Теоретическая механика» раздел «Динамика»

advertisement
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Сибирская государственная автомобильнодорожная академия (СибАДИ)»
А. М. Лукин, В. В. Квалдыков
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
(раздел «Динамика»)
Учебно-методическое пособие для студентов
заочной и дистанционной форм обучения при подготовке
дипломированного специалиста по направлению
«СТРОИТЕЛЬСТВО»
Издание 2-е, исправленное и дополненное
Омск
СибАДИ
2010
1
ББК 22.21
УДК 531.8
Л 84
Рецензенты:
д–р техн. наук, проф. В. В. Сыркин (СибАДИ);
канд. техн. наук В. Я. Слободин (СибАДИ)
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом
академии в качестве учебно-методического пособия
А. М. Лукин, В. В. Квалдыков
Л84 Теоретическая механика (раздел «Динамика»): учебно-методическое пособие для студентов заочной и дистанционной форм обучения при подготовке
дипломированного специалиста по направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО». –
Изд. 2-е, испр. и доп. – Омск: СибАДИ, 2010. – 336 с.
ISBN 978–5–93204–547–3
Курс теоретической механики разбит на две самостоятельные книги, что
в основном соответствует распределению материала по семестрам и содержит
необходимый минимум для сдачи экзамена. Наглядность и удачно подобранные примеры позволяют в кратчайшие сроки самостоятельно усвоить и повторить программу курса. Первая книга учебно-методического пособия посвящена
разделам «Статика» и «Кинематика». Вторая книга этого пособия рассматривает раздел «Динамика» изучаемого студентами курса теоретической механики.
Предназначено для студентов заочной и дистанционной форм обучения
при подготовке дипломированного специалиста по направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО» (специальности: «Промышленное и гражданское строительство»;
«Гидротехническое строительство»; «Городское строительство и хозяйство»;
«Производство строительных материалов, изделий и конструкций»; «Теплогазоснабжение и вентиляция»; «Водоснабжение и водоотведение»; «Механизация и автоматизация строительства»; «Механическое оборудование и технологические комплексы предприятий строительных материалов, изделий и конструкций»; «Экспертиза и управление недвижимостью»; «Проектирование зданий»).
© ГОУ «СибАДИ», 2010
ISBN 978–5–93204–547–3
2
ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной техники ставит перед её разработчиками
разнообразные задачи, связанные с проектированием объектов:
строительных конструкций и сооружений, машин различного функционального назначения и т. д. Несмотря на разнообразие, решения
поставленных задач основываются на общих принципах и имеют
общую научную базу. Объясняется это тем, что в большинстве задач значительное место занимают вопросы, требующие изучения
законов движения или равновесия тел.
Теоретическая механика представляет собой одну из научных
основ современных технических дисциплин, таких как теория механизмов и машин, сопротивление материалов, детали машин и т. д.
Теоретическая механика является одним из разделов механики.
Механика – наука о механическом движении и механическом
взаимодействии материальных тел.
Теоретическая механика – раздел механики, в котором изучаются законы движения механических систем и общие свойства этих движений.
Курс теоретической механики состоит из трёх разделов: статика, кинематика, динамика.
Настоящее учебно-методическое пособие по разделу «Динамика» теоретической механики предназначено для студентов заочной
и дистанционной форм обучения.
Необходимость создания учебно-методического пособия вызвана тем, что студенты дистанционной и заочной форм обучения
не всегда имеют свободный доступ к учебной литературе и консультациям преподавателя. Эта проблема особенно актуальна для студентов, проживающих в глубинных сельских районах и на Крайнем
Севере.
Следует также отметить, что опубликованные ранее вузовские
учебники по теоретической механике очень объёмны. Как правило, в
рабочих программах этой дисциплины при подготовке дипломированного специалиста по направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО» (специальности: «Промышленное и гражданское строительство»; «Гидротехническое строительство»; «Городское строительство и хозяйство»; «Производство строительных материалов, изделий и конструкций»; «Теплогазоснабжение и вентиляция»; «Водоснабжение и
водоотведение»; «Механизация и автоматизация строительства»;
3
«Механическое оборудование и технологические комплексы предприятий строительных материалов, изделий и конструкций»; «Экспертиза и управление недвижимостью»; «Проектирование зданий»)
в настоящее время используется не более 50 % информации, приведённой в рекомендуемой для высшего профессионального образования учебной литературе. Студентам дистанционной и заочной
форм обучения, самостоятельно изучающим учебный материал, достаточно сложно ориентироваться в обширном списке рекомендуемой литературы при поиске теоретических положений, необходимых
для выполнения контрольных работ.
Кроме этого, имеется еще один существенный недостаток известных учебных пособий, заключающийся в следующем. Для одних
и тех же специальностей дневной и заочной форм обучения используются различные задания. Парадокс в том, что для студентовзаочников эти задания гораздо труднее, чем для студентов дневной
формы обучения.
Содержание данного курса соответствует программе и требованиям государственного образовательного стандарта ГОС ВПО РФ
по дисциплине «Теоретическая механика» (раздел «Динамика») при
подготовке дипломированного специалиста по направлению
«СТРОИТЕЛЬСТВО».
Отличительные особенности данного учебно-методического пособия от многих известных учебников по теоретической механике
следующие:
1. Краткость изложения теоретического материала. Громоздкие выводы и доказательства в нём не приведены, но вместе с тем
уделено большое внимание чёткости формулировок определений
основных понятий, теорем и принципов. Это позволяет глубже уяснить физический смысл формул и математических выражений, описывающих изучаемые механические процессы. В книге приведено
достаточное количество рисунков, наглядно иллюстрирующих теоретический материал.
2. Сформирован подробный словарь терминов и определений,
используемых в изучаемых разделах теоретической механики. Это
позволяет студенту выработать чёткие навыки владения грамотной
инженерно-технической лексикой.
3. Теория, примеры решения задач, варианты курсовых заданий, алгоритмы решения и примеры их выполнения сведены в одну
книгу. Это существенно повышает удобства при изучении теоретического курса.
4. К изучаемым темам занятий приведены вопросы для самоконтроля. По этим вопросам студент имеет возможность самостоя4
тельно проверить качество усвоения теоретического материала по
всему комплексу вопросов, изучаемых в теоретической механике.
По результатам самостоятельно провёденной проверки студент выявляет те вопросы, которые изучены недостаточно хорошо, и принимает решение о целесообразности коррекции своих знаний по
изучаемому предмету.
5. В качестве контрольных работ использованы задания, аналогичные заданиям, приведенным в «Сборнике заданий для курсовых работ по теоретической механике»: Учеб. пособие для техн. вузов/ А. А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др.; Под ред.
А. А. Яблонского. – 4–е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. –
367 с., ил. Это учебное пособие применяется практически во всех
высших учебных заведениях Российской Федерации.
Такой подход к выбору вариантов заданий позволяет обеспечить единство требований государственных образовательных стандартов РФ к качеству высшего образования и поднять качество дистанционного и заочного образования до уровня очного образования.
Перечисленные особенности делают данный курс легко доступным для хорошего понимания и усвоения студентами изучаемого
материала, позволяют в короткие сроки подготовиться к экзаменам
и зачётам.
Настоящее учебно-методическое пособие является вторым изданием, переработанным и дополненным. Идя навстречу многочисленным пожеланиям студентов, использующим эту книгу в качестве
учебно-методического пособия, авторы внесли дополнительные
разделы курса теоретической механики.
Хочется надеяться, что и впредь читатели будут помогать совершенствованию книги своими предложениями, которые будут с
благодарностью рассмотрены.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам и редактору за внимательное прочтение рукописи и замечания, которые
позволили в значительной мере улучшить содержание книги.
5
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»
(раздел «Динамика»)
Программа дисциплины «Теоретическая механика» (раздел
«Динамика») составлена согласно требованиям государственного
образовательного стандарта ГОС ВПО РФ по дисциплине «Теоретическая механика» при подготовке дипломированных специалистов
по направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО».
Выдержка из ГОС ВПО РФ по дисциплине
«Теоретическая механика»
Требования
к обязательному минимуму содержания основной образовательной
программы при подготовке дипломированных специалистов по
направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО».
Индекс
1
ЕН.Ф.06
Наименование дисциплин и их основные
разделы
2
Всего
часов
3
Теоретическая механика
Статика: приведение системы сил к простейшему
виду; условия равновесия абсолютно твёрдого тела и
системы тел; центр тяжести; трение скольжения
Кинематика: кинематика точки; кинематика твёрдого
тела (поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое, произвольное движения);
сложное движение точки
Динамика: динамика точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта; уравнения движения системы материальных точек; общие теоремы динамики
механических систем; динамика твёрдого тела (поступательное, вращательное, плоскопараллельное, сферическое, произвольное движения); принцип Даламбера; элементы теории гироскопа; теория удара
Аналитическая механика: принцип возможных перемещений; общее уравнение динамики; уравнения Лагранжа в обобщённых координатах
268
6
Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины является формирование у студентов знаний в области теоретической механики – фундаментальной дисциплины физико-математического цикла, которая является базой для
изучения как общепрофессиональных, так и специальных дисциплин при подготовке дипломированных специалистов по направлению «СТРОИТЕЛЬСТВО».
Задачей изучения дисциплины является получение студентами практических навыков в области теоретической механики, приобретение ими умения самостоятельно строить и исследовать математические модели технических систем, квалифицированно применяя при этом основные алгоритмы высшей математики и используя возможности современных компьютеров и информационных
технологий.
Изучение студентами теоретической механики основывается на
предварительной подготовке по элементарной и высшей математике, а также по основам механики, изучаемым в курсе физики. Основное применение положений теоретической механики в последующем учебном процессе происходит при изучении студентами курсов сопротивления материалов, деталей машин и других технических дисциплин.
Знания, полученные студентами при изучении теоретической
механики и последующих общетехнических дисциплин, применяются при изучении специальных дисциплин и выполнении курсовых и
дипломных проектов.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Студент должен знать:
– понятийный аппарат теоретической механики;
– навыки составления математических моделей практических
задач, в которых приходится иметь дело с равновесием или движением твёрдых тел;
– технику составления уравнений равновесия или движения
различных механических систем;
– основные приёмы аналитического и численного исследований
уравнений равновесия и движения.
7
Студент должен знать и уметь использовать:
– основные законы механики и важнейшие следствия из них;
– основные модели механики (модель материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твёрдого тела, системы взаимосвязанных твёрдых тел);
– основные аналитические и численные методы исследования
механических систем.
Студент должен иметь опыт решения типовых задач по статике
и кинематике механических систем.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В полном курсе теоретической механики студенты изучают три
её раздела: статику, кинематику и динамику.
Назначение изучаемого предмета – дать будущим специалистам основные сведения о законах равновесия и движения механических систем под действием приложенных к ним сил и методах
расчёта их динамических характеристик. Все знания и навыки, полученные при изучении теоретической механики, необходимы для
освоения специальных и профилирующих предметов и потребуются
в практической работе на производстве.
Рекомендуется такая последовательность изучения материала:
1. Ознакомиться с содержанием программы предмета к каждому заданию.
2. Изучить теоретический материал, относящийся к контрольному заданию. При изучении теоретического материала необходимо
прежде всего уяснить сущность каждого излагаемого вопроса. Главное – это понять теоретический материал, а не «заучить». Изучать
материал рекомендуется по темам. Сначала следует прочитать
весь изучаемый материал темы лекции, особенно не задерживаясь
на том, что показалось не совсем понятным; часто это становится
понятным из последующего материала. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения, и внимательно разобраться в том,
что неясно. Особое внимание при повторном чтении обратите на
формулировки соответствующих определений, понятий и теорем
(они набраны курсивом). В точных формулировках, как правило, бывает существенным каждое слово и очень полезно понять, почему
данное определение сформулировано именно так. Для удобства
8
изучения словарь терминов, определений и понятий, применяющихся в изучаемом разделе теоретической механики, вынесен в отдельное приложение.
3. Дать ответы на вопросы и задания для самоконтроля. При
затруднениях необходимо вновь вернуться к теоретическому материалу и разобраться в соответствующем вопросе.
4. Закрепить изученный материал путём разбора решённых задач, приведённых в настоящем пособии. Особое внимание следует
обратить на методические указания. При затруднениях в понимании
какого-либо вопроса необходимо обратиться за разъяснением к
преподавателю.
5. Приступить к решению задач контрольной работы. Задачи
контрольной работы даны в последовательности тем программы и
поэтому должны решаться постепенно, по мере изучения материала.
Каждый студент-заочник должен выполнить контрольную работу, содержащую восемь заданий. Варианты заданий приведены в
данном учебно-методическом пособии.
Номер варианта задания в контрольной работе студент выбирает самостоятельно по двум последним цифрам номера своей зачётной книжки, используя следующую формулу:
b = c – 30·i,
где b – номер варианта задания; с – две последние цифры номера
зачётной книжки студента; 30 – число вариантов заданий; i – целое
число, изменяющееся от 0 до 3.
Примеры определения номера варианта задания:
с = 06, b = 06 – 30·0 = 6. Вариант №6.
с = 32, b = 32 – 30·1 = 2. Вариант №2.
с = 77, b = 77 – 30·2 = 17. Вариант №17.
с = 93, b = 93 – 30·3 = 3. Вариант №3.
При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать
следующие требования.
1. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на
обложке которой указывают: фамилию, имя, отчество студента,
наименование предмета, номер варианта, дату отправления работы
и точный почтовый адрес студента.
2. Рисунки в контрольной работе должны быть выполнены
четко и аккуратно, согласно требованиям единой конструкторской
документации (ЕСКД).
9
Рекомендуется следующий порядок решения
контрольных работ
1. Полностью записать текст условия задания и пояснить его
чертежом или схемой. Выписать из условия задания исходные данные и составить план решения. Решение задания выполнять по этапам, поясняя их подзаголовки с указанием, что определяется или
что рассматривается, ссылками на теоремы, законы, правила и методы.
2. Задания решают в общем виде (в буквенных обозначениях),
а затем, подставляя численные значения, вычисляют результат с
точностью до трёх значащих цифр после запятой.
3. Перед тем как переписать решённое задание в тетрадь
начисто, следует тщательно проверить все действия, правильность
подстановки числовых значений величин, соблюдение однородности единиц, а также правдоподобность полученных результатов.
4. Если возможно, следует проверить правильность ответа,
решив задание вторично каким-либо иным путем.
Выполненная студентом контрольная работа высылается по
электронной или обычной почте в учебное заведение для проверки.
Незачтённая работа по указанию преподавателя выполняется вновь
или переделывается частично. Контрольные работы обязательно
предъявляются преподавателю при сдаче зачёта или экзамена.
ПРОГРАММА РАЗДЕЛА «ДИНАМИКА»
Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия
и определения: масса, материальная точка, сила и др. Законы механики, задачи динамики.
Динамика точки. Решение первой и второй задач динамики.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных координатах. Две основные задачи динамики материальной точки.
Алгоритм решения первой задачи динамики точки. Алгоритм
решения второй задачи динамики точки. Начальные условия движения. Постоянные интегрирования и их определение по начальным
условиям. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки на примере курсового задания Д 1.
10
Прямолинейные колебания точки. Свободные колебания точки под действием восстанавливающей силы. Амплитуда, фаза,
начальная фаза, циклическая частота и период колебаний.
Затухающие колебания точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости. Амплитуда, фаза, начальная фаза, циклическая частота, период и декремент этих колебаний.
Апериодическое движение. Вынужденные колебания точки под
действием восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей
силы, изменяющейся по гармоническому закону. Амплитуда вынужденных колебаний, сдвиг фаз, коэффициент динамичности, явление
резонанса.
Динамика относительного движения точки. Дифференциальные уравнения относительного движения точки. Переносная и
кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической
механики. Интегрирование дифференциальных уравнений относительного движения точки на примере курсового задания Д 2.
Введение в динамику механической системы. Классификация сил, действующих на механическую систему: силы активные
(задаваемые) и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы. Центр масс; радиус-вектор и
координаты центра масс. Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей.
Общие теоремы динамики. Динамика твёрдого тела. Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного, плоскопараллельного, сферического и общего случая движений твёрдого тела.
Теорема о движении центра масс. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.
Теорема об изменении количества движения. Количество
движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Количество движения механической системы; его выражение через массу системы и скорость движения центра масс. Теорема об измене11
нии количества движения механической системы. Закон сохранения
количества движения механической системы.
Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила.
Кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно
оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. Пример выполнения курсового задания Д 3.
Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая
энергия материальной точки. Элементарная работа силы. Работа
силы на конечном перемещении точки её приложения. Работа силы
тяжести, силы упругости. Мощность. Кинетическая энергия твёрдого
тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном
движениях. Работа и мощность сил, приложенных к твёрдому телу.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. Пример выполнения курсового задания Д 4.
Принцип Даламбера. Сила инерции материальной точки. Приведение сил инерции точек движущегося твёрдого тела к центру.
Главный вектор и главный момент сил инерции. Принцип Даламбера. Определение реакций внешних связей для движущейся механической системы на примере курсового задания Д 5.
Принцип возможных перемещений. Связи, налагаемые на
механическую систему. Возможные перемещения точек механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи.
Принцип возможных перемещений. Определение реакций внешних
связей механической системы на примерах курсовых заданий Д 6,
Д 7.
Общее уравнение динамики. Формализованный подход к составлению дифференциальных уравнений движения механических
систем на основе общего уравнения динамики. Пример выполнения
курсового задания Д 8.
Уравнения движения механической системы в обобщённых
координатах (уравнения Лагранжа). Обобщённые координаты.
12
Обобщённые скорости. Обобщённые силы. Дифференциальные
уравнения движения механической системы в обобщённых координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода.
Элементы приближенной теории гироскопов. Гироскоп с
тремя степенями свободы. Гироскопический момент.
Удар. Удар двух тел. Удар шара о неподвижную плоскость. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Действие ударных
сил на твёрдое тело при его вращении относительно неподвижной
оси
При написании данного учебно-методического пособия использованы следующие литературные источники информации:
1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для вузов. – М.:
Высш. шк., 2002. – 416 с.: ил.
2. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики: учебник. – 9-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 768 с. – (Учебник для
вузов. Специальная литература).
3. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие/ под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. – М.: Наука, 1986. –
448 с. (и последующие издания).
4. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб.
пособие для техн. вузов/ А. А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др.;
под ред. А. А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. –
367 с., ил.
5. Горбач Н. И. Теоретическая механика: Динамика: учеб. пособие. –
Минск: Книжный Дом, 2004. – 192 с. – (Экспресс-курс).
6. Тульев В. Д. Теоретическая механика: Статика. Кинематика: учеб. пособие. – Минск: Книжный Дом, 2004. – 152 с. – (Экспресс-курс).
7. Лукин А. М., Лукин Д. А., Квалдыков В. В. Теоретическая механика (разделы «Статика», «Кинематика»): учебно-методическое пособие для студентов
заочной и дистанционной форм обучения при подготовке дипломированного
специалиста по направлению 653500 «СТРОИТЕЛЬСТВО». – Омск: Изд-во СибАДИ, 2007. – 287 с.
8. Лукин А. М., Квалдыков В. В. Теоретическая механика (раздел «Динамика»): учебно-методическое пособие для студентов заочной и дистанционной
форм обучения при подготовке дипломированного специалиста по направлению 653500 «СТРОИТЕЛЬСТВО». – Омск: Изд-во СибАДИ, 2008. – 372 с.
8. Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин: сборник рекомендуемых терминов. – М.: Наука, 1984. – Вып. 102. – 48 с.
13
1. ДИНАМИКА ТОЧКИ
1.1. Введение в динамику точки
Теоретическая механика представляет собой одну из научных
основ таких технических дисциплин, как теория механизмов и машин, сопротивление материалов и пр. В свою очередь теоретическая механика является одним из разделов механики.
Механика – наука о механическом движении и механическом
взаимодействии материальных тел.
Теоретическая механика – раздел механики, в котором изучаются законы движения механических систем и общие свойства этих движений.
Курс теоретической механики состоит из трех разделов: статика; кинематика; динамика.
Статика – раздел механики, в котором изучаются условия
равновесия механических систем под действием сил.
Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на
них сил.
Динамика – раздел механики, в котором изучаются движения
механических систем под действием сил.
Для успешного изучения динамики студентам следует предварительно освоить статику и кинематику.
В основу каждого раздела теоретической механики положен
ряд понятий и определений, принята система аксиом, т. е. важнейших положений, многократно подтвержденных практикой. Приступая
к изучению динамики, следует напомнить уже известные понятия и
определения, применяемые в этом разделе теоретической механики.
14
1.2. Основные понятия и определения
Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства.
Масса является мерой инертности точки и мерой инертности
тела при его поступательном движении. Масса измеряется в килограммах [кг].
Инертность – свойство материального тела, проявляющееся в сохранении движения, совершаемого им при отсутствии
действующих сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, когда на тело начинают действовать силы.
Материальная точка – точка, имеющая массу.
Материальная точка не имеет размеров и обладает способностью взаимодействовать с другими материальными точками.
Абсолютно твёрдое тело – материальное тело, в котором
расстояние между двумя любыми точками остается неизменным.
Механическая система – любая совокупность материальных
точек.
Движения материальных точек в механической системе взаимозависимы. В механике тело рассматривают как механическую систему, образованную непрерывной совокупностью материальных
точек. Тела могут механически взаимодействовать друг с другом.
Механическое действие – действие на данное тело со стороны других тел, которое приводит к изменению скоростей
точек этого тела или следствием которого является изменение взаимного положения точек данного тела.
Другими словами, при механическом действии тело приобретает механическое движение.
15
Механическое движение – изменение с течением времени
взаимного положения в пространстве материальных тел или
взаимного положения частей данного тела.
Свободное твёрдое тело – тело, на перемещения которого
не наложено никаких ограничений.
Система отсчёта – система координат, связанная с телом,
по отношению к которому определяется положение других
тел (механических систем) в разные моменты времени.
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое.
Сила тяжести – сила, действующая на точку вблизи земной
поверхности, равная произведению массы m этой точки на
ускорение g свободного падения в вакууме.
G = m·g.
Вес тела – сумма модулей сил тяжести, действующих на частицы этого тела.
Вес тела находят по формуле G = m·g. Модуль силы тяжести
измеряют в ньютонах [H].
Внешняя сила – сила, действующая на какую-либо точку механической системы со стороны тел, не принадлежащих рассматриваемой механической системе.
Внешние силы принято обозначать символами: FiE; RiE. Символом FiE обозначают активную силу, а символом RiE – реакцию внешней связи.
Внутренние силы – силы, действующие на какие-либо точки
механической системы со стороны других точек, принадлежащих рассматриваемой механической системе.
Внутренние силы принято обозначать символом RiJ.
Система сил – любая совокупность сил, действующих на механическую систему.
16
Сосредоточенная сила – сила, приложенная к телу в какойлибо одной его точке.
Распределённые силы – силы, действующие на все точки
некоторой части линии, поверхности или объёма.
Связи – материальные тела, накладывающие ограничения на
положения и скорости точек механической системы, которые
должны выполняться при любых силах, действующих на систему.
Реакции связей – силы, действующие на точки механической
системы со стороны материальных тел, осуществляющих
связи, наложенные на эту систему.
Толкования новых понятий и определений будут выделены курсивом в тексте данного учебно-методического пособия перед началом их использования.
1.3. Основные законы механики
В основе динамики лежат законы, впервые сформулированные
Ньютоном. Законы классической механики многократно подтверждены опытами и наблюдениями и являются объективными законами природы.
1. Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние
покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор,
пока действие других сил не изменит это состояние.
Закон инерции характеризует стремление тела сохранить
неизменной скорость своего движения или, иначе говоря, сохранить
приобретённое им ранее механическое движение. Это свойство
называют его инертностью. Для поступательно движущегося
твёрдого тела мерой его инертности является масса m, измеряемая
в кг. В классической механике масса движущегося тела принимается
равной массе покоящегося тела, т. е. она рассматривается как постоянная величина. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси
вращения, измеряемый в кг·м2.
17
2. Закон пропорциональности силы и ускорения. Ускорение
материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.
Закон пропорциональности силы Р и ускорения а устанавливает
в векторной форме зависимость, характеризующую изменение скорости V движения материальной точки под действием силы. Этот
закон выражается формулой
m·a = P.
Из курса статики известно, что, если на точку действуют несколько сил, то их можно заменить равнодействующей Р, равной
сумме сил (рис. 1.1).
Рис. 1.1
На рис. 1.1 использованы обозначения: FiЕ – i -я активная сила;
RiЕ – i -я реакция внешней связи. Активные силы FiЕ и реакции RiЕ
внешних связей относятся к разряду внешних сил. Принадлежность
силы к разряду внешних сил отмечается верхним индексом Е.
С учетом изложенного выше второй закон динамики описан
формулой
m·a = P = ΣFiЕ + ΣRiЕ.
В общем случае для несвободной материальной точки второй
закон динамики может быть изложен в следующей редакции.
Вектор m·a, определяемый произведением массы m точки на
её ускорение a, равен геометрической сумме активных сил FiЕ
и реакций RiЕ внешних связей, приложенных к точке.
18
Если рассматривается движение свободной материальной точки, то последнее выражение приобретает следующий вид:
m·a = P = ΣFiЕ.
Вектор m·a, определяемый произведением массы m точки на
её ускорение a, равен геометрической сумме активных сил FiЕ.
Второй закон динамики часто называют основным уравнением динамики.
Из второго закона динамики следует, что, если геометрическая
сумма активных сил и реакций внешних связей, действующих на
точку, равна нулю (ΣFiЕ + ΣRiЕ = 0), то ускорение точки равно нулю
(а = 0), т. е. точка (или тело) движется прямолинейно и равномерно
или находится в состоянии покоя.
Систему отсчёта, в которой проявляются первый и второй законы динамики, называют инерциальной системой отсчёта.
Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, по
отношению к которой изолированная материальная точка
находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Система отсчёта, не обладающая этим свойством, называется
неинерциальной системой отсчёта.
Для большинства задач за инерциальную систему отсчёта принимают систему координатных осей, связанных с Землей.
3. Закон равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно
направленное противодействие.
Третий закон отражает двусторонность механических процессов природы. Он устанавливает, что при взаимодействии двух тел
силы, приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Будучи приложенными к разным телам, эти силы не уравновешиваются. При
рассмотрении движения материальной точки этот закон механики
справедлив не только в инерциальной, но и в неинерциальной системах отсчёта.
19
4. Закон независимости действия сил. Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают
точке такое ускорение, которое сообщила бы ей одна сила,
равная их геометрической сумме.
Этот закон утверждает, что ускорение а, получаемое материальной точкой от одновременно действующей на неё системы сил,
равно геометрической сумме ускорений аi, сообщаемых этой точке
каждой из сил в отдельности.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что законы классической
механики многократно подтверждены опытами и наблюдениями. На
этих законах базируются многие технические дисциплины: теория
механизмов и машин; сопротивление материалов; детали машин и
т. д., изучаемые в высших учебных заведениях.
1.4. Дифференциальные уравнения движения
несвободной материальной точки
в декартовой системе отсчёта
Рассмотрим движение несвободной материальной точки под
действием активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Для обозначения инерциальной системы отсчёта использована аббревиатура ИСО.
20
Три уравнения: X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) являются уравнениями
движения точки в ИСО. Для рассматриваемой точки основное
уравнение динамики имеет вид
m·a = P = ΣFiE + ΣRiE.
Спроецируем обе части последнего векторного равенства на
координатные оси ИСО:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE ,
m· Z
iOZ
iOZ
 , Z
 – проекции ускорения a на координатные оси; Σ FE ,
 , Y
где X
iOX
E
E
Σ FiOY
, Σ FiOZ
– суммы проекций активных сил FiE на соответствую-
щие координатные оси ИСО; Σ REiOX , Σ REiOY , Σ REiOZ – суммы проекций
реакций RiE внешних связей на оси ИСО.
Произведение массы m точки и проекции её ускорения a на координатную ось инерциальной системы отсчёта OXYZ равно
сумме проекций активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей
на ту же ось.
Последние уравнения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в декартовой
инерциальной системе отсчёта.
1.5. Дифференциальные уравнения движения
несвободной материальной точки
в естественных координатных осях
Естественные координатные оси – прямоугольная система осей с началом в движущейся точке, направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к
траектории этой точки.
Из известного студентам курса кинематики уравнение движения точки в естественных координатных осях имеет вид S = f(t), где
S – дуговая координата.
Рассмотрим движение несвободной материальной точки под
действием активных сил FiE и реакций RiE внешних связей в есте21
ственных координатных осях (касательная, главная нормаль, бинормаль). Для понимания излагаемого материала напомним некоторые положения, относящиеся к этому движению.
Как это отмечалось ранее, естественными координатными осями называют три взаимно-перпендикулярные оси: касательная
(единичный вектор τ всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты S); главная нормаль (единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения); бинормаль (единичный вектор b перпендикулярен векторам τ и n и направлен так же,
как и вектор k по отношению к векторам i, j в правой декартовой системе отсчёта OXYZ) (рис. 1.3).
Рис. 1.3
Начало естественных координатных осей всегда располагается
на траектории в месте положения точки и, следовательно, перемещается вместе с точкой.
Таким образом, естественные координатные оси образуют подвижную систему отсчёта (ПСО).
Итак, рассматривается движение точки массой m в ПСО под
действием активных сил и реакций внешних связей (рис. 1.4). Уравнение движения точки S = f(t) задано.
Из курса кинематики известно векторное выражение
a = aoτ + aon ,
где a – вектор ускорения точки; aoτ – вектор касательного ускорения;
aon – вектор нормального ускорения.
