УДК 511

advertisement
О СОВМЕСТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПЛОСКОСТИ ЗНАЧЕНИЯМИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПОЛИНОМА
Кандидат физико-математических наук, Н.В. Бударина
Владимирский государственный педагогический университет, Владимир
Кандидат физико-математических наук, И.А. Корлюкова
Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Гродно
Множество иррациональных чисел может быть расклассифицировано в
зависимости от степени их приближения иррациональными.
Очень точную
характеристику действительных чисел по степени приближения их рациональными
числами дал А. Хинчин [1].
Пусть (x) – монотонно убывающая функция положительного аргумента x и
A – мера Лебега измеримого множества A  R . Обозначим через K1 () множество
действительных чисел x некоторого интервала I  [a, b] , для которых неравенство
x
p  (q)

 | qx  p | (q)
q
q
(1)
имеет бесконечное число решений в целых числах p и q .
Теорема Хинчина.


 (q)  ,
0, если q
1
K1 ( )  

b  a, если   (q)  .

q 1
Обобщение неравенства (1) путем замены многочлена первой степени qx  p на
целочисленные многочлены произвольной степени позволяет классифицировать
трансцендентные числа. Такая классификация впервые была предложена Малером
[2]. Им же была поставлена следующая метрическая проблема.
Пусть K n () – множество действительных чисел, для которых неравенство
Pn ( x)  H  n1( H )
имеет
бесконечное
Pn ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 ,
число
решений
H  H ( P)  max | a j |
0 j n
(2)
в
целочисленных
многочленах
– высота многочлена Pn (x) . При
правой части в (2) вида H  w , w  0 Малер поставил проблему о мере тех значений
xI ,
для которых неравенство (2) имеет бесконечное число решений. В.Г.
1
Спринджук [3] доказал, что эта мера равна нулю при w  n . А. Бейкер [4] несколько
улучшил результат Спринджука, а В.И. Берник [5] и В.В. Бересневич [6] доказали, что


если   (q )  ,
0,
H 1
K n ( )  

b  a, если   (q )  .

H 1
Тем самым был получен полный аналог теоремы Хинчина для многочленов.
Настоящая работа посвящена многомерному обобщению результатов [5], [6] на
случай неоднородных приближений.
Пусть l1 и l2 – произвольные действительные числа, l  (l1 , l2 ) . Обозначим через
S ( , ) множество действительных векторов   ( x, y) , для которых система неравенств
n2
1


| P( x)  l1 | H 2  2 ( H ), x  I1 ,

n2
1


2
2
|
P
(
y
)

l
|

H

( H ), y  I 2
2

(3)
имеет бесконечное число решений в многочленах P(t )  Z [t ] .
Далее B – мера Лебега измеримого множества B  R 2 . Доказаны следующие
теоремы:
Теорема 1. Справедливо следующее равенство


если   ( H )  ,
0,
H 1
S ( ,  )  

 ( I1  I 2 ), если   ( H )  .

H 1
Теорема 2. Пусть (H ) – неотрицательная монотонно убывающая функция и

  ( H )   . Тогда для почти всех ( x, y)  R 2 и для любого l  (l1 , l2 )  R2 система
H 1
неравенств (3) имеет лишь конечное число решений в полиномах из Bn (l ) .
ЛИТЕРАТУРА
1. Khintchine, А.J. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der
Diophantischen Approximationen / A.J. Khintchine // Math. Ann. – 1924. – Vol. 92. – P.
115125.
2. Mahler, K. Uber das Mass der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Math. Annalen. – 1932.
– Vol. 106. – P. 131–139.
3. Спринджук, В.Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В.Г. Спринджук. 
Мн.: Наука и техника, 1967.  184 с.
4. Baker, A. On a theorem of Sprindžuk / A. Baker // Proc. Royal Soc. – 1966. – Vol. 292. –
P. 92–104.
2
5. Берник, В.И. О точном приближении нуля значениями целочисленных многочленов
/ В.И. Берник // Acta Arithmetica. – 1989. – Т. 53. – С. 17–28.
6. Beresnevich, V.V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers / V.V.
Beresnevich // Acta Arithmetica. – 1999. – Vol. 90, № 2. – Р. 97–112.
3
Скачать