SABC СМ, SAB

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ. Геометрия
1.В правильной треугольной пирамиде SABC котангенс угла между апофемой и плоскостью основания равен 0,125. Найдите угол между плоскостью основания и прямой СМ,
где М- точка пересечения медиан грани SAB. Ответ: 450
2.В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой
√6
BD1. Ответ:
3
3.Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно √43, высота равна √31. Найдите расстояние от середины бокового ребра
BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AD соответственно. От: 3
4.Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC,
боковая сторона которого равна 6√3, а угол ACB равен 1200. Найдите расстояние от
точки А до прямой B1C1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.
Ответ: 15
5.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол
√10
5
между прямой AB1 и плоскостью ABC1. Ответ: arcsin
6.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой
√91
D1E1. Ответ:
2
7.В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой тетраэдра DH и медианой
√2
3
BM боковой грани BCD. Ответ: arccos
8.В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны
1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD. Ответ: 600
9.В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Ответ: √
2
3
10.Найти вектор b, коллинеарный вектору c=3i-5j+4k, образующий с осью Ох тупой
угол, длина которого равна 10√2.
11. В треугольной пирамиде SABC, с основанием ABC, S- вершина, даны векторы
SA=a, SB=b,SC=c. Выразить через них вектор SM, где M- точка пересечения медиан
∆ABC.
12.В ∆ABC точки P и F являются серединами сторон AB и AC. Выразить векторы
AB, BC, AC, CP через векторы a=BP и c=BF.
13. Векторы a, b,c соединяют вершину треугольной пирамиды с вершинами её основания. Векторы m, n, p соединяют ту же вершину с серединами противолежащих рёбер.
Доказать, что a+b+c=m+n+p.
14.Найти вектор c, коллинеарный вектору a=4i-7j-4k, образующий с осью Oy острый
угол, если |𝑐|=18.
15.Даны векторы a=(2;1;1), b=(-1;2;-2),c=(2;-1;3), d=(-1;1;-1). Разложите каждый из
векторов по трём другим векторам.
3
𝜋
4
3
16.Найти координаты вектора a , образующего с осями координат углы 𝛼 = 𝜋, 𝛽 = ,
длина которого равна 8.
17.В ∆ABC заданы векторы АВ=(3;1;2) и АС=(5;-1;3). Точка Р является основанием
высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. Найти координаты вектора ВР.
18. Найти значение  , при котором векторы a=3i+  j-2k и c=2i+4j+  k будут ортогональны.
19.Найти угол между векторами a =3m-2n и c=4m+3n, если |𝑚| = √2, |𝑛| = 2,
3
 (m,n)= 𝜋.
4
20. Найти значение  , при котором векторы a+  c и 3a -4c будут ортогональны,
𝜋
если |а| = √3, |с| = 1,  (а,с)= .
6.
21. Найти координаты вектора a , коллинеарного вектору c=(1;3;-2), и удовлетворяющего условию a∙ c=28.
22. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a =3m-2n и c=m-3n,
1
если |𝑚| = 5, |𝑛| = 2,  (m,n)= 𝜋.
6
23. В плоскости YOZ найти вектор c , ортогональный вектору a=(3;-2;-1), если |с| =
2√5.
24. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах a=i-2j+2k и b =i-3j+k .
25. Даны векторы a=2i+6j-3k и b =i+5j-k , c=-i-3j+2k. Найдите координаты вектора р
ортогонального векторам b и c , если р∙а=-8.
26. Вычислить объём тетраэдра , построенного на векторах a=(1;-2;3), b=(2;3;4),
c= (-1;-12;1).
1.1. В правильной треугольной пирамиде ABCD (с вершиной D) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM, где K, L, M-середины рёбер AB, BC и CD соответственно. Отв. 2.
2.1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 боковое ребро равно 4, а
сторона основания равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,
проходящее через точки А, В и середину ребра В1С1. Отв.
9√91
4
.
3.1. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDЕ (с вершиной Е) все
рёбра равны 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АВK, где
K-середина рёбра CЕ. Отв. 3√11.
4.1. Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 4.Точка Е - середина ребра А1D1.
Найдите площадь сечения куба плоскостью АСЕ. Отв.18.
5.1. В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна 1, а высота равна 2. Точка М - середина ребра АА1. Найдите
площадь сечения призмы плоскостью ВМD1. Отв. √3.
6.1. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны рёбра:
АВ=3, АD=√3, АА1=5. Точка М расположена на ребре АА1 так, что АМ=4.
Найдите площадь сечения призмы плоскостью ВМD1. Отв. 2√21.
7.1. В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна 4, а высота равна 3√6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину D1 и середины рёбер АВ и BC. Отв. 28.
8.1.В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна √2, а высота равна √15. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, BC и СС1 . Отв. 6.
9. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины рёбер АВ и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8. Отв. 2√29.
Математический анализ.
1. Доказать ограниченность последовательности
an 
2n  1
.
n 1
n2 1
2. Доказать, что последовательность y  2
монотонная
n 3
n2
n
1