22
Рис. 1.4
Спроецируем основное уравнение динамики m·a = ΣFiE + ΣRiE на
координатные оси подвижной системы отсчёта:
m·aoτ = Σ FioE + Σ REio ;
E
m·aon = Σ Fion
+ Σ REion ;
E
m·aob = Σ Fiob
+ Σ REiob ,
где aoτ, aon, aob – проекции ускорения a соответственно на касательE
E
ную, главную нормаль и бинормаль; Σ FioE , Σ Fion
, Σ Fiob
– суммы про-
екций активных сил на оси ПСО; Σ REio , Σ REion , Σ REiob – суммы проекций реакций внешних связей на оси ПСО.
 ; aon = (S
 )2 /ρ, где ρ – радиус кривизИзвестно также, что aoτ = S
ны траектории точки. При этом aob = 0, так как вектор ускорения a
лежит в соприкасающейся плоскости и на бинормаль не проецируется. С учетом изложенного выше последние математические выражения приобретают вид:
23
 = Σ FE + Σ RE ;
m· S
io
io
 )2 /ρ = Σ FE + Σ RE ;
m· (S
ion
ion
E
Σ Fiob
+ Σ REiob = 0.
Произведения массы m точки и проекций её ускорения a на координатные оси ПСО равны сумме проекций активных сил FiЕ
и реакций RiЕ внешних связей на те же оси ПСО.
Последние математические выражения называют дифференциальными уравнениями движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях.
ПРИМЕЧАНИЕ. Дифференциальными уравнениями движения в естественных координатных осях удобно пользоваться тогда,
когда точно известен вид траектории движения. В этом
случае решение задачи существенно упрощается.
1.6. Задачи динамики точки
В общем случае все задачи динамики точки подразделяют на
прямые (первые) и обратные (вторые).
Суть первой задачи динамики точки заключается в следующем: известна масса m точки и её уравнения движения, требуется
определить модуль и направление равнодействующей активных сил
и реакций внешних связей, действующих на точку.
Вторая задача динамики заключается в следующем: зная силы, действующие на точку, её массу, а также начальное положение
точки и её начальную скорость, требуется определить уравнения
движения точки.
Первая и вторая задачи динамики решаются по соответствующим алгоритмам.
24
1.7. Алгоритм решения первых задач динамики
точки в декартовой системе отсчёта
В первой задаче динамики известны уравнения движения точки:
X = f1(t); Y = f2(t); Z = f3(t) и начальные условия этого движения. К
начальным условиям движения точки отнесены: положение точки,
характеризуемое координатами X0, Y0, Z0 в момент времени t0 = 0;
 ,Y
 , Z начальной скорости V0 при t0 = 0.
проекции X
0
0
0
Алгоритм решения первых задач динамики предписывает
чётко определённую последовательность действий исполнителя,
которая приведена ниже.
1. Выбирают инерциальную систему отсчёта ОXYZ.
2. В системе отсчёта ОXYZ точку изображают в произвольный
момент времени. При этом точка должна иметь координаты,
значения которых больше нуля. Предполагают также, что точка
движется в сторону возрастания координат ускоренно.
3. По исходным данным задачи определяют и изображают на
 ,Y
 , Z ).
рисунке начальные условия движения (X0, Y0, Z0, X
0
0
0
E
4. К точке прикладывают активные силы Fi и реакции RiE
внешних связей.
5. Записывают соответствующие выбранной системе отсчёта
ОXYZ дифференциальные уравнения движения:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE ,
m· Z
iOZ
iOZ
 , Z
 – проекции ускорения a на координатные оси;
 , Y
где X
E
E
E
Σ FiOX
, Σ FiOY
, Σ FiOZ
– суммы проекций активных сил FiE на соответствующие координатные оси ИСО; Σ REiOX , Σ REiOY , Σ REiOZ –
суммы проекций реакций RiE внешних связей на оси ИСО.
6. По заданным уравнениям движения X = f1(t); Y = f2(t);
 , Z
 ускорения a точки на ко , Y
Z = f3(t) определяют проекции X
ординатные оси.
 , Z
 ускорения подставляют в
 , Y
7. Найденные проекции X
дифференциальные уравнения движения точки.
8. Определяют проекции POX, POY, POZ равнодействующей активных сил FiE и реакций RiE внешних связей на координатные
оси:
25
 = Σ FE + Σ RE ;
POX = m· X
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
POY = m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE .
POZ = m· Z
iOZ
iOZ
9. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил FiE
и реакций RiE внешних связей, действующих на точку:
Р  (РOX )2  (РOY )2  (РOZ )2 .
10. Для ориентации вектора Р равнодействующей активных сил
и реакций внешних связей в пространстве определяют направляющие косинусы:
cos(P, i) = POX/P; cos(P, j) = POY/P; cos(P, k) = POZ/P.
11. По величине значений направляющих косинусов находят
величины углов, составленных направлениями координатных
осей системы отсчёта и направлением силы Р.
12. Равнодействующую Р активных сил FiЕ и реакций RiЕ внешних связей, действующих на точку, изображают на чертеже.
Необходимо еще раз отметить, что ускорение a точки направлено так же, как и сила Р.
1.8. Пример решения первой задачи динамики
точки в декартовой системе отсчёта
Условие задачи.
Под действием горизонтальной силы F1 движение материальной точки массой m = 8 кг происходит по гладкой горизонтальной
плоскости OXY согласно уравнениям X = 0,05·t3, Y = 0,3·t2. Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент
времени t1 = 4 с (рис. 1.5).
Решение.
1. Выбираем систему отсчёта ОXY.
2. Изобразим точку на траектории её движения в произвольный момент времени. Согласно известным положениям кинематики
скорость V точки направлена по касательной к траектории движения, а её ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории
движения.
3. Так как начальные условия движения точки не заданы, то на
рис. 1.5 они не показаны.
4. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы
F1 и G. Так как поверхность, по которой перемещается точка, глад26
кая, на точку действует только нормальная реакция N. Основное
уравнение динамики для рассматриваемой задачи имеет вид
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + F1 + N. Поскольку рис. 1.5 приведён в ортогональной проекции, то сила тяжести G и нормальная реакция N не
показаны.
Рис. 1.5
5. Запишем дифференциальные уравнения движения точки.
 = Σ FE + Σ RE = F1OX = РOX;
m· X
(1)
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE = F1OY = РOY;
m· Y
iOY
iOY
(2)
 = Σ FE + Σ RE = F1OZ = POZ.
m· Z
(3)
iOZ
iOZ
3
6. По заданным уравнениям движения X = 0,05·t , Y = 0,3·t2
 , Z
 ускорения точки на координатные
 , Y
определим проекции X
оси.
 , Z
 подставим в уравнения (1),
 , Y
7. Найденные значения X
(2), (3).
m·(0,3·t) = F1OX = РOX;
(1I)
m·(0,6) = F1OY = РOY;
(2I)
m·(0) = F1OZ = РOZ = 0.
(3I)
8. Определим модуль Р равнодействующей активных сил и
реакций внешних связей.
P  (F1OX )2  (F1OY )2 =
(0,3  m  t )2  (0,6  m)2 .
9. Вычислим значения F1OX, F1OY, P для момента времени
t1= 4 c.
27
F1OX(t1) = 0,3·m·t1 = 0,3·8·4 = 9,6 H;
F1OY(t1) = 0,6·m = 0,6·8 = 4,8 H;
P(t1 )  (9,6)2  (4,8)2 = 10,733 H.
10. Определим направляющие косинусы и углы, составленные
направлениями координатных осей и силой.
cos(P(t1), i) = F1OX(t1)/P(t1) = 9,6/10,733 = 0,894; α = 26,563о;
cos(P(t1), j) = F1OY(t1)/P(t1) = 4,8/10,733 = 0,447; β = 63,434о.
11. Определим координаты точки на траектории её движения в
момент времени t1, и полученную информацию отобразим
на рис. 1.6: X(t1) = 0,05·43 = 3,2 м; Y(t1) = 0,3·42 = 2,4 м.
Рис. 1.6
Таким образом, задача решена, ответы на поставленные вопросы получены.
1.9. Алгоритм решения первых задач динамики
точки в естественных координатных осях
В первой задаче динамики точки известно уравнение S = f(t)
движения точки в естественных координатных осях. Могут быть заданы начальные условия движения, к которым относятся дуговая
координата S0 и скорость V0 в момент времени t0 = 0. При естественном способе задания движения точки известно следующее:
вид траектории движения; начало отсчёта дуговой координаты S;
положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты.
28
Алгоритм решения первых задач динамики в естественных координатных осях представляет собой следующую совокупность действий исполнителя.
1. Изображается известная траектория движения точки. На
этой траектории наносятся начало отсчёта (О), положительное
(+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты S.
2. Точка изображается на траектории движения в произвольный момент времени. При этом точка имеет координату S > 0 и
движется в сторону её увеличения ускоренно.
3. В эту точку помещается начало координат ПСО, которая
представляет собой совокупность трёх взаимно перпендикулярных осей: касательная, главная нормаль, бинормаль. При этом
единичный вектор τ всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты S. Единичный вектор n направлен к центру
кривизны траектории движения точки.
4. По данным задачи определяют и изображают на рисунке
начальные условия движения (S0, V0).
5. К точке прикладывают активные силы FiE и реакции RiE
внешних связей.
6. Записывают дифференциальные уравнения движения точки, которые имеют следующий вид:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· S
io
io
 )2 /ρ = Σ FE + Σ RE ;
m· (S
ion
ion
E
Σ Fiob
+ Σ REiob = 0.
7. По заданному уравнению движения S = f(t) определяют про скорости и проекцию S
 ускорения точки на касательекцию S
ную.
, S
 подставляют в дифференци8. Определённые проекции S
альные уравнения движения точки.
9. Определяют проекции Poτ, Pon равнодействующей активных
сил FiE и реакций RiE внешних связей на координатные оси ПСО.
Для этого необходимо решить следующие уравнения:
 = Σ FE + Σ RE ;
Poτ = m· S
(1)
io
io
 )2 /ρ = Σ FE + Σ RE ;
Pon = m· (S
ion
ion
(2)
E
Σ Fiob
+ Σ REiob = 0.
(3)
10. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил
FiE и реакций RiE внешних связей, действующих на точку.
29
P  (Po )2  (Pon )2 .
11. Для ориентации вектора Р в пространстве определяют
направляющие косинусы.
cos(P, τ) = Pоτ/P; cos(P, n) = Pоn/P.
12. По величине значений направляющих косинусов находят
значения углов, составленных направлениями координатных
осей ПСО и силой Р.
13. Равнодействующую Р активных сил FiЕ и реакций RiЕ
внешних связей изображают на рисунке, иллюстрирующем результаты расчётов. Необходимо отметить, что сила Р лежит в
соприкасающейся плоскости так же, как и ускорение a точки и
имеет с ним одинаковое направление.
1.10. Пример решения первой задачи динамики
точки в естественных координатных осях
Условие задачи.
Материальная точка массой m = 1,2 кг движется по окружности
радиуса r = 1 м на гладкой горизонтальной поверхности согласно
уравнению S = 2,4·t2 (рис. 1.7). Заданы начальные условия движения: S0 = 0; V0 = 0. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке в момент времени t1 = 1 c.
Решение.
1. На рис. 1.7 изобразим материальную точку в произвольный
момент времени.
2. В эту точку поместим начало координат ПСО.
3. Орт τ направлен в сторону возрастания дуговой координаты
S, а орт n направлен к центру кривизны траектории движения. Этим
центром является центр окружности. Радиус ρ кривизны траектории
движения точки равен радиусу окружности ρ = r.
4. Покажем на рис. 1.7 начальные условия движения. По условиям задачи S0 = 0; V0=0.
5. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы G и F1 и реакция N гладкой поверхности. Поскольку рис. 1.7
изображен в ортогональных проекциях, то силы G и N перпендикулярны опорной поверхности точки и, следовательно, на рисунке не
видны. Основное уравнение динамики для решаемой задачи имеет
вид
m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + F1+ N.
30
Рис. 1.7
6. Запишем дифференциальные уравнения движения точки в
естественных координатных осях.
 = Σ FE + Σ RE = F1·sin(α);
m· S
(1)
io
io
 )2 /ρ = Σ FE + Σ RE = F1·cos(α);
m· (S
ion
ion
(2)
E
Σ Fiob
+ Σ REiob = 0 = – G + N.
(3)
Из уравнения (3) имеем N = G = m·g = 1,2·9,81 = 11,772 H.

7. По заданному уравнению S = 2,4·t2 определим проекцию S
 ускорения точки на касательную.
скорости V и проекцию S
 = 4,8 м/с2.
S = 4,8·t; S
,S
 подставим в уравнения (1), (2).
8. Найденные проекции S
Получим:
m·(4,8) = F1·sin(α);
(1I)
m·(4,8·t)2/r = F1·cos(α).
(2I)
9. Согласно уравнениям (1I), (2I) имеем:
Poτ = F1·sin(α); Pon = F1·cos(α),
где Poτ, Pon – проекции равнодействующей Р = G + F1 + N активных
сил и реакций внешних связей, приложенных к точке, на координатные оси ПСО. Тогда:
31
Poτ = m·(4,8);
(1II)
Pon = m·(4,8·t)/r.
(2II)
Определим значения P oτ и Pon в момент времени t1.
Poτ(t1) = 1,2·4,8 = 5,76 H;
Pon(t1) = m·(4,8·t1) = 1,2·4,8·1 = 5,76 H.
10. Определим модуль Р равнодействующей в момент времени t1.
P(t1 )  (Po (t1 ))2  (Pon (t1 ))2 =
= (5,76)2 + (5,76)2 = 8,145 Н.
11. Для ориентации вектора Р в пространстве определим
направляющие косинусы и величину угла α, составленного направлением равнодействующей силы Р и ортом τ.
cos(P(t1), τ) = Poτ(t1)/P(t1) = 5,76/8,145 = 0,707.
α = arcos(0,707) = 45o.
12. Определим положение точки на траектории её движения в
момент времени t1 и зафиксируем это положение центральным углом β.
S(t1) = 2,4·(t1)2 = 2,4·12 = 2,4 м;
β = S(t1)/r = 2,4/1 = 2,4 рад.
В градусной мере β = (2,4/3,14)·180о = 137,579о.
Полученные результаты расчётов проиллюстрируем рис. 1.8.
Рис. 1.8
32
Таким образом, задача решена. Ответы на вопросы получены.
1.11. Алгоритм решения вторых задач динамики
точки в декартовой системе отсчёта
Во второй (обратной) задаче динамики по известным силам,
действующим на материальную точку, и начальным условиям её
движения требуется определить уравнения движения точки: X = f1(t),
Y = f2(t), Z = f3(t), а также её положение, скорость и ускорение в момент времени t1. Эта задача имеет большое практическое значение
и в общем случае является более сложной по сравнению с первой
задачей динамики.
Алгоритм решения второй задачи динамики содержит следующие действия.
1. В механической системе выделяют материальную точку,
движение которой рассматривают.
2. Выбирают инерциальную систему отсчёта ОXYZ. Начало
системы отсчёта располагают в точке тела, по отношению к которому рассматривают движение выделенной из механической
системы материальной точки.
3. В системе отсчёта ОXYZ точку изображают в произвольный
момент времени таким образом, чтобы она имела положительные координаты и двигалась в сторону их увеличения ускоренно.
4. По исходным данным задачи определяют и изображают на
 ,Y
 , Z ).
рисунке начальные условия движения (X0, Y0, Z0, X
0
0
0
Е
5. К точке прикладывают активные (задаваемые) силы Fi .
6. Согласно аксиоме связей эти связи отбрасывают и их действие заменяют соответствующими реакциями RiЕ.
7. Записывают дифференциальные уравнения движения точки:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE ,
m· Z
iOZ
iOZ
 , Z
 – проекции ускорения a на координатные оси;
 , Y
где X
E
E
E
Σ FiOX
, Σ FiOY
, Σ FiOZ
– суммы проекций активных сил FiE на соот-
33
ветствующие координатные оси ИСО; Σ REiOX , Σ REiOY , Σ REiOZ –
суммы проекций реакций RiE внешних связей на оси ИСО.
8. Дифференциальные уравнения движения точки дважды интегрируют. При интегрировании каждого дифференциального
уравнения появляются две постоянные и, следовательно, при
интегрировании трёх дифференциальных уравнений будем
иметь шесть постоянных: С1 – С6.
9. Определяют значения постоянных Ci интегрирования по
начальным условиям движения: значения трёх координат точки
и проекции её скорости на три оси в некоторый момент времени, обычно (но не обязательно) в начальный момент времени
(t0 = 0). Как правило, в условиях задачи задают следующие
 , Y
 , Z . Эти данначальные условия движения: X0, Y0, Z0, X
0
0
0
ные подставляют в уравнения, представляющие общие решения дифференциальных уравнений движения точки, и определяют постоянные интегрирования Ci.
10. Подставляя найденные значения постоянных интегрирования Ci в общие решения дифференциальных уравнений движения точки, получают уравнения её движения в виде:
 , Y , Z );
X = f1(t, X0, Y0, Z0, X
0
0
0
 ,Y
 , Z );
Y = f2(t, X0, Y0, Z0, X
0
0
0
 ,Y
 , Z ).
Z = f3(t, X0, Y0, Z0, X
0
0
0
Анализ последних уравнений показывает, что под действием одной и той же системы сил, приложенных к точке, она может совершать целый класс движений, зависящих от начальных
условий.
При составлении дифференциальных уравнений движения
материальной точки за расчётный начальный момент времени
(t0 = 0) обычно принимают момент начала движения точки под
действием заданных сил, для которого известны как положение
точки, так и её скорость.
Введением начальной скорости точки учитывают влияние на её движение сил, действующих на точку до того момента времени, который принят за начальный момент.
Дифференциальные уравнения движения точки описывают её движение до тех пор, пока на точку действует заданная система сил.
Если в какой-то момент времени система сил, действующих
на точку, изменится, то для описания последующего движения
точки составляют новые дифференциальные уравнения.
34
Начальными условиями нового движения точки будут её положение и скорость в конце предшествующего движения.
11. По уравнениям движения точки X = f1(t), Y = f2(t), Z = f3(t)
определяют её кинематические характеристики для заданного
момента времени t1. Как правило, результаты расчётов сводят в
таблицу и при необходимости иллюстрируют рисунками.
Алгоритм решения вторых задач динамики в естественных координатных осях по существу не отличается от вышеприведенного
алгоритма. Здесь он не рассмотрен, так как студенты заочной и дистанционной форм обучения не выполняют курсовых заданий на эту
тему.
Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание Д 1.
35
1.12. Варианты курсового задания Д 1
«Интегрирование дифференциальных уравнений
движения материальной точки,
находящейся под действием постоянных сил»
Варианты 1 – 5 (рис 1.9)
Рис. 1.9
Тело совершает поступательное движение из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ секунд. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
В точке В тело покидает плоскость со скоростью VB и попадает
со скоростью VC в точку С участка BC, наклоненного под углом β к
горизонту, находясь в воздухе Т секунд.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 1. Дано: α = 30о; VA = 0; f = 0,2; l = 10 м; β = 60о. Определить τ и h.
Вариант 2. Дано: α = 15о; VA = 2 м/с; f = 0,2; h = 4 м; β = 45о.
Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС (Y = f(X)).
Вариант 3. Дано: α = 30о; VA = 2,5 м/с; f ≠ 0; l = 8 м; d = 10 м;
β = 60о. Определить VB и τ.
Вариант 4. Дано: VA = 0 м/с; τ = 2 с; l = 9,8 м; β = 60о; f = 0. Определить α и T.
36
Вариант 5. Дано: α = 30о; VA = 0 м/с; τ = 3 с; l = 9,8 м; β = 45о.
Определить f и VC.
Варианты 6 – 10 (рис. 1.10)
Рис. 1.10
Тело совершает поступательное движение и подходит к точке А
участка АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l со скоростью VA. Коэффициент трения скольжения на участке
АВ равен f. Тело от точки А до точки В движется τ секунд; в точке В
со скоростью VB оно покидает участок АВ. Через Т секунд тело приземляется со скоростью VC в точке С участка ВС, составляющем
угол β с горизонтом.
При решении задачи тело принять за материальную точку и не
учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 6. Дано: α = 20о; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м; β = 30о.
Определить l и VC.
Вариант 7. Дано: α = 15о; f = 0,1; VA = 16 м/с; l = 5 м; β = 45о.
Определить VB и T.
Вариант 8. Дано: VA = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; VB = 20 м/с; β = 60о.
Определить α и d.
Вариант 9. Дано: α = 15о; τ = 0,3 с; f = 0,1; h = 30 2 м; β = 45о.
Определить VB и VA.
37
Вариант 10. Дано: α = 15о; f = 0; VA = 12 м/с; d = 50 м; β = 60о.
Определить τ и уравнение траектории тела (Y = f(X) = ?) в системе
отсчёта XВY.
Варианты 11 – 15 (рис. 1.11)
Рис. 1.11
Имея в точке А скорость VA, тело поднимается τ секунд по
участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р тело в точке В приобретает скорость VB и перелетает через ров шириной d, находясь в
воздухе Т секунд и приземляясь в точке С со скоростью VC. Масса
тела равна m.
При решении задачи считать тело материальной точкой и не
учитывать силы сопротивления движению.
Вариант 11. Дано: α = 30о; Р ≠ 0; l = 40 м; VA = 0; VB = 4,5 м/с;
d = 3 м. Определить τ и h.
Вариант 12. Дано: α = 30о; Р = 0; l = 40 м; VB = 4,5 м/с; h = 1,5 м.
Определить VA и d.
Вариант 13. Дано: α = 30о; m = 400 кг; VA = 0; τ = 20 с; d = 3 м;
h = 1,5 м. Определить Р и l.
38
Вариант 14. Дано: α = 30о; m = 400 кг; Р = 2,2 кН; VA = 0; l =40 м;
d = 5 м. Определить VB и VС.
Вариант 15. Дано: α = 30о; VA = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2м;
d = 4 м. Определить Т и m.
Варианты 16 – 20 (рис. 1.12)
Рис. 1.12
Тело скользит в течение τ секунд по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная
скорость VA. Коэффициент трения скольжения тела по откосу равен
f. Имея в точке В скорость VB , тело через Т секунд ударяется в точке С о защитную стену.
При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 16. Дано: α = 30о; VA = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2; d = 2,5 м.
Определить T и h.
Вариант 17. Дано: α = 45о; l = 6 м; VB = 2·VA; τ = 1 c; h = 6 м.
Определить d и f.
Вариант 18. Дано: α = 30о; l = 2 м; VA = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и τ.
39
Вариант 19. Дано: α = 15о; l = 3 м; VB = 3 м/с; f ≠ 0; τ = 1,5 c;
d = 2 м. Определить VA и h.
Вариант 20. Дано: α = 45о; VA = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4м. Определить l и τ.
Варианты 21 – 25 (рис. 1.13)
Рис. 1.13
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ секунд
тело в точке В со скоростью VB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью VC; при
этом оно находится в воздухе Т секунд.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не
учитывать сопротивление воздуха.
Вариант 21. Дано: α = 30о; f = 0,1; VA = 1 м/с; τ = 1,5 c; h = 10 м.
Определить VB и d.
Вариант 22. Дано: VA = 0; α = 45о; l = 10 м; τ = 2 c. Определить f
и уравнение траектории (Y = f(X) = ?) на участке ВС в системе отсчёта XВY.
Вариант 23. Дано: f = 0; VA = 0; l = 9,81 м; τ = 2 с; h = 20 м. Определить α и Т.
40
Вариант 24. Дано:VA = 0; α = 30о; f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить τ и h.
Вариант 25. Дано: VA = 0; α = 30о; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить VC и τ.
Варианты 26 – 30 (рис. 1.14)
Рис. 1.14
Имея в точке А скорость VA, тело движется по горизонтальному
участку АВ длиной l в течение τ секунд. Коэффициент трения
скольжения по плоскости равен f. Со скоростью VB тело в точке В
покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью VC, находясь
в воздухе Т секунд.
При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано: VA = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить VC и d.
Вариант 27. Дано: VA = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2 c; d = 2 м. Определить
VB и h.
Вариант 28. Дано: VB = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить
VA и Т.
41
Вариант 29. Дано: VA = 3 м/с; VB = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м.
Определить f и d.
Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить
VA и τ.
1.13. Пример выполнения курсового задания Д 1
В общем случае система сил, действующая на материальную
точку, может быть постоянной или зависеть от времени t, положения
в пространстве, скорости и т. д. В связи с этим интегрирование
дифференциальных уравнений движения точки имеет свою специфику. В курсовом задании Д 1 система сил, действующая на точку,
постоянна. Рассмотрим пример выполнения этого задания.
Условие задания.
Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной
плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ секунд
тело в точке В со скоростью VB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью VC; при
этом оно находится в воздухе Т секунд (рис. 1.15).
При решении задачи принять тело за материальную точку и не
учитывать сопротивление воздуха.
42
Рис. 1.15
Дано: VA = 1 м/с; α = 30о; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить
VC и τ.
Решение.
1. Рассмотрим движение тела на участке АВ в заданной системе отсчёта АX1Y1, приняв его за материальную точку (рис. 1.16).
Рис. 1.16
Такое допущение обосновано тем, что тело совершает поступательное движение и, следовательно, уравнения его движения такие
же, как и у точки.
2. Изобразим точку в системе отсчёта АX1Y1 в произвольный
момент времени t. При этом её координата Х1 = f(t) > 0 и точка дви-
43
жется в сторону возрастания этой координаты ускоренно. Следовательно, ускорение a имеет такое же направление, как и скорость V.
3. Согласно условию задачи при t0 = 0 начальная координата
 = VA.
Х10 = Х1А = 0 и проекция начальной скорости X
10
4. К точке приложим активную силу G – силу тяжести. Так как
опорная поверхность точки шероховатая, то имеем две реакции: N –
нормальная реакция; Ftr – сила трения скольжения. Силу Ftr направляют в сторону, противоположную направлению скорости V. Из курса статики известно, что модули силы трения и нормальной реакции
связывает соотношение Ftr = f·N.
5. Запишем основное уравнение динамики точки.
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + N + Ftr.
Спроецировав это векторное выражение на координатные оси
системы отсчёта АX1Y1, получим дифференциальные уравнения
движения точки:
 = G·sin(α) – Ftr;
m· X
(1)
1
 = G·cos(α) – N,
m· Y
1
(2)
 , Y
 – проекции ускорения a на координатные оси.
где X
1
1
Поскольку вектор a на ось AY1 не проецируется, то из уравнения (2) имеем N = G·cos(α) = m·g·cos(α). Отсюда имеем
Ftr = f·N = f·m·g·cos(α).
Анализируя последнее равенство, сделаем вывод о том, что
реакции N и Ftr не зависят от того, в каком кинематическом состоянии (покоя или движения) находится точка.
С учетом изложенного уравнение (1) приводится к виду
 = G·sin(α) – Ftr = G·sin(α) – f·N·cos(α) =
m· X
1
= m·g·sin(α) – f·m·g·cos(α) = m·g·(sin(α) – f·cos(α)).
I
(1 )
Упростим последнее выражение.
 = g·(sin(α) – f·cos(α)).
X
(1II)
1
6. Дважды проинтегрируем последнее уравнение.
 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t + C1;
Х
1
X1 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t2/2 + C1·t + C2,
где С1, С2 – постоянные интегрирования.
7. Определим постоянные С1, С2 подстановкой в последние
уравнения начальных условий движения. При t0 = 0 имеем:
 = VA = g·(sin(α) – f·cos(α))·t0 + C1;
X
10
X10= Х1A = 0 = g·(sin(α) – f·cos(α))·(t0)2/2 + C1·t0 + C2.
Отсюда С1 = VA; С2 = 0. Окончательно имеем:
44
 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t + VA;
Х
1
X1 = g·(sin(α) – f·cos(α))·t2/2 + VA·t,
где X1, Х 1 – соответственно текущие координата точки и проекция
её скорости на координатную ось АХ1.
Последние выражения справедливы для любого значения времени, пока точка движется по участку АВ. В момент времени τ движущееся тело находится в точке В участка АВ. Исходя из этого, получим систему двух уравнений.
 ( ) = VB = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ + VA;
X
1
Х1(τ) = l = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ2/2 + VA·τ.
Эта система уравнений содержит неизвестные τ и VB. Поскольку
число уравнений равно числу неизвестных величин, то такую систему уравнений решают стандартными приёмами и определяют VB и τ.
После определения VB и τ рассматривают движение материальной
точки на участке ВС её траектории в системе отсчёта ВХY (см. рис.
1.15).
Если последнюю систему уравнений решить нельзя (число неизвестных превышает число уравнений равновесия), то так же переходят к рассмотрению движения точки на участке ВС в системе
отсчёта ВXY.
8. Рассмотрим движение точки на участке ВС в заданной системе отсчёта ВXY.
9. Изобразим точку на траектории её движения в произвольный
момент времени (рис. 1.17).
Рис. 1.17
45
10. Определим начальные условия движения точки на участке
 = VB·cos(α); Y0 = 0;
ВС. Согласно рис. 1.17 имеем: Х0 = 0; X
0
 = VB·sin(α).
Y
0
11. На точку действует только одна активная сила G – сила тяжести. Реакций связей нет, поскольку сопротивление воздуха не
учитывается.
12. Основное уравнение динамики для точки имеет вид
m·a = ΣFiE + ΣRiE = G.
Запишем дифференциальные уравнения движения точки.
