Задача I

advertisement
Задача I. Зная медианы ma, mb и mc треугольника, вычислите его площадь.
Дано: AD=ma, BE=mb, CF=mc.
Найти: SABC.
Решение:
1) MKE и BHE подобны. Отсюда BH:MK=ME:BE
(ME:BE=1:3, т.к. М – точка пересечения медиан).
1
2
1
SAMC= SABC.
3
1
2
2) SAMC= ACMK, а SABC= ACBH. Отсюда
3) Рассмотрим AMC. У него известны две стороны и ме2
3
2
3
1
3
диана: AM= ma, MC= mc и ME= mb.
Дополнительное построение: удвоим медиану и, достроив
треугольник AMC до параллелограмма MCPA.
1
2
4) Получаем SAMC=SMCP= SAMCP.
2
3
2
3
2
3
5) У треугольника MCP известны три стороны CP= ma, MC= mc и MP= mb. Значит можно
найти площадь треугольника MCP по формуле Герона.
Итак, SABC=3SAMC=3SMCP=3
=
1
3
1
ma  mb  mc   1 ma  mb  mc   1 ma  mc  mb   1 mb  mc  ma  =
3
3
3
3
ma  mb  mc   ma  mb  mc   ma  mc  mb   mb  mc  ma  .
Ответ: SABC=
1
3
ma  mb  mc   ma  mb  mc   ma  mc  mb   mb  mc  ma 
Задача II. Найдите площадь треугольника с углами ,  и , зная, что расстояния от произвольной
точки М, взятой внутри треугольника, до его сторон равны соответственно m, n, k.
Дано: ME=m, MF=n, MH=k, , ,  – углы треугольника.
Найти: SABC.
Решение:
1
2
1) SABC= ACBCsin.
2) Пусть BC=x. Тогда по теореме синусов
AC
BC
AB


sin  sin  sin 
,
x sin 
x sin 
, AB 
.
sin 
sin 
1
1 x sin 
x 2 sin  sin 
3) SABC= ACBCsin= 
хsin=
– с одной
2 sin 
2
2 sin 
откуда находим: AC 
стороны.
1
2
1
2
1
2
1 x sin 
1
1 x sin 
k + xn + 
m
2 sin 
2
2 sin 
4) SABC= SAMC + SMBC + SABM = ABk + BCn + ACm = 
x(k sin   n sin   m sin  )
– с другой стороны.
2 sin 
k sin   n sin   m sin 
x 2 sin  sin  x(k sin   n sin   m sin  )
5) Значит,
=
, откуда находим x 
.
sin  sin 
2 sin 
2 sin 
=
6) SABC=
Ответ: SABC=
x 2 sin  sin  (k sin   n sin   m sin  ) 2
=
.
2 sin  sin  sin 
2 sin 
(k sin   n sin   m sin  ) 2
2 sin  sin  sin 
.
Задача III. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и P так, что AK:BK=1:2,
CP:PB=2:1. Прямые AP и CK пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника ABC, если
известно, что площадь треугольника BEC равна 4см2.
Дано: AK:BK=1:2, CP:PB=2:1, SBEC=4см2.
Найти: SABC.
Решение:
1) Положим AK=х, BK=2х, BP=у, CP=2у и проведём PM KC. По теореBM BP 1
2x
4x
, KM= .

 . Значит, BM=
MK PC 2
3
3
KE
2) Треугольники AKE и AMP подобны, поэтому

MP
3
KE
x
3

 , и, значит, KE= MP.
MP x  4 x 7
7
3
MP
3) Треугольники MBP и KBC подобны, поэтому

KC
1
6
4) Получаем KE= KC, а поэтому EC= KC.
7
7
ме Фалеса
AK
, т.е.
AM
BP 1
1
 , т.е. MP= KC.
BC 3
3
5) Рассмотрим треугольники BEC и BKC. У них высота, проведённая из вершины B, общая. Значит, их площади относятся как основания KC и EC, т.е.
7
6
довательно, SBKC=  4 
S BKC KC 7

 . Так как SBEC=4см2, слеS BEC EC 6
14 2
см .
3
6) Рассмотрим треугольники BKC и ABC. У них высота, проведённая из вершины C, общая. Значит, их площади относятся как основания BK и AB, т.е.
S ABC AB 3
14

 . Так как SBKC= см 2 ,
S BKC BK 2
3
3 14
 7см 2 .
2 3
следовательно, SABC= 
Ответ: SABC= 7см 2 .
Задача IV. В пятиугольнике ABCDE известно, что AB= 2 см, BC=CD, ABE=45 и DBE=30.
Вычислите площадь пятиугольника, если около него можно описать окружность радиуса 1см.
Дано: AB= 2 см, BC=CD, ABE=45 и DBE=30, R=1см.
Найти: SABC.
Решение:
1) По теореме синусов, применённой к треугольнику ABE, находим,
что
AE
 2 R , т.е. AE= 2 см. Значит треугольник ABE – равнобедsin 45 
ренный и прямоугольный, у которого AB=AE= 2 см, а поэтому
1
2
BE=2см и SABE= ABAE=1см2.
2) Так как BE=2см, то BE – диаметр окружности. Значит, треугольник
1
2
BDE прямоугольный; из него находим: DE=1см, BD= 3 см, SBDE= BDDE=
3 2
см .
2
BD
3
. От 2R , т.е. sinBCD=
2
sin BCD
DC
сюда находим, что BCD=120, а CBD=CDB=30. Поскольку
 2 R , то находим, что
sin 30 
3
1
BC=CD=1см и SBCD= BCCDsinBCD= см 2 .
2
4
3
3 43 3 2
В итоге получаем SABC= SABE + SBDE + SBCD =1+ +
=
см .
2
4
4
43 3
Ответ: SABC=
см2.
4
3) Рассмотрим BCD. В нем BD= 3 см. По теореме синусов
Задача V. Внутри треугольника ABC со сторонами a, b и c взята точка M так, что из неё стороны
треугольника видны под равными углами. Найдем AM+BM+CM.
Дано: BC=a, AC=b, AB=c, AMC=BMA=CMB=120.
Найти: AM+BM+CM.
Решение:
1) Пусть AM=x, BM=y, CM=z. Применив теорему косинусов к каждому из треугольников AMB, BMC и
a 2  z 2  y 2  yz,

AMC, получим систему уравнений b 2  x 2  z 2  xz,
 2
2
2
c  x  y  xy.
2) SABC= SAMC + SBMC + SAMB
1
2
1
2
1
2
= xz sin120   yz sin120   xy sin120  
Значит, xz  yz  xy 
4S ABC
3
3
( xz  yz  xy) .
4
, где
SABC= p( p  a)( p  b)( p  c) – формула Герона.
3) Сложив три уравнения системы, получим a 2  b2  c 2  2x 2  2 y 2  2z 2  ( xy  xz  yz) , отсюда
a 2  b2  c2 1
 ( xy  xz  yz) .
2
2
4) Рассмотрим ( x  y  z) 2  x 2  y 2  z 2  2xy  2xz  2 yz . Значит
x2  y 2  z 2 
a 2  b2  c2 1
a 2  b2  c2 3
 ( xy  xz  yz)  2( xy  xz  yz) 
 ( xy  xz  yz) =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b c
3 4S a  b  c

 

 2S 3 .
2
2 3
2
( x  y  z) 2 
В итоге получаем x  y  z 
Ответ: x  y  z 
a2  b2  c2
 2S 3 .
2
a2  b2  c2
 2S 3 .
2
Скачать