Кодификатор математикаx

Кодификатор
элементов содержания основных тем олимпиадных заданий по математике
составлен на основе обязательного содержания основных образовательных
программ и требований к уровню подготовки выпускников средней (полной) школы
(приказ Минобразования России от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении
федерального компонента Государственных стандартов начального общего,
основного общего и среднего (полного) общего образования»). Кодификатор
элементов содержания по всем разделам включает в себя элементы содержания за
курс средней (полной) школы (повышенный уровень) и необходимые элементы
содержания за курс основной школы.
Кодификатор основных тем олимпиадных заданий по математике
Задачи олимпиад, как правило, не относятся строго к одной теме, их решение
опирается на применение методов, относящихся сразу к нескольким направлениям.
Более того, задача, формулировка которой относит ее к одной теме, зачастую
допускает решение (а то и несколько различных решений), опирающееся на понятия
сразу нескольких математических направлений, что способствует выработке у
школьников навыка мыслить масштабно, охватывать все возможные нюансы,
связанные с данной задачей, и из возможных решений выбирать наиболее
оптимальное.
Примерные темы для олимпиадных заданий для учащихся 7–9 классов, 10 – 11
классов.
7 класс
Числовые ребусы, расстановка скобок и знаков, лингвистика.
Пропорции, доли, проценты, концентрации.
Движение, работа, производительность.
Логические задачи (истинность высказываний, про лжецов и т. п.).
Элементы теории чисел (признаки делимости, десятичная запись числа).
Степень с натуральным показателем.
Задачи на разрезание, склеивание, перекраивание.
Основные геометрические фигуры. Параллельные прямые. Смежные и
вертикальные углы.
Признаки равенства треугольников. Сумма углов треугольника.
Олимпиадные трюки: принцип Дирихле, инварианты, раскраски, графы, игры.
Олимпиадные трюки: комбинаторика, взвешивания, неравенства.
8 класс
Формулы сокращенного умножения. Преобразование алгебраических выражений.
Действительные числа. Корни. Квадратный трехчлен.
Степень с целым показателем.
Графики линейной и квадратичной функций. Гипербола.
Различные системы счисления. Римские цифры.
Числовые неравенства. Сравнение чисел.
Геометрия. Четырехугольник. Параллелограмм. Трапеция. Теорема Фалеса.
Теорема Пифагора. Элементы тригонометрии.
Декартовы координаты на плоскости. Векторы на плоскости.
Движение. Симметрия относительно точки и прямой. Параллельный перенос.
Окружность и касательная. Задачи на построение (равные углы и т. п.), на ГМТ.
9 класс
Алгебраические преобразования. Иррациональные выражения.
Квадратичная функция и квадратный трехчлен. Разложение алгебраических
выражений на множители. Графики функций.
Поиски максимумов и минимумов. Доказательство неравенств.
Формулы Виета для многочленов высших степеней.
Уравнения и системы уравнений более высокого порядка.
Числовые последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии.
Метод математической индукции.
Тригонометрические выражения и преобразования.
Подобные треугольники, вписанные и описанные углы. Задачи на площади.
Для 10 -11-классов в олимпиады дополнительно включаются задания по
следующим темам (конечно, при подготовке к олимпиаде их следует
детализировать, разложив на составляющие).
Теория чисел.
Комбинаторика.
Теория графов.
Теория игр.
Инварианты.
Элементы теории функций.
Элементы теории игр.
Логические задачи.
Элементы теории оптимального управления (минимаксные задачи).
Планиметрия.
Стереометрия.
Олимпиадные задания составлены для выявления различных способностей
учащихся. Кроме ознакомления школьников с понятиями, не входящими в
стандартный курс школьной математики, и развития у них интереса к математике,
задачи выявляют и развивают следующие черты:
умение логически мыслить;
способность строить математическую модель, отвечающую задаче, и умение
анализировать эту модель математическими методами;
умение оперировать абстрактными математическими понятиями, отвлеченными от
конкретной житейской ситуации;
способность применять стандартные школьные факты к решению нестандартных
задач;
умение создавать новые методы решения задач;
умение выбирать оптимальное решение.
Кодификатор требований к олимпиаде по математике
школьников
Кодификатор требований по всем разделам включает в себя требования
к уровню подготовки выпускников средней (полной) школы( повышенный
уровень). В соответствии со стандартом среднего (полного) образования и
требованиями к уровню подготовки учащихся в кодификатор требований
включаются также знания, необходимые для выработки соответствующих
умений.
