Document 110223

Рабочая тетрадь предназначена для студентов 1 курса, изучающих
дисциплину «Математика». В пособии приводится основной теоретический
материал по разделу «Стереометрия». Для каждой теоремы студент должен
самостоятельно построить чертеж.
Рабочая тетрадь содержит набор заданий на готовых чертежах, которые
помогут студентам на начальном этапе при решении задач. Эти задания
отражают обязательный уровень освоения темы. Для повышенного уровня
имеется список задач, в которых студентам предлагается самостоятельно
построить чертеж к задаче и решить её.
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Все аксиомы планиметрии.
А1.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат
в этой плоскости (прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через
прямую).
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,
на которой лежат все общие точки этих плоскостей (т.е. плоскости
пересекаются по прямой).
Следствия из аксиом
1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом
только одна.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только
одна.
Взаимное расположение прямых
1. Пересекающиеся прямые – имеют общую точку.
2. Параллельные прямые – лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Скрещивающиеся прямые – не лежат в одной плоскости.
Свойства
Теорема 1. Через любую точку плоскости пространства, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только
одна.
Теорема 2.
между собой.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны
Признак. Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие
прямые скрещивающиеся.
Теорема 3
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
- пересекающимися:
меньший из четырех полученных при пересечении
углов.
- параллельными: равен нулю.
- скрещивающимися:
через любую точку пространства провести прямые,
параллельные данным; найти угол между полученными пересекающимися
прямыми.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
1. Пересекающиеся, если имеют общую точку.
2. Параллельными, если не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости
параллельны.
Свойства
Теорема 1
Если
две параллельные плоскости
пересечены
третьей, то
линии
пересечения параллельны.
Теорема 2
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями равны.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Прямая лежит в плоскости.
2. Прямая пересекает плоскость в точке.
3. Прямая параллельна плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая параллельна какой-либо прямой лежащей в плоскости, то эта
прямая параллельна плоскости.
Свойства
Теорема 1
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
Теорема 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая
прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в данной плоскости.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
Определение 1 Перпендикулярными называются прямые, между которыми
угол равен 900 (пересекающиеся или скрещивающиеся).
Определение
2
Прямая
перпендикулярна
к
плоскости,
если
она
перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в
плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Свойства
Теорема 1
параллельны.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они
Теорема
2
Через
любую
точку
пространства
проходит
прямая,
перпендикулярная к плоскости и притом только одна.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
АН – перпендикуляр, Н – основание
A
перпендикуляра.
АМ – наклонная, М – основание
наклонной.
H
M

Наклонная больше перпендикуляра,
проведенного из одной точки.
Угол между прямой и плоскостью – угол
между прямой и ее проекцией на эту
плоскость
*НМ – проекция наклонной на плоскость
*АН – расстояние от А до плоскости α .
AMH- угол между прямой MA и
плоскостью α.
Теорема о трех перпендикулярах
Прямая,
проведенная
в
плоскости
через
основание
наклонной,
перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой
наклонной.
Обратная теорема
Прямая,
проведенная
в
плоскости
через
основание
наклонной
перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Двугранный угол – это фигура, образованная прямой а и двумя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащих одной плоскости.
Измерение двугранного угла
CD – ребро двугранного угла, О принадлежит CD; точки А и В лежат в
разных полуплоскостях, АО перпендикулярно CD; BO перпендикулярно CD.
Угол АОВ называется линейным углом двугранного угла.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его
линейного угла. Может быть прямым, острым, тупым.
Признак перпендикулярности дух плоскостей
Если одна из плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к
другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ
1. Квадрат,
прямоугольник,
ромб,
параллелограмм
изображают
параллелограммом.
2. Любой треугольник (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный и
т.д.) изображаются как разносторонний остроугольный треугольник.
3. Трапеция – трапеция.