 = Σ FE + Σ RE = 0;
m· X
(3)
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE = G = m·g.
m· Y
(4)
iOY
iOY
13. Проинтегрируем последние уравнения. Так как масса точки
 = 0. Отсюда следует, что
m ≠ 0, то из уравнения (3) имеем X
 = C3 = const, где X
 – проекция скорости на координатную ось ВХ;
X
С3 – постоянная интегрирования. Определим С3 по начальным
 = VB·cos(α) = C3. Так как
условиям движения. При t0 = 0 имеем X
0
 = const, то окончательно получим выражение X
 = VB·cos(α). ДруX
гими словами, в любой момент времени проекция скорости на координатную ось ВХ постоянна, т. е. не зависит от времени.
Проинтегрировав последнее выражение, получим
X = VB·cos(α)·t + C4,
где С4 – постоянная интегрирования.
Определим эту постоянную по начальным условиям движения.
При t0 = 0 имеем X0 = 0 = VB·cos(α)·t0 + C4. Отсюда получим С4 = 0.
Окончательно текущее значение координаты X точки находят по
формуле
X = VB·cos(α)·t.
Дифференциальное уравнение (4) движения точки приведем к
 = g. Проинтегрируем это выражение и получим
виду Y
Y = g·t + C5,
 – текущее значение проекции скорости на координатную ось
где Y
BY; С5 – постоянная интегрирования.
По начальным условиям движения имеем
 = VB·sin(α) = g·t0 + C5.
Y
0
 = g·t + VB·sin(α).
Отсюда С5 = VB·sin(α). Тогда Y
Проведём интегрирование последнего выражения.
Y = g·t2/2 + VB·sin(α)·t + C6.
Определим постоянную интегрирования С6. При t0 = 0 имеем
46
Y0 = 0 = g·(t0)2/2 + VB·sin(α)·t0 + C6.
Тогда С6 = 0.
Текущее значение координаты y находят по формуле
Y = g·t2/2 + VB·sin(α)·t.
Таким образом, получаем выражения для определения текущих
 , Y скорости точки при её
значений координат X, Y и проекций X
движении по траектории ВС. В момент времени Т, когда тело находится в точке С траектории его движения (см. рис. 1.17), эти выражения приобретают следующий вид:
 = VB·cos(α); Y = g·Т + VB·sin(α);
X
C
C
d = VB·cos(α)·T; h = g·T2/2 + VB·sin(α)·T,
 , Y – проекции скорости VC на координатные оси; d, h – когде X
C
C
ординаты точки С в системе отсчёта ВXY.
По условию задачи требуется определить модуль скорости тела
в точке С траектории его движения. Для этого используется форму-
 )2  ( Y
 )2 .
ла VC  ( X
c
c
Таким образом, для определения неизвестных величин необходимо совместно решить следующую систему уравнений:
VB = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ + VA;
l = g·(sin(α) – f·cos(α))·τ2/2 + VA τ;
 = VB·cos(α); Y = g·Т + VB·sin(α);
X
C
C
d = VB·cos(α)·T; h = g·T2/2 + VB·sin(α)·T;
 )2  ( Y
 )2 .
VC  ( X
c
c
В этой системе уравнений неизвестными величинами являются:
 , Y , VC.
VB, τ, d, T, X
C
C
Таким образом, имеем семь уравнений, содержащих семь неизвестных.
Для координации вектора VC скорости тела в точке С пространства рекомендуется определить величину угла β, составленного
направлением этой скорости с положительным направлением отсчета координаты Х по формулам:
 /VC; β = arcos( X
 /VC).
cos(VC, i) = X
C
C
Результаты проведённых расчётов сводят в таблицу.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать первый закон динамики (закон инерции).
47
2. Сформулировать второй закон динамики (закон пропорциональности силы и ускорения).
3. Сформулировать третий закон динамики (закон равенства действия и противодействия).
4. Сформулировать четвёртый закон динамики (закон независимости действия сил).
5. Сформулировать определение понятия «инерциальная
система отсчёта».
6. Записать основное уравнение динамики несвободной материальной точки.
7. Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в декартовой системе отсчёта.
8. Записать дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в естественных координатных
осях.
9. Сформулировать суть первой задачи динамики.
10. Сформулировать суть второй задачи динамики.
11. Как определяются постоянные интегрирования при
решении второй задачи динамики?
2. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА
2.1. Виды колебательных движений материальной точки
Колебательное движение материального тела происходит при
условии, когда на него действует сила, стремящаяся вернуть его в
положение статического равновесия. Такую силу называют восстанавливающей.
Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть
тело или точку в положение статического равновесия.
48
Примером такой силы является сила упругости Fyn пружины
(рис. 2.1).
Рис. 2.1
Рассмотрим движение тела весом G по гладкой горизонтальной
поверхности в инерциальной системе отсчёта OYZ. Начало системы
отсчёта поместим в положение статического равновесия тела. В
этом случае пружина не деформирована и имеет размер l0. В положении статического равновесия (см. рис. 2.1,а) на тело действуют
активная сила G (сила тяжести) и реакция N гладкой поверхности.
Если из исходного положения равновесия тело переместить на
расстояние Y0 и сообщить ему начальную скорость V0, то оно будет
совершать поступательное движение.
Из курса кинематики известно, что уравнения поступательного
движения тела такие же, как и уравнения движения точки. На основании изложенного движение этого тела можно рассматривать как
движение материальной точки массой m = G/g, на которую действуют активная сила G (сила тяжести) и реакции N, Fyn внешних связей
(рис. 2.1,б). В рассматриваемом случае основное уравнение динамики имеет вид
m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fyn.
Сила Fyn является реакцией деформированной пружины. Сила
Fyn всегда направлена к положению статического равновесия точки.
Из рис. 2.1 видно, что деформация Δ пружины является переменной
49
величиной и равна модулю координаты Y точки в системе отсчёта
OYZ.
Модуль силы упругости пропорционален её деформации:
Fyn = c·Δ = c·Y,
где с – коэффициент жёсткости пружины, численно равный силе упругости при её деформации Δ = 1 м.
Коэффициент жесткости является конструктивной характеристикой пружины. Этот коэффициент имеет размерность [Н/м].
Таким образом, сила Fyn упругости деформированной пружины
всегда направлена к началу системы отсчёта (положению статического равновесия точки) и пропорциональна величине отклонения
точки от этого положения. Другими словами, сила упругости относится к разряду восстанавливающих сил, зависящих от положения
точки.
Колебания могут происходить и под действием восстанавливающих сил, изменяющихся по другим законам.
В инженерных расчётах широкое применение получили четыре
основных случая колебательного движения материальной точки:
1) свободные колебания, вызванные постоянной системой сил
и восстанавливающей силой;
2) колебания, совершаемые под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления
движению, пропорциональной первой степени скорости;
3) вынужденные колебания, осуществляющиеся под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону;
4) вынужденные колебания, происходящие под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени
скорости, и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону.
Рассмотрим последовательно эти колебания.
2.2. Свободные колебания материальной точки
Свободные колебания происходят под действием постоянной
системы сил и восстанавливающей силы.
Для получения дифференциальных уравнений колебательного
движения точки воспользуемся расчётной схемой, приведённой на
рис. 2.1,б.
50
Согласно рис. 2.1,б на точку действует постоянная система сил
(G, N) и восстанавливающая сила Fyn. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:
 = Σ FE + Σ RE = – Fyn = – c·Δ = – c·Y;
m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE = – G + N.
m· Z
iOZ
iOZ
 , Z
 – проекции ускорения a соответственно
В этих уравнениях Y
 = 0, то имеем
на координатные оси OY и OZ. Поскольку Z
N = G = m·g. Таким образом, силы G и N образуют уравновешенную
систему сил и, следовательно, эта система сил не влияет на параметры движения точки. Исходя из этого, расчётная схема для определения дифференциального уравнения движения точки упрощается (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Дифференциальное уравнение горизонтального движения точки представим в виде
 + (c/m)·Y = 0.
Y
Введем постоянный коэффициент k2 =
имеем
c
c
или k =.
Тогда
m
m
 + k2·Y = 0.
Y
Это выражение называют дифференциальным уравнением
свободных колебаний материальной точки.
Коэффициент k называют циклической частотой свободных
колебаний, который измеряют в рад/с или в с-1. Физический смысл
коэффициента k – число полных колебаний за время t = 2π = 6,28 c.
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет
два вида.
Первый вид:
51
Y = C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t),
где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.
 скоПусть при t0 = 0 точка имеет координату Y0 и проекцию Y
0
рости V0 на ось ОY. Тогда уравнение свободных колебаний точки
получит вид
 Y 0 

 ·sin(k·t).
Y = Y0 ·cos(k·t) + 
k
 
Второй вид:
Y = A·sin(k·t + β),
где А и β – постоянные интегрирования; А – амплитуда свободных колебаний; (k·t + β) – фаза колебаний; β – начальная
фаза колебаний.
 ) поПо заданным начальным условиям движения точки (Y0, Y
0
стоянные интегрирования определяют по следующей совокупности
формул:
2



Y
A = ( Y0 )2   0  ;
 k 
Y 0
k  Y0
Y0
sin(β) =
; cos(β) =
; tg(β) =
.
A k
Y 0
A
На рис. 2.3 представлен общий вид графика свободных колебаний точки.
Рис. 2.3
52
При изучении свободных (гармонических) колебаний широко
используют понятия «амплитуда А», «период Т свободных колебаний».
Амплитуда свободных колебаний – величина наибольшего
отклонения точки от положения статического равновесия.
Период свободных колебаний – отрезок времени, за который точка проходит положение статического равновесия в
одном и том же направлении.
Период свободных колебаний определяют по формуле
T=
2
=
k
2
.
c /m
Анализ формулы показывает, что период свободных колебаний
Т является постоянной величиной. С возрастанием массы m точки
период Т увеличивается и соответственно уменьшается при увеличении коэффициента «с» жесткости пружины.
Следует отметить, что свободные колебания не затухают.
Для практических расчетов рекомендуется использовать формулу
Y = A·sin(k·t + β).
В инженерной практике довольно часто рассматривают колебательное движение тела, подвешенного на пружинах или установленного на них. Если начало системы отсчёта поместить в положение статического равновесия груза, то эти колебания также сводятся к свободным колебаниям точки, дифференциальное уравнение
 + k2·Y = 0 и, следовадвижения которой имеет стандартный вид Y
тельно, стандартное решение.
2.3. Дифференциальное уравнение движения точки под
действием постоянной системы сил, восстанавливающей
силы и силы сопротивления движению
53
Рассмотрим движение материальной точки по гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной
системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Как и ранее, начало системы отсчёта поместим в положение
статического равновесия точки. В этом положении пружина не деформирована, т. е. имеет длину l0. При оформлении рис. 2.4 используются рекомендации, приведённые в алгоритме решения вторых задач динамики точки.
Основное уравнение динамики в рассматриваемом случае имеет вид
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + N + Rc + Fyn,
где G – сила тяжести; N – нормальная реакция; Rc – сила сопротивления движению точки; Fyn – сила упругости пружины.
Так как силы G и N на кинематические параметры точки не влияют, то они на рис. 2.4 не показаны.
Сила Rc сопротивления движению точки зависит от внешней
среды, в которой эта точка перемещается.
Рассмотрим вариант, при котором сила Rc пропорциональна
первой степени скорости V точки. Примером такой силы является
сопротивление воздуха при движении тела. В этом случае силу Rc
определяют по формуле Rc = – α·V, где α – постоянный коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [Н/(м/с)]. Коэффициент α численно равен силе сопротивления при скорости движения
точки, равной 1 м/с. Сила сопротивления Rc всегда направлена в
сторону, противоположную направлению скорости V.
Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:
54
 = Σ FE + Σ RE = – α· Y – c·Y.
m· Y
iOY
iOY
Это уравнение приведем к виду
 + (α/m)· Y + (c/m)·Y = 0.
Y
Введем условные обозначения: α/m = 2n; c/m = k2. С учетом коэффициентов n, k дифференциальное уравнение движения приводится к стандартному виду:
 + 2n· Y + k2·Y = 0,
Y
где n – коэффициент, характеризующий сопротивление среды и
имеющий размерность [рад/с] или [c-1].
В зависимости от соотношения величин n и k материальная
точка может совершать или колебательное, или апериодическое
(не колебательное) движение.
2.4. Затухающие колебания материальной точки
Рассмотрим первый вариант движения точки, при котором
n < k. В этом варианте общее решение дифференциального уравнения имеет два вида:
Y = (e-nt)·(C1·cos(( k 2  n2 )·t) + C2·sin(( k 2  n2 )·t));
Y = a·(e-nt)·sin(( k 2  n2 )·t + β),
где С1, С2, a, β – постоянные интегрирования, определяемые по
начальным условиям движения.
Эти выражения называют уравнениями затухающих колебаний материальной точки.
 .
Пусть начальными условиями движения являются: t0 = 0; Y0; Y
0
В этих условиях первый вид решения дифференциального уравне + 2n· Y + k2·Y = 0 выражается формулой
ния Y
Y = (e-nt)·(Y0·cos(( k 2  n2 )·t) +
+
  n Y
Y
0
0
k n
2
2
·sin(( k 2  n2 )·t)).
Постоянную величину
k 2  n2 называют циклической частотой затухающих колебаний k*, величину которой определяют по формуле
k* = k 2  n 2 .
Величина k* определяет число полных колебаний за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с. Тогда имеем
55
 + n·Y0)/k*)·sin(k*·t)).
Y = (e-nt)·(Y0·cos(k*·t) + (( Y
0
Как правило, для практических расчётов используют второй вид
общего решения дифференциального уравнения движения точки.
Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β),
где (k*·t + β) – фаза затухающих колебаний; β – начальная фаза;
a – постоянная интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования a и β используют
следующую совокупность формул:
а = ( Y0 )2  ((Y 0  n  Y0 ) / k * )2
  n  Y );
tg(β) = (Y0·k*)/( Y
0
0
sin(β) = Y0/ a;
  n  Y )/(а·k*).
cos(β) = ( Y
0
0
Для характеристики затухающих колебаний используют понятие
«период затухающих колебаний Т*».
Период затухающих колебаний – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном
направлении через положение покоя.
Период затухающих колебаний ( T*  2 / k 2  n2 = 2π/k*) больше
периода свободных колебаний (T = 2π/k) точки.
На рис. 2.5 приведён общий вид графика затухающих колебаний.
На рис. 2.5 использованы начальные условия движения точки,
приведённые на рис. 2.4. График затухающих колебаний располагается в зоне, ограниченной двумя кривыми линиями, описываемыми
математическими выражениями: Y = а·e-nt; Y = – а·e-nt.
Для характеристики затухающих колебаний используют также
понятие «амплитуда аi затухающих колебаний».
Амплитуда затухающих колебаний – величина наибольшего отклонения точки в ту или другую сторону от положения
статического равновесия в течение каждого колебания.
56
Рис. 2.5
Из рис. 2.5 видно, что амплитуда затухающих колебаний переменна. При этом последующая амплитуда аi+1 меньше предыдущей
амплитуды аi. Это уменьшение характеризуется отношением
аi+1/ аi = e– nT*/2 = const.
Число e– nT*/2 называют декрементом колебаний; натуральный
логарифм этого числа (ln(e– nT*/2)), т. е. величину – nT*/2, называют
логарифмическим декрементом.
Зная предыдущее значение аi амплитуды, последующее значение аi+1 находят по формуле
аi+1 = аi·e– nT*/2.
Следует отметить, что в некоторых учебниках коэффициент n
сопротивления среды называют коэффициентом затухания.
Практика показывает, что затухание колебаний происходит
очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при
n = 0,05·k имеем Т*= 1,00125·Т, e–nT* = 0,7301, т. е. период Т* затухающих колебаний отличается от периода Т свободных колебаний
лишь на 0,125 %, а амплитуда аi за время одного полного колебания
уменьшается на 0,27 своей величины, и после 10 полных колебаний
становится равной 0,043 своего первоначального значения.
57
Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные
колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.
Затухающие колебания называют также колебаниями с малым сопротивлением внешней среды.
2.5. Апериодическое движение точки
Рассмотрим второй вариант движения точки, при котором n = k.
В таком варианте движение точки теряет колебательный характер и
становится апериодическим. В этом случае общее решение дифференциального уравнения
 + 2n· Y + k2·Y = 0
Y
имеет вид
Y = (e-nt)·(C1·t + C2),
где С1, С2 – постоянные интегрирования, которые находятся по
начальным условиям движения точки. Пусть при t0 = 0 точка имеет
 скорости V0 на ось ОY. С использовакоординату Y0 и проекцию Y
0
ние начальных условий уравнение апериодического движения точки
имеет вид
 + n·Y0)·t).
Y = (e-nt)·(Y0+( Y
0
В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из движений, графики которых показаны на рис.
2.6 – 2.8. Эти графики соответствуют начальному отклонению точки
 > 0.
от положения статического равновесия на величину Y
0
На рис. 2.6 показан график движения точки с начальной скоростью V0, имеющей направление, совпадающее с направлением положительного отсчета координаты Y. Начальные условия этого движения изображены на рис. 2.4.
 > 0, то точка сначала удаляется от полоТак как проекция Y
0
жения статического равновесия, а затем под действием восстанавливающей силы постепенно приближается к этому положению.
Графики (см. рис. 2.7 и 2.8) соответствуют движению точки с
начальной скоростью V0, направленной противоположно направле < 0.
нию отсчета координаты Y, т. е. имеем: Y0 > 0; Y
0
58
Рис. 2.6
Рис. 2.7
Рис. 2.8
При достаточно большом значении начальной скорости V0 точка
может совершить один переход через положение статического равновесия и затем при обратном движении приближаться к этому положению (см. рис. 2.7).
 = 0) график функции Y = f(t)
При начальных условиях (Y0 > 0; Y
0
имеет вид, приведенный на рис. 2.8.
Рассмотрим вариант движения точки, при котором n > k. При таком варианте точка совершает апериодическое движение, описываемое уравнением
59
2
2
2
2
Y = (e-nt)·(C1· e( n - k )·t + C2· e( n k )·t),
где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.
Графики движения точки в этом случае по существу не отличаются от графиков, приведенных на рис. 2.6 – 2.8.
Таким образом, если n = k или n > k, то точка совершает апериодическое движение. Такое движение называют также движением
точки с большим сопротивлением внешней среды.
2.6. Вынужденные колебания материальной
точки под действием постоянной системы сил,
восстанавливающей силы и возмущающей силы
Практически наиболее важным является случай, при котором
возмущающая сила Q изменяется по гармоническому закону, т. е.
проекцию QOY этой силы на ось ОY определяют по закону
QOY = H·sin(p·t + δ),
где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы; р – частота возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за промежуток времени, равный
2π = 6,28 с; p·t + δ – фаза возмущающей силы; δ – начальная фаза возмущающей силы.
Период τ изменения возмущающей силы определяют по его
частоте:
τ = 2π/р.
Рассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.9).
Начало системы отсчёта ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, соответствующее недеформированной пружине.
Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого положения имеет вид
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ = G + Q + N + Fyn,
где G – сила тяжести; Q – возмущающая сила; N, Fyn – соответственно реакция гладкой поверхности и реакция растянутой пружины.
60
Рис. 2.9
Следует отметить, что силы G и Q относятся к разряду активных сил, а силы N и Fyn отнесены к реакциям связей. Так как силы G
и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на рис. 2.9
не показаны.
Запишем дифференциальное уравнение горизонтального движения точки:
 = Σ FE + Σ RE = H·sin(p·t + δ) – c·Y.
m· Y
iOY
iOY
Это уравнение приведём к виду
 + (c/m)·Y = (H/m)·sin(p·t + δ),
Y
где c/m = k2 – квадрат частоты свободных колебаний.
Введём условное обозначение h = H/m [м/с2]. Тогда
 + k2·Y = h·sin(p·t + δ).
Y
Последнее выражение представляет собой дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы,
изменяющейся по периодическому закону.
Общее решение этого уравнения складывается из общего ре + k2·Y = 0 и частного
шения Y* дифференциального уравнения Y
 + k2·Y = h·sin(p·t + δ).
решения Y** дифференциального уравнения Y
Y = Y* + Y**;
Y*= C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t) = A·sin(k·t + β);
Y** = (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ).
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний материальной точки приводится к виду
Y = C1·cos(k·t) + C2·sin(k·t) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ)
или к виду
Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ),
61
где С1, С2, А, β – постоянные интегрирования, определяемые по
начальным условиям движения точки.
Последнее уравнение показывает, что точка совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член этого уравнения определяет свободные колебания, а второй – вынужденные колебания точки.
Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающих сил материальная точка совершает сложное
колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний.
Следует отметить, что Y** не содержит постоянных интегрирования и, следовательно, вынужденные колебания не зависят от
начальных условий движения.
Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k
свободных колебаний (р < k), называют вынужденными колебаниями малой частоты.
Если р > k, то эти колебания называют вынужденными колебаниями большой частоты.
При вынужденных колебаниях малой частоты (р < k) эти колебания выражаются зависимостью
Y** = (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ).
В этом случае фаза колебаний (p·t + δ) совпадает с фазой возмущающей силы и, следовательно, материальная точка всегда отклонена от положения статического равновесия в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила Q (рис.
2.10).
Рис. 2.10
Амплитуду Ав вынужденных колебаний определяют по формуле
Ав = h/(k2 – p2).
При вынужденных колебаниях большой частоты (р > k) эти колебания выражаются зависимостью
Y** = (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π).
62
В этом случае амплитуду Ав вынужденных колебаний находят
по формуле
Ав = h/(р2 – k2).
Фаза вынужденных колебаний большой частоты (p·t + δ – π) отличается от фазы возмущающей силы (p·t + δ) на величину π, т. е.
фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны. Это означает, что отклонение точки от начала координат О
всегда противоположно направлению возмущающей силы Q в данный момент (рис. 2.11).
Рис. 2.11
Необходимо отметить, что при вынужденных колебаниях и малой (р < k) и большой частотах (р > k) максимальное отклонение
точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль Q возмущающей силы Q достигает максимального значения Н
(Qmax = H).
В общем случае уравнения движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей и возмущающей сил записывают в следующем виде:
если р < k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ);
если р > k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π).
На рис. 2.12 приведены общие виды графиков зависимостей
*
Y = f1(t), Y** = f2(t), Y = f3(t) для случая, когда р > k, и начальных
 > 0.
условий Y0 > 0; Y
0
При определении величины амплитуды вынужденных колебаний Ав зачастую используют коэффициент динамичности η. Для
этого вводят статическое отклонение Δ0 точки от положения статического равновесия (рис. 2.13) под действием постоянной силы Н,
модуль H которой равен амплитуде возмущающей силы Q:
H = Qmax.
Модуль силы Fyn пружины при действии на последнюю постоянной силы Н определяют по формуле
Fyn = с·Δ0,
где Δ0 – деформация пружины.
63
Рис. 2.12
Рис. 2.13
64
Из условия равенства модулей сил Fyn и Н имеем:
Н = Fyn = с·Δ0.
Из последнего выражения определим деформацию пружины:
Δ0 = H/c = (H/m)/(c/m) = h/k2.
Отношение амплитуды вынужденных колебаний Ав к величине
Δ0 деформации пружины при действии на неё постоянной силы Н
называют коэффициентом динамичности η.
При р < k η = Ав/ Δ0 = 1/(1 – p2/k2).
При р > k η = Ав/ Δ0 = 1/(p2/k2 – 1).
Зная величину коэффициента динамичности η и деформацию
пружины Δ0, нетрудно определить амплитуду вынужденных колебаний:
Ав = η·Δ0.
На рис. 2.14 приведен общий вид графика зависимости
η = f(p/k).
Рис. 2.14
Анализ этого графика показывает, что при увеличении частоты
возмущающей силы от р = 0 до р = k коэффициент динамичности η
возрастает от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля.
При р = k коэффициент динамичности η равен бесконечности.
Этот случай вынужденных колебаний называют явлением резонанса.
Общее решение дифференциального уравнения
 + k2·Y = h·sin(p·t + δ) = 0
Y
в условиях резонанса имеет вид:
Y = Y*+ Y** = A·sin(k·t + β) + (h/2k)·t·sin(k·t + δ – π/2).
65
При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных
колебаний точки (p ≈ k), наступает явление, называемое биениями.
Уравнение биений имеет следующий вид:
Y = (2h/(k2 – p2))·(sin((p – k)/2)·t)·cos(p·t + δ).
Поскольку студенты не выполняют курсовых заданий на резонанс и биения, то эти явления подробно в данном учебнометодическом пособии не излагаются. Они даны для общего ознакомления.
2.7. Влияние сопротивлений движению на вынужденные
колебания материальной точки
Рассмотрим движение материальной точки на гладкой горизонтальной поверхности, происходящее под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы, силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости, и возмущающей
силы, изменяющейся по периодическому закону (рис. 2.15).
Рис. 2.15
Начало системы отсчёта ОY поместим в положение статического равновесия материальной точки, при котором пружина не деформирована.
Основное уравнение динамики точки для рассматриваемого
случая имеет вид
m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + Q + Rc + N + Fyn.
Необходимо отметить, что силы G, Q являются активными силами, а силы Rc, N, Fyn отнесены к разряду реакций связей. Так как
силы G и N не влияют на горизонтальное движение точки, то они на
рис. 2.15 не показаны.
Из предыдущего материала, изложенного в данном разделе
учебно-методического пособия, известно:
66
Rc = – α·V; Fyn = c·Δ; Q = H·sin(p·t + δ).
С учётом этого дифференциальное уравнение горизонтального
движения точки описывается равенством
 = Σ FE + Σ RE = H·sin(p·t + δ) – α· Y – c·Y.
m· Y
iOY
iOY
 , c·Y в левую часть равенства и разделив
Перенеся члены α· Y
обе его части на массу m, получим
 + (α/m)· Y + (c/m)·Y = (H/m)·sin(p·t + δ),
Y
где c/m = k2 – квадрат циклической частоты свободных колебаний;
α/2m = n – коэффициент затухания; H/m = h – отношение амплитуды
возмущающей силы к массе точки.
При этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
 + 2n· Y + k2·Y = h·sin(p·t + δ).
Y
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний точки при наличии сопротивления движению, пропорционального скорости.
Общее решение этого уравнения состоит из общего решения Y*
 + 2n· Y + k2·Y = 0 и частного редифференциального уравнения Y
шения Y**.
Таким образом, общее решение дифференциального уравне + 2n· Y + k2·Y = h·sin(p·t + δ) имеет вид Y = Y*+ Y**.
ния Y
Частное решение Y** выражается формулой
Y** = Ac·sin(p·t + δ – ε),
где Ас, ε – постоянные величины, не зависящие от начальных условий движения точки.
Эти постоянные называют: Ас – амплитуда вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению; ε – сдвиг фазы.
Значения Ас и ε определяют по следующей совокупности формул:
Ac = h/( (k 2  p2 )2  4n2p2 ); tg(ε) = 2·n·p/(k2 – p2);
sin(ε) = 2·n·p·Ac/h; cos(ε) = Ac·(k2 – p2)/h.
Общее
решение
дифференциального
уравнения
 + 2n· Y + k2·Y = h·sin(p·t + δ)) в зависимости от соотношения веY
личин k и n имеет вид:
при n < k Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β) + Ac·sin(p·t + δ – ε);
при n = k Y = (e-nt)·(C1·t + C2) + Ac·sin(p·t + δ – ε);
2
2
при n > k Y = (e-nt)·(C1· e( n - k )·t + C2· e  (
+ Ac·sin(p·t + δ – ε),
67
n2  k 2 )·t
)+
где α, β, С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по
начальным условиям движения точки.
На рис. 2.16 приведены графики зависимостей: Y* = f1(t);
Y** = f2(t); Y = f3(t) для случая, когда n < k; p > k, и начальных условий
 > 0.
Y0 > 0, Y
0
Рис. 2.16
68
На рис. 2.17 приведены графики зависимостей Y* = f1(t),
Y** = f2(t), Y = f3(t) для случая, когда n = k; p > k, и начальных условий
 >0.
Y0 > 0; Y
0
Рис. 2.17
Таким образом, графики зависимостей Y = f3(t) на рис. 2.16, 2.17
при p > k представляют собой наложение высокочастотных вынужденных колебаний Y** = f2(t) соответственно на затухающие колебания (см. рис. 2.16) или апериодическое движение (см. рис. 2.17).
2.8. Алгоритм решения задач на колебания
материальной точки
Алгоритм решения задач динамики несвободной материальной точки при её колебательном движении содержит следующие
действия.
1. В механической системе выделяют материальную точку,
движение которой рассматривают.
69
2. Выбирают инерциальную систему отсчёта, начало которой
помещают в положение статического равновесия материальной
точки.
3. В выбранной системе отсчёта точку изображают в произвольный момент времени таким образом, чтобы она имела положительную координату и двигалась в сторону её увеличения
ускоренно.
4. По исходным данным задачи определяют и изображают на
 .
рисунке начальные условия движения: Y0; Y
0
5. К точке прикладывают активные (задаваемые) силы FiE.
6. Согласно аксиоме связей эти связи отбрасывают и действие
их заменяют соответствующими реакциями RiE связей.
ПРИМЕЧАНИЕ.
Если точка движется не по горизонтали, то рассматривают равновесие материальной точки. Из условия
равновесия (ΣFiE + ΣRiE = 0) определяют деформацию пружины при действии на неё постоянной системы активных сил FiЕ.
