
3
вписана окружность радиуса , касающаяся стороны
.
а)Докажите, что треугольник
в
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
площадь треугольника
, если известно, что
в точках
и
и
.
. Найдите
Решение.
а) Пусто О – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, АО –
биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
. Следовательно,
.
б) Обозначим
. По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности,
и
. По
теореме Пифагора
, или
. Из
этого уравнения находим, что
Тогда
Следовательно,
.
.
Ответ: 40.
Содержание критерия
Хабаровск, 2014
Баллы
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 15/23)
Имеется верное доказательство утверждения а) и обоснованно
получен верный ответ в пункте б)
Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пункт а) не
выполнен
Обосновано получен верный ответ в пункте б), при этом
используется недоказанное утверждение из пункта а).
ИЛИ
Выполнен пункт а), пункт б) не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
3
2
1
0
3
Вариант 4
С1
а) Решите уравнение
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
.
Значит,
либо
,
откуда
откуда
или
,
либо
,
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
.
Ответ: а)
, б)
Хабаровск, 2014
.
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Содержание критерия
(2014 - 16/23)
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Максимальный балл
С2
2
В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной
стороны
основания равны 3, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точку
и середину ребра
параллельно прямой
.
Решение.
Пусть точка – середина ребра
. Отрезок
пересекает плоскость
в
точке . В треугольнике
точка является точкой пересечения медиан,
следовательно,
, где
– центр основания пирамиды. Отрезок
параллелен
и проходит через точку
(точка принадлежит ребру
, – ребру
), откуда
.
Четырехугольник
треугольника
Поскольку прямая
четырёхугольника
Ответ:
– искомое сечение. Отрезок
, значит,
– медиана
.
перпендикулярна плоскости
, диагонали
перпендикулярны, следовательно,
.
и
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Хабаровск, 2014
Баллы
2
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 17/23)
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.
ИЛИ
При правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С3
1
0
2
Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
;
нет решений.
Второй случай:
;
откуда
Решение первого неравенства исходной системы:
.
.
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Решение исходной системы неравенств:
Ответ:
.
Хабаровск, 2014
.
.
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах
исходной системы
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве
исходной системы
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С4
В треугольник
точке , причем
(2014 - 18/23)
Баллы
3
2
1
0
3
вписана окружность радиуса , касающаяся стороны
.
а)Докажите, что треугольник
в
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
площадь треугольника
, если известно, что
в точках
и
и
.
. Найдите
Решение.
а) Пусто О – центр вписанной окружности треугольника ABC. Центр
окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, АО –
биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
. Следовательно,
.
б) Обозначим
. По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности из одной точки,
и
.
По
теореме
Пифагора
,
или
. Из этого уравнения находим, что
Тогда
.
Следовательно,
Ответ:
.
.
Хабаровск, 2014
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Содержание критерия
Имеется верное доказательство утверждения а) и обоснованно
получен верный ответ в пункте б)
Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пункт а) не
выполнен
Обосновано получен верный ответ в пункте б), при этом
используется недоказанное утверждение из пункта а).
ИЛИ
Выполнен пункт а), пункт б) не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
(2014 - 19/23)
Баллы
3
2
1
0
3
Вариант 5
С1
а) Решите уравнение 10 sin x = 2 sin x
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение:
2 sin x ∙ 5 sin x = 2 sin x ∙
5 sin x =
sin x =
tg x =
, откуда
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
.
Получим числа:
Ответ: а)
, б)
.
Содержание критерия
Хабаровск, 2014
Баллы
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
(2014 - 20/23)
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
0
Максимальный балл
С2
2
В правильной четырехугольной пирамиде
с вершиной
стороны
основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через точку
и середину ребра
параллельно прямой
.
Решение.
Пусть точка – середина ребра
. Отрезок
пересекает плоскость
в
точке . В треугольнике
точка является точкой пересечения медиан,
следовательно,
, где
– центр основания пирамиды. Отрезок
параллелен
и проходит через точку (точка принадлежит ребру
,
– ребру
), откуда
.
Четырехугольник
треугольника
Поскольку прямая
четырёхугольника
Ответ:
– искомое сечение. Отрезок
, значит,
– медиана
.
перпендикулярна плоскости
, диагонали
перпендикулярны, следовательно,
.
.
Хабаровск, 2014
и
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Решения и критерии
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической
задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.
ИЛИ
При правильном ответе решение недостаточно обосновано
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С3
(2014 - 21/23)
Баллы
2
1
0
2
Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
.
Рассмотрим два случая. Первый случай:
;
нет решений.
Второй случай:
;
откуда
Решение первого неравенства исходной системы:
.
.
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Решение исходной системы неравенств:
Хабаровск, 2014
.
.
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Ответ:
Решения и критерии
.
Содержание критерия
Обоснованно получены верный ответ
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах
исходной системы
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве
исходной системы
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
С4
В треугольник
точке , причем
(2014 - 22/23)
Баллы
3
2
1
0
3
вписана окружность радиуса , касающаяся стороны
.
а)Докажите, что треугольник
в
прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон
площадь треугольника
, если известно, что
в точках
и
и
.
. Найдите
Решение.
а) Пусто О – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, АО –
биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный,
поэтому
. Следовательно,
.
б) Обозначим
. По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности,
и
. По
теореме Пифагора
, или
. Из
этого уравнения находим, что
Тогда
Хабаровск, 2014
.
Диагностическая работа по математике, 11 класс
Следовательно,
Решения и критерии
(2014 - 23/23)
.
Ответ: 40.
Содержание критерия
Имеется верное доказательство утверждения а) и обоснованно
получен верный ответ в пункте б)
Обоснованно получен верный ответ в пункте б), пункт а) не
выполнен
Обосновано получен верный ответ в пункте б), при этом
используется недоказанное утверждение из пункта а).
ИЛИ
Выполнен пункт а), пункт б) не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше
Максимальный балл
Хабаровск, 2014
Баллы
3
2
1
0
3