4. Круг (окружность) – эллипс.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
А
В
С
F
D
№1
Даны точки А, В, С и D не лежащие на
одной плоскости. Указать:
1) плоскости, которым
принадлежит прямая АВ, точка
F, точка С;
2) прямую пересечения
плоскостей (АВС) и (АСD),
(АВD) и (DCF).
№2

С
•
a

Плоскости α и β пересекаются по
прямой а. Может ли точка С
принадлежать плоскостям?
№3
Точка D лежит вне плоскости (АВС).
Пересекаются ли прямые DE и ВС?
D
A
B
E
С
№4

m
Плоскости α и β пересекаются по
прямой n. Прямая m принадлежит
плоскости α.
Построить точку пересечения прямой
m и плоскости β.
n

№5

A
B
C
Плоскости α и β пересекаются по
прямой а. Точки А и В принадлежат
плоскости α, а точка С плоскости β.
Построить
прямые
пересечения
плоскости (АВС) с плоскостями α и β.
a

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
№6
B
A
C

ABCD – параллелограмм. Точки A, B
и D лежат в плоскости α.
Доказать, что точка С лежит в
плоскости α.
D
A
№7
K
Точка А лежит вне плоскости DNK.
Доказать, что прямые AD и NK скрещивающиеся.
D
N
№8
B
Прямая b параллельна ВС. Прямая
а пересекает плоскость (ABC).
Доказать, что прямые а и b
скрещивающиеся.
A
a
C
b
B1
№9
C1
Дан куб. Для прямой А1С1 найти
параллельную, пересекающуюся и
скрещивающуюся прямые,
параллельную плоскость.
Найти yна чертеже:
1) пересекающиеся прямые;
2) параллельные прямые;
3) скрещивающиеся прямые;
4) параллельные плоскости;
5) параллельную прямую и
плоскость.
A1
D1
B
A
C
D
№ 10
K
A
B
D
C
Точка К лежит вне плоскости
трапеции ABCD. Доказать, что CD
параллельна плоскости (АКВ).
№ 11
A
C1
B1
C
Плоскость α пересекает стороны АВ и
АС треугольника АВС в точках В1 и
С1 соответственно. В1С1 параллельна
ВС, В1С1=6. АС1 : С1С = 3 : 4.
Найти ВС.
B
B1
A1
№ 12
Прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны.
АА1 = ВВ1 = СС1.
Доказать параллельность плоскостей
(АВС) и (А1В1С1).
C1
B
A
C
№ 13
B1
АА1С1В и СС1В1В- параллелограммы.
Доказать параллельность плоскостей
(АВС) и (А1В1С1).
A1
C1
B
A
C
№ 14
D
DA1 = AA1, DC1 = CC1, DB1 = BB1.
Доказать параллельность плоскостей
(АВС) и (А1В1С1).
B1
A1
C1
B
A
C
№ 15
C
A1
ABDE – параллелограмм. А1 середина СЕ, С1 – середина CD, В1 cередина BD.
Доказать параллельность плоскостей
(АВС) и (А1В1С1).
C1
B
A
B1
E
D
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
№ 16
M
АВ  АС, АМ  АС. Доказать, что
АВ  (АМС).
A
B
C
№ 17
M
D
MDCB – прямоугольник.
Доказать, что CD(ABC).
B
C
A
№ 18
M
ABCD – прямоугольник.
Доказать, что AD  AM.
C
B
D
A
№ 19
M
МС = МВ, АС = АВ, MD  CB.
Доказать, что ВС  DE
B
E
D
A
C
№ 20
M
C
B
ABCD – параллелограмм. АМ = МС,
ВМ = MD.
Доказать МО  (АВС).
O
A
D
№ 21
M
ABCD – ромб. ВМ = MD.
Доказать, что BD(AMC).
C
B
O
A
D
№ 22
A
M
Прямая МС(АВС), CDAB.  АСВ =
90. АС = 4, МD= 3. AD=DB.
