Вопросы к зачету по геометрии для учащихся

Вопросы к зачету по стереометрии для учащихся
10 класса физико-математического направления
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак
скрещивающихся прямых.
2. Параллельность прямых в пространстве. Свойства параллельных прямых
(доказательство свойства транзитивности параллельности прямых).
3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак
параллельности прямой и плоскости.
4. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
5. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и
плоскости. Теоремы о двух параллельных прямых, одна из которых
перпендикулярна плоскости; о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
6. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех перпендикулярах.
7. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух
плоскостей.
8. Свойства параллельных плоскостей: о линиях пересечения двух
параллельных плоскостей с третьей плоскостью; о прямой и плоскости,
пересекающей одну из двух параллельных плоскостей; о единственности
плоскости, проходящей через данную точку параллельно другой
плоскости; транзитивность параллельности плоскостей (доказательства
этих свойств).
9. Углы в пространстве. Величины углов между скрещивающимися
прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя плоскостями.
Доказательство факта о том, что угол между наклонной и плоскостью
является наименьшим из возможных углов между этой наклонной и любой
прямой, лежащей в данной плоскости.
10. Ортогональное проектирование. Теорема о проекции прямой,
составляющей равные углы с лучами данного угла и проходящей через
вершину этого угла (с доказательством). Площадь ортогональной проекции
многоугольника.
11. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности
двух плоскостей.
12. Свойства перпендикулярных плоскостей: о прямой, перпендикулярной
линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей; о линии
пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости
(доказательства этих свойств).
13. Свойства точек, равноудаленных от всех вершин или сторон
многоугольника.
14. Расстояния в пространстве. Расстояния между точками, прямыми и
плоскостями.
Расстояние
между
скрещивающимися
прямыми:
определение, методы нахождения (с обоснованиями).
15. Действия над векторами. Теорема о разложении вектора по трем
некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов и его
свойства. Использование скалярного произведения для вычисления углов
между прямыми и плоскостями.
16. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.
Вывод формулы расстояния от точки до плоскости в координатах.
Задачи к зачету по стереометрии для учащихся
10 класса физико-математического направления
1. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Точка M не
принадлежит ни одной из них. Всегда ли существует
прямая, проходящая через M и пересекающая обе данные
прямые? (Ответ обосновать).
2. В тетраэдре PABC точки K1 , K 2 , P1 , P2 - середины ребер
соответственно AP , CP , AB , CB . Докажите, что отрезок,
по которому пересекаются треугольники BK1K2 и PP1P2 ,
1
параллелен ребру AC и равен AC .
3
3. На ребрах PA , PB и PC тетраэдра PABC отмечены точки
M , K и H так, что PM : MA  PK : KB  PH : HC  2 : 1.
Докажите, что плоскости MKH и ABC параллельны.
Найти площадь треугольника MKH , если площадь
треугольника ABC равна 10 см2.
4. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 со стороной
a , проведенного через середины ребер AB , BB1 и D1C1 .
5. Основание призмы – правильный треугольник ABC.
Боковое ребро AA1 образует равные углы со сторонами
основания AC и AB . Докажите, что CC1B1B прямоугольник.
6. В тетраэдре PABC ребро AB перпендикулярно ребру CP и
ребро AP перпендикулярно ребру BC . Докажите, что:
а)ребра AC и BP также взаимно перпендикулярны;
б) AB 2  CP 2  AP 2  BC 2 .
7. Точка M лежит внутри двугранного угла величиной 60 и
удалена от его граней на расстояния соответственно 3 и 5.
Найти расстояние от точки M до ребра двугранного угла.
8. Точка M равноудалена от всех вершин треугольника ABC
со сторонами AB  30 , AC  24 и BC  18 . Расстояние от
M до плоскости ABC равно 20. Найти углы между
плоскостями: а) ABM и ABC ; б) MBC и ABC .
8 3
,O–
3
середина AC, OD  (ABC), OD = 3. Найти угол между
плоскостями ABD и CBD.
10. ABCD – ромб, BAD  60 . Прямая MA перпендикулярна
плоскости ромба, причем AB  AM  a . Найти угол между
плоскостями MAD и MBC .
11. Две правильные пирамиды, четырехугольную и
треугольную, склеили по треугольной грани. Известно, что
длины всех ребер пирамид между собой равны. Сколько
граней у получившегося многогранника?
12. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине
C. Точки P1 и Q – середины ребер B1C1 и BB1
9. ABC – правильный треугольник со стороной
соответственно. Считая, что AC 
1
AA1  a , найти
2
расстояния от точки C1 до прямых: а) AQ; б) AP1.
13. В правильном тетраэдре PABC с ребром, равным a , точки
M и K - середины ребер соответственно BP и CP, точка O –
центр основания ABC. Найдите расстояния между
прямыми: а) AP и BC; б) AB и MK; в) MK и OP.
14. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все ребра которой равны 1, найти
расстояние от точки A до плоскости BFE1.
15. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 со
стороной основания 12 и высотой 21 на ребре AA1 взята
точка M так, что AM = 8. На ребре BB1 взята точка K так,
что B1K = 8. Найдите угол между плоскостью D1MK и
плоскостью CC1D1.
16. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
ABC известны ребра: AB = 5 3 , SC = 13. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер AS и BC.