Требования (умения), проверяемые
заданиями олимпиадной работы
Уметь выполнять вычисления и преобразования
1. Выполнять арифметические действия, сочетая устные и
письменные приемы; находить значения корня натуральной
степени, степени с рациональным показателем, логарифма
2. Вычислять значения числовых и буквенных выражений,
осуществляя необходимые подстановки и преобразования
3 .Проводить по известным формулам и правилам преобразования
буквенных выражений, включающих степени, радикалы,
логарифмы и тригонометрические функции
Уметь решать уравнения и неравенства
1. Решать рациональные, иррациональные, показательные,
тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы
2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя
свойства функций и их графиков; использовать для
приближенного решения уравнений и неравенств графический
метод
3. Решать рациональные, показательные и логарифмические
неравенства, их системы.
Уметь выполнять действия с функциями
1. Определять значение функции по значению аргумента при
различных способах задания функции; описывать по графику
поведение и свойства функции, находить по графику функции
наибольшее и наименьшее значения; строить графики
изученных функций
2. Вычислять производные и первообразные элементарных
функций
3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность,
находить наибольшее и наименьшее значения функции
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами,
координатами и векторами
1 .Решать планиметрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей)
.2. Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы
3. Определять координаты точки; проводить операции над
векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между
векторами
Уметь строить и исследовать простейшие математические
модели
. 1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры
2 .Моделировать реальные ситуации на языке геометрии,
исследовать построенные модели с использованием
геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических
величин
3. Проводить доказательные рассуждения при решении задач,
оценивать логическую правильность рассуждений,
распознавать логически некорректные рассуждения
Уметь использовать приобретенные знания и умения в
практической деятельности и повседневной жизни
. 1. Анализировать реальные числовые данные; осуществлять
практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и
прикидкой при практических расчетах
2 .Описывать с помощью функций различные реальные
зависимости между величинами и интерпретировать их
графики; извлекать информацию, представленную в таблицах,
на диаграммах, графиках
3. Решать прикладные задачи, в том числе социальноэкономического и физического характера, на наибольшие и
наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения
Методические рекомендации
по оценке олимпиадных заданий по математике.
Рекомендуемое время проведения олимпиады: для 8 классов – 3 часа, для 9–11
классов – 4 часа.
Критерии оценивания
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают
несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать
частичные продвижения в задачах. Наконец, возможны как существенные, так и не
влияющие на логику рассуждений логические и арифметические ошибки в
решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все
вышеперечисленное.
Любое правильное решение оценивается в 10 баллов. Недопустимо снимать
баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника
отличается от приведенного в методических разработках. Важно отметить, что
исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) не являются
основанием для снятия баллов.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий
полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Рекомендуемое соответствие правильности решения и выставляемых баллов
приведено в таблице.
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
10
Полное верное решение
9
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не
влияющие на решение
7-8
Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо
нерассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным
после небольших исправлений или дополнений
5-6
Решение не доведено до конца, но продвижение ведется в
правильном направлении
3-4
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении
задачи. Но задача в целом не решена
1-2
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения
(или при ошибочном решении)
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют
0
Решение отсутствует
Методические рекомендации
Олимпиадные задания основываются на «Кодификаторе элементов содержания и
требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений
для единого государственного экзамена по математике», «Программах
общеобразовательных учреждений по математике, алгебре и началам
математического анализа, геометрии».
Примерная программа олимпиады включает 5-7 задач.
Задача 1 алгебраическая (вычислительная).
Критерии оценивания: правильность алгебраических преобразований.
Количество баллов: 3.
Задача 2 алгебраическая.
Критерии оценивания: правильность обоснования решения.
Количество баллов: 4.
Задача 3 алгебраическая.
Критерии оценивания: полнота и логическая обоснованность ответа.
Количество баллов: 5.
Задача 4 теория графов.
Критерии оценивания: логическая обоснованность ответа.
Количество баллов: 5.
Задача 5 логическая с применением геометрических элементов.
Критерии оценивания: полнота и правильность ответа.
Количество баллов: 7
Задача 6 алгебраическая.
Критерии оценивания: логическая обоснованность ответа.
Количество баллов: 10.
Задача 7прикладная
Критерии оценивания: логическая обоснованность ответа.
Количество баллов: 10.
При решении задач допускается использование калькулятора.
Максимальное количество баллов 24-44