7. Записывают дифференциальные уравнения движения точки,
приводят их к стандартному виду и записывают решения:
 + k2·Y = 0; Y = A·sin(k·t + β) – свободные колебания;
а) Y
 + 2n· Y + k2·Y = 0;
б) Y
если n < k, то Y = a·(e-nt)·sin(k*·t + β) – затухающие колебания;
если n = k, то Y = (e-nt)·(C1·t + C2) – апериодическое движение;
2
2
2
2
если n > k, то Y = (e-nt)·(C1· e ( n -k )·t + C2· e( n k )·t) –
– апериодическое движение;
 + k2·Y = h·sin(p·t + δ);
в) Y
если р < k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(k2 – p2))·sin(p·t + δ);
если р > k, то Y = A·sin(k·t + β) + (h/(р2 – k2))·sin(p·t + δ – π) –
– вынужденные колебания соответственно малой и
большой частоты под действием
восстанавливающей и возмущающей сил;
 + 2n· Y + k2·Y = h·sin(p·t + δ);
г) Y
если n < k, то Y = a ·(e-nt)·sin(k*·t + β) + Ac·sin(p·t + δ – ε);
если n = k, то Y = (e-nt)·(C1·t + C2) + Ac·sin(p·t + δ – ε);
если n > k, то
Y = (e-nt)·(C1· e(
n2 - k 2 )·t
+ C2· e(
n2 k 2 )·t
70
) + Ac·sin(p·t + δ –ε).
8. По начальным условиям движения точки определяют постоянные интегрирования по формулам, приведённым в разделе 2
данного учебно-методического пособия.
9. Полученное решение Y = f(t) иллюстрируется соответствующими графиками.
2.9. Пример решения задачи на свободные колебания
груза по гладкой наклонной поверхности
Условие задачи.
Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой
наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента
соприкосновения груза с системой пружин, предполагая, что при
дальнейшем движении груз от пружины не отделяется (рис. 2.18).
Рис. 2.18
Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости
(α = 30о) расстояние S = 0,1 м, груз D (m = 4 кг) ударяется о недеформированные последовательно соединённые пружины, имеющие
коэффициенты жёсткости с1 = 48 Н/см и с2 = 24 Н/см.
Движение груза отнести к оси ОХ, наклоненной к горизонтальной поверхности под углом α, приняв за начало отсчёта положение
покоя груза (при статической деформации пружин).
Решение.
Так как груз будет совершать поступательное движение, то его
можно рассматривать как материальную точку, совершающую колебания в заданной системе отсчёта ОХ, начало которой находится в
положении статического равновесия груза (рис. 2.19).
71
Рис. 2.19
На рис. 2.19 использованы следующие условные обозначения:
l0 – длина недеформированной пружины с эквивалентной жёсткостью «с»; fst – деформация пружины в положении статического равновесия материальной точки; G – сила тяжести; N – нормальная реакция гладкой поверхности; Fynst – сила упругости пружины в положении статического равновесия материальной точки; X0 – начальная
координата точки; V0 – начальная скорость точки; X = f(t) – текущее
значение координаты точки; V, a – текущие значения скорости и
ускорения точки; Fyn – текущее значение силы упругости эквивалентной пружины; Δ – текущее значение деформации эквивалентной пружины.
Так как жесткость пружины имеет размерность [Н/м], то:
с1 = 48 Н/см = 4800 Н/м; с2 = 24 Н/см = 2400 Н/м. Заменим последовательно соединённые пружины с жёсткостями с1, с2 одной эквивалентной пружиной с жёсткостью «с».
с = (с1·с2)/(с1+ с2) = (4800·2400)/(4800 + 2400) = 1600 Н/м.
ПРИМЕЧАНИЕ.
При параллельном соединении пружин жёсткость
эквивалентной пружины определяют по формуле
с = с1 + с2.
Для определения величины fst рассмотрим равновесие материальной точки. Геометрическое условие равновесия точки имеет вид
ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fynst = 0. Спроецируем это векторное равенство
на ось ОХ.
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX = 0 = G·sin(α) – Fynst = m·g·sin(α) – c·fst = 0.
Отсюда имеем
fst = m·g·sin(α)/с = (4·9,81·0,5)/1600 = 0,012 м.
72
В момент соприкосновения груза с пружиной начальная координата X0 = – fst = – 0,012 м.
Для определения начальной скорости V0 рассмотрим движение
груза, приняв его за материальную точку, в системе отсчёта О1Х1
(рис. 2.20).
Рис. 2.20
Согласно задаче начальные условия движения груза имеют
 = 0.
вид: Х10 = 0; X
10
Запишем дифференциальные уравнения движения груза и
дважды проинтегрируем его:
 = G·sin(α) = m·g·sin(α);
m· X
1
 = g·sin(α)·t + С1;
X
1
Х1 = g·sin(α)·(t2/2) + С1·t + С2.
Определим постоянные интегрирования. Поскольку Х10 = 0 и
 = g·sin(α)·t;
X = 0, то имеем С1 = 0 и С2 = 0. Тогда: X
1
10
2
Х1 = g·sinα·(t /2).
За время ts груз проходит расстояние S и соприкасается с пружиной. Исходя из этого, получим
V0 = g·sin(α)·ts ; S = g·sin(α)·((ts)2/2).
Решая эти уравнения, получим:
ts = 2  S /(g  sin(  )) = 2  0,1/(9,81 0,5) = 0,201 c;
V0 = 9,81·0,5·0,201 = 0,990 м/с.
73
Таким образом, начальные условия движения точки при её кон = 0,990 м/с.
такте с пружиной определены: X0 = – 0,012 м; X
0
Рассмотрим движение материальной точки в системе отсчёта
ОХ в произвольный момент времени (см. рис. 2.19). На точку действуют следующие силы: G, N, Fyn. Необходимо отметить, что модуль силы Fyn = с·Δ является переменной величиной, так как деформация Δ пружины зависит от координаты точки Х = f(t), которая
является функцией от времени.
Fyn = c·Δ = c·(fst + X).
Основное уравнение динамики для точки имеет вид
m·a = ΣFiE + ΣRiE = G + N + Fyn.
Запишем дифференциальное уравнение движения точки:
 = G·sin(α) – Fyn =
m· X
= m·g·sin(α) – c·(fst + X) = m·g·sin(α) – c·fst – c·X.
Из условия равновесия точки было получено равенство
m·g·sin(α) – c·fst = 0.
Используя это равенство, получим
 + c·X = 0 или X
 + (c/m)·X = 0.
m· X
Последнее выражение приведём к стандартному виду:
 + k2 ·X = 0,
X
где k = c/m – циклическая частота свободных колебаний.
k = c/m = 1600/4 = 20 с-1.
Таким образом, материальная точка совершает свободные колебания около положения своего статического равновесия. Уравнение этого движения имеет вид
Х = A·sin(k·t + β),
где А – амплитуда свободных колебаний; β – начальная фаза.
 /k)2 =
A = (X0 )2 + (X
0
( 0,012)2  (0,990 / 20)2 = 0,050 м;
sin(β) = Х0/A = – 0,012/0,050 = – 0,239;
 /(A·k) = 0,990/(0,050·20) = 0,972.
cos(β) = X
0
Поскольку sin(β) < 0, a cos(β) > 0, то величину угла β можно
определить по формуле
β = π – α,
где α = аrcsin(0,239) = 0,237 рад или α = аrccos(0,972) = 0,237 рад.
При этом значении величины угла α начальная фаза β имеет
значение
β = 3,14 – 0,237 = 2,903 рад.
Уравнение колебательного движения груза имеет вид
Х = 0,05·sin(20·t + 2,903).
74
График движения этого груза приведён на рис. 2.21.
Рис. 2.21
Таким образом, задача решена. Установлено, что груз совершает гармонические колебания около положения своего статического равновесия.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Записать формулу для определения модуля силы упругости пружины.
2. Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний точки.
3. Записать уравнения свободных колебаний точки.
4. Сформулировать определение понятия «амплитуда свободных колебаний точки».
5. Сформулировать определение понятия «период свободных
колебаний точки».
6. Сформулировать определение понятия «циклическая частота свободных колебаний точки».
7. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний точки.
8. Записать уравнения затухающих колебаний точки.
9. Сформулировать определение понятия «период затухающих колебаний точки».
10. Сформулировать определение понятия «амплитуда затухающих колебаний точки».
11. Какие колебания называют колебаниями с малым сопротивлением внешней среды?
12. Записать уравнения апериодического движения точки.
75
13. Под действием каких сил происходят вынужденные колебания материальной точки?
14. Записать формулу для определения периода возмущающей силы.
15. Записать дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей и возмущающей сил.
16. Записать уравнение вынужденных колебаний малой частоты.
17. Записать уравнение вынужденных колебаний большой
частоты.
18. Записать условие, при котором происходит явление резонанса.
19. Записать дифференциальное уравнение движения точки,
происходящее под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону, и
силы сопротивления движению, пропорциональной первой степени скорости.
76
3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
3.1. Дифференциальные уравнения относительного
движения материальной точки.
Переносная и кориолисова силы инерции
Два первых закона классической механики и полученные на их
основе уравнения справедливы при движении точки в инерциальной
системе отсчёта (ИСО). Существует ряд технических задач, в которых рассматривают движение материальной точки в подвижной системе отсчёта (ПСО), которая в общем случае не является инерциальной.
Инерциальная система отсчёта – система отсчёта, по
отношению к которой изолированная материальная точка
находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Система отсчёта, не обладающая этим свойством, называется
неинерциальной системой отсчёта
Рассмотрим движение материальной точки под действием активных сил FiЕ и реакций RiЕ относительно подвижной неинерциальной системы отсчёта OXYZ (рис. 3.1).
Напомним некоторые понятия кинематики, используемые в
данном разделе динамики точки.
Движение точки по отношению к неподвижной системе отсчёта
O1X1Y1Z1 называется абсолютным и характеризуется абсолютной скоростью V и абсолютным ускорением a. Положение точки на траектории абсолютного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями абсолютного движения:
X1 = f1(t); Y1 = f2(t); Z1 = f3(t).
Неподвижная система отсчёта O1X1Y1Z1 является инерциальной. В этой системе отсчёта основное уравнение динамики имеет
вид
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ,
где FiЕ – активная сила; RiЕ – реакция внешней связи.
77
Рис. 3.1
Движение точки по отношению к подвижной системе отсчёта
OXYZ называется относительным и характеризуется относительной скоростью Vr и относительным ускорением ar. Положение точки на траектории относительного движения определяется тремя зависящими от времени координатами, которые называются уравнениями относительного движения:
X = f4(t); Y = f5(t); Z = f6(t).
Подвижная система отсчёта OXYZ не является инерциальной.
Применение в чистом виде первого и второго законов классической
механики в ПСО неправомерно.
Рассмотрим переносное движение точки (рис. 3.2) и напомним
суть некоторых понятий кинематики, используемых в этом разделе
динамики.
Если координаты точки в ПСО постоянны (Х = C1 = const;
Y = C2 = const; Z = C3 = const), то движение этой точки вместе с ПСО
по отношению к неподвижной системе отсчёта называют переносным движением. Это движение характеризуется переносной скоростью Ve и переносным ускорением ae. Положение точки на
траектории переносного движения определяется тремя зависящими
от времени координатами, которые называют уравнениями переносного движения:
X1I = f7(t) Y1I = f8(t) Z1I = f9(t).
78
Рис. 3.2
Из курса кинематики известно, что абсолютное ускорение a точки определяют по формуле
a = ar + ae + ac,
где ar – относительное ускорение; ae – переносное ускорение;
ac – ускорение Кориолиса.
Ускорение Кориолиса определяют по формуле
ac = 2(  e × Vr),
 e – вектор угловой скорости переносного вращения.
где 
Модуль кориолисова ускорения находят по формуле
ac = 2ωe·Vr·sin(  e ,Vr),
 е I – модуль угловой скорости  е переносного вращения.
где ωе = I 
Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:
1) если ωe = 0, т. е. в случае поступательного переносного
е
движения или в момент обращения в нуль угловой скорости 
непоступательного переносного движения;
2) если Vr = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в
момент равенства нулю относительной скорости движущейся
точки;
79
 e ,Vr) = 0, т. е. в случае, когда вектор относитель3) если sin( 
 e паной скорости Vr и вектор переносной угловой скорости 
раллельны.
Направление кориолисова ускорения определяется по правилу
векторного произведения. Согласно этому правилу вектор ac одно e и Vr. При этом ac направвременно перпендикулярен векторам 
 e к вектору Vr для совмелено в сторону, откуда поворот вектора 
щения их направлений виден происходящим против хода часовой
стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180о.
Направление ускорения Кориолиса находят также по правилу
Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса
необходимо относительную скорость Vr точки спроецировать на
плоскость, перпендикулярную оси вращения, и повернуть эту
проекцию в той же плоскости на угол 90о в сторону переносного
вращения.
Если подставим абсолютное ускорение a = ar + ae + ac в основное уравнение динамики точки m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ, то получим
m·(ar + ae + ac) = ΣFiЕ + ΣRiЕ.
Разрешим это уравнение относительно m·ar:
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ – m·ae – m·ac.
Введём два вектора: Фе = – m·ae; Фс = – m·ac. Эти векторы
назовем переносной и кориолисовой силами инерции.
При исследовании движения механических систем в теоретической механике используют следующие понятия.
Сила инерции – величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно этому ускорению.
Переносная сила инерции при рассмотрении движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её переносное
ускорение и направленная противоположно этому ускорению.
Кориолисова сила инерции при рассмотрении движения
точки в неинерциальной системе отсчёта – величина, равная
произведению массы точки на её кориолисово ускорение и
направленная противоположно этому ускорению.
80
Используя понятия переносной и кориолисовой сил инерции,
получим
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе + Фс.
Последнее выражение называют дифференциальным уравнением относительного движения точки в векторной форме или основным уравнением динамики относительного движения.
Произведение массы m точки на её относительное ускорение
ar равно геометрической сумме активных сил FiЕ, реакций
внешних связей RiЕ, переносной силы инерции Фе и кориолисовой силы инерции Фс.
Проецируя последнее векторное равенство на координатные
оси ПСО, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки:
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· X
iOX
iOX
еОХ + ФсОХ ;
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· Y
еОY + ФсОY ;
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· Z
iOZ
iOZ
еОZ + ФсОZ .
Произведение массы точки на проекцию её относительного
ускорения на координатную ось ПСО равно сумме проекций
активных сил, реакций внешних связей и переносной и кориолисовой сил инерции на ту же ось.
Силы инерции Фе, Фс направлены противоположно ускорениям
ae, ac (рис. 3.3).
Рис. 3.3
81
Дифференциальные уравнения относительного движения точки
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· X
iOX
iOX
еОХ + ФсОХ ;
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· Y
еОY + ФсОY ;
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE + Ф
m· Z
iOZ
iOZ
еОZ + ФсОZ
отличаются от дифференциальных уравнений движения точки в
инерциальной системе отсчёта (см. раздел 1)
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE
m· Z
iOZ
iOZ
наличием в правой части этих уравнений проекций на соответствующие координатные оси переносной и кориолисовой сил инерции.
3.2. Частные случаи относительного движения
материальной точки
Случай 1.
Переносное движение – неравномерное вращение тела вокруг
неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное (рис.
3.4).
В этом случае переносное ускорение ae равно геометрической
сумме центростремительного и вращательного ускорений:
ae = aeω + aeε ,
ω
ε
где ae , a e – соответственно центростремительное и вращательное переносные ускорения.
В соответствии с этим имеем
ω
ε
ε
ω
ε
ω
Фе = – m·ae = – m·( ae + ae ) = – m· ae – m· a e = Фе + Ф е ,
ω
ω
где Фе = – m· ae – центробежная переносная сила инерции;
Ф εе = – m· aeε – вращательная переносная сила инерции.
Для рассматриваемого случая модули переносных центробежной и вращательной сил инерции находят по формулам:
Фωе = m·(ωe)2·Х;
Фεе = m·εе·Х,
82
 е I, εе = I 
 е I – соответственно модули угловой скорости и
где ωе = I 
углового ускорения переносного вращения.
Рис. 3.4
Основное уравнение динамики и дифференциальные уравнения относительного движения точки в этом случае описываются
следующими выражениями:
ε
ω
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе + Ф е + Фс;
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Фε + Ф ;
m· X
iOX
iOX
eOX
eOX
сОХ
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Фε + Ф ;
m· Y
iOY
iOY
eOY
eOY
сОY
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Фε + Ф .
m· Z
сОZ
iOZ
iOZ
eOZ
eOZ
Случай 2.
 е = const)
Переносное движение – равномерное вращение ( 
вокруг неподвижной оси, относительное движение – прямолинейное
(рис. 3.5).
83
 е = 0
В этом случае угловое ускорение переносного вращения 
ε
и, следовательно, переносная вращательная сила инерции Ф е = 0.
Рис. 3.5
Тогда основное уравнение динамики и дифференциальные
уравнения относительного движения точки описываются выражениями:
ω
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе + Фс;
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Ф ;
m· X
iOX
iOX
eOX
сОХ
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Ф ;
m· Y
iOY
iOY
eOY
сОY
 = Σ FE + Σ RE + Фω + Ф .
m· Z
сОZ
iOZ
iOZ
eOZ
Случай 3.
Переносное движение – поступательное неравномерное криволинейное движение, относительное движение – прямолинейное
(рис. 3.6).
84
Рис. 3.6
Согласно рис. 3.6 механизм содержит кривошипы 1, 2 и прямоугольную пластину 3, по которой перемещается материальная точка
по закону Х = f(t). При этом О1А = О2В. Кривошипы 1, 2 совершают
 1,  2 . Пластина 3
вращательные движения с угловыми скоростями 
совершает поступательное движение. Так как О1А = О2В, то φ1 = φ2,
1 = 
 2 .
 1 =  2 , 
Исходя из этого, имеем: ω3 = ωе = 0 = const; ε3 = εe = 0, где ω3 –
модуль угловой скорости тела 3; ωе – модуль угловой скорости переносного вращения.
Поскольку кориолисова сила Фс = 0, то основное уравнение динамики относительного движения принимает вид
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе,
где Фе = – m·ae – переносная сила инерции.
Так как переносное движение является поступательным, то его
ускорение ae равно ускорению точки А тела 3. С другой стороны,
точка А принадлежит кривошипу О1А, совершающему вращательное
неравномерное движение (ω1 ≠ 0; ε1 ≠ 0). Тогда
ae = aА = aAω + aAε = aАn  aАτ = aen  aeτ ,
85
ω
ε
где a A , aA – соответственно центростремительное и вращательное
ускорения точки А кривошипа О1А; aAn , aA – нормальное и касательное ускорения точки А тела 3; a en , a eτ – соответственно нормальное и касательное переносные ускорения.
Отсюда вытекает очевидные равенства:
aen = aAω = (ω1)2·r; aeτ = aAε = ε1·r;
Фen = – m· aen ; Феτ = – m· a eτ ,
где Фen , Феτ – переносные нормальная и касательная силы
инерции.
С учетом того, что Фе = Фen + Феτ , имеем:
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фen + Феτ ;
 = Σ FE + Σ RE + Фn + Ф  ;
m· X
iOX
iOX
eOX
eOX
 = Σ FE + Σ RE + Фn + Ф ;
m· Y
iOY
iOY
eOY
eOY
 = Σ FE + Σ RE + Фn + Ф  .
m· Z
iOZ
iOZ
eOZ
eOZ
Случай 4.
Переносное движение – поступательное прямолинейное и равномерное. В этом случае имеем: ωе = 0; ae = 0 и, следовательно,
Фс = 0, Фе = 0. Тогда основное уравнение динамики относительного
движения принимает вид
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ.
Это уравнение не отличается от основного уравнения динамики
материальной точки в инерциальной системе отсчёта, которое имеет вид
m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ.
3.3. Принцип относительности классической механики.
Инерциальные системы отсчёта
Сопоставление основного уравнения динамики относительного
движения точки (m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ) с основным уравнением динамики абсолютного движения (m·a = ΣFiЕ + ΣRiЕ) показывает, что при
равномерном прямолинейном поступательном переносном движении относительное движение с динамической точки зрения не отличается от абсолютного движения.
Таким образом, относительное движение материальной точки
по отношению к подвижной системе отсчёта, движущейся поступа86
тельно, прямолинейно и равномерно, происходит так же, как и по
отношению к неподвижной системе отсчёта. Все такие подвижные
системы являются инерциальными системами отсчёта, и, следовательно, движение материальной точки относительно любой из этих
систем можно рассматривать как абсолютное движение. Это положение называют принципом относительности классической
механики, которое формулируется следующим образом: никакие
механические явления, происходящие в среде, не могут обнаружить её прямолинейного и равномерного поступательного
движения.
3.4. Алгоритм решения задач на динамику
относительного движения материальной точки
Задачи динамики относительного движения материальной точки рекомендуется решать по следующему алгоритму.
1. Разложить абсолютное движение материальной точки на относительное и переносное движения.
2. Выбрать неподвижную инерциальную систему отсчёта
O1X1Y1Z1.
3. Выбрать подвижную неинерциальную систему отсчёта OXYZ,
связав её с телом, по которому точка совершает относительное
движение.
4. Показать на рисунке траекторию относительного движения.
5. Материальную точку изобразить на траектории относительного движения в произвольный момент времени, предположив,
что точка имеет положительные координаты и движется в сторону увеличения этих координат ускоренно. Показать на рисунке относительную скорость Vr и относительное ускорение ar.
6. Определить начальные условия относительного движения
точки (Х0, Vr0) и показать их на рисунке.
7. Определить траекторию переносного движения и показать её
на рисунке.
8. Показать на рисунке переносную скорость Vе и переносное
ускорение aе в предположении, что точка имеет положительные
координаты и движется в сторону увеличения этих координат
ускоренно.
9. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки в общем виде: m·ar = Σ FiЕ + Σ RiЕ + Фе + Фс.
87
10. Определить ускорение Кориолиса ac и показать его на рисунке.
11. Определить кориолисову силу инерции Фс и отобразить её
на рисунке.
12. Определить переносное ускорение aе и переносную силу
инерции Фе. Показать эти векторы на рисунке;
13. Приложить к материальной точке активные силы FiЕ и реакции внешних связей RiЕ.
14. Составить дифференциальные уравнения движения относительного движения точки, спроецировав векторное равенство
m·ar = Σ FiЕ + Σ RiЕ + Фе + Фс на координатные оси подвижной
системы отсчёта.
15. Проинтегрировать составленные дифференциальные уравнения, определив постоянные интегрирования с помощью
начальных условий движения.
16. Определить искомые величины.
ПРИМЕЧАНИЕ.
При относительном криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться дифференциальными уравнениями движения в проекциях на оси
натурального триэдра.
3.5. Варианты курсового задания Д 2
«Исследование относительного движения
материальной точки»
Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела А (табл. 3.1).
Тело А равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и 30 ось вращения O1Z1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения О1Х1 горизонтальна). В вариантах 5, 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29
тело А движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости O1Y1Z1.
В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика
 e – постоянная переносная угловая скорость тела А (в варианМ; 
тах 1 – 4, 7, 10 – 12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30);  – постоянная угловая скорость кривошипов О1В и О2С (в вариантах 6, 17, 22); с – коэффициент жёсткости пружины, к которой прикреплён шарик М;
88
l0 – длина недеформированной пружины; f – коэффициент трения
 – начальная координаскольжения шарика по стенке канала; Х0, X
0
та и проекция начальной скорости на ось ОХ.
Найти уравнение относительного движения этого шарика
(Х = f(t) = ?), приняв за начало отсчета точку О.
Найти также координату Х(t1) и модуль давления шарика на
стенку канала N(t1) при заданном значении времени t1. Расчётные
схемы рассматриваемых механизмов и данные, необходимые для
решения задания, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
Исходные данные
2
3
1
m = 0,02 кг;
 е = π рад/с;
Х0 = 0 м;
Х = 0,4, м/с;
0
t1 = 0,5 c;
f=0
2
m = 0,02 кг;
 е = π рад/с;
Х 0 = 0 м;
Х = 0,2 м/с;
0
t1 = 0,4 c;
r = 0,15 м;
f=0
89
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 45о;
m = 0,03 кг;
 е = 2·π рад/с;
Х 0 = 0,5 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
f=0
3
m = 0,09 кг;
 е = 4·π рад/с;
Х 0 = 0,2 м;
Х = – 0,4 м/с;
0
t1 = 0,1 c;
с = 0,36 Н/м;
l0 = 0,15 м;
f=0
4
α = 60о;
m = 0,02 кг;
Х 0 = 0,6 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
Y1 = 0,6 –2·t3 м;
f=0
5
90
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
m = 0,01 кг;
= 10·π рад/с;
Х 0 = 0,5 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
O1В = О2С = r;
r = 0,10 м;
f=0

6
7
m = 0,03 кг;
 е = 2·π рад/с;
Х 0 = 0,3 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
h = 0,20 м;
f=0
8
α = 30о;
m = 0,03 кг;
Х 0 = 0,8 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
Z1 = 0,1·cos(2·π·t) м;
f=0
91
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 30о;
m = 0,02 кг;
Х0 = 0,4 м;
 = 0 м/с;
Х
0
c = 0,20 Н/м;
l0 = 0,20 м;
t1 = 0,1 c;
Y1 = 4·t3 м;
f=0
9
α = 60о;
m = 0,05 кг;
 е = 6·π рад/с;
Х 0 = 0,4 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
r = 0,20 м;
f=0
10
α = 30о;
m = 0,05 кг;
 е = π рад/с;
Х 0 = 0 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,4 c;
f=0
11
92
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
m = 0,08 кг;
 е = 6·π рад/с;
Х 0 = 0,05 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
c = 0,20 Н/м;
l0 = 0,10 м;
f=0
12
m = 0,01 кг;
Х 0 = 0 м;
Х = 0,5 м/с;
0
t1 = 0,2 c;
Z1 = 5 – 10·t2 м;
f = 0,1
13
m = 0,05 кг;
 е = 4·π рад/с;
Х 0 = 0,5 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
r = 0,20 м;
f = 0,2
14
93
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
m = 0,01 кг;
 е = π рад/с;
Х 0 = 0,5 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 1,0 c;
f=0
15
α = 45о;
m = 0,02 кг;
Х 0 = 1,0 м;
Х = 2,0 м/с;
0
t1 = 0,1 c;
Y1 = 0,06·t3 м;
f=0
16
m = 0,01 кг;
 = 6·π рад/с;
Х 0 = 0 м;
 = 4,0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
O1B = О2С = r;
r = 0,20 м;
f=0
17
94
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 40о;
m = 0,02 кг;
Х 0 = 0,6 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
Y1 = 0,1·sin(π·t) м;
f=0
18
m = 0,08 кг;
Х 0 = 0,4 м;
 = – 0,8 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
c = 0,40 Н/м;
l0 = 0,20 м;
Y1 =8·t – t3 м;
f=0
19
m = 0,01 кг;
 е = 10·π рад/с;
Х 0 = 0,1 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
с = 0,20 Н/м;
l0 = 0,10 м;
f=0
20
95
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 30о;
m = 0,05 кг;
Х 0 = 0,5 м;
 = 0,1 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
Y1 =2 + t2 м;
f=0
21
m = 0,03 кг;
 = 4·π рад/с;
Х 0 = 0,1 м;
 = 3,0 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
O1В = О2С = r;
r = 0,10 м;
f=0
22
m = 0,01 кг;
 е = π рад/с;
Х 0 = – 0,5 м;
 = – 0,1 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
f=0
23
96
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 60о;
m = 0,01 кг;
Х 0 = 0 м;
 = 0,2 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
Y1 = 0,1·cos(1,5·π·t)
м;
f=0
24
m = 0,05 кг;
 е = 2·π рад/с;
Х 0 = 0,1 м;
 = – 0,4 м/с;
Х
0
t1 = 0,1 c;
c = 0,20 Н/м;
l0 = 0,20 м;
f=0
25
m = 0,09 кг;
 е = π рад/с;
Х 0 = 0,2 м;
Х = 0,3 м/с;
0
t1 = 0,1 c;
с = 0,20 Н/м;
l0 = 0,10 м;
f=0
26
97
Продолжение табл. 3.1
1
2
3
α = 75о;
m = 0,02 кг;
Х 0 = 1,0 м;
Х = 0,6 м/с;
0
t1 = 0,3 c;
Z1 = 0,1·sin(0,5·π·t) м;
f=0
27
m = 0,03 кг;
Х 0 = 0,8 м;
 = 0 м/с;
Х
0
t1 = 0,3 c;
Y1 = 8 – 5t3 м;
f = 0,1
28
α = 60о;
m = 0,10 кг;
Х 0 = 0,4 м;
 = 1,0 м/с;
Х
0
c = 0,20 Н/м;
l0 = 0,20 м;
t1 = 0,1 c;
Y1 = 8 + t3 м;
f=0
29
98
Окончание табл. 3.1
1
2
3
α = 50о;
m = 0,02 кг;
 е = π/2 рад/с;
Х 0 = 0 м;
 = 0,5 м/с;
Х
0
t1 = 0,2 c;
r = 0,50 м;
f=0
30
3.6. Пример выполнения курсового задания Д 2
Рассмотрим подробно пример выполнения этого задания.
Условие задания.
Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по прямолинейному цилиндрическому каналу движущегося
тела А (рис. 3.7).
Найти уравнение относительного движения шарика Х = f(t), приняв за начало координат точку О. Тело А равномерно вращается относительно вертикальной неподвижной оси O1Z1.
Найти также координату Х(t1) и модуль давления N(t1) шарика на
стенку канала при заданном значении времени t1.
Дано: масса шарика m = 0,09 кг; переносная угловая скорость
вращения тела  = e = π рад/с; начальная координата Х0 = 0, 2 м;
проекция начальной относительной скорости Vr0 на координатную
 = 0,3 м/с; значение времени,
ось ОХ подвижной системы отсчета Х
0
для которого определяются искомые величины t1 = 0,1 c; коэффициент жёсткости пружины с = 0,20 Н/см = 20 Н/м; длина свободной
недеформированной пружины l0 = 0,1 м; коэффициент трения
скольжения шарика о стенки канала f = 0.