Найти МС.
D
C
B
№ 23
M
B
MD(ABC). Треугольник АВС равносторонний. АВ = 2, МD = 4.
AD = DB. Найти МС.
D
A
C
№ 24
M
A
МВ(АВС). АСВ = 90, МАВ = 60,
ВАС = 30. Найти МВ.
B
C
№ 25
M
B
C
A
MB(ABC). ABCD- прямоугольник,
МD = AD = 8. МАВ=45, MDА =
60.
Найти АВ и ВС.
D
№ 26
A
C
 B
A1
АА1- перпендикуляр, АВ и АС наклонные. АВ = 17, АС= 10, ВА1= 15.
Найти СА1.
A
B
A1
C
№ 27
АА1- перпендикуляр, АВ и АС –
наклонные. АА1 = 8, ВС = 12,
САА1 = 60, АСВ = 90.
Найти ВА1.
№ 28
АА1- перпендикуляр, АВ и АС –
наклонные. АА1 = 6,
АВА1 = АСА1 = 60, САВ = 120.
Найти ВС.
A
A1
B
C
B
C
A
№ 29
A1
АА1- перпендикуляр, АВ и АС –
наклонные. ВАС = 90, АВА1 = 30,
АСА1 = 60, СА1 = 4.
Найти ВС.
№ 30
A
A1
АА1- перпендикуляр, АВ и АС –
наклонные. АС = 12, ВС = 5,
АСВ = 90, АВА1 = 60.
Найти АА1 и СА1.
B
C
ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
№ 31
M
B
MC(ABC), ABCD – ромб.
Доказать, что МО  BD.
C
O
A
D
№ 32
M
A
МА  (АВС). MD  BC, BD=DC.
Доказать, что АВ = АС.
B
D
C
№ 33
M
B
C
MB(ABC), MAAD, ABCD параллелограмм.
Доказать, что ABCD – прямоугольник.
D
A
№ 34
M
МА  (АВС), АСВ = 90,
СМВ = 30, АС = 8, АВ = 17.
Найти МВ.
B
A
C
№ 35
M
B
C
A
МВ(АВС), МВ = т, ВС = а,
ВСА =  . Найти расстояние от точки
М до прямой АС.
№ 36
M
A
B
O
C
МО  (АВС), АО = ОВ, ОМ = 12,
АС = 18, СВ = 10.
Найти расстояние от точки М до
прямых АС и ВС.
M
B
C
№ 37
МВ  (АВС), АВ = 12, ВС = 30,
МВ = 8, ВСD = 30. АВСDпараллелограмм.
Найти расстояние от М до АD и DC.
D
A
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
№ 38
M
B
C
D
A
№ 39
M
B
C
O
A
АВСD – квадрат.
МВО = MDO = МСО = МАО.
Доказать (АМС)  (АВС),
(АМС)  (ВМD)
D
E
F
B
A
ABCD–прямоугольник. МВ  (АВС).
Доказать (АМВ)  (МСВ).
C
D
№ 40
ABCD и BCFE – прямоугольники.
Найти расстояние между прямой ВС и
плоскостью (ADF), между прямыми
EF и AD, если FC = 20, DC = 15
(АВС)  (ВСF).
№ 41
M
B
C
МВ(АВС), ВС = 10, ВСА = 60.
Найти расстояние между прямыми
МВ и АС.
A
K
A
B
№ 42
КВ(АВС), АВ = 15, ВС = 20,
АВ = 90.
Найти расстояние между АС и КВ.
C
№ 43
M

B
A
№ 44
M

B
МА  , АВ = 5, МВ = 10.
Найти угол между МВ и .
A
МА, АВ = 5, МА = 5 3 .
Найти угол между МВ и .
№ 45
M
МА  (АВС). МСА = 30, МС = 8,
МВ = 4 2 .
Найти угол между МВ и (АВС).