3. Найти предел последовательности
lim 

n   n 1 
4. Исследовать функцию на четность (нечетность) y  3 ( x  1) 2  3 ( x  1) 2
1
5. Доказать, что функция y  x 
возрастающая на интервале (1;)
x
x
x
6. Найти основной период функции y  ctg  cos
3
2
1 x
7. Найти предел функции: lim
3
x
x 1 1 
1  cos x
8. Найти предел функции: lim
x2
x 0
9. Найти предел функции:
lim
x 1
x2 1
2x2  x  1
1
1  51/x
| x  1|
y 2
x x2
10. Найти точки разрыва функции и определить их тип y 
11. Найти точки разрыва функции и определить их тип
x2
12. Найти производную функции y  lgsin
2
13. Найти производную функции y  arcsin 2 3 x
2x
14. Найти производную функции y  ctg
ln x
x
15. Найти точку минимума функции y 
ln x
16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
y  x 4  8 x 2  9 , x [1;1]
17. Составить уравнение касательных к графику функции y  x 2  2 x
в точках его пересечения с осью абсцисс.
18. Найти уравнения общих касательных к параболам y  x 2  5 x  6 и y  x 2  x  1
Тригонометрия.

1.  2 sin  
2x 
 1
5 
3
2. 6cos  2 x     1

3
3. sin   2 x   sin
4
4


4. 6 3sin   2 x   9  0
3


5.  8 sin   2 x   log 2 4
3


3
6. sin   arcsin 
3 
2
7. tg  arccos 
13
12



4 
8. cos  arcsin    
5



9. ctg  arccos  0,8 
 
 2
10. cos    arcctg
3

3 
1
Вычислить
𝑠𝑖𝑛268° - 𝑠𝑖𝑛2 38° − 0.5 𝑠𝑖𝑛2 106° + 3
Отв
3
2
3(cos 20° − sin 20°)
3
√2 sin 25°
3
4
𝜋
𝜋
∙ 𝑐𝑜𝑠 2
5
5
2𝜋
2𝜋
2𝜋
4
2
1 − 𝑐𝑜𝑠
− 𝑐𝑜𝑠
∙ 𝑠𝑖𝑛2
5
5
5
5
𝑠𝑖𝑛2 32° + 𝑠𝑖𝑛26°
5𝑐𝑜𝑠 2 32°
6
𝑐𝑜𝑠9° + 𝑐𝑜𝑠51° + √3𝑐𝑜𝑠21°
7
8
1
2
1
4
(tg14° + 𝑐𝑡𝑔28°) ∙ 𝑐𝑜𝑠14° ∙ 𝑠𝑖𝑛14°
𝑠𝑖𝑛2
2√3𝑐𝑜𝑠21°
2𝑐𝑜𝑠 2 16° + 2𝑐𝑜𝑠 2 76° − 3
𝑐𝑜𝑠 2 44°
𝑠𝑖𝑛2 𝛼−2𝑐𝑜𝑠2 𝛼
. если tg𝛼 = −2
1
5
1
-2
0,4
5𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝛼+3
9
1
2
tgx, если sin(x-45°) + sin(𝑥 + 45°) =
√2
𝑐𝑜𝑠𝑥
2
10 2sin3𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠5𝛼 − 𝑠𝑖𝑛8𝛼, если 𝑠𝑖𝑛𝛼 −
𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0.9
Доказать тождество
𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
1
= 𝑐𝑡𝑔𝛼
𝑠𝑖𝑛3𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼
-0.19
2
𝑠𝑖𝑛2 3𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
= 2𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠5𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
3
𝑐𝑜𝑠4𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 2𝑐𝑜𝑠𝛼
3𝛼
3𝛼
𝑐𝑜𝑠 2
− 𝑠𝑖𝑛2
2
2
𝑐𝑜𝑠 2 2𝛼 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 3
− 1 = 𝑡𝑔4 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2 2𝛼 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
4
1
2
3
4
Вычислить
Arcsin(sin(-3))
Отв
3-𝜋
Arctg(tg(-4))
-4+𝜋
1
√2 − 1
1
√6cos(2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3)
4
5
0.96
sin(2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 )
5
1
29𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (sin
)
𝜋
5
-0.2
6
1
33𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (cos
)
𝜋
5
-0.1
1
Решить уравнения
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥
Ответы