99
Рис. 3.7
Решение.
Шарик в канале совершает сложное движение, поэтому необходимо рассматривать его движение как сумму относительного и переносного движений. Введём подвижную (ПСО) и неподвижную
(ИСО) системы отсчёта (рис. 3.8).
Рис. 3.8
100
ИСО выбираем так, чтобы ось O1Z1 являлась осью вращения
тела А. ПСО закрепляем на теле А таким образом, чтобы ось ОХ
совпадала с траекторией относительного движения точки. ПСО
вместе с телом А совершает вращательное движение с переносной
 e =  , вектор  e которой расположен на оси
угловой скоростью 
O1Z1 и направлен вверх.
Изобразим точку М на траектории относительного движения в
произвольный момент времени (Х = f(t) > 0). При этом текущие значения относительной скорости Vr и относительного ускорения ar
направлены в сторону возрастания координаты Х. Изобразим на
рис. 3.8 начальную координату Х0 и начальную относительную ско > 0, то вектор Vr0 направрость Vr0. Так как по условию задания Х
0
лен в сторону возрастания координаты Х.
Траекторией переносного движения является окружность с центром О на оси O1Z1 вращения и радиусом r = OM = Х = f(t). Переносная скорость Vе направлена так, как это показано на рис. 3.8 – параллельна координатной оси OY подвижной системы отсчёта.
Поскольку переносное вращение является равномерным
 e I = ωe = const, где ωе – модуль переносной угловой скорости
(I 
 e ), то переносное ускорение
ae = aMω ,
ω
где aM – центростремительное ускорение точки М тела А.
aMω = (ωе)2·ОМ = (ωе)2·Х.
Согласно правилу векторного произведения (или правилу Жу e ×Vr) направлено так же, как
ковского) ускорение Кориолиса (ac = 2 
и вектор Vе переносной скорости. Модуль ускорения ac Кориолиса
равен
ac = 2·ωe·Vr·sin(  e ,Vr) = 2·ωe·Vr·sin(900) = 2·ωe·Vr·1 = 2·ωe·Vr.
Деформация Δ пружины в произвольный момент времени определяется формулой
Δ = Х – l0 .
На рис. 3.8 приведены только кинематические характеристики
точки М при её относительном движении.
Запишем основное уравнение динамики относительного движения.
m·ar = ΣFiЕ + ΣRiЕ + Фе + Фс.
Определим силы, действующие на материальную точку, и покажем их на рис. 3.9.
101
Рис. 3.9
Кориолисова сила инерции Фс направлена противоположно кориолисову ускорению aс, а её модуль равен
Φс = m·ac = m·(2·ωe·Vr).
Переносная сила инерции Фе направлена противоположно переносному ускорению aе, а её модуль равен
Φе = m·ae = m·(ωe)2·Х.
К реакциям внешних связей RiЕ относятся силы: Fyn – сила упругости пружины; N1, N2 – реакции гладкой поверхности канала, по которому перемещается точка М.
Fyn = c·Δ = c·(Х – l0).
Реакция N1 направлена вертикально вверх (навстречу вектору
G силы тяжести точки). Реакция N2 расположена в горизонтальной
плоскости OXY и направлена противоположно вектору Фс кориолисовой силы инерции.
С учётом изложенного основное уравнение динамики относительного движения принимает вид
m·ar = G + Fyn + N1 + N2 + Фе + Фс.
Запишем дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Для этого последнее векторное выражение спроецируем на координатные оси ПСО:
102
 = – Fyn + Φe = – c·Δ + m·(ωe)2·Х = – c·(Х – l0) + m·(ωe)2·Х =
m· Х
= – c·x + c·l0 + m·(ωe)2·Х;
(1)
 = N2 – Φc = N2 – m·(2·ωe· X
 );
m· Y
(2)
 = – G + N1.
m· Z
(3)
Поскольку относительное ускорение ar на координатные оси OY,
 = 0; Z
 = 0), то с учётом исходных данных
OZ не проецируется ( Y
курсового задания уравнения (2), (3) принимают вид:
 );
N2 = m·(2·ωe· X
(2I)
N1 = m·g.
(3I)
Дифференциальное уравнение (1) приведем к виду
 + (c/m – (ωe)2)·X = c·l0/m.
(1I)
Х
Поскольку c/m – (ωe)2 = k2 и c·l0/m = b = const, то уравнение (1I)
принимает вид
 + k2·X = b.
(1II)
Х
Согласно положениям высшей математики общее решение
дифференциального уравнения (1II) будем искать по формуле
X = X* + X**,
где X* – общее решение дифференциального уравнения вида
 + k2·X = 0; X** – частное решение дифференциального уравнения
Х
(1II).
Приступаем к определению общего решения X* дифференци + k2·X = 0. Это решение зависит от знака
ального уравнения вида Х
величины c/m – (ωe)2 = k2. Если k2 > 0, то X* = A·sin(k·t + β). Если
k2 < 0, то X* = C1·ek·t + C2·e-k·t. Определим значения k2 и k:
k2 = c/m – (ωe)2 = 20/0,09 – (3,14)2 = 22,540 c-2 > 0; k = 4,747 c-1.
Поскольку k2 > 0, то X* = A·sin(4,747·t + β).
Частное решение X** дифференциального уравнения (1II) зависит от вида его правой части. Поскольку его правая часть постоянна
(b = c·l0/m = const), то его частное решение будем искать в виде
X**= B = const.
При частном решении уравнение (1II) принимает вид
 ** + k2 ·X** = b.
Х
 ) = 0, то имеем k2·B = c·l0/m. Отсюда получим
 ** = ( В
Так как Х
B = (c·l0/m)/k2 = (20·0,1/0,09)/22,54 = 0,985 м.
Итак, общее решение дифференциального уравнения (1) имеет
вид
X = X* + X** = A·sin(4,747·t + β) + 0,985,
103
где А и β – постоянные интегрирования, зависящие от начальных
условий относительного движения.
 = 0,3 м/с. Для определения поВ нашем случае: X0 = 0,2 м; Х
0
стоянных интегрирования А и β определим проекцию относительной
скорости Vr на ось ОХ.
 = dX/dt = A·cos(4,747·t + β)·4,747.
Х
При t0 = 0 имеем:
X0 = 0,2 = A·sin(β) + 0,985;
 = 0,3 = A·cos(β)·4,747.
Х
0
Преобразуем эту систему уравнений к виду:
0,2 – 0,985 = A·sin(β) = – 0,785;
0,3/4,747 = A·cos(β) = 0,063.
Возведя в квадратную степень левые и правые части уравнений
и сложив их, получим:
A = (-0,785)2 + (0,063)2 = 0,787 м;
sin(β) = – 0,785/A = – 0,785/0,787 = – 0,997;
cos(β) = 0,063/0,787 = 0,080.
Поскольку sin(β) < 0, а cos(β) > 0, то величину угла β определим
по формуле β = 2π – α, где α = arcsin(0,987) = 1,482 рад или
α = arcсоs(0,080) = 1,482 рад. Тогда
β = 2·π – α = 2·3,14 – 1,482 = 4,798 рад.
В окончательном виде имеем:
X = 0,787·sin(4,747·t + 4,798);
 = 3,776·cos(4,747·t + 4,798).
Х
По условиям задания кроме значения координаты X(t1) необходимо определить модуль N(t1) нормальной реакции N в момент времени t1.
N(t1) = (N1(t1 ))2 + (N2 (t1 ))2 .
С учетом выражений (2I), (3I) имеем
 (t ))2 .
N(t1) = (m  g)2 + (m  (ωe )2  X
1
Результаты расчётов помещают в таблицу.
Уравнение относительного движения точки
X = 0,787·sin(4,747·t + 4,798)
Вычисляемые величины
X(t1), м
 ( t ) , м/с
X
1
N(t1), H
0,666
2,006
1,986
104
По результатам решения желательно построить графики зависимостей X = f1(t), N = f2(t).
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Записать основное уравнение динамики относительного движения.
2. Записать формулу для определения переносной силы
инерции.
3. Записать формулу для определения кориолисовой силы
инерции.
4. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение
есть неравномерное вращение относительно неподвижной оси,
а относительное движение прямолинейное.
5. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение
есть равномерное вращение относительно неподвижной оси, а
относительное движение прямолинейное.
6. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение
есть поступательное неравномерное криволинейное движение,
а относительное движение прямолинейное.
7. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение
есть прямолинейное и равномерное движение, а относительное
движение прямолинейное.
8. Сформулировать принцип относительности классической механики.
105
4. ГЕОМЕТРИЯ МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
4.1. Центр масс механической системы
Напомним некоторые понятия, которые широко применяются в
этом учебно-методическом пособии.
Механической системой называют такую совокупность материальных точек, в которой положение или движение каждой точки
зависит от положения и движения всех остальных.
Механическую систему, движение которой не ограничено связями, а определяется только действующими на неё силами, называют свободной механической системой.
Механическая система, движение которой ограничивается
наложенными на её точки внешними связями, называется несвободной механической системой.
Все силы, действующие на точки механической системы, делят
на внешние и внутренние силы.
Внешними называют силы, действующие на точки данной механической системы со стороны материальных тел, не входящих в
данную механическую систему.
К внешним силам относятся активные (задаваемые) силы и
реакции внешних связей. Активные силы условимся обозначать
FiE , реакции внешних связей – R Ei .
Внутренними силами называют силы взаимодействия между
точками данной механической системы. Внутренние силы условимся обозначать R iJ .
Неизменяемая механическая система – механическая система, в которой материальные точки имеют постоянные массы, а
связи между точками не деформируются.
Следует отметить, что в данном учебно-методическом пособии
рассматриваются только неизменяемые механические системы.
Движение точек механической системы зависит от активных сил
E
Fi , реакций внешних связей R Ei и внутренних сил R iJ .
Рассмотрим движение несвободной механической системы в
инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 4.1).
106
На рис. 4.1 использованы следующие обозначения: VCi, aCi –
скорость и ускорение центра Ci тяжести i-й точки механической системы; FiE , R Ei , R iJ – соответственно активная сила, реакция внешней связи, внутренняя сила, приложенные к i-й точке механической
системы; XCi, YCi, ZCi – координаты конца радиус-вектора rCi центра
тяжести i-й точки механической системы; VC, aC – скорость, ускорение центра масс механической системы; FE = Σ FiE , R E = Σ R Ei , R J =
Σ R iJ – соответственно главные векторы активных сил, реакций
внешних связей, внутренних сил; XC, YC, ZC – координаты конца радиус-вектора rC центра масс механической системы.
Рис. 4.1
Необходимо отметить, что для неизменяемых механических
систем главный вектор внутренних сил R J = Σ R iJ всегда равен нулю
( R J = 0).
Каждая i-я точка механической системы имеет определённую
массу mCi , а её положение в системе отсчёта OXYZ в любой момент
времени определяется радиус-вектором rCi или тремя координатами: XCi, YCi, ZCi.
За центр масс механической системы принимают геометрическую точку С, радиус-вектор которой равен
rC = ΣmCi·rCi/m,
107
где m – масса механической системы.
Массу m механической системы определяют по формуле
m = ΣmCi.
Центр масс механической системы – геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных
точек, образующих механическую систему, на их радиусвекторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
Проецируя векторное равенство rC = ΣmCi·rCi/m на координатные
оси системы отсчёта OXYZ, получим формулы, определяющие координаты центра масс механической системы:
XC = ΣmCi·XCi/m;
YC = ΣmCi·YCi/m;
ZC = ΣmCi·ZCi/m.
Эти формулы называют уравнениями движения центра масс
механической системы.
Как видно из последних формул, положение центра масс механической системы в любой момент времени зависит только от положения и массы каждой точки этой системы.
Центр тяжести системы тел совпадает с их центром масс. Понятие «центр масс механической системы» более широкое по
сравнению с понятием «центр тяжести», так как последнее понятие применяется только для твёрдого тела или системы твёрдых
тел, находящихся в однородном поле сил тяжести.
Дифференцируя
по
времени
векторное
равенство
rC = ΣmCi·rCi/m, несложно определить векторы скорости VС и ускорения aС центра масс механической системы, их проекции на координатные оси, модули и направляющие косинусы:
VC = drC/dt = ΣmCi·VСi/m;
aC = d2rC/dt2 = ΣmCi ·aCi/m;
XC = ΣmCi·XCi/m;
YC = ΣmCi·YCi/m;
ZC = ΣmCi·ZCi/m;
 = ΣmCi· X
 /m;
X
C
Ci
 /m;
Y C = ΣmCi· Y
Ci
Z = ΣmCi· Z /m;
C
Ci
 = ΣmCi· X
 /m;
X
C
Ci
 /m;
Y = ΣmCi· Y
Ci
C
 = ΣmCi· Z
 /m;
Z
C
Ci
108
VC =
 )2  ( Y
 )2  ( Z )2 ;
(X
C
C
C
 )2  ( Y
 )2  ( Z
 )2 ;
aC = ( X
C
C
C
 / VC;
cos(VC, i) = X
C
 / VC;
cos(VC, j) = Y
C
cos(VC, k) = Z C / VC;
 /aC;
cos(aC, i) = X
C
 /aC;
cos(aC, j) = Y
C
 /aC.
cos(aC, k) = Z
C
4.2. Алгоритм определения кинематических
характеристик центра масс механической системы
Решение задач, в которых требуется определить уравнение
траектории движения центра масс, его скорость и ускорение, проводят по алгоритму, представляющему собой заданную последовательность действий исполнителя.
1. Выбрать систему отсчёта.
2. Определить массу механической системы по формуле
m = ΣmCi.
3. Записать координаты центров тяжестей каждого из тел механической системы, выразив их в функции времени:
XCi = XCi(t); YCi = YCi(t); ZCi = Zci(t).
4. Определить координаты центра масс механической системы по формулам: XC = ΣmCi·XCi/m; YC = ΣmCi·YCi/m;
ZC = ΣmCi·ZCi/m. Полученные координаты XC, Yc, ZC окажутся
функциями времени, т. е. эти координаты окажутся параметрическими уравнениями движения центра масс.
5. Для нахождения явных уравнений траектории движения
центра масс системы материальных точек надо из последних уравнений исключить время t.
 , Y , Z скорости центра масс и
6. Определить проекции X
C
C
C
модуль
этой
скорости
по
 = ΣmCi· X
 /m;
X
C
Ci
 )2  ( Y
 )2  ( Z )2 ;
(X
C
C
C
формулам:
 /m; Z = ΣmCi· Z /m; VC =
Y C = ΣmCi· Y
Ci
C
Ci
109
7. .Для ориентации вектора скорости VC центра масс в пространстве определить направляющие косинусы по формулам:
 / VC; cos(VC, k) = Z / VC; cos(VC, k) = Z / VC.
cos(VC, i) = X
C
C
C
 , Y
 , Z
 ускорения центра масс и
8. Определить проекции X
C
C
C
 = ΣmCi· X
 /m;
X
C
Ci
 )2  ( Y
 )2  ( Z
 )2 .
(X
C
C
C
модуль этого ускорения по формулам:
 /m; Z
 = ΣmCi· Y
 = ΣmCi· Z
 /m; aC =
Y
Ci
C
C
Ci
9. Определить направляющие косинусы по формулам:
 /aC; cos(aC, j) = Y
 /aC; cos(aC, k) = Z
 /aC.
cos(aC, i) = X
C
C
C
10. Для момента времени t1 определить кинематические характеристики центра масс. Результаты вычислений свести
в таблицу и при необходимости проиллюстрировать рисунком.
4.3. Моменты инерции твёрдого тела. Радиус инерции
При поступательном движении твёрдого тела, так же как и при
движении материальной точки, мерой инертности является масса. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения.
Напомним, что в теоретической механике твёрдое тело рассматривается как механическая система, образованная непрерывной совокупностью взаимосвязанных материальных точек.
Момент инерции механической системы относительно
оси – величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси.
Рассмотрим твёрдое тело как множество материальных точек
Ci с координатами XCi, YCi, ZCi (рис. 4.2).
Согласно определению моменты инерции JOX, JOY, JOZ относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ вычисляют
по формулам:
JOX = ΣmCi·((YCi)2 + (ZCi)2);
JOY = ΣmCi·((XCi)2 + (ZCi)2);
JOZ = ΣmCi·((XCi)2+(YCi)2).
Момент инерции относительно оси характеризует распределение масс материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен и имеет размерность кг/м2.
110
Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, всегда имеет минимальное значение.
Рис. 4.2
Формулы для определения моментов инерции некоторых однородных твёрдых тел приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Осевые моменты инерции однородных пластинок
Форма тела
1
JOX
2
JOY
3
JOZ
4
m·R2/2
m·R2/4
m·R2/4
m·(R2+r2)/2
m·(b2+d2)/3
m·(R2+r2)/4 m·(R2+r2)/4
m·d2/3
111
m·b2/3
Форма тела
5
112
Окончание табл. 4.1
1
2
3
4
m·b2/3
0
m·b2/3
m·(3b2+d2)/18
m·d2/18
m·b2/6
5
При выполнении курсовых заданий довольно часто требуется
определить момент инерции относительно оси, которая через центр
масс тела не проходит. Для этой цели используют теорему Штейнера о зависимости между моментом инерции твёрдого тела относительно параллельных осей.
Момент инерции твёрдого тела относительно оси равен
сумме его момента относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С, и произведения массы твёрдого
тела на квадрат расстояния между параллельными осями.
Согласно этой теореме определим момент инерции круглой однородной пластины относительно оси ОХ (рис. 4.3).
JOX = JCX +m·(ОС)2 = JCX + m·d2 = m·R2/2 + m·d2.
Для твёрдого тела в случае неоднородного распределения масс
в его поперечном сечении, перпендикулярном оси вращения, момент инерции вычисляют по формуле
JOX = m·(iOX)2,
где iOX – радиус инерции тела относительно оси вращения ОХ, м.
Радиус инерции твёрдого тела относительно оси вращения – величина, произведение квадрата которой на массу
тела равно моменту инерции тела относительно этой оси.
113
Рис. 4.3
Таким образом, если поперечное сечение твёрдого тела по отношению к оси его вращения имеет сложную конфигурацию, то массу тела располагают равномерно на окружности, радиус которой равен радиусу инерции i.
Радиус инерции определяют экспериментальным путём по специальной методике.
Если надо вычислить момент инерции механической системы, состоящей из нескольких твёрдых тел, причем момент
инерции каждого из порознь взятых твёрдых тел известен, то момент инерции системы определяют как сумму моментов инерции
всех твёрдых тел, входящих в систему, относительно той же оси.
JОХ = ΣJiОХ,
где JiОХ – момент инерции i-го тела механической системы относительно оси вращения ОХ.
Для механических систем в теоретической механике используют понятие «радиус инерции механической системы относительно оси вращения».
Радиус инерции механической системы относительно
оси вращения – величина, квадрат которой равен отношению момента инерции механической системы относительно
данной оси к массе этой системы.
iОХ = JОХ / m .
114
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «механическая система».
2. Сформулировать определение понятия «свободная механическая система».
3. Сформулировать определение понятия «несвободная механическая система».
4. Сформулировать определение понятия «внешние силы».
5. Сформулировать определение понятия «внутренние силы».
6. Сформулировать определение понятия «неизменяемая механическая система».
7. Сформулировать определение понятия «центр масс механической системы».
8. Записать формулу для определения радиус-вектора центра масс механической системы.
9. Записать формулу для определения главного вектора активных сил.
10. Записать формулу для определения главного вектора
реакций внешних связей.
11. Записать формулу для определения главного вектора
реакций внутренних связей.
12. Записать формулу для определения вектора скорости
центра масс механической системы.
13. Записать формулу для определения вектора ускорения
центра масс механической системы.
14. Записать формулы для определения проекций вектора
скорости центра масс механической системы на координатные оси.
15. Записать формулы для определения проекций вектора
ускорения центра масс механической системы на координатные оси.
16. Записать формулу для определения модуля скорости
центра масс механической системы.
17. Записать формулу для определения модуля ускорения
центра масс механической системы.
18. Что является мерой инертности при поступательном
движении твёрдого тела?
19. Что является мерой инертности при вращательном движении твёрдого тела?
115
20. Сформулировать определение понятия «момент инерции
тела относительно оси вращения».
21. Что характеризует момент инерции тела относительно оси вращения?
22. Сформулировать теорему Штейнера.
23. Записать формулу для определения момента инерции
тела относительно вертикальной оси вращения.
24. Сформулировать определение «радиус инерции твёрдого тела относительно оси вращения».
25. Записать формулу для определения момента инерции
механической системы.
116
5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
5.1. Теорема о движении центра масс
механической системы
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы,
находящейся под действием активных сил FiE , реакций R Ei внешних
связей и внутренних сил R iJ в инерциальной системе отсчёта ОXYZ
(рис. 5.1).
Рис. 5.1
Поскольку главный вектор внутренних сил R J = Σ R iJ = 0, то теорема о движении центра масс неизменяемой механической системы выражается векторным равенством:
m·ac = Σ FiE + Σ R Ei = FE + RE,
где FE = Σ FiE – главный вектор активных сил; RE = Σ R Ei – главный
вектор реакций внешних связей.
Произведение массы механической системы на ускорение её
центра масс равно геометрической сумме приложенных к ней
активных сил и реакций внешних связей.
117
Таким образом, центр масс механической системы движется как
материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой
приложены внешние силы (активные силы и реакции внешних связей).
Проецированием последнего векторного равенства на координатные оси системы отсчёта OXYZ получим дифференциальные
уравнения движения центра масс механической системы:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
C
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
C
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE ,
m· Z
C
iOZ
iOZ
E
E
E
где Σ FiOX
, Σ FiOY
, Σ FiOZ
, Σ REiOX , Σ REiOY , Σ REiOZ – суммы проекций соответственно активных сил и реакций внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчёта.
Из последних уравнений следует, что внутренние силы не влияют на движение центра масс неизменяемой механической системы.
Следствия из теоремы о движении центра масс
1. Если геометрическая сумма активных сил и реакций внешних связей постоянно равна нулю (Σ FiE + Σ R Ei = 0), то центр
масс механической системы находится в покое или движется
равномерно и прямолинейно.
Таким образом, если Σ FiE + Σ R Ei = 0, то aС = 0, т. е. VС = const.
Если начальная скорость VС0 центра масс равна нулю, то центр
масс находится в покое. Если же VС0 ≠ 0, то центр масс движется
прямолинейно и равномерно с этой скоростью.
2. Если суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на какую-либо ось остаются всё время равными нулю, то
проекция центра масс механической системы на эту ось неподвижна или движется равномерно.
E
 = 0, т. е.
Действительно, если Σ FiOX
+ Σ REiOX = 0, то X
C
 = const. Если при этом в начальный момент времени X
 = 0, то
X
C
C0
118
 = 0, ХС = const, т. е. координата ХС центра масс остается постоX
C
янной.
Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохранения движения центра масс механической системы.
С помощью теоремы о движении центра масс механической системы решают задачи, в которых рассматривается только поступательная часть движения тел, образующих механическую систему.
Рекомендуется следующий алгоритм решения задач.
1. Выбирается система отсчёта.
2. К механической системе прикладываются все активные силы и реакции внешних связей.
3.
Записывается теорема о движении центра масс
(m·ac = Σ FiE + Σ R Ei = FE + RE) в проекциях на оси системы отсчёта:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
C
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
C
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE .
m· Z
C
iOZ
iOZ
4. Вычисляются суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на оси системы отсчёта и подставляются в последние выражения.
5. В зависимости от условий решается прямая либо обратная
задача динамики.
Поскольку для заочной формы обучения курсовых заданий на
использование теоремы о движении центра масс механической системы не предусмотрено, то примеры решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не приведены.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать теорему о движении центра масс механической системы.
2. Записать векторную формулу, выражающую теорему о
движении центра масс механической системы.
119
3. Записать дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы в декартовой системе отсчёта.
4. Сформулировать первое следствие из теоремы о движении центра масс механической системы.
5. Сформулировать второе следствие из теоремы о движении центра масс механической системы.
5.2. Теоремы об изменении количества движения
материальной точки и количества движения
механической системы
5.2.1. Теорема об изменении количества движения
материальной точки
В этой теореме используются понятия «количество движения» и «импульс силы». Введём эти понятия.
Количество движения материальной точки – векторная
мера механического движения, равная произведению массы
точки на её скорость.
Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Согласно определению вектор количества движения m·V имеет
такое же направление, как и вектор скорости V точки. Количество
движения m·V является векторной мерой механического движения.
Количество движения имеет размерность [кг·м/с].
120
Рассмотрим движение материальной точки под действием силы
Pi в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.3).
Рис. 5.3
В теоретической механике используют понятие «элементарный импульс силы».
Элементарный импульс силы – векторная мера действия
силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени её действия.
Si = Pi ·Δt,
где Si – элементарный импульс силы; Pi – сила; Δt – элементарный
промежуток времени.
Равнодействующая системы сил, действующих на точку, определяется по формуле P = ΣPi.
Если постоянная по модулю и направлению сила Pi действует
на точку в течение промежутка времени Δt = t2 – t1, то элементарным импульсом силы за конечный промежуток времени является вектор
Si = Pi·Δt = Pi·(t2 – t1).
Направление этого вектора совпадает с направлением силы, а
его модуль равен произведению модуля силы на время её действия:
Si = Pi·(t2 – t1).
В общем случае импульс Si силы Pi за промежуток времени
Δt = (t2 – t1) определяется векторным интегралом от вектора Pi по
скалярному аргументу t:
t
Si =  Pi  dt .
0
121
Импульс силы за конечный промежуток времени – величина, равная определённому интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интеграла являются моменты
начала и конца данного промежутка времени.
Импульс равнодействующей Р нескольких сил Pi за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов соответствующих сил за этот же промежуток времени.
S = ΣSi.
В проекциях на координатные оси имеем:
SОХ = ΣSiОХ; SOY = ΣSiOY; SOZ = ΣSiOZ.
Проекция импульса равнодействующей на ось системы отсчета равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось.
Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме выражается формулой
d(m·V)/dt = P.
Производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке.
Теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной (конечной) форме приобретает вид
m·V2 – m·V1 = ΣSi,
где V2, V1 – скорости точки соответственно в конечный и начальный
моменты времени.
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме
импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток
времени.
Эту теорему называют также теоремой импульсов.
Последнему векторному равенству соответствуют три уравнения в проекциях на оси системы отсчёта OXYZ:
m·V2ОХ – m·V1ОХ = ΣSiОХ;
m·V2OY – m·V1OY = ΣSiOY;
122
m·V2OZ – m·V1OZ = ΣSiOZ,
где V2ОХ, V2OY, V2OZ, V1ОХ, V1OY, V1OZ – проекции конечной и начальной
скоростей точки на координатные оси системы отсчёта
Изменение проекции количества движения материальной
точки на координатную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов, приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.
Большинство практических задач решается по уравнениям в
проекциях на оси координат.
5.2.2. Теорема об изменении количества движения
механической системы
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы
под действием активных сил FiE , реакций R Ei внешних связей и внутренних сил R iJ в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.4).
Количество движения механической системы – величина,
равная сумме количеств движения всех материальных точек,
образующих механическую систему.
Количество движения K механической системы определяют по
формуле
K = ΣmCi·VCi = m·VC.
Это выражение показывает, что вектор количества движения
механической системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.
Проецируя последнее векторное равенство на координатные
оси, получим:
KOX = m·VCOX; KOY = m·VCOY; KOZ = m·VCOZ,
где VCOX, VCOY, VCOZ – проекции скорости центра масс механической
системы на координатные оси.
Проекция количества движения механической системы на
каждую координатную ось равна произведению массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.
123
Рис. 5.4
Теорема об изменении количества движения механической
системы выражается векторным равенством
dK/dt = Σ FiE + Σ R Ei .
Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме активных сил и
реакций внешних связей.
Последнему векторному равенству соответствует три уравнения в проекциях на координатные оси:
E
dKOX/dt = Σ FiOX
+ Σ REiOX ;
E
dKOY/dt = Σ FiOY
+ Σ REiOY ;
E
dKOZ/dt = Σ FiOZ
+ Σ REiOZ ,
где dKOX/dt, dKOY/dt, dKOZ/dt – производные по времени от проекций
количества движения механической системы на соответствующие
координатные оси системы отсчёта.
124
Производная по времени от проекции количества движения
механической системы на координатную ось равна сумме
проекций активных сил и реакций внешних связей на ту же
ось.
Необходимо отметить, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами, к которым относятся активные силы и реакции внешних связей.
Следствия из теоремы
1. Если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к
механической системе за рассматриваемый промежуток времени, равна нулю (Σ FiE + Σ R Ei = 0), то количество движения механической системы постоянно: K = const.
Действительно, если Σ FiE + Σ R Ei = 0, то dK/dt = 0 и, следовательно, K = m·VС = const.
2. Если сумма проекций активных сил и реакций внешних связей на координатную ось за рассматриваемый промежуток
времени равна нулю, то проекция количества движения неизменяемой механической системы на эту ось постоянна.
E
Так, например, если Σ FiOX
+ Σ REiOX = 0, то dKОХ/dt = 0 и, таким
образом, KОХ = m·VСОХ = const.
Следствия из теоремы об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества
движения системы.
Так как для заочной формы обучения курсовых заданий на использование теоремы об изменении количества движения неизменяемой механической системы не предусмотрено, то и примеры
решения таких задач в данном учебно-методическом пособии не
приведены.