B
A
C
№ 46
M
A
B
МА  (АВС), ВАС = 120, МС = 4,
ВС = 6, AC = AB.
Найти угол между МВ и (АВС).
C
№ 47
M
C
A
D
B
ACBD – квадрат. МА  (АСВ).
AD = AM.
Найти угол между МВ и (АВС).
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. Точки А и В лежат в плоскости , а точка С не лежит в этой плоскости.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС,
параллельна плоскости .
2. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что
прямая СD параллельна плоскости АВМ.
3. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P –
середины отрезков DA, DB, DC соответственно, точка К лежит на отрезке
BN. Выясните взаимное расположение прямых: ND и AB; PK и BC; MN и
AB; MP и AC; KN и AC; MD и BC.
4. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не
лежащие в одной плоскости. Выяснить взаимное расположение прямых
СD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно
вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см.
5. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной плоскости , а точки
О, В, С и D лежат в плоскости . Какие из следующих углов являются
прямыми: АОВ, МОС, DАМ, DОА, ВМО?
6. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна
а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти
расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = в.
7. В треугольнике АВС дано: С = 90, АС = 6см, ВС = 8см, СМ-медиана.
Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к (АВС),
причём СК = 12см.. Найти КМ.
8. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника
АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК  СD.
Известно, что АВ = 16 3 см, ОК = 12см, СD = 16см. Найдите расстояние
от точек D и К до вершин А и В.
9. Прямая PQ параллельна плоскости . Через точки P и Q проведены
прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту
плоскость в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.
10.Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к
плоскости  и пересекающие её в точках P1, Q1. Найдите P1Q1, если PQ
=15см, PP1 = 21,5cм, QQ1 = 33,5см.
11.Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС.
Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой
АС.
12.В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90. Прямая ВD (АВС).
Докажите, что СD  АС.
13.Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD
проведена прямая МО так, что МА = МС, МВ = МD. Доказать, что ОМ 
(АВС).
14.Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали
которого пересекаются в точке О. Доказать, что ВD(АМО) и МО  ВD.
15.Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что
МВА = МВС = 90, МВ = m, AB = n. Найти расстояние от точки М до
вершин квадрата, до прямых АС и ВD.
16.Из точки А, не принадлежащей плоскости , проведены к этой плоскости
перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что
ОАВ = ВАС = 60, АО = 1,5см. Найти расстояние между основаниями
наклонных.
17.Один конец отрезка лежит в плоскости , а другой находится от неё на
расстоянии 6см. Найти расстояние от середины этого отрезка до
плоскости.
18.Концы отрезка отстоят от плоскости  на расстояниях 1см и 4см. Найти
расстояние от середины отрезка до плоскости.
19.Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника
АВС равно 4см. Найти расстояние от точки М до (АВС), если АВ = 6см.
20.Из точки М проведён перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника
АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.
21.Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника
АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК  ВС.
22.Отрезок АD перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника
АВС. АВ = АС =5см, ВС =6см, АD = 12см. найти расстояние от концов
отрезка АD до прямой ВС.
23.Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК  (АВС).
КD =6см, КВ = 7см, КС = 9см. Найти: расстояние от точки К до (АВС),
расстояние между прямыми АК и СD.
24.Через
вершину
В
квадрата
АВСD
проведена
прямая
ВF,
перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки F до
прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF= 8дм, АВ =
4дм.
25.Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. ВD = 9см,
АС = 10см, ВС = ВА = 13см. Найти: расстояние от D до прямой АС,
площадь треугольника АСD.
26.Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная его
плоскости. Найти расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4см,
СМ = 2 7 см..
27.Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ(АВС). Найти
расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если
АВ=25см, ВАD=60, ВМ=12,5см.
28.Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в
плоскости , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найти
расстояние от точки В до прямой АС и до , если АВ=2см, ВАС=150 и
двугранный угол ВАСВ1 равен 45.