(−1)𝑘 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
+ 𝜋𝑘
2
2cos2x+2cosx∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
3
Sin2x+2sinx-3cosx=3
4
2cosx+cos2x=2sinx
𝜋 𝜋
+ 𝑘
4 2
𝜋 + 2𝜋л
𝜋
4
5
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 1
6
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 2
𝜋
7
8sinx∙cos2x∙cosx= √3
8
sinx+cosx=𝑠𝑖𝑛3 𝑥
𝜋
𝜋
10
3𝑥
3𝑥
1
− 𝑠𝑖𝑛4
=
2
2
√2
Sin2x=3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Sin4x+𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0
12
sin3x=3sinx∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
13
14
𝑥
𝜋 𝜋
+ 𝑘
12 4
+𝜋𝑘
𝜋
2𝜋
𝑘
3
± +
12
+𝜋𝑘; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1.5 + 𝜋𝑛
2
𝜋
1
𝑘; − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2
2
2
𝜋
+ 𝑛
2
𝜋𝑘
𝑥 2
1-sin5x=(𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2)
5sinx+cosx=5
4
𝜋
2
11
𝜋
+𝜋𝑘; ± +𝜋𝑛
(−1)𝑘
2
𝑐𝑜𝑠 4
+𝜋𝑘
2𝜋𝑘; 2+2𝜋𝑛
2
9
√6 − 2
2
𝜋
2
𝜋
𝑘;
𝜋 𝜋
+ 𝑛
6 3
3
+2𝜋𝑘; 2arctg +
5
2𝜋𝑛
2
𝜋 2𝜋
+ 𝑛
12 3
15
sin3x+cos3x=√2
16
Sin2x+3=3sinx+3cosx
𝜋
17
cosx∙ 𝑠𝑖𝑛9𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛7𝑥
𝜋
2𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥+3sin4x+4𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 0
− + 𝑘 ;− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 +
18
2
4
𝜋
2
Sin4x=6𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − 4
19
𝜋
𝜋
𝑛
2
k; ± +
12
𝜋 𝜋
1
8 2
2
𝑛
𝜋 𝜋
1
1
8 2
2
2
− + 𝑘 ; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 +
𝜋
2
1
4
20
+2𝜋𝑘; 2𝜋𝑛
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛3 2𝑥=1
𝑛
𝜋 𝜋
+ 𝑘
4 2
Алгебра.
1.Решите уравнение √|𝑥 + 57| + 10 = √57 − 𝑥
отв.-40√2;-57,49
2. Найти сумму корней уравнения.√𝑥 + 21 − √𝑥 + 5 + √𝑥 + 54 − √𝑥 + 5 = 3
отв.980
6
6
5
5
3.Расположите в порядке возрастания log 9 10; ; log10 11 отв.log10 11 < log 9 10 <
к к
4.Вычислить без таблиц − log к log к √ √… . . √к, n корней
к
отв.n
5.Изобразите на плоскости ОХУ log 𝑥 𝑦 < 0
6. Постройте график 𝑦 = 𝑥 |log𝑥 2|
7. Вычислите log √2+√3 (4√2+3√3) ∙ log1+√6 (√3 − √2) + log 7+2√6 (2√6 + 5) отв.-1
8.||2𝑥 + 3| − 7| + 9𝑎𝑥 2 − 6√𝑎 ∙ 𝑥 + 1 = 0 Найдите a,что есть хотя бы одно решение
отв.
1
36
9. Найдите a, при котором существуют решения у системы.
{
2𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 9𝑦 + 14 = −𝑎(𝑎 + 5)
𝑎 = 7𝑦 − 𝑥 2
10.Найдите все a, для каждого из которых хотя бы при одном b уравнение
b+√3 − 𝑥 2 − 2𝑥=0 имеет решения, удовлетворяющие условию |𝑥 + 𝑎 + 𝑏| ≤ 1.
отв.⌈−2; 2 + 2√2⌉
11.Для некоторых чисел x≠
𝑦
выражения log 𝑥 5𝑦2 (𝑥 3 𝑦) и log 𝑥 2𝑦5 (𝑥𝑦 3 ) принимают одно и тоже значение
Найдите это значение.
Отв.
1
7
12.Решите уравнение. √3𝑥 2 +
1
12
1
− 𝑥= 36𝑥 2 − 1
отв. ; −
6;
1+2√3
12√3
13.Найдите значение параметра a, при котором уравнение имеет одно положительное решение
√𝑥 2 − 4𝑥 + 3= √3𝑥 + 𝑎
отв.{
−37
4
} ∪ (−9; −3) ∪ [3; +∞[
1. При каких значениях r сумма квадратов корней уравнения x  rx  r  3  0
является наименьшей?
2