125
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «количество движения материальной точки».
2. Сформулировать определение понятия «импульс силы за
промежуток времени».
3. Записать формулу для определения импульса силы за
промежуток времени.
4. Записать формулу для определения импульса равнодействующей нескольких сил, действующих на точку.
5. Записать теорему импульсов в векторной форме.
6. Записать теорему импульсов в скалярной форме.
7. Сформулировать определение понятия «количество движения механической системы».
8. Записать теорему об изменении количества движения
неизменяемой механической системы в векторной форме.
9. Записать теорему об изменении количества движения
неизменяемой механической системы в скалярной форме.
10. Сформулировать следствия из теоремы об изменении
количества движения неизменяемой механической системы.
5.3. Теоремы об изменении момента количества
движения материальной точки и об изменении
кинетического момента механической системы
5.3.1. Моменты количества движения
материальной точки относительно центра и оси
Рассмотрим движение материальной точки в горизонтальной
плоскости OXY (рис. 5.5).
Момент количества движения m·V точки относительно
центра О представляет собой вектор LО, направленный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор m·V и центр О в ту
сторону, откуда видно, что вектор m·V поворачивает горизонтальную плоскость относительно оси, проходящей через центр О, против
хода часовой стрелки.
126
Рис. 5.5
Момент количества движения материальной точки относительно центра – величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного
из этого центра, на количество движения.
Согласно рис. 5.5 момент количества движения LО можно определить векторным произведением радиус-вектора r, проведённого
из точки О в точку М, на вектор количества движения m·V:
LО = r×(m·V).
Модуль LО вектора LО равен произведению величины m·V на
плечо h вектора m·V относительно центра О:
LО = (m·V)·h.
Плечо h вектора m·V количества движения точки относительно центра – кратчайшее расстояние от точки О до
линии действия вектора m·V.
Момент LО количества движения m·V относительно точки О равен нулю в том случае, когда линия действия вектора m·V проходит
через точку О, так как тогда плечо h = 0.
Рассмотрим случай движения точки в пространстве (рис. 5.6).
127
Рис. 5.6
Дадим определение понятия «момент количества движения
точки относительно оси».
Момент количества движения точки относительно
оси – величина, равная проекции на ось момента количества
движения точки относительно любого выбранного на данной
оси центра.
Согласно определению имеем:
LОХ = LО·cos(LО, i);
LОY = LО·cos(LО, j);
LОZ = LО·cos(LО, k),
где LОХ, LОY, LОZ – проекция вектора LО на оси ОХ, OY, OZ.
При решении практических задач пользоваться этими формуллами неудобно. Поэтому поступают следующим образом.
Вектор m·V количества движения разлагают на компоненты
m·VOX, m·VOY, m·VOZ по соответствующим координатным осям.
Момент количества движения m·V точки относительно
оси – величина, равная алгебраической сумме моментов компонентов m·VOX, m·VOY, m·VOZ вектора m·V относительно
этой оси.
Если компонента вектора m·V вызывает вращение тела против
хода часовой стрелки, то момент количества движения этой компоненты относительно оси положителен, и отрицателен при противо128
положном условии. При этом на тело необходимо смотреть с положительного направления отсчёта соответствующей координаты.
Аналитические выражения для определения моментов LOX, LOY,
LOZ количества движения относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ имеют вид:
 )·Y – (m· Y )·Z;
LOX = (m· Z
 )·Z – (m· Z )·X;
LOY = (m· X
 )·X – (m· X
 )·Y,
LOZ = (m· Y
 , Y , Z – проекции
где X, Y, Z – координаты движущейся точки; X
скорости точки на оси координат.
5.3.2. Теорема об изменении момента количества
движения материальной точки
Рассмотрим движение материальной точки, входящей в механическую систему, в инерциальной системе отсчёта (рис. 5.7).
Рис. 5.7
Пусть точка движется в горизонтальной плоскости OXY под
действием активных сил FiE , реакций R Ei внешних связей и внутренних сил R iJ .
129
Равнодействующую Р этих сил определяют по формуле
Р = Σ FiE + Σ R Ei + Σ R iJ .
Теорему об изменении момента количества движения
материальной точки механической системы выражают векторным равенством:
dLО/dt = ΣMО( FiE ) + ΣMО( R Ei ) + ΣMО( R iJ ).
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки механической системы относительно
некоторого неподвижного центра равна геометрической
сумме моментов сил, действующих на точку, относительно
того же центра.
Так как проекция векторной производной на любую ось равна
производной от её проекции, то, проецируя последнее векторное
равенство на координатные оси системы отсчёта OXYZ, получим:
dLOX/dt = ΣMOX( FiE ) + ΣMOX( R Ei ) + ΣMOX( R iJ );
dLOY/dt = ΣMOY( FiE ) + ΣMOY( R Ei ) + ΣMOY( R iJ );
dLOZ/dt = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei ) + ΣMOZ( R iJ ).
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки механической системы относительно
некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же
оси.
Следствия из теоремы
1.
Если
линия
действия
равнодействующей
E
E
J
(Р = Σ Fi +Σ R i + Σ R i ) приложенных к материальной точке сил
всё время проходит через некоторый неподвижный центр, то
момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.
Действительно, если ΣMО( FiE ) + ΣMО( R Ei ) + ΣMО( R iJ ) = 0, то
dLО/dt = 0 и, следовательно, LО = const.
130
Примером, иллюстрирующим это следствие, может служить
движение материальной точки под действием центральной силы
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
Центральная сила – сила, линия действия которой постоянно проходит через некоторую точку, неподвижную в данной
системе отсчёта и называемую центром силы.
Покажем, что линия действия равнодействующей силы Р постоянно проходит через центр О. Тогда главный момент МО активных
сил FiE , реакций R Ei внешних связей и внутренних сил R iJ равен нулю:
МО = ΣMО( FiE ) + ΣMО( R Ei ) + ΣMО( R iJ ) = 0.
Отсюда следует, что LО = const.
Из следствия 1 вытекает, что плоскость, в которой находятся
вектор m·V количества движения точки и центр О, не изменяет своего положения, т. е. траектория лежит в одной плоскости.
2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке активных сил, реакций внешних связей и внутренних сил относительно некоторой оси всё время равняется
нулю, то момент количества движения материальной точки
относительно этой оси остается постоянным.
131
Если, например, MOX(P) = ΣMOX( FiE ) + ΣMOX( R Ei ) + ΣMOX( R iJ ) = 0,
то dLOX/dt = 0 и, следовательно, LOX = const.
5.3.3. Кинетический момент механической
системы относительно центра и оси
Кинетический момент или главный момент количеств
движения механической системы относительно данного
центра – величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этого центра.
Момент количества движения каждой материальной точки Ci
системы (рис. 5.9) относительно центра О определяется по формуле
LCiO = rCi×(mCi·VCi).
Кинетический момент механической системы относительно центра О равен геометрической сумме моментов количеств движения
материальных точек системы:
LO = ΣLCiO.
Рис. 5.9
132
Кинетический момент или главный момент количеств
движения механической системы относительно оси – величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этой оси.
Определим кинетический момент механической системы относительно оси OZ (рис. 5.10).
Рис. 5.10
Момент количества движения LCiOZ каждой точки Ci системы
относительно оси вращения OZ определяется по формуле
 )·XCi – (mCi· X
 )·YCi.
LCiOZ = (mCi· Y
Ci
Ci
Кинетический момент механической системы относительно оси
OZ вращения равен
LOZ = ΣLCiOZ.
Аналогичным образом определяются кинетические моменты
механической системы относительно осей вращения OX, OY:
 )·ZCi;
LCiOX = (mCi· Z Ci )·YCi – (mCi· Y
Ci
LOX = ΣLCiOX;
 )·ZCi – (mCi· Z )·XCi;
LCiOY = (mCi· X
Ci
Ci
LOY = ΣLCiOY.
133
5.3.4. Теорема об изменении кинетического
момента механической системы
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы
под действием активных сил FiE , реакций R Ei внешних связей и внутренних сил R iJ (рис. 5.11).
Рис. 5.11
Выберем некоторый неподвижный центр О и определим изменение момента количества движения i-й точки относительно этого
центра:
dLCiО/dt = MO( FiE ) + MO( R Ei ) + MO( R iJ ),
где i изменяется от 1 до n.
Просуммируем полученные n уравнений:
ΣdLCiO/dt = dLO/dt = ΣMO( FiE ) + ΣMO( R Ei ) + ΣMO( R iJ ),
где LO – вектор кинетического момента механической системы относительно центра О.
Как известно, для неизменяемой механической системы геометрическая сумма внутренних сил равна нулю (Σ R iJ = 0). Отсюда
следует, что и геометрическая сумма моментов этих сил относи-
134
тельно любого центра равна нулю. Приняв за такой центр точку О,
имеем ΣMO( R iJ ) = 0. Тогда получим
dLO/dt = ΣMO( FiE ) + ΣMO( R Ei ).
Это равенство выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного
центра равна геометрической сумме моментов приложенных
к системе активных сил и реакций внешних связей относительно того же центра.
Последнему векторному равенству соответствуют три равенства в проекциях на оси координат:
dLOX/dt = ΣMOX( FiE ) + ΣMOX( R Ei );
dLOY/dt = ΣMOY( FiE ) + ΣMOY( R Ei );
dLOZ/dt = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei ),
где LOX, LOY, LOZ – кинетические моменты механической системы относительно координатных осей; ΣMOX( FiE ), ΣMOY( FiE ), ΣMOZ( FiE ) –
суммы моментов активных сил относительно координатных осей;
ΣMOX( R Ei ), ΣMOY( R Ei ), ΣMOZ( R Ei ) – суммы моментов реакций внешних
связей относительно координатных осей.
Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна сумме
моментов приложенных к системе активных сил и реакций
внешних связей относительно той же оси.
Следствия из теоремы
1. Если геометрическая сумма моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно
некоторого неподвижного центра, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы
относительно этого центра остается постоянным.
Если ΣMО( FiE ) + ΣMО( R Ei ) = 0, то dLО/dt = 0 и, следовательно,
LО = const.
135
2. Если алгебраическая сумма моментов, приложенных к механической системе активных сил и реакций внешних связей
относительно некоторой оси, остается всё время равной
нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси остается постоянным.
Действительно, например, если ΣMOX( FiE ) + ΣMOX( R Ei ) = 0, то
dLOX/dt = 0 и, отсюда следует, что LOX = const.
Следствия из теоремы об изменении кинетического момента
механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.
5.3.5. Варианты курсового задания Д 3
«Применение теоремы об изменении
кинетического момента к определению угловой
скорости твёрдого тела»
В исходном положении тело Н (тело 1) массой m1 вращается
 0;
вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью 
при этом в точке О жёлоба АВ тела 1 на расстоянии АО от точки А,
отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К
массой m2. В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с алгебраическим моментом MOZ = MOZ(t). В
момент времени t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t = τ (  (τ) = ?).
Тело 1 вращается по инерции с угловой скоростью  ( ) .
В некоторый момент времени t1 = 0 (t1 – новое начало отсчёта
времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное
движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к
точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t1 = T (  (Т) = ?).
Тело 1 рассматривать как однородную пластинку. Расчётные
схемы механизмов и необходимые для решения данные приведены
в табл. 5.1.
136
Таблица 5.1
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
Исходные данные
2
3
m1 = 32 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = – 1 рад/с;
b = 1, м;
с = 1, 5 м;
R = 1, 2 м;
АО = π·R/6 м;
MOZ = – 29,6·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (5·π·R/12)·t1 м;
Т=1с
1
m1 = 200 кг;
m2 = 60 кг;
 0 = – 2 рад/с;
R = 2 м;
α = 120о;
АО = 0,866 м;
MOZ = 101 Н·м;
τ = 5 с;
ОК = 1,732·(t1)2 м;
Т=1с
2
m1 = 120 кг;
m2 = 40 кг;
 0 = 0 рад/с;
b = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 120·t Н·м;
τ = 4 с;
ОК=(1,414/4)·(t1)2 м;
Т=2с
3
137
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 16 кг;
m2 = 5 кг;
 0 = – 3 рад/с;
R = 1 м;
α = 30о;
АО = 0,4 м;
MOZ = 21·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК=0,6·t1 м;
Т=2с
4
m1 = 66 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = 1,5 рад/с;
b = 2 м;
c = 1,5 м;
АО = 0 м;
5
MOZ = 15· t Н·м;
τ = 4 с;
ОК=0,5·t1 м;
Т = 2,5 с
m1 = 160 кг;
m2 = 80 кг;
 0 = – 1,25 рад/с;
b = 1,5 м;
R = 2,5 м;
α = 30о;
АО = π·b/6 м;
MOZ = – 700·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК=(6·π·b/18)·(t1)2
м;
Т=1с
6
138
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 300 кг;
m2 = 50 кг;
 0 = – 2 рад/с;
b = 1,6 м;
c = 1 м;
R = 0,8 м;
АО = 0 м;
MOZ = 968 Н·м;
τ = 1 с;
ОК=(π·R/2)·(t1)2 м;
Т=1с
7
m1 = 80 кг;
m2 = 20 кг;
 0 = 0 рад/с;
b = 1,2 м;
R = 2 м;
АО = π·b/2 м;
8
MOZ = 240· t Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (π·b/4)·t1 м;
Т=2с
m1 = 20 кг;
m2 = 5 кг;
 0 = 5 рад/с;
b = 1,2 м;
R = 0,4 м;
α = 45о;
АО = π·R/4 м;
MOZ = – 29,2·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК=(3·π·R/4)·(t1)2
м;
Т=1с
9
139
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 100 кг;
m2 = 40 кг;
 0 = 2 рад/с;
b = 2 м;
с = 1,414 м;
АО =0,707 м;
10
MOZ = – 90· t Н·м;
τ = 4 с;
ОК=(0,707/2)·(t1)2 м;
Т=1с
11
m1 = 60 кг;
m2 = 20 кг;
 0 = – 1 рад/с;
b = 2 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 40·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,4·(t1)2 м;
Т=2с
12
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = – 3 рад/с;
b = 1 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 50·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·b/3)·(t1)2 м;
Т=2с
140
Продолжение табл..5.1
1
2
3
m1 = 24 кг;
m2 = 4 кг;
 0 = 4 рад/с;
b = 1 м;
АО = 0,5 м;
13
MOZ = – 27· t
Н·м;
τ = 1 с;
ОК = 0,3·t1 м;
Т=2с
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = 2 рад/с;
R = 1 м;
АО = 0 м;
MOZ = 120·t Н·м;
τ = 1 с;
ОК = 0,5·t1 м;
Т=3с
14
m1 = 120 кг;
m2 = 50 кг;
 0 = – 4 рад/с;
b = 1 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 330·t2 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = (π·b/2)·(t1)2 м;
Т=1с
15
141
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 60 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = – 5 рад/с;
b = 1 м;
c = 1,2 м;
α = 30о;
АО = 0,4 м;
MOZ = 74 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,3·(t1)2 м;
Т=2с
16
m1 = 50 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = – 2 рад/с;
R = 1,6 м;
α = 30о;
АО = 0,6 м;
MOZ = 69·t Н·м;
τ = 4 с;
ОК = 0,6·t1 м;
Т=2с
17
m1 = 120 кг;
m2 = 50 кг;
 0 = 3 рад/с;
b = 2 м;
c = 3 м;
R = 0,8 м;
АО = π·R/2 м;
MOZ = 324 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·R/8)·(t1)2
м;
Т=2с
18
142
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 90 кг;
m2 = 30 кг;
 0 = 1 рад/с;
b = 1,5 м;
АО = 0 м;
MOZ = – 135·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК= (π·b/4)·(t1)2 м;
Т=1с
19
m1 = 50 кг;
m2 = 12 кг;
 0 = 3 рад/с;
b = 1 м;
R = 1,2 м;
АО = π·b/6 м;
MOZ = –14·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·b/12)·(t1)2 м;
Т=2с
20
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
 0 = – 6 рад/с;
R = 1 м;
АО = 0,707 м;
21
MOZ = 75· t Н·м;
τ = 1 с;
ОК = (1,41/16)·(t1)2 м;
Т=2с
143
Продолжение табл..5.1
1
2
3
m1 = 150 кг;
m2 = 50 кг;
 0 = – 1 рад/с;
b = 1,6 м;
с = 1,2 м;
R = 0,6 м;
АО = π·R/2 м;
MOZ = 163 Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (π·R/2)·(t1)2
м;
Т=1с
22
23
m1 = 90 кг;
m2 = 20 кг;
 0 = 2 рад/с;
b = 1,414 м;
с = 1 м;
АО = 0,866 м;
MOZ = – 210 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,866·t1 м;
Т=1с
24
m1 = 50 кг;
m2 = 12 кг;
 0 = – 3 рад/с;
b = 0,6 м;
α = 60о;
АО = 0,2 м;
MOZ = 27·t2 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,4·t1 м;
Т=2с
144
Продолжение табл. 5.1
1
2
3
m1 = 36 кг;
m2 = 8 кг;
 0 = – 5 рад/с;
R = 0,5 м;
АО = 0 м;
MOZ = 20·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = (π·R/6)·(t1)2 м;
Т=2с
25
m1 = 150 кг;
m2 = 40 кг;
 0 = – 4 рад/с;
b = 1,5 м;
R = 2 м;
АО = π·b/6 м;
26
MOZ = 1170· t Н·м;
τ = 1 с;
ОК = (π·b/2)·(t1)2 м;
Т=1с
m1 = 120 кг;
m2 = 30 кг;
 0 = 0 рад/с;
b = 1 м;
α = 600;
АО = 0 м;
MOZ = – 25·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК= (t1)2 м;
Т=1с
27
145
Окончание табл. 5.1
1
2
3
m1 = 15 кг;
m2 = 4 кг;
 0 = – 2 рад/с;
b = 0,6 м;
АО = 0,1 м;
MOZ = 5,6·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК = 0,4·t1 м;
Т=1с
28
m1 = 20 кг;
m2 = 5 кг;
 0 = 5 рад/с;
b = 0,6 м;
R = 0,6 м;
АО = 0 м;
29
MOZ = – 6,3· t Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (5·π·R/6)·t1 м;
Т=1с
m1 = 150 кг;
m2 = 50 кг;
 0 = 0 рад/с;
b = 1,6 м;
с = 1,2 м;
АО = 1,6 м;
MOZ = 652·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,2·(t1)2 м;
Т=2с
30
ПРИМЕЧАНИЕ. Знак минус перед MOZ и  0 соответствует направлению
вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны
положительного направления оси OZ.
146
5.3.6. Пример выполнения курсового задания Д 3
Условие задания.
Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с
 0 (рис. 5.12).
постоянной угловой скоростью 
Рис. 5.12
В точке О жёлоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m2 (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент
времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом MOZ = MOZ(t). При t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости  тела Н в момент
времени t = τ (  (τ) = ?).
Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью  (τ).
В некоторый момент времени (t1 = 0, где t1 – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от
точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости  тела Н в момент
времени t1 = T (  (T) = ?).
Тело Н рассматривать как однородную пластинку.
 0 = 5 рад/с = const; b = 0,6 м;
Дано: m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; 
R = 0,6 м; АО = 0 м; MOZ = – 6,3· t
OK = S(t1) = (5·π·R/6)·t1 м; Т = 1с.
147
Н·м; τ = 4 с;
Решение.
К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением
dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1( FiE ) + ΣMO1Z1( R Ei ),
где LO1Z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣMO1Z1( FiE ), ΣMO1Z1( R Ei ) – соответственно суммы
моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси
вращения.
Решение задачи разобьём на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении;
на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на
третьем этапе – движение механической системы в момент времени
Т.
Первый этап.
В исходном положении тело Н (тело 1 массой m1), на котором
неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m2), вращается с постоянной угловой скоростью  (см. рис. 5.12).
Введём неподвижную (инерциальную) систему отсчёта
O1X1Y1Z1, совместив ось O1Z1 с осью вращения тела 1. Покажем на
рис. 5.13 направление вращения тела 1 с произвольной угловой
скоростью  .
Внимание!
Независимо от знака начальной угловой скорости  0
направление вращения тела 1 на рис. 5.13 рекомендуется
показывать против хода часовой стрелки. Это позволит
решать задачу в общем виде для любого направления
вращения тела 1. Частные решения будут получены при
подстановке в общее решение исходных данных задачи.
Определим положение центра С2 масс тела 2 (материальная
точка К) на теле 1. Поскольку АО = 0, то точки А, О и С2 совпадают.
Центр масс тела 2 описывает окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Центр этой окружности находится на оси
вращения. Покажем на рис. 5.13 траекторию движения этого центра
масс, а также векторы абсолютной скорости VС2 и количества движения m2·VС2. Эти векторы приложены в точке С2 и направлены противоположно направлению координатной оси O1X1.
148
Рис. 5.13
Определим кинетический момент LO1Z1 механической системы
относительно оси вращения O1Z1 по формуле
LO1Z1 = LO1Z1(1) + LO1Z1(2),
где LO1Z1(1), LO1Z1(2) – соответственно кинетические моменты тел 1 и 2
относительно оси вращения O1Z1.
Кинетический момент LO1Z1(1) тела 1, совершающего вращательное движение относительно оси O1Z1, вычисляют по формуле
LO1Z1(1) = JO1Z1(1)·  ,
где JO1Z1(1) – момент инерции тела 1 относительно оси вращения.
Поскольку по условию задания тело 1 – однородная прямоугольная пластина, то имеем JO1Z1(1) = m1·b2/3 (см. табл. 4.1). Тогда
LO1Z1(1) = (m1·b2/3)·  = (20·0,62/3)·  = 2,4·  .
149
Кинетический момент LO1Z1(2) тела 2 относительно оси вращения
O1Z1 равен моменту количества движения m2·VC2 этого тела относительно той же оси.
LO1Z1(2) = (m2·VC2)·b = (m2·(  ·b))·b = m2·b2·  = 5·0,62·  = 1,8·  .
Поскольку кинетические моменты тел механической системы
определены, то кинетический момент LO1Z1 системы равен
LO1Z1 = LO1Z1(1) + LO1Z1(2) = 2,4·  + 1,8·  = 4,2·  .
Таким образом, формула для определения кинетического момента LO1Z1 механической системы в её исходном положении получена.
Второй этап.
Рассмотрим движение механической системы под действием
активных нагрузок и реакций внешних связей (рис. 5.14).
Рис. 5.14
Согласно рис. 5.14 на механическую систему действуют внешние нагрузки: активные силы G1, G2 (силы тяжести тел системы); активный момент MOZ(t), зависящий от времени; реакции XO1, YO1, ZO1 в
150
точке О1 подпятника и реакции XD, YD цилиндрического шарнира в
точке D.
Внимание!
Независимо от знака момента MOZ(t), заданного в исходных
данных задачи, на рис. 5.14 направление этого момента
рекомендуется показывать против хода часовой стрелки.
Это позволяет решать задачу в общем виде и получать
частные решения при любых исходных данных.
Так как активный момент MOZ(t) зависит от времени, то очевидно, что при его действии на механическую систему будет изменяться её угловая скорость  .
В принятых условных обозначениях теорема об изменении кинетического момента механической системы записывается в виде
dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1( FiE ) + ΣMO1Z1( R Ei ).
Определим производную по времени от кинетического момента
механической системы относительно оси вращения.
dLO1Z1/dt = d(4,2·  )/dt = 4,2·d  /dt.
Сумма моментов активных нагрузок, приложенных к механической системе, относительно оси вращения равна
ΣMO1Z1( FiE ) = MOZ(t) = – 6,3· t .
Сумма моментов реакций внешних связей относительно оси
вращения равна нулю (ΣMO1Z1( R Ei ) = 0).
В этих условиях теорема об изменении кинетического момента
механической системы относительно оси вращения приобретает
вид дифференциального уравнения:
4,2·d  /dt = – 6,3· t = – 6,3·t0,5.
Проинтегрируем это уравнение и решим его:
 (  )

 0
t0
0,5
 d = – 1,5  t dt ;
 ( –  0 = – 1,5(τ0,5+1/1,5) = – τ0,5+1 = –
 ( =  0 –
3 = 5 –
3 ;
43 = 5 – 8 = – 3 рад/с.
Таким образом, при приложении активного момента
MOZ = – 6,3· t к механической системе её угловая скорость за про0 = 5
межуток времени τ = 4 с изменится с начального значения 
рад/с до значения  ( = – 3 рад/с.
Ответ на один из вопросов (  ( = ?) курсового задания получен.
151
Третий этап.
Рассмотрим движение механической системы в момент времени Т, когда на неё действуют только активные силы G1, G2 (силы тяжести тел системы); реакции XO1, YO1, ZO1 в точке О1 подпятника и
реакции XD, YD цилиндрического шарнира в точке D (рис. 5.15).
Рис. 5.15
Поскольку материальная точка К совершает сложное движение
(перемещается по вращающемуся телу 1), то необходимо рассмотреть это движение в подвижной (ПСО) и неподвижной инерциальной
(ИСО) системах отсчёта. Так как ПСО закреплена на теле 1, то она
совершает вращательное движение.
Из курса кинематики известно, что абсолютная скорость точки в
сложном движении равна
V = Vr + Ve,
где Vr – относительная скорость; Ve – переносная скорость.
152
Определим абсолютную скорость VС2 точки К.
В нашем случае траектория относительного движения точки –
траектория её движения по телу 1. Такой траекторией является дуга
АВ окружности радиусом R. По условию задания уравнение относительного движения точки (OK = (5·π·R/6)·t1) известно. Зафиксируем
положение точки К на траектории относительного движения в момент времени Т центральным углом α.
OK(T) = (5·π·R/6)·T = (5·π·R/6)·1 = (5·π·R/6).
α = OK(T)/R = (5·π·R/6)/R = 5·π/6 рад.
В градусной мере α = 150о. На рис. 5.15 покажем траекторию
переносного движения точки К. Эта траектория есть окружность,
расположенная в горизонтальной плоскости. Центр окружности
находится на оси вращения. Радиус окружности определим по формуле
r = b – R·sin(π – α) = b – b·sin(α) =
= b·(1 – sin(α)) = b·(1 – 0,5) = 0,5·b.
Абсолютную скорость VС2 центра масс тела 2 (абсолютную скорость точки К) определим по формуле
VС2 = VС2r + VС2e,
где VС2r – относительная скорость; VС2e – переносная скорость.
По
заданному
уравнению
относительного
движения
(ОК = S = S(t1)) определим проекцию VС2r относительной скорости
точки на касательную к траектории её движения.
VС2r = dS/dt1 = d((5·π·R/6)·t1)/dt1 = 5·π·R/6 = const > 0.
Поскольку dS/dt1 > 0, то относительная скорость VС2r направлена в сторону увеличения дуговой координаты ОК = S (см. рис. 5.15).
Необходимо отметить, что вектор скорости VС2r лежит в плоскости
рисунка.
Модуль VС2e переносной скорости VС2e центра масс тела 2
определим по формуле
VС2e = r·I  (T)I = 0,5·b·I  (T)I,
где I  (T)I – модуль угловой скорости  тела 1 в момент времени Т.
Вектор VС2e переносной скорости направлен перпендикулярно
плоскости рис. 5.15 (параллельно оси О1Х1).
Абсолютное количество движения m2·VС2 тела 2 находим по
формуле
m2·VС2 = m2·(VС2r + VС2e) = m2·VС2r + m2·VС2e,
где m2·VС2r, m2·VС2e – соответственно относительное и переносное
количества движения.
Векторы m2·VС2r, m2·VС2e покажем на рис. 5.15.
153
Запишем теорему об изменении кинетического момента механической системы для рассматриваемого этапа расчета:
dLO1Z1/dt1 = ΣMO1Z1( FiE ) + ΣMO1Z1( R Ei ).
Поскольку сумма моментов активных сил FiE относительно оси
O1Z1 вращения равна нулю (ΣMO1Z1( FiE ) = 0) и сумма моментов реакций R Ei внешних связей относительно той же оси также равна нулю
(ΣMO1Z1( R Ei ) = 0), то, следовательно, имеем dLO1Z1/dt1 = 0. Отсюда
следует, что LO1Z1 = const, т. е. при движении механической системы
её кинетический момент относительно оси не изменяется. Имеет
место случай сохранения кинетического момента механической системы относительно оси O1Z1 её вращения. Исходя из этого, справедливо утверждение
LO1Z1(τ) = LO1Z1(Т),
где LO1Z1(τ), LO1Z1(Т) – кинетические моменты механической системы в
расчётные моменты времени τ и Т.
В начальный момент времени (t10 = 0) имеем: угловая скорость
прямоугольной пластины  ( = – 3 рад/с; векторы количеств движения m2·VC2r, m2·VC2e направлены так, как это показано на рис.
5.15.
Кинетический момент LO1Z1(t10 = 0) механической системы в
начальный момент времени определим по формуле
LO1Z1(t10 = 0) = 4,2·  (.
Кинетический момент LO1Z1(Т) механической системы в момент
времени Т равен
LO1Z1(Т) = LO1Z1(1,T) + LO1Z1(2,T),
где LO1Z1(1,T), LO1Z1(2,T) – соответственно кинетические моменты тел 1 и
2 относительно оси вращения в момент времени Т.
LO1Z1(1,T) = 2,4·  (Т.
LO1Z1(2,T) = m2·VС2e·r = (m2·(  (Т)·r))·r = m2·  (Т)·r2 =
= m2·  (T)·(0,5·b)2 = 5·  (Т)·(0,5·0,6)2 = 0,45·  (Т).
Тогда
LO1Z1(Т) = 2,4·  (Т) + 0,45·  (Т) = 2,85·  (Т).
Так как кинетический момент механической системы относительно оси вращения постоянен, то
LO1Z1(t10 = 0) = 4,2  () = LO1Z1(Т) = 2,85·  (Т).
Отсюда
 (Т) = (4,2  ())/2,85 = (4,2·(– 3))/2,85 = – 4,427 рад/с.
154
По сравнению с исходным положением расчёта третьего этапа,
когда угловая скорость пластины была равна  () = – 3 рад/с, в конце расчёта её угловая скорость уменьшилась до значения
 (Т) = – 4,427 рад/с. Модуль угловой скорости увеличился на
1,427 рад/с. Произошло это потому, что центр масс механической
системы сместился к оси вращения. Очевидно, что угловая скорость
пластины достигнет максимального значения в момент времени, когда точка К будет находиться на оси вращения.
Таким образом, ответ на другой вопрос (  (Т) = ?) курсового задания получен.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно произвольного центра».
2. Сформулировать определение понятия «плечо вектора количества движения точки относительно произвольного
центра».
3. Сформулировать определение понятия «момент количества движения точки относительно оси».
4. Записать формулы для определения моментов количества движения точки относительно координатных осей.
5. Записать в векторной форме формулу, выражающую теорему об изменении момента количества движения материальной точки.
6. Записать в скалярном виде формулу, выражающую теорему
об изменении момента количества движения материальной точки.
7. Сформулировать определение понятия «центральная сила».
8. Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно центра».
9. Сформулировать определение понятия «кинетический момент механической системы относительно оси».
10. Записать в скалярном виде формулы, выражающие теорему об изменении кинетического момента механической
системы относительно координатных осей.
155
11. Сформулировать следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно координатных осей.
5.4. Динамика движений твёрдого тела
5.4.1. Динамика поступательного движения твёрдого тела
Поступательным движением твёрдого тела называют
такое его движение, при котором любая прямая линия, проведённая на теле, остается во всё время движения параллельной своему начальному положению.
Рассмотрим поступательное движение твёрдого тела на плоскости в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил FiE и реакций R Ei внешних связей (рис. 5.16).
Рис. 5.16
Из курса кинематики известно, что при поступательном движении твёрдого тела траектории всех его точек одинаковы (при нало-
156
жении друг на друга траектории движения точек совпадают), а скорости и ускорения всех точек геометрически равны.
Эти свойства позволяют свести изучение поступательного движения твёрдого тела к изучению движения его отдельной точки. За
такую точку, как правило, выбирают центр масс твёрдого тела.
Выражения XC = f1(t), YC = f2(t), ZC = f3(t), описывающие движение
центра С масс твёрдого тела в пространстве, называют уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.
Твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая
система, в которой геометрическая сумма внутренних сил Σ R iJ
(главный вектор RJ внутренних сил) всегда равна нулю
(Σ R iJ = RJ = 0).
Таким образом, центр С масс твёрдого тела при его поступательном движении движется под действием активных сил FiE и реакций R Ei внешних связей.
Основное уравнение динамики движения центра масс
твёрдого тела имеет вид
m·aС = Σ FiE + Σ R Ei = FE + R E ,
где FE = Σ FiE , R E = Σ R Ei – главные векторы активных сил FiE и реакций R Ei внешних связей.
Главные векторы FE , R E прикладывают в центре масс твёрдого
тела.
Как правило, основное уравнение динамики поступательного
движения твёрдого тела записывают в виде
m·aС = Σ FiE + Σ R Ei .
Произведение массы тела на ускорение его центра масс равно геометрической сумме активных сил и реакций внешних
связей, приложенных к нему.
Спроецируем это векторное равенство на координатные оси
неподвижной (инерциальной системы отсчёта) OXYZ:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
C
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
C
iOY
iOY
 = Σ FE + Σ RE ,
m· Z
C
iOZ
iOZ
 , Y
 , Z
 – проекции ускорения центра масс
где m – масса тела; X
C
C
C
E
E
E
тела на координатные оси; Σ FiOX
, Σ FiOY
, Σ FiOZ
, Σ REiOX , Σ REiOY ,
157
Σ REiOZ – суммы проекций соответственно активных сил и реакций
внешних связей на координатные оси инерциальной системы отсчёта.
Последние выражения называют дифференциальными уравнениями поступательного движения твёрдого тела в пространстве.
По дифференциальным уравнениям поступательного движения
твёрдого тела решают прямые и обратные задачи динамики. Алгоритмы решения таких задач не отличаются от алгоритмов решения
задач динамики точки, приведённых в подразделах данного учебнометодического пособия, поэтому здесь они подробно не приводятся.
Так как курсовых заданий на решение дифференциальных
уравнений поступательного движения твёрдого тела по учебной
программе не предусмотрено, то и примеры решения таких задач
здесь не приведены.
5.4.2. Динамика вращательного движения твёрдого тела
Вращательным движением твёрдого тела называется
такое его движение, при котором все точки, находящиеся на
прямой, неизменно связанной с телом и называемой осью
вращения, остаются неподвижными.
Рассмотрим вращательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием активных сил FiE и реакций R Ei внешних связей (рис. 5.17).
При вращении тела угол его поворота φ изменяется в зависимости от времени t.
φ = f(t).
Эту аналитическую зависимость называют уравнением вращательного движения твёрдого тела. При вращательном движении твёрдого тела все его точки описывают окружности с центром
на оси вращения и радиусом ri.
По известному уравнению φ = f(t) вращательного движения тела
 .
определяют его угловую скорость  и угловое ускорение 
 = d2φ/dt2.
 = dφ/dt; 
Согласно рис. 5.17 на рассматриваемую механическую систему
(твёрдое тело) кроме активных сил FiE действуют реакции R Ei внеш158
них связей. К этим реакциям отнесены: XA, YA, ZA, XB, YB, R EC – соответственно реакции подпятника А, цилиндрического шарнира В и
реакция тела другой механической системы в точке С.
RE = Σ R Ei = XA + YA + ZA + XB + YB + R EC ,
где RE = Σ R Ei – главный вектор реакций внешних связей.
Рис. 5.17
Необходимо отметить, что в динамике твёрдое тело рассматривается как неизменяемая механическая система, в которой геометрическая сумма внутренних сил R iJ (главный вектор RJ внутренних
сил) всегда равна нулю (Σ R iJ = RJ = 0).
С учетом этого дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно оси вращения OZ
имеет вид
 = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei ),
JOZ· 
где JOZ – момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения; ΣMOZ( FiE ), ΣMOZ( R Ei ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.
159
Сравним дифференциальное уравнение вращательного движе = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei )) с одним из дифния твёрдого тела (JOZ· 
ференциальных уравнений поступательного движения твёрдого те = Σ FE + Σ RE ).
ла (m· X
C
iOX
iOX
Очевидно, что момент инерции JOZ твёрдого тела при вращательном движении имеет то же значение, что и масса m при его поступательном движении.
Таким образом, момент инерции является мерой инертности
тела при его вращательном движении.
По дифференциальному уравнению вращательного движения
 = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei )) решают следующие
твёрдого тела (JOZ· 
задачи:
1. По заданному уравнению движения φ = f(t) и его моменту
инерции JOZ определяют главный момент MEOZ внешних сил, действующих на тело:
MEOZ = ΣMOZ( FiE ) + ΣMOZ( R Ei ).
2. По заданным активным силам FiE и реакциям R Ei внешних
 0 ) и по мосвязей, а также по начальным условиям вращения ( 0 , 
менту инерции JOZ тела относительно оси вращения определяют
уравнение движения φ = f(t).
3. Определяют момент инерции JOZ относительно оси вращения
 и главного момента
по известным величинам углового ускорения 
MEOZ внешних сил, действующих на тело.
Поскольку учебной программой выполнение курсовых заданий
на применение дифференциальных уравнений вращательного движения твёрдого тела не запланировано, то и примеры решения задач на эту тему в данном учебно-методическом пособии не приведены.
5.4.3. Динамика плоскопараллельного движения
твёрдого тела
Плоскопараллельным (плоским) движением твёрдого тела называется такое движение, при котором каждая точка
тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.
160
Рассмотрим плоскопараллельное движение твёрдого тела в
инерциальной системе отсчёта OXY, происходящее под действием
активных сил FiE и реакций R Ei внешних связей (рис. 5.18).
Рис. 5.18
Поскольку твёрдое тело рассмотрено как неизменяемая механическая система, то главный вектор RJ внутренних сил R iJ , приложенных к точкам тела, всегда равен нулю (RJ = Σ R iJ = 0). Так как
внутренние силы R iJ не влияют на движение центра С масс тела, то
они на рис. 5.18 не показаны.
Из курса кинематики известно, что плоскопараллельное движение можно рассматривать как сложное движение, представляющее
собой сумму двух движений: 1 – поступательное движение со скоростью VC центра масс в неподвижной системе отсчёта OХY; 2 – вращательное движение относительно подвижной оси CZ1, проходящей
через центр масс, при этом подвижная система отсчёта CX1Y1Z1 совершает поступательное движение.
Необходимо отметить, что начало системы отсчёта CX1Y1Z1
всегда располагают в центре С масс тела.
Уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела в динамике, как правило, записывают в следующем виде:
XC = f1(t); YC = f2(t); φ = f3(t).
161
С использованием этих уравнений движения дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела имеют вид:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
C
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
C
iOY
iOY
 = ΣMСZ1( FiE ) + ΣMСZ1( R Ei ),
JСZ1· 
 , Y
 – проекции ускорения центра С масс
где m – масса тела; X
C
C
тела на координатные оси неподвижной системы отсчёта OXY;
E
E
Σ FiOX
, Σ FiOY
– суммы проекций активных сил FiE на координатные
оси OX, OY; Σ REiOX , Σ REiOY – суммы проекции реакций R Ei внешних
 – угловое ускорение тела;
связей на координатные оси OX, OY; 
JСZ1 – момент инерции твёрдого тела относительно подвижной оси
CZ1 вращения, проходящей через центр масс; ΣMСZ1( FiE ),
ΣMСZ1( R Ei ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно подвижной оси CZ1 вращения,
проходящей через центр масс тела.
С помощью этих дифференциальных уравнений движения
твёрдого тела можно решать как прямые (первые), так и обратные
(вторые) задачи динамики.
При решении обратных задач динамики (определение движения
по заданным силам) приходится интегрировать систему дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твёрдого тела.
Для определения шести постоянных интегрирования (С1,…, С6)
должны быть заданы шесть начальных условий движения: XC0, YC0,
 , Y , Z .
ZC0, X
C0
C0
C0
В учебной программе могут быть предусмотрены курсовые задания по излагаемой теме, поэтому необходимо привести алгоритм
решения таких задач.
Решение задач динамики плоскопараллельного движения твёрдого тела рекомендуется выполнять по следующему алгоритму.
1. Выбрать неподвижную (инерциальную) систему отсчёта OXY.
2. Изобразить тело в системе отсчёта OXY в произвольный момент времени.
3. В центре С масс твёрдого тела разместить начало подвижной
системы отсчёта.
4. Изобразить на рисунке все внешние силы ( FiE , R Ei ), приложенные к твёрдому телу.
162
5. Составить дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела:
 = Σ FE + Σ RE ;
m· X
C
iOX
iOX
 = Σ FE + Σ RE ;
m· Y
C
iOY
iOY
 = ΣMСZ1( FiE ) + ΣMСZ1( R Ei ).
JСZ1· 
Дальнейший ход решения зависит от того, какая задача динамики должна быть решена – прямая или обратная.
5.4.4. Динамика сферического движения твёрдого тела
Рассмотрим движение тела, одна из точек которого во всё время движения остается неподвижной. При таком движении все
остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. Такое движение
называют сферическим движением твёрдого тела.
Сферическое движение твёрдого тела – движение, при котором скорость одной точки тела равна нулю, а остальные
точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с этой неподвижной точкой.
Примером сферического движения тела служит движение волчка, имеющего неподвижную точку О1 (рис. 5.19).
Для определения положения тела в каждый момент времени
используют две системы отсчёта: неподвижную систему отсчёта
O1X1Y1Z1 и подвижную систему отсчёта OXYZ, которая жёстко закреплена на теле. При этом начало отсчёта ПСО совпадает с началом отсчёта НСО.
На рис. 5.19 стрелками показаны положительные направления
отсчёта углов Ψ, θ и φ. Рассмотрим подробнее порядок отсчёта этих
углов. Плоскость OXY подвижной системы отсчёта OXYZ пересекается с плоскостью O1X1Y1 неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1
по линии O1L. Эту линию называют осью узлов. Введём единичный
вектор р, направленный от точки О1 к точке L оси узлов. Единичные
векторы i1, p лежат в горизонтальной плоскости O1X1Y1 и образуют
угол Ψ, величина которого зависит от времени. Ψ = f1(t). Положительное направление отсчёта угла Ψ определяют по правилу: смотря навстречу вектору k1, поворот вектора i1 к вектору р должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.
163
Рис. 5.19
Единичные векторы k1, k образуют плоскость, в которой находится угол θ, который также зависит от времени: θ = f2(t). Положительное направление отсчёта угла θ определяют по правилу: смотря навстречу вектору i, поворот вектора k1 к вектору k должны увидеть происходящим против хода часовой стрелки.
Единичные векторы р, i образуют плоскость, в которой лежит
угол φ, величина которого зависти от времени: φ = f3(t). Правило положительного направления отсчёта угла φ: смотря навстречу вектору j, поворот вектора р к вектору i должны увидеть происходящим
против хода часовой стрелки.
Углы Ψ, θ, φ называют также эйлеровыми углами:
угол Ψ – угол прецессии;
угол θ – угол нутации;
угол φ – угол собственного вращения.
164
Так как положение тела, имеющего одну неподвижную точку,
определяется тремя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами,
то оно имеет три степени свободы.
Таким образом, сферическое движение тела описывается тремя уравнениями движения:
Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).
На твёрдое тело, совершающее сферическое движение, действуют активные силы FiE , реакция опоры REO и внутренние силы
R iJ . Следует отметить, что активные силы FiE и реакцию опоры REO
относятся к разряду внешних сил. При этом моменты реакции REO
относительно координатных осей ОХ, OY, OZ системы отсчета OXYZ равны нулю.
Для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций
внутренних связей всегда равна нулю ( R iJ = 0). Исходя из этого
утверждения, дифференциальные уравнения сферического
движения твёрдого тела имеют вид:
d
 ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ)) +
(
dt
 ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ))·(  ·cos(θ) +  )·(JОZ – JОY) =
+ (
JОX·
= Σ MОX( FiE );
(1)
d
 ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ)) +
(
dt
 ·cos(θ) +  )·(  ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ)) (JОX – JОZ) =
+ (
JОY·
= Σ MОY( FiE );
(2)
d
 ·cos(θ) +  ) +
(
dt
 ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ))·(  ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ))×
+ (
JОZ·
× (JОY – JОX) = Σ MОZ( FiE ),
(3)
где JОX, JОY, JОZ – моменты инерции тела относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ;
 – угловая скорость прецессии;  – угловая скорость нутации;

–
угловая
скорость
собственного
вращения;
Σ
MOX( FiE ),
Σ MOY( FiE ),Σ MOZ( FiE ) – суммы моментов активных сил относительно
координатных осей OX, OY, OZ системы отсчёта OXYZ.
165
Дифференциальные уравнения сферического движения твёрдого тела называют динамическими уравнениями Эйлера.
Целью решения дифференциальных уравнений сферического
движения твёрдого тела является получение зависимостей:
Ψ = f1(t); θ = f2(t); φ = f3(t).
Интегрирование динамических уравнений Эйлера связано с
большими трудностями, поэтому выполнение студентами курсовых
заданий на эту тему не предусмотрено.
5.4.5. Динамика общего случая движения твёрдого тела
В теоретической механике движение свободного тела в пространстве рассматривают как сложное, состоящее из поступательного движения со скоростью некоторой точки тела, принятой за полюс, и сферического движения вокруг этого полюса. Как правило, за
полюс принимают центр С масс твёрдого тела (рис. 5.20).
Примем центр С масс за полюс и поместим в него начала двух
подвижных систем отсчёта СXYZ, O2X2Y2Z2. Координатные оси CX,
CY, CZ направляют по главным центральным осям инерции тела.
При этом система отсчёта OXYZ неподвижно закреплена на теле, а
система отсчёта O2X2Y2Z2 совершает поступательное движение таким образом, что её координатные оси параллельны координатным
осям неподвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1.
Плоскости OXY, O2X2Y2 подвижных систем отсчёта пересекаются по линии OL. Введением единичного вектора р эту линию преобразуют в ось узлов.
На рис. 5.20 показаны углы Ψ, φ, θ, величины которых зависят
от времени. Эти углы называют эйлеровыми углами.
Таким образом, свободное движение тела определяется шестью уравнениями движения свободного твёрдого тела.
X1С = f1(t); Y1С = f2(t); Z1С = f3(t);
Ψ = f4(t); φ = f5(t); θ = f6(t),
где X1С, Y1С, Z1С – координаты центра масс тела в неподвижной системе отсчёта O1X1Y1Z1.
166
Рис. 5.20
Свободное движение твёрдого тела осуществляется под действием активных сил FiE и реакций R iJ внутренних связей. Известно,, что для абсолютно твёрдого тела геометрическая сумма реакций внутренних связей равна нулю ( R iJ = 0). Исходя из этого утверждения, дифференциальные уравнения поступательной части свободного движения твёрдого тела имеют вид:
167
 = Σ FE ;
m· X
1C
iO1X1
(1)
 = Σ FE ;
m· Y
1C
iO1Y1
(2)
 = Σ FE ,
m· Z
1C
iO1Z1
(3)
 , Y
 – проекции ускорения центра С
 , Z
где m – масса тела; X
1C
1C
1C
E
масс тела на координатные оси системы отсчёта O1X1Y1Z1; Σ FiO
1X1 ,
E
E
E
Σ FiO
1Y1 , Σ FiO1Z1 – суммы проекций активных сил Fi на координатные
оси O1X1, O1Y1, O1Z1.
Сферическая часть движения твёрдого тела относительно центра масс описывается тремя дифференциальными уравнениями:
d
 ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ)) +
(
dt
 ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ))·(  ·cos(θ) +  )·(JCZ – JCY) =
+ (
JCX·
= Σ MCX( FiE );
(4)
d
 ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ)) +
(
dt
 ·cos(θ) +  )·(  ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ)) (JCX – JCZ) =
+ (
JCY·
= Σ MCY( FiE );
(5)
d
 ·cos(θ) +  ) +
(
dt
 ·sin(θ)·sin(φ) +  ·cos(φ))·(  ·sin(θ)·cos(φ) –  ·sin(φ))×
+ (
JCZ·
×(JCY – JCX) = Σ MCZ( FiE ),
(6)
где JCX, JCY, JCZ – моменты инерции тела относительно главных цен – угловая скорость прецессии;  – углотральных осей инерции; 
вая скорость нутации;  – угловая скорость собственного вращения;
Σ MCX( FiE ),Σ MCY( FiE ),Σ MCZ( FiE ) – суммы моментов активных сил относительно главных центральных осей.
Интегрирование дифференциальных уравнений (1) – (6) представляет большие трудности, поэтому для студентов заочной и дистанционной форм обучения выполнение курсовых заданий на свободное движение тела не предусмотрено.
168
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Записать дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела в пространстве.
2. Записать дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела относительно вертикальной оси.
3. Записать дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела в системе отсчёта OXY.
5.5. Теорема об изменении кинетической энергии
5.5.1. Работа силы на перемещении точки её приложения
Рассмотрим прямолинейное перемещение точки на горизонтальной плоскости OXY из положения М1 в положение М2, происходящее под действием постоянной силы F (рис. 5.21).
Рис. 5.21
Работой A(F) постоянной силы на прямолинейном перемещении точки её приложения называется скалярное произведение вектора силы F на вектор U перемещения её точки
приложения.
A(F) = F·U = F·U·cos(F, U) = F·U·cos(α),
где F – модуль силы F; U – модуль вектора U перемещения точки
приложения силы F; α – угол, составленный направлениями векторов F и U.
169
Единица измерения работы [Н·м] = [Дж].
Согласно последнему равенству работа постоянной силы F на
перемещении U точки её приложения равна произведению трёх
сомножителей: модуля силы на модуль вектора перемещения точки
приложения силы и на косинус угла, составленного направлениями
векторов F и U.
В зависимости от величины угла α работа A(F) силы F на перемещении U точки её приложения может быть положительной, отрицательной или равной нулю (рис. 5.22).
Рис. 5.22
Анализ рис. 5.20 позволяет сделать следующие выводы:
1) если векторы F и U направлены в одну полуплоскость,
то A(F) > 0;
2) если векторы F и U направлены в разные полуплоскости,
то A(F) < 0;
3) если векторы F и U взаимно перпендикулярны, то A(F) = 0.
Как правило, в задачах инженерной практики силы являются
переменными, а точки их приложения описывают криволинейные
траектории (рис. 5.23).
Рис. 5.23
170
В этом случае используют понятие «элементарная работа
силы».
Элементарная работа силы – скалярная мера действия силы, равная скалярному произведению силы на элементарное
перемещение точки её приложения.
Рассмотренное понятие базируется на другом понятии –
«элементарное перемещение точки».
Элементарное перемещение точки – перемещение точки
из данного положения в положение, бесконечно близкое к нему.
Это перемещение изображается вектором, начало и конец которого совпадают соответственно с положениями точки в начале и
конце перемещения. Элементарное перемещение dU направляется
по касательной к траектории движения в данной точке. Так как вектор dU и вектор V скорости точки имеют одинаковое направление,
то равенство для определения элементарной работы δA(F) имеет
вид
δA(F) = F·dU = F·dU·cos(F, dU).
Работа переменной силы F на конечном перемещении U точки
её приложения по произвольной траектории равна криволинейному
интегралу, взятому вдоль кривой от точки М1 до точки М2 от элементарной работы δA.
А(F) = ∫F·dU = ∫F·dU·cos(F, dU).
Работа силы на конечном перемещении точки её приложения – величина, равная криволинейному интегралу от элементарной работы силы, действующей на данную материальную точку, взятому вдоль дуги кривой, описанной точкой
при этом перемещении.
Если сила последовательно действует на разные точки механической системы (тела), то её работа при конечном перемещении системы определяется как предел суммы соответствующих элементарных работ.
Выражение работы переменной силы на конечном перемещении точки её приложения по криволинейной траектории через проекции FOX, FOY, FOZ силы F и проекции dX, dY, dZ вектора dU элементарного перемещения на оси декартовой системы отсчёта имеет
вид
171
A(F) = ∫(FOX·dX + FOY·dY + FOZ·dZ).
Рассмотрим движение i-й точки неизменяемой механической
системы в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.24).
Рис. 5.24
Как известно, точки механической системы осуществляют движение под действием активных сил FiE , реакций R Ei внешних связей
и внутренних сил R iJ . В этом случае элементарная работа δAS
внешних сил ( FiE , R Ei ) и внутренних сил R iJ , приложенных к точке,
будет равна
δAS = ( FiE + R Ei + R iJ )·dU =
E
E
J
= Fi ·dU·cos( FiE , dU) + Ri ·dU·cos( R Ei , dU) + Ri ·dU·cos( R iJ , dU).
Определим работу силы тяжести G при перемещении точки из
положения М1 в положение М2 в инерциальной системе отсчёта
OXYZ (рис. 5.25).
Рис. 5.25
172
Работу A(G) силы тяжести G определяют по формуле
A(G) = ± G·H,
где G – модуль силы тяжести (вес); Н – изменение высоты точки при
её перемещении из положения М1 в положение М2.
Знак (+) соответствует перемещению точки вниз, а знак (–) соответствует перемещению точки вверх.
Таким образом, работа силы тяжести равна взятому со знаком (+) или (–) произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки её приложения.
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой
перемещается точка её приложения, а зависит лишь от расстояния
между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки.
В данном учебно-методическом пособии рассматриваются
только неизменяемые механические системы. Для таких систем
элементарная работа δAS( R iJ ) внутренних сил, определяемая как
сумма элементарных работ внутренних сил, действующих на точки,
равна нулю.
J
δAS( R iJ ) = Σ Ri ·dU·cos( R iJ , dU) = 0.
Исходя из этого, элементарную работу δAS при перемещении
неизменяемой механической системы определяют по формулам:
δAS = Σ( FiE + R Ei )·dU;
E
E
δAS = Σ Fi ·dU·cos( FiE , dU) + Σ Ri ·dU·cos( R Ei , dU).
В процессе движения механической системы её тела осуществляют три вида движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.
При поступательном движении твёрдого тела, рассматриваемого как неизменяемая механическая система, элементарная работа
δАS внешних сил, приложенных к нему, равна
E
E
δAS = Σ Fi ·dU·cos( FiE , dU) + Σ Ri ·dU·cos( R Ei , dU).
При вращательном движении тела относительно оси OZ имеем
δAS = ΣMOZ( FiE )·δφ + ΣMOZ( R Ei )·δφ,
где ΣMOZ( FiE ), ΣMOZ( R Ei ) – соответственно моменты активных сил FiE
и реакций R Ei внешних связей относительно оси OZ вращения тела;
δφ – элементарный угол поворота тела (приращение угла поворота
тела).
173
Так как плоскопараллельное движение твёрдого тела есть сумма поступательного движения со скоростью полюса (как правило, за
полюс принимают центр масс твёрдого тела) и вращательного движения с угловой скоростью  относительно оси, проходящей через
полюс, то элементарную работу δAS определяют по формуле
E
E
δAS = Σ Fi ·dUС·cos( FiE , dUС) + Σ Ri ·dUС·cos( R Ei , dUС) +
+ ΣMCZ( FiE )·δφ +ΣMCZ( R Ei )·δφ,
где ΣMCZ( FiE ), ΣMCZ( R Ei ) – соответственно суммы моментов активных
сил и реакций внешних связей относительно оси CZ , проходящей
через центр масс тела; dUC – элементарное перемещение центра
масс тела.
В инженерных дисциплинах широко используется понятие
«мощность силы». Определим это понятие.
Мощность силы – величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.
Мощность обозначают символом N и находят по формуле
N = F·V = F·V·cos(F, V).
Так как мощность силы характеризует быстроту выполнения
работы, то величину мощности можно находить по формуле
N = δA(F)/dt,
где δA(F) – элементарная работа силы; dt – промежуток времени, за
который совершена элементарная работа.
Единица измерения мощности [Дж/с] = [Вт], (Bатт).
Для поступательного движения твёрдого тела мощность определяют по формуле
E
E
N = Σ Fi ·VС·cos( FiE , VС) + Σ Ri ·VС·cos( R Ei , VС),
где VС = dUС/dt – скорость центра масс.
При вращательном движении твёрдого тела имеем
N = ΣMOZ( FiE )·  + ΣMOZ( R Ei )·  ,
где  – угловая скорость вращения тела.
Вычисление суммы работ сил осуществляют по следующему
алгоритму.
1. Изобржают на рисунке силы, приложенные к материальной
точке либо к системе материальных точек.
2. Изображают элементарные перемещения точек системы.
3. Вычисляют элементарную работу сил, т. е. сумму работ всех
сил на элементарных перемещениях точек системы.
174
4. Вычисляют искомую сумму работ сил на конечных перемещениях как сумму определённых интегралов, взятых в соответствующих пределах от элементарных работ. При наличии сил
тяжести вычисляют работу этих сил на конечных перемещениях
по формуле A(Gi) = ±Gi·HСi, где HСi – высота, на которую перемещается центр Сi масс i-го тела.
5.5.2. Кинетическая энергия механической системы
В динамике рассматриваются два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек.
1. Механическое движение переносится с одной механической
системы на другую в качестве механического движения.
2. Механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.).
Каждый из этих случаев преобразования механического движения имеет свои измерители как механического движения, так и действия силы.
Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки K = m·V или механической системы K = m·VС. Мерой действия силы в этом случае является вектор S импульса силы.
Когда механическое движение превращается в другую форму
движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы.
Кинетическая энергия материальной точки – скалярная
мера механического движения, равная половине произведения
массы точки на квадрат её скорости движения.
Кинетическую энергию Т точки определяют по формуле
T = m·V2/2.
Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.
175
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы в
инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.26).
Рис. 5.26
На рис. 5.26 использованы следующие обозначения: mCi, VCi –
соответственно масса и скорость центра масс i-й точки механической системы; m, VC – масса и скорость центра масс механической
системы.
Кинетическая энергия системы – величина, равная сумме
кинетических энергий всех материальных точек механической системы.
Кинетическую энергию механической системы ТS определяют
по формуле
ТS = Σ Тi,
где Тi – кинетическая энергия i-й точки механической системы.
Тела, входящие в механическую систему, осуществляют следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное. Определим кинетические энергии тел, находящихся в
этих движениях.
Рассмотрим поступательное движение твёрдого тела в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.27).
Кинетическую энергию тела при таком движении определяют по
формуле
176
T = m·(VC)2/2,
где VC – скорость центра С масс тела.
Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего поступательное движение, равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.
Рис. 5.27
При вращательных движениях тел (рис. 5.28) относительно
различных осей (OX, OY, ОZ) кинетическую энергию определяют по
формулам:
T = JOX· ()2 /2; T = JOY· ()2 /2; T = JOZ· ()2 /2,
где JOX, JOY, JOZ – соответственно моменты инерции относительно
осей вращения OX, OY, OZ;  – угловая скорость вращения тела.
Рис. 5.28
177
Кинетическая энергия твёрдого тела, совершающего вращательное движение, равна половине произведения его момента инерции относительно соответствующей оси на
квадрат угловой скорости.