29.Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в
плоскости , а угол между плоскостями  и (АВС) равен 60. Найти
расстояние от точки В до , если АС=5см, АВ=13см.
30.Ребро СD тетраэдра АВСD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ =ВС
=АС =6см, ВD = 3 7 см. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.
31.Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения
равны 8см, 9см, 12см.
ПРИЗМА
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1
А2…..Ап и В1 В2…..Вп, расположенных в параллельных плоскостях, и п
параллелограммов называется призмой.
Многоугольники А1 А2…..Ап и В1 В2…..Вп называются основаниями, а
параллелограммы – боковыми гранями призмы, отрезки А1В1, А2В2…АпВп
называются рёбрами.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к
плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма
называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой
призмы равна ее боковому ребру.
Прямая
призма
называется
правильной,
если
ее основания
–
правильные многоугольники. У такой призмы все ее боковые грани – равные
прямоугольники (объясните почему).
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей
всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей
ее боковых граней.
Sпол = 2Sосн + Sбок
Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.
Sбок = Р h
Теорема
Объём прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту.
V = Sосн  h
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
B
C
D
A
C1
B1
№1
Дана
прямая
призма.
АВС Dпрямоугольник. АВ = 3, ВС = 5
АА 1 = 7. Найти S п о л и S б о к
D1
A1
B1
A1
Прямая призма. АС = АВ, СВ =6,
С 1 М = МВ 1 , А 1 М = 4АСА 1 = 60.
Найти S п о л и S б о к .
M
C1
B
A
C
№2
№3
B1
A1
Прямая призма. S п о л = 378. Найти
высот у призмы, если АВ = 13,
АС = 14, СВ = 15.
M
C1
B
A
C
B
№4
Правильная призма. АА 1 =5, АВ=3.
Найти S п о л и S б о к .
C
D
A
C1
B1
D1
A1
A1
D1
B1
C1
B
A
D
C
№5
Дана
прямая
призма.
ABCD равнобедренная
трапеция.
CD=4,
АВ = 14, АСА 1 = 30, АА 1 = 5 3 .
Найти S п о л .
A1
№6
B1
Правильная призма. ВС=4, АА 1 =3.
Найти S п о л и S б о к .
C1
B
A
C
B1
A1
C1
A
C
D
D1
A1
C1
A
№8
Правильная призма. BD 1 =
DBD 1 = 30. Найти S п о л и S б о к .
B1
D
12.
C
B
D1
A1
C1
C
B
№9
Правильная призма. AB=AA 1 , BD 1 =
16 3 . Найти S п о л и S б о к .
B1
D
A
Правильная призма. AC=12, DB 1 =15.
Найти S п о л и S б о к .
D1
B
№7
A
№ 10
B
Наклонная призма. NO=6, OF=5,
NF=8. OFB=90, AA 1 =4. Найти S б о к .
C
N
F
O
A1
B1
C1
№ 11
C1
A1
B1
C
A
B
D
A
C
A1
C1
B1
№ 12
Параллелепипед. DB 1 D 1 = 45,
B 1 D 1 C 1 = 30, BD= 10 2 . Найти V.
B
D1
Наклонная
призма.
Треугольник
АВС– правильный. АВ = 4см.
СВВ 1 = АВВ 1 = 60, A 1 AC = 90 o
АА 1 =5см.
Найти S б о к .
№ 13
B1
C1
B
A1
Призма. АВ = 13, ВС = 14, АС = 15,
СС 1 = 10, A 1 AB = 90 o . Найти V.
C
A
№ 14
A1
B1
D1
C1
A
D
B
C
Призма. Основание -трапеция. DB=4,
BDB 1 =60, BDC=30, D 1 A 1 = A 1 B 1 .
A 1 AB = BCC 1 = 90 o .
Найти V.
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРИЗМЫ
C
P
O
K
R
C
C
G
F
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. В прямоугольном параллелепипеде стороны оснований 12см и 5см.
Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45.
