Метод «идеального» построения

Метод «идеального» построения.
6. (Командная олимпиада Старт-лиги VII Южного математического турнира. 18 сентября 2012 года)
Точка M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, в котором угол A равен 15. На
катете AC отмечена точка K такая, что KM = ВС и угол AMK – тупой. Найдите углы треугольника KBC.
Ответ: 90, 45 и 45. Решение: Воспользуемся методом «идеального»
построения, построив параллелограмм CBMN с помощью центральной
симметрии относительно середины отрезка МС. Тогда середина Р
отрезка MN будет одновременно серединой стороны АС исходного
треугольника, а МР будет средней линией этого треугольника. Значит,
МР=MN/2=ВС/2=МК/2, т.е. катет МР равен половине гипотенузы МК в
прямоугольном треугольнике МРК и МКР=30. Тогда МКС=150.
Учитывая, что МСВ равнобедренный треугольник с МСВ=МВС=75,
получим, что МСК=90–75=15 и СМК=180–МСК–МКС=180–
15–150=15. Значит, МКС – равнобедренный с двумя углами по 15, КС=МК=ВС. Тогда КВС – равнобедренный
прямоугольный.
Совет – жёлтый цвет в задачах снимать только после того, как придумаете и решите задачу.
1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) с В=30 выполняется неравенство
АВ<2АС.
2. Один из углов треугольника равен 30. Докажите, что радиус окружности, описанной около этого
треугольника, меньше половины его периметра.
3. Дан треугольник ABC. На сторонах AВ и ВС взяты точки D и Е таким образом, что ACB = 2BED.
Докажите, что AC + ЕC > AD. (Уральский ТЮМ)
4. В треугольнике АВС ВС = 2АС, а D – такая точка на стороне ВС, что DAC = ABC. Прямая AD
пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М. Докажите, что АМ = АВ.
(Уральский ТЮМ)
5. Дан квадрат ABCD. Точки М и N принадлежат соответственно диагонали BD и стороне ВС, причём
2
1
BM  BD и BN  BC . Докажите, что AMN=90.
3
3
6. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB,
причем AMO=MAD. Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D. (Московская городская
олимпиада, 1998)
7. В треугольнике ABC с острым углом при вершине А проведены биссектриса АЕ и высота ВН.
Известно, что AEB = 45°. Найдите угол ЕНС. (Областная олимпиада 11 кл, 1994-95 г.г., №51
из книги Агаханова и К «Областные олимпиады»., реш. на стр.80) Совет  сначала решить задачу,
а потом посмотреть её решение, увеличив картинку справа.
8. На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и E такие, что AD = BE.
Отрезки CD и AE пересекаются в точке O. Серединный перпендикуляр к отрезку CO пересекает
прямую AO в точке K. Докажите, что BK и CO параллельны. (Уральский ТЮМ, поворот)
9. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB
и CD пересекаются на биссектрисе угла E. (Уральский ТЮМ)
10.Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взята точка Е. Известно, что сумма углов
ВAЕ и ВCЕ равна углу АВС. Докажите, что АЕ + ЕС > АВ.
11.Стороны треугольника ABC видны под равными углами из точки F внутри треугольника. Прямые BF
и CF пересекают стороны AC и AB в точках D и E соответственно. Докажите, что AB+AC  4DE.
12.AB  большее, а CD  меньшее основание трапеции ABCD. Известно, что BC = 2AD и сумма углов
DAB и ABC равна 120. Докажите, что угол DAB  прямой.
13.В треугольнике ABC ACB > ABC, биссектриса угла BAC пересекает BC в точке D. Точка E
выбрана на стороне AB так, что EDB = 90, а точка F выбрана на стороне AC так, что
BED = DEF. Докажите, что BAD = FDC.
14.В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и D равны. На стороне AD выбрана такая точка K, что
AB = BK и CK = CD. На отрезке BK выбрана такая точка L, что BL = CK. Докажите, что LA = LD.
15.На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили точки М и К соответственно. Отрезки СМ и АК
пересекаются в точке О. Известно, что МВ = КВ, АМ = ОС и СК = АО. Докажите, что треугольник
АВС равнобедренный.