Как известно из кинематики, плоскопараллельное движение состоит из двух простейших движений: 1 – поступательное движение
со скоростью VС центра масс в неподвижной (инерциальной) системе отсчёта OXY; 2 – вращательное движение с угловой скоростью 
относительно подвижной оси CZ1 вращения, проходящей через
центр масс (рис. 5.29).
Рис. 5.29
Исходя из изложенного, кинетическую энергию тела при плоскопараллельном движении определяют по формуле
T = m·(VC)2/2 + JCZ1· ()2 /2,
где JCZ1 – момент инерции тела относительно оси CZ1, проходящей
через его центр масс.
Зависимость между изменением кинетической энергии неизменяемой механической системы и работой приложенных к её точкам
сил на некотором перемещении определяется формулой
E
ТSk – ТSn = Σ Аi = ΣА(FiE) + ΣA(RiE),
где ТSk – кинетическая энергия механической системы в конечном
положении;ТSn – кинетическая энергия механической системы в исE
ходном положении; Σ Аi – сумма работ внешних сил (активных сил
178
и реакций внешних связей) на перемещении механической системы
из начального положения в конечное положение; ΣА(FiE) – сумма
работ активных сил на перемещении механической системы;
ΣA(RiE) – сумма работ реакций внешних связей на перемещении механической системы.
Эта формула выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
Изменение кинетической энергии неизменяемой механической
системы на некотором перемещении равно сумме работ активных сил и реакций внешних связей, приложенных к системе, на этом же перемещении.
Для закрепления изложенного теоретического материала учебным планом рекомендуется выполнить курсовое задание Д 4.
5.5.3. Варианты курсового задания Д 4
«Применение теоремы об изменении
кинетической энергии к изучению движения
механической системы»
Механическая система под действием сил тяжести приходит в
движение из состояния покоя; начальное положение системы показано в табл. 5.2. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты
1 – 3, 5, 6, 8 –1 2, 17 – 23, 29, 30) и пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми,
определить скорость центра масс С1 тела 1 в тот момент времени,
когда пройденный им путь станет равным SС1.
В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3,
m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых
окружностей; iС2X2, iС3X3, iС4X4 – радиусы инерции ступенчатых колёс
2. 3 и 4 относительно горизонтальных осей, проходящих через их
центры масс; α, β – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.
Расчётные схемы механизмов и необходимые для решения
данные приведены в табл. 5.2. Блоки и катки, для которых радиусы
инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными
дисками.
Наклонные участки нитей параллельны соответствующим
наклонным плоскостям.
179
Примечания к вариантам.
Вариант 4 – массами звеньев АВ, ВС3 и ползуна В пренебречь.
Вариант 5 – массой водила 5 пренебречь.
Вариант 14 – массы каждого из четырёх колес одинаковы.
Вариант 16 – массой водила 5 пренебречь.
Вариант 17 – шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень.
Вариант 18 – массой водила 4 пренебречь.
Вариант 20 – массами звеньев АВ, ВС3 и ползуна В пренебречь.
Вариант 22 – массой водила 4 пренебречь.
Вариант 24 – массами звеньев АВ, ВС3 и ползуна В пренебречь.
Вариант 25 – массой водила пренебречь.
Вариант 26 – массы и моменты инерции колёс 2 и 5 одинаковы. Шатун 3
рассматривать как тонкий однородный стержень.
Вариант 28 – шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень.
180
Таблица 5.2
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
Исходные данные
2
3
m1 = m кг;
m2 = 4·m кг;
m3 = m/5 кг;
m4 = 4·m/3 кг;
α = 60о;
f = 0,1;
SС1 = 2 м
1
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m/3 кг;
R3 = 30 см;
r3 = (2/3)·R3;
iC3X3 = 20 см;
α = 30о;
β = 45о;
f = 0,22;
SС1 = 2 м
2
m1 = m кг;
m2 = m кг;
m3 = m/10 кг;
m4 = m кг;
α = 45о;
f = 0,10;
SС1 = 2 м
3
181
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 40·m кг;
m4 = m кг;
R2 = 20 см;
AB = 5·R2;
R3 = 40 см;
r2 = 0,5·R2;
R4 = r2;
iC2X2 = 18 см;
SС1 = 0,1·π м
4
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = m кг;
R3 = 20 см;
R2 = 20 см;
r2 = 0,8·R2;
iC2X2 = 18 см;
α = 60о;
f = 0,12;
SС1 = 0,28·π м
5
m1 = m кг;
m2 = 3·m кг;
m3 = m кг;
R3 = 28 см;
α = 30о;
β = 45о;
f = 0,10;
SС1 = 1,5 м
6
182
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 2·m кг;
R2 = 16 см;
r2 = (3/4)·R2;
R3 = 25 см;
iC2X2 = 14 см;
α = 30о;
SС1 = 2 м
7
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m/3 кг;
R3 = 30 см;
α = 30о;
β = 45о;
f = 0,15;
SС1 = 1,75 м
8
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 9·m кг;
R3 = 30 см;
r3 = 0,5·R3;
iC3X3 = 20 см;
α = 30о;
f = 0,12;
SС1 = 1,5 м
9
183
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = m/4 кг;
m3 = m/4 кг;
m4 = m/5 кг;
α = 60о;
f = 0,10;
SС1 = 3 м
10
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m/4 кг;
R3 = 30 см;
r3 = (2/3)·R3;
iC3X3 = 25 см;
α = 30о;
β = 45о;
f = 0,17;
SС1 = 2,5 м
11
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m/5 кг;
m4 = m кг;
R2 = 30 см;
r2 = 20 см;
iC2X2 = 25 см;
α = 30о;
f = 0,20;
SС1 = 2,5 м
12
184
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 5·m кг;
m4 = 2·m кг;
R2 = 30 см;
R3 = 20 см;
r2 = 0,8·R2;
R4 = R2;
r4 = 0,2·R4;
iC2X2 = 26 см;
iC4X4 = 0,5·iC2X2;
α = 30о;
SС1 = 2 м
13
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = 5·m кг;
m4 = 4·m кг;
R3 = 25 см;
SС1 = 2 м
14
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = 4·m кг;
m4 = m/2 кг;
R2 = 20 см;
R3 = 15 см;
R4 = R2;
r4 = r2 = 0,5·R2;
iC4X4 = iC2X2;
iC2X2 = 18 см;
α = 60о;
SС1 = 1,5 м
15
185
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = 0,1·m кг;
m3 = 0,2·m кг;
m4 = 0,1·m кг;
R2 = 10 см;
R3 = 12 см;
OC = 6 R3;
R4 = 2·R3;
SС1 = 0,05·π м
16
m1 = m кг;
m2 = m/4 кг;
m3 = m/5 кг;
m4 = 0,1·m кг;
R2 = 20 см;
r2 = 0,8·R2;
iC2X2 = 15 см;
α = 60о;
f = 0,10;
SС1 = 0,16·π м
17
m1 = m кг;
m2 = 3·m кг;
m3 = m кг;
R3 = 20 см;
R2 = 30 см;
α = 60о;
f = 0,15;
SС1 = 0,2·π м
18
186
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = m/3 кг;
m3 = 0,1·m кг;
m4 = m кг;
R2 = 24 см;
r2 = 0,8 R2;
iC2X2 = 20 см;
α = 60о;
f = 0,15;
SС1 = 1,5 м
19
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 20·m кг;
R2 = 24 см;
r2 = 0,5·R2;
R3 = 15 см;
iC2X2 = 16 см;
AB = 6·R2;
α = 30о;
f = 0,10;
SС1 = 0,2·π м
20
m1 = m кг;
m2 = m кг;
m3 = 2·m кг;
R2 = 20 см;
r2 = (3/4)·R2;
R3 = 20 см;
iC2X2 = 16 см;
α = 30о;
β = 45о;
f = 0,20;
SС1 = 1,2 м
21
187
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m/4 кг;
R2 = 20 см;
OC = 2·R2;
R3 = 10 см;
α = 60о;
f = 0,17;
SС1 = 0,1·π м
22
m1 = m кг;
m2 = m кг;
m3 = 0,1·m кг;
m4 = 0,8·m кг;
R2 = 20 см;
r2 = 0,8·R2;
iC2X2 = 18 см;
α = 30о;
f = 0,10;
SС1 = 1 м
23
m1 = m кг;
m2 = 3·m кг;
m3 = 20·m кг;
R2 = 20 см;
r2 = 0,8·R2;
R3 = 30 см;
iC2X2 = 18 см;
AB = 4·R2;
SС1 = 0,08·π м
24
188
Продолжение табл..5.2
1
2
3
m1 = m кг;
m2 = m/3 кг;
m3 = m/4 кг;
R2 = 16 см;
OC = 2,5·R2;
R3 = 20 см;
SС1 = 0,04·π м
25
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = m кг;
m4 = m/3 кг;
R2 = 30 см;
iC2X2 = 20 см;
iC5X5 = 20 см;
R2 = R5;
r2 = r5 = 0,5·R2;
SС1 = 0,6·π м
26
m1 = m кг;
m2 = m кг;
m3 = 6·m кг;
m4 = m/2 кг;
R2 = 20 см;
R3 = 20 см;
iC2X2 = 16 см;
α = 30о;
SС1 = 2 м
27
189
Окончание табл. 5.2
1
2
3
28
m1 = m кг;
m2 = 2·m кг;
m3 = 3·m кг;
R2 = 20 см;
r2 = 0,5·R2;
iC2X2 = 14 см;
α = 60о;
f = 0,10;
SС1 = 0,1·π м
29
m1 = m кг;
m2 = m/5 кг;
m3 = m/8 кг;
R3 = 35 см;
α = 15о;
β = 30о;
f = 0,20;
SС1 = 2,4 м
30
m1 = m кг;
m2 = m/2 кг;
m3 = 0,3·m кг;
m4 = 1,5·m кг;
R2 = 26 см;
R3 = 20 см;
iC2X2 = 20 см;
iC3X3 = 18 см;
α = 30о;
f = 0,12;
SС1 = 2 м
190
5.5.4. Пример выполнения курсового задания Д 4
Рассмотрим пример выполнения задания Д 4.
Условие задания.
Механическая система под действием сил тяжести приходит в
движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рис. 5.30.
Рис. 5.30
Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми,
определить модуль скорости центра масс тела 1 в тот момент времени, когда пройденный им путь станет равным SС1.
В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3,
m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых
окружностей; iC2X2, iC3X3 – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно
горизонтальных осей, проходящих через их центры масс; α – угол
наклона шероховатой поверхности к горизонту; f – коэффициент
трения скольжения.
Дано: m1 = m; m2 = m/2; m3 = 0,3·m; m4 = 1,5·m; R2 = 26 см;
r2 = 0,5·R2; R3 = 20 см; r3 = 0,5·R3; iC2X2 = 20 см; iC3X3 = 18 см; α = 30о;
f = 0,12; SС1 = 2 м.
191
Курсовое задание рекомендуется выполнять по следующему
алгоритму.
1. Записать теорему об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы на конечном перемещении.
E
TSk – TSn = Σ Ai = ΣA(FiE) + ΣA(RiE),
где TSk – значение кинетической энергии механической системы в
конечный момент времени; TSn – значение кинетической энергии меE
ханической системы в начальный момент времени; Σ Ai – сумма
работ внешних сил, приложенных к механической системе на её конечном перемещении; ΣA(FiE) – сумма работ активных сил;
ΣA(RiE) – сумма работ реакций внешних связей.
2. Определить кинетическую энергию TSn механической системы
в начальный момент времени. Поскольку механическая система
движется из состояния покоя (см. рис. 5.30), то во всех вариантах
заданий имеем TSn = 0.
3. Изобразить на рисунке механическую систему в момент времени, когда центр С1 масс тела 1 проходит расстояние S (см. рис.
5.31).
Рис. 5.31
192
4. Провести кинематический анализ безаварийной работы исследуемой механической системы.
Согласно рис. 5.31 тела механической системы осуществляют
следующие виды движений. Тело 1 – поступательное движение со
скоростью VC1 центра С1 его масс; тело 2 – вращательное движение
 2 относительно оси вращения С2Х2, проходяс угловой скоростью 
щей через центр масс С2; тело 3 – плоскопараллельное движение;
тело 4 – поступательное движение со скоростью VC4 центра С4 его
масс.
5. Выразить модули скоростей центров масс и угловых скоростей тел механической системы в зависимости от VC1 модуля скорости центра С1 масс тела 1.
С целью сокращения формы записи введём обозначение
V = VC1. При определении кинематических характеристик тел механической системы учтём, что в точках контакта тел модули скоростей этих точек должны быть одинаковыми из условия их принадлежности соприкасающимся телам.
 2 I = ω2 = f1(V),
Итак, необходимо определить зависимости: I 
 3 I = ω3 = f3(V), VC4 = f4(V), где ω2, ω3 – модули угловых
VC3 = f2(V), I 
 2 ,  3 тел 2 и 3 .
скоростей 
Так как тело 1 совершает поступательное движение, а нить нерастяжима, то справедливо равенство
VC1 = V = VA = VB,
где VA – модуль скорости точки А контакта тела 1 с нитью; VB – модуль скорости точки В контакта нити с телом 2.
Из условия принадлежности точки В телу 2, совершающему
 2 относительно оси
вращательное движение с угловой скоростью 
вращения С2Х2, проходящей через центр масс С2, имеем
VВ = V = ω2·BC2 = ω2·R2.
Отсюда получим
V
V
=
= 3,846·V.
R 2 0,26
 2 , несложно определить моЗная модуль ω2 угловой скорости 
ω2 =
дуль VE скорости точки Е соприкосновения тела 2 с участком ЕК нерастяжимой нити.
VE = ω2·EC2 = ω2·r2 =
V
V
·r2 =
·0,5·R2 = 0,5·V.
R2
R2
193
Зависимости, связывающие модули скоростей точек B, C, E, несложно получить и из рассмотрения подобия треугольников на рис.
5.31.
Модуль VK скорости точки К контакта нити с телом 3 равен модулю VE скорости точки Е нити.
VK = VE = 0,5·V.
Из условия принадлежности точки К телу 3, совершающему
плоскопараллельное движение, справедливо равенство
VK = 0,5·V = ω3·КР3,
 3 тела 3; КР3 – расстояние от
где ω3 – модуль угловой скорости 
точки К до мгновенного центра скоростей – точки Р3.
Согласно рис. 5.31 имеем KP3 = R3 + r3. Тогда
3 
VK
VK
0,5  V
= 1,666·V.


KP3 (R3  r3 ) 0,2  0,5  0,2
Модуль VC3 скорости центра С3 масс тела 3 равен
VC3 = ω3·C3P3 = ω3·r3 = 1,666·V·(0,5·0,2) = 0,166·V.
Так как по условию задания нити нерастяжимы, то легко видеть,
что модуль VC3 скорости центра масс тела 3 равна модулю VC4 скорости центра С4 масс тела 4.
VC4 = VC3 = 0,166·V.
Таким образом, зависимости ω2 = f1(V), VC3 = f2(V), ω3 = f3(V),
VC4 = f4(V) получены.
6. Определить кинетическую энергию TSk неизменяемой механической системы в её конечном положении по формуле
TSk = ΣTSki,
где TSki – кинетическая энергия i-го тела системы в конечном положении.
Кинетическая TSk1 энергия тела 1, совершающего поступательное движение,
TSk1 =
1
1
·m1·(VC1)2 = ·m·V2 = 0,5·m·V2.
2
2
Кинетическая TSk2 энергия тела 2 при его вращательном движении находится по формуле
TSk2 =
=
1
1
·JC2X2·(ω2)2 = ·(m2·(iC2X2)2)·(ω2)2 =
2
2
1
= ·((m/2)·(iC2X2)2)·(V/R2)2 =
2
1
·((m/2)·(0,2)2)·(V/0,26)2 = 0,147·m·V2.
2
194
Кинетическая энергия тела 3 при его плоскопараллельном движении равна
1
1
·m3·(VC3)2 + ·JC3X3·(ω3)2 =
2
2
1
1
= ·(0,3·m)·(0,166·V)2 + ·(m3·(i3X)2)·(1,666·V)2 =
2
2
1
1
= ·(0,3·m)·(0,166·V)2 + ·((0,3·m)·(0,18)2)·(1,666·V)2 = 0,03·m·V2.
2
2
TSk3 =
Кинетическая энергия тела 4
TSk4 =
1
1
·m4·(VC4)2 = ·(1,5·m)·(0,166·V)2 = 0,02·m·V2.
2
2
Определим кинетическую энергию TSk механической системы:
TSk = 0,5·m·V2 + 0,147·m·V2 + 0,03·m·V2 + 0,02·m·V2 = 0,697
m·V2.
Таким образом, имеем TSk = 0,697 m·V2.
7. Показать внешние силы, действующие на точки механической
системы при её движении (рис. 5.32).
Рис. 5.32
195
Согласно рис. 5.32 на механическую систему действуют активные силы (G1, G2, G3, G4) и реакции (N1, F1, ZC2, YC2, TL) внешних связей, которые наложены на эту систему.
По условию задания сила F1 трения скольжения тела 1 при его
движении по шероховатой поверхности связана с нормальной реакцией N1 соотношением F1 = f·N1, где f – коэффициент трения скольжения, N1 – модуль нормальной реакции N1.
Для определения модуля N1 реакции N1 рассмотрим поступательное движение тела 1, приняв его за материальную точку, в системе отсчёта O1X1Y1, происходящее под действием силы тяжести
G1, нормальной реакции N1, силы трения F1 и реакции TА растянутой
нити (рис. 5.33).
Рис. 5.33
Основное уравнение динамики для поступательно движущегося
груза 1 имеет вид
E
E
m·aC1 = Σ Fi + Σ Ri = G1 + N1 + F1 + TА,
где aC1 – ускорение центра масс тела 1; TА – натяжение нити в точке
А тела 1 (см. рис. 5.33).
Составим дифференциальное уравнение движения центра С1
масс груза 1, спроецировав последнее векторное равенство на координатную ось O1Y1.
E
 = Σ FE
m· Y
C1
iO1Y1 + Σ RiO1Y1= – G1·cos(α) + N1.
196
 ускорения aC1 центра масс тела 1 на
Поскольку проекция Y
C1
координатную ось O1Y1 равна нулю, то имеем
N1 = G1 ·cos(α) = m1·g·cos(α) = m·g·cos(α).
Тогда модуль силы трения находится по формуле
F1 = f·m·g·cos(α).
8. Определить перемещения SCi центров Ci масс тел механической системы в зависимости от перемещения SC1 центра С1 масс
тела 1.
При решении рассматриваемого варианта курсового задания
были определены зависимости, связывающие модуль скорости
VC1 = V центра С1 масс тела 1 с модулями скоростей VC3, VC4 центров С3, С4 масс тел 3, 4.
VC3 = VC4 = 0,166·V.
Интегрируя эти выражения, получим
SC3 = SC4 = 0,166·SC1.
E
9. Определить сумму работ (Σ Ai ) внешних сил, приложенных к
механической системе, при перемещении центра С1 масс тела 1 на
расстояние SC1.
E
Σ Ai = Σ A(FiE) + Σ A(RiE),
где ΣA(FiE) – сумма работ активных сил FiE на конечном перемещении механической системы; ΣA(RiE) – сумма работ реакций RiE
внешних связей, наложенных на механичекую систему.
Сумму работ активных сил определим по формуле
ΣA(FiE) = A(G1) + A(G2) + A(G3) + A(G4),
где A(Gi) – работа силы тяжести i-го тела механической системы.
Согласно теоретическому материалу, изложенному в подразделе 5.5.1 данного учебно-методического пособия, справедливы следующие равенства:
A(G1) = G1·HC1 = m1·g·(SC1)·sin(α) =
= m·g·(SC1)·sin(α) = m·g·2·0,5 = m·g,
где HC1 – перемещение центра С1 масс тела 1 по высоте.
Работа A(G2) силы тяжести тела 2 равна нулю (A(G2) = 0), так
как при движении механической системы центр масс С2 не изменяет
своего положения.
Работу A(G3) силы тяжести G3 тела 3 определим по формуле
A(G3) = – G3·HC3 = – m3·g·SC3 = – 0,3·m·g·0,166·SC1 =
= – 0,3·m·g·0,166·2 = – 0,099 m·g,
где HC3 – перемещение центра С3 масс тела 3 по высоте.
197
Работа A(G4) силы тяжести G4 равна
A(G4) = – G4·HC4 = – m4·g·SC4 = – 1,5·m·g·0,166·SC1 =
= – 1,5·m·g·0,166·2 = – 0,5·m·g,
где HC4 – изменение положения центра С4 масс тела 4 по высоте.
Сумму работ ΣA(RiE) реакций RiE внешних связей определим по
формуле
ΣA(RiE) = A(N1) + A(F1) + A(YC2) + A(ZC2) + A(TL),
где A(N1), A(F1), A(YC2), A(ZC2), A(TL) – работа соответствующей реакции внешней связи.
Работа A(N1) нормальной реакции N1 равна нулю (A(N1)=0), так
как направление реакции N1 перпендикулярно направлению вектора
SC1 перемещения точки её приложения.
Работа A(F1) силы трения F1 определяется по формуле
A(F1) = F1·SC1 = – F1·S = – (f·m·g·cos(α))·SC1 =
= – 0,12·m·g·0,866·2·= – 0,207·m·g.
Работы A(YC2), A(ZC2) реакций YC2, ZC2 шарнирно-неподвижной
опоры в точке С2 соответственно равны нулю: (A(YC2) = 0; A(ZC2) = 0),
так как при вращении тела 2 точки приложения реакций YC2, ZC2 не
изменяют своего положения (SC2 = 0).
Работа A(TL) реакции TL растянутой нити равна нулю (A(TL)= 0),
так как точка L приложения этой реакции не изменяет своего положения при движении механической системы.
E
Вычислим сумму работ Σ Ai внешних сил, приложенных к механической системе, при перемещении центра С1 масс тела 1 на
расстояние SC1.
E
Σ Ai = ΣA(FiE) + ΣA(RiE) =
= m·g – 0,099·m·g – 0,5·m·g – 0,207·m·g = 0,194·m·g.
10. Определим скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда пройденный им путь станет равным SC1.
E
TSk = 0,697·m·V2 = Σ Ai = 0,194·m·g.
Решая последнее выражение, получим
V = (0,194  g)/0,697 = (0,193  9,81) / 0,697 = 1,652 м/с.
Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в курсовом задании, получен:
VC1 = V = 1,652 м/с.
198
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «работа постоянной силы на прямолинейном перемещении точки её приложения».
2. Сформулировать определение понятия «элементарная работа переменной силы».
3. Записать формулу для определения работы силы тяжести.
4. Сформулировать определение понятия «мощность силы».
5. Сформулировать определение понятия «кинетическая
энергия».
6. Записать формулу для определения кинетической энергии
материальной точки.
7. Записать формулу для определения кинетической энергии
поступательно движущегося твёрдого тела.
8. Записать формулу для определения кинетической энергии
вращающегося тела относительно вертикальной оси.
9. Записать формулу для определения кинетической энергии
для твёрдого тела, совершающего плоскопараллельное
движение.
10. Записать формулу для определения кинетической энергии механической системы.
11. Записать формулу, выражающую теорему об изменении
кинетической энергии неизменяемой механической системы.
5.6. Принцип Даламбера для материальной точки
и механической системы
5.6.1. Принцип Даламбера для несвободной
материальной точки
Рассмотрим движение несвободной материальной точки под
E
E
действием активных сил Fi и реакций Ri внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.34).
199
Следует отметить, что на точку могут действовать несколько активных сил и реакций внешних связей. Однако на рис. 5.34 показаны
только по одной из этих сил.
Основное уравнение динамики точки имеет вид
m·a = Σ FiE + Σ R Ei .
Перенесём произведение m·a из левой части рассматриваемого
уравнения в правую его часть:
Σ FiE + Σ R Ei – m·a = 0.
Введём условное обозначение Ф = – m·a. Назовём Ф силой
инерции материальной точки.
Сила инерции материальной точки – величина, равная произведению массы точки на её ускорение и направленная противоположно этому ускорению.
Рис. 5.34
Как вектор сила инерции Ф имеет размерность [Н] и характеризуется тремя элементами: точкой приложения (приложена в точке,
движение которой рассматривается); направлением (направлена в
сторону, противоположную направлению ускорения a); модулем Ф,
который определяется по формуле Ф = m·a.
Исходя из изложенного выше, последнее векторное равенство
представим в следующем виде:
Σ FiE + Σ R Ei + Ф = 0.
Это векторное уравнение и выражает принцип Даламбера для
несвободной материальной точки.
200
В любой момент времени для движущейся несвободной материальной точки геометрическая сумма активных сил, реакций
внешних связей и силы инерции равна нулю.
По
существу,
основное
уравнение
динамики
точки
E
E
E
E
(m·a = Σ Fi + Σ R i ) преобразовано к другому виду (Σ Fi + Σ R i + Ф = 0),
который широко применяется в статике механических систем.
Поскольку силовой многоугольник, построенный на векторах активных сил FiE , реакций R Ei внешних связей и силы инерции Ф замкнут, то суммы проекций этих сил на координатные оси системы
отсчёта OXYZ равны нулю. Спроецируем векторное равенство
(Σ R Ei + Σ R Ei + Ф = 0) на координатные оси инерциальной системы отсчёта и получим следующие равенства:
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX + ФОХ = 0;
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY + ФOY = 0;
E
Σ FiOZ
+ Σ REiOZ + ФOZ = 0.
Сумма проекций активных сил, реакций внешних связей и силы
инерции на координатные оси инерциальной системы отсчёта равна нулю.
Последние уравнения зачастую называют уравнениями динамического равновесия материальной точки, в отличие от уравE
E
E
нений (Σ FiOX
+ Σ REiOX = 0; Σ FiOY
+ Σ REiOY = 0; Σ FiOZ
+ Σ REiOZ = 0) статического равновесия.
В действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, взаимодействующему с рассматриваемой
точкой. Приложение силы инерции к точке является лишь условным
приёмом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче
статики.
Благодаря простоте, принцип Даламбера получил широкое
применение во многих инженерных дисциплинах. В ряде случаев он
обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики.
201
5.6.2. Принцип Даламбера для несвободной
механической системы
Рассмотрим движение материальной точки Ci несвободной неизменяемой механической системы под действием активной силы
FiE , реакции R Ei внешней связи и внутренней силы R iJ в инерциальной системе отсчёта OXYZ со скоростью VCi и ускорением aCi (рис.
5.35).
Рис. 5.35
Применим принцип Даламбера для каждой точки Ci неизменяемой механической системы.
FiE + R Ei + R iJ + Фi = 0,
где Φi = – m·aCi – сила инерции материальной точки Ci механической
системы.
Просуммируем составленные уравнения и получим выражение
Σ FiE + Σ R Ei + Σ R iJ + ΣФi = 0.
Поскольку механическая система неизменяемая, то геометриJ
ческая сумма реакций R iJ внутренних связей равна нулю (Σ R i = 0).
Тогда получим
Σ FiE + Σ R Ei + ΣФi = 0.
В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма активных сил, реакций внешних
связей и сил инерции равна нулю.
202
Это и есть принцип Даламбера для неизменяемой механической системы.
Этот принцип зачастую записывают в следующем виде:
F* + R* + Φ* = 0,
где F* = Σ FiE – главный вектор активных сил; R* = Σ R Ei – главный
вектор реакций внешних связей; Φ* = ΣФi – главный вектор сил
инерции.
В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма главных векторов активных
сил, реакций внешних связей и сил инерции равна нулю.
Как правило, векторное равенство F* + R* + Φ* = 0, выражающее
принцип Даламбера, применяют при рассмотрении поступательного
движения твёрдого тела.
Используя метод Пуансо для каждой материальной точки механической системы, приведём произвольно направленные в пространстве активные силы FiE , реакции R Ei внешних связей и силы
инерции Фi к центру масс механической системы (рис. 5.36).
Рис. 5.36
Необходимо отметить, что метод Пуансо справедлив для любой
произвольной точки, но, как правило, в инженерной практике за такую точку принимают центр масс твёрдого тела или механической
системы.
203
Согласно методу Пуансо система активных сил FiE , реакций
R Ei внешних связей и сил инерции Фi эквивалентна системе сил
(F*, R*, Φ*) и системе присоединённых пар сил с векторными момен*
тами MС
(FiE ) , M*С (REi ) , M*С (Фi), где MС* (FiE ) = Σ MC* (FiE ) – главный
момент
активных
сил
относительно
центра
масс;
MС* (REi ) = Σ MС (R Ei ) – главный момент реакций внешних связей от*
носительно центра масс; MС
(Фi) = Σ MС (Фi) – главный момент сил
инерции относительно центра масс.
*
С использованием условных обозначений: F*, R*, Φ*, MС
(FiE ) ,
M*С (REi ) , M*С (Фi) принцип Даламбера преобразуется в совокупность
двух векторных выражений:
F* + R*+ Φ*= 0;
MС* (FiE ) + M*С (REi ) + M*С (Фi) = 0.
В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы геометрические суммы главных векторов и главных моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольного центра (как
правило, относительно центра масс) равны нулю.
Спроецируем последние векторные равенства на координатные
оси системы отсчёта OXYZ и получим шесть уравнений, выражающих принцип Даламбера в скалярной форме:
*
*
*
+ ROX
+ ФOX
= 0;
FOX
*
*
*
+ ROY
+ ФOY
= 0;
FOY
*
*
*
+ ROZ
+ ФOZ
= 0;
FOZ
*
*
*
MCOX
(FiE )  MCOX
(REi )  MCOX
(Фi ) = 0;
*
*
*
MCOY
(FiE )  MCOY
(REi