2. Пусть a, b, c, d - действительные числа, a  c  0 . При каком значении x
2
2
функция y  (ax  b)  (cx  d ) принимает наименьшее значение? Найдите
это наименьшее значение.
3. Найдите все действительные значения r , при которых функция
2
2
y  (r 2  1) x 2  2(r  1) x  2 принимает положительные значения при всех
действительных x .
4. Найдите все действительные значения
r , при которых квадратный трехчлен
y  rx 2  2(r  2) x  2r  4 принимает отрицательные значения при всех
действительных x .
5. Найдите все действительные значения
r , при которых корни уравнения
2rx  (r  1) x  1  0 действительны и оба по абсолютной величине меньше
2
единицы.
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  x  3 x  2 , если
4
2
2 x 3
2
7. Пусть x1 и x2 - корни уравнения ax  bx  c  0, a  0 . Не решая этого
уравнения, выразите через a, b и c следующие суммы:
1) x1  x2
4
4
2) x1  x2
6
6
8. Даны три различные точки А(-5; 0), В(-1; 0), С(0; -5). Существует ли квадратный
трехчлен, график которого проходит через эти точки? Единственный ли такой
трехчлен можно подобрать?
9. Даны две различные точки А(0;1), В(1;3). Существует ли квадратный трехчлен,
график которого имеет вершину в точке А и проходит через точку В? Единственный ли такой трехчлен можно подобрать?
10.Выписать все приведенные многочлены, являющиеся делителями многочлена
3( x  2)( x  3) 2
11.Выписать все приведенные многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена x (3 x  2)( x  5)
12.Выполните деление методом неопределенных коэффициентов:
2
3
1. 6 x  2 x  2 x  3 на 2 x  3 x  1
4
3
2
2. x  2 x  x  3 на 2 x  3
3
2
13.Пусть Р(х) - многочлен степени k и при всех значениях х справедливо равенство
Р(-х)=-Р(х). Докажите, что:
а) k – нечетное натуральное число;
б) коэффициенты многочлена Р(х) при четных степенях х равны нулю.
14.При каких значениях параметров a и b многочлен P4 ( x)  x  2 x  ax  2
4
3
делится без остатка на многочлен Q2 ( x)  x  x  b .
2
15.Найдите остаток от деления многочлена P7 ( x)  x  3 x  x  12 x  1 на
7
6
3
2
двучлен x  2 .
16.Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра a , при которых число x0  0,5 является корнем многочлена
P4 ( x)  x 4  3x 3  x 2  ax  1 .
17.Найдите все значения параметра a , при которых многочлен
P4 ( x)  3( x  5)( x  7)( x  1)( x  a) имеет ровно три различных действительных корня.
18.Разложите многочлен P5 ( x)  x  4 x  14 x  17 x  6 на линейные множители.
19.Найдите приведенный многочлен P3 ( x ) третьей степени, если P3 (0)  1 ,
5
4
2
P3 (1)  2 , P3 ( 2)  3 .
20.Найдите приведенный многочлен P3 ( x ) третьей степени, если
P3 (0)  P3 (1)  P3 (4)  0 .
21.При каких значениях b и c многочлен P4 ( x)  x  8 x  bx  cx  1 имеет
два корня второй кратности? Для каждой пары таких значений b и c найдите
корни многочлена.
4
3
2
( x 2  x  1) 2  2( x 3  x 2  x)  3 x 2
0
22.Решите неравенство
10 x 4  43 x 3  9 x 2
3
2
2
23.Решите неравенство x  x  4 x  2   x  3x  2