Найти боковое ребро.
2. Основание прямой призмы – ромб с диагоналями 10см и 24см а высота
призмы 10см. Найти большую диагональ призмы.
3. Сторона основания правильной треугольной призмы 8см, боковое ребро
6см. Найти площадь сечения, проходящего через сторону верхнего
основания и противолежащую вершину нижнего основания.
4. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь
которого 64 2 см2. Найти ребро куба и его диагональ.
5. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью
боковой грани угол в 30. Найти угол между диагональю и плоскостью
основания.
6. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5см и 3см и углом
в 120 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна
35см2. Найти площадь боковой поверхности призмы.
7. Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм со сторонами 8см
и 15см и углом между ними в 60. Меньшая из площадей диагональных
сечений равна 130 см2. Найти площадь поверхности параллелепипеда.
8. Найти объём прямой призмы АВСА1В1С1, если: а) ВАС=120
9. АВ=5см, АС=3см и наибольшая из площадей боковых граней 35см2; б)
АВ1С=60, АВ1=3см, СВ1=2см и двугранный угол с ребром ВВ1 прямой.
10.Найти объём правильной п-угольной призмы, у которой каждое ребро
равно а, если: а) п = 3, б) п = 4, в) п = 6.
11.Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8см и
составляет с боковым ребром угол в 30. Найти объём призмы.
ПИРАМИДА
Многогранник, составленный из n – угольника и n – треугольников с
общей
вершиной
называется
пирамидой.
Многоугольник
называется
основанием пирамиды, а треугольники– боковые грани пирамиды.
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости
основания, называется высотой пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей
всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды– сумма
площадей ее боковых граней.
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если ее основание– правильный
многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром
основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани
являются равными равнобедренными треугольниками.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее
вершины, называется апофемой.
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему.
S бок = ½Р осн ·ℓ
S пол = S бок + S осн
V = ⅓S осн · h
Усеченная пирамида
Возьмем произвольную пирамиду. Проведем плоскость параллельно
плоскости основания пирамиды и пересекающую боковые ребра пирамиды.
Эта плоскость разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник,
заключенный между параллельными плоскостями, является усеченной
пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды являются многоугольники,
расположенные в параллельных плоскостях. Боковые грани – трапеции.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к
плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды.
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением
правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания
правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, боковые
грани – равнобедренные равные трапеции, апофема – высота трапеции.
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна
произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
№1
S
Правильная пирамида. Найти Sбок. AS = 6,
CSD = 30o.
E
F
D
D
A
B
C
№2
S
B
C
Правильная пирамида. SEO = 600, ВС =
4см, E- середина CD.
Найти Sпол.
O
E
A
D
№3
S
Правильная пирамида. SC =10см. SO = 2 7
см. Найти Sпол, Vпир.
B
C
O
A
D
№4
S
B
Правильная пирамида. Угол SЕO равен 450.
SO = 5см. О – центр АВС.
Найти Sпол, Vпир.
A
E
O
C
№5
S
B
Правильная пирамида. О – центр АВС. АВ
= 8 см.  ASO = 60o.
Найти Sпол, Vпир.
A
O
C
ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ ПЛОСКОСТЬЮ (АВС)
A
B
A
B
C
A и B- середины сторон
C
A
B
C
A
B
C
C
B
A
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1) Дана правильная треугольная пирамида
a) Найти площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если длина
бокового ребра 12см, угол наклона бокового ребра к основанию 300.
b) Найти сторону основания, боковое ребро и высоту пирамиды, если
апофема равна 6 2 , угол наклона боковой грани к основанию 450.
c) Найти объём пирамиды, если высота равна 18см, угол наклона
бокового ребра к основанию 450.
d) Найти площадь полной поверхности, если сторона основания равна
6см, угол наклона боковой грани к основанию 600.
e) Найти сторону основания и площадь основания пирамиды, если
апофема равна 15см, длина высоты 12см.
f) Найти площадь боковой поверхности, если сторона основания равна
15см, высота - 12см.
g) Найти длину бокового ребра и высоту пирамиды, если площадь
основания равна 9 3 см2, площадь боковой поверхности 36 см2.
h) Найти площадь полной поверхности пирамиды, если высота равна 1см,
объём пирамиды - 3 3 .
2) Дана правильная четырехугольная пирамида
Решить все задачи для четырёхугольной пирамиды.
ЦИЛИНДР
Построить на чертеже
Ось ОО1
Осевое сечение АВСЕ
Высоту КР
Образующую НТ
Радиус и диаметр основания
Сечение плоскостью, параллельной основанию
Рассмотрим две параллельные плоскости. В одной из них возьмем
окружность с центром в точке О и радиусом r. Через каждую точку
окружности проведем прямую, перпендикулярную другой плоскости Отрезки
этих прямых, заключенные между плоскостями, образуют цилиндрическую
поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндра.
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами
называется
цилиндром.
Цилиндрическая
поверхность
–
боковая
поверхность цилиндра, круги – основания цилиндра. Прямая ОО1,
соединяющая центры кругов – ось цилиндра.
Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой.
Образующая является высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом
цилиндра. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то
полученное сечение называется осевым сечением.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины
окружности основания на высоту цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой
поверхности и двух площадей основания.
Объём цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на
высоту.
S бок = 2ПRh
S пол = S бок + 2S осн = 2ПR(R + h)
V = S осн · h = ПR 2 h
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
№1
C
АВ – диаметр. Угол САВ равен 300. АС = 4.
Найти высоту и радиус основания.
B
A
K
№2
E
АВКЕ – осевое сечение. Площадь сечения
35 см2. Найти объём, площадь полной
поверхности, если КВ = 7см.
B
A
№4
O1
АО – радиус цилиндра. АО1 = 8, угол ОАО1
= 600. Найти Sпол, Vцил.
O
A
№4
K
E
АВ – диаметр. Угол KАВ равен 450.
Площадь сечения 64 см2.
Найти Sпол, Vцил.
B
A
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. Высота цилиндра 10см. Радиус основания – 2см. Найти площадь
полной поверхности и объём цилиндра.
2. Диаметр цилиндра 6см. Угол между диагональю осевого сечения и
основанием 300. Найти площадь полной поверхности.
3. Диагональ осевого сечения 8см. Угол между диагональю и основанием
600. Найти образующую и радиус.
4. Радиус равен 5см. Угол между диагональю осевого сечения и
образующей 450. Найти объём цилиндра.
5. Образующая 12см. Площадь осевого сечения 48см2. Найти
объём
цилиндра и угол между диагональю осевого сечения и основанием.
6. Длина окружности основания 6π см. Диагональ осевого сечения 10см.
Найти площадь полной поверхности цилиндра.
7. Высота цилиндра 9см. Площадь основания 4π см2. Найти площадь
полной поверхности цилиндра.
8. Площадь основания 9π см2. Площадь осевого сечения 36 см2. Найти
объём цилиндра.
9. Диаметр цилиндра 16см. Площадь боковой поверхности 56π см 2. Найти
объём цилиндра.
КОНУС
Построить на чертеже
Вершину
Ось
Радиус, диаметр
Высоту
Образующую
Осевое сечение
Угол между образующей и основанием
Рассмотрим окружность с центром в точке О и прямую ОР,
перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности
соединим с точкой Р отрезком. Поверхность, образованная этими отрезками,
называется конической, а сами отрезки – образующими конуса.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется
конусом. Коническая поверхность – боковая поверхность конуса, круг –
основание конуса, точка Р– вершина конуса, образующие конической
поверхности – образующие конуса. Все образующие конуса равны друг
другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину конуса,
называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости
основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то полученное
сечение называется осевым сечением.
Проведём секущую плоскость перпендикулярно к оси конуса. Эта
плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части.
Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым
конусом.
(Изобразите
усечённый
конус
самостоятельно.
Постройте
образующую, высоту.)
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины
длины окружности основания на образующую.
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой
поверхности и площади основания.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению
полусуммы длин оснований на образующую.
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на
высоту.
S бок = ПRl
S пол = S бок + S осн = ПR(R + l)
V = ⅓S осн · h = ⅓ПR 2 h
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
№1
B
АС – диаметр, угол АВС равен 1200.
АВ = 12. Найти Sпол пов и V.
C
A
№2
C
O1
O
B1
B
СО = 16, СО1 = 4, ОВ = 20. Найти площадь
сечения конуса плоскостью, проходящей
через точку О1 параллельно основанию
конуса, площадь осевого сечения.
№3
C
СО – высота. СО = 8см. < СКО = 45о, < КСВ
= 60о. Найти площадь треугольника СКВ,
объём конуса
B
O
K
№4
C
<НВА = 60о, <AHF = 90o, АН = 6 см. Найти
объём и площадь полной поверхности
конуса.
H
B
O
F
A
№5
C
<CАВ = 30о, СВ = 12см. Найти объём и
площадь полной поверхности конуса.
O
A
B
№6
C
<ОСВ = 30о, SАВС = 4 3 см2. Найти объём и
площадь полной поверхности конуса.
A
B
O
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. Образующая конуса 6см, радиус – 3см. Найти объём и площадь полной
поверхности конуса.
2. Диаметр конуса 12см, высота – 8см. Найти площадь полной поверхности
конуса и площадь осевого сечения.
3. Длина окружности основания 4π см, высота конуса – 6см. Найти объём и
образующую конуса.
4. Образующая конуса – 5см, площадь основания - 9π см2. Найти объём и
площадь осевого сечения.
5. Образующая конуса – 12см, угол наклона образующей к плоскости
основания 30о. Найти площадь основания, радиус и высоту конуса.
6. Радиус конуса 3см, угол между образующей и высотой конуса 30о. Найти
площадь полной поверхности конуса.
7. Образующая конуса – 6см, угол при вершине осевого сечения 60о. Найти
площадь боковой поверхности, высоту и объём.
8. Угол между образующей и основанием 45о, высота 2см. Найти
образующую и площадь полной поверхности конуса.
9. Образующая конуса – 9см, площадь боковой поверхности
27π см2.
Найти объём конуса.
10.Высота конуса – 8см, объём конуса 12π см3. Найти площадь полной
поверхности конуса.
СФЕРА ШАР
Сферой
называется
поверхность,
состоящая
из
всех
точек
пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние –
радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий
через
центр,
называется
диаметром.
Тело,
ограниченное
сферой,
называется шаром.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется
касательной плоскостью к сфере. Радиус сферы, проведённый в точку
касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Sсферы = 4πR2
𝟒
Vшара = ·πR3
𝟑
РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. Площадь сферы – 225π см2. Найти объём шара.
2. Диаметр сферы – 16 см. Найти площадь сферы и объём шара.
3. Площадь осевого сечения 20π см2. Найти площадь сферы.
4. Радиус сферы – 10 см, расстояние от центра шара до секущей плоскости 3
см. Найти площадь сечения.
5. Диаметр шара – 24 м, радиус сечения шара 10 м. Найти расстояние от
центра до секущей плоскости.
6. Длина окружности осевого сечения 28π см. Найти площадь сферы и
объем шара.
7. Расстояние от центра шара до секущей плоскости 3 см. Длина
окружности сечения 8π см. Найти объем шара.
8. Расстояние от центра шара до секущей плоскости 6 см. Площадь сечения
64π см2. Найти объем шара.
9. Радиус сферы – 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к
сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки
до ближайшей к ней точки сферы. Радиус сферы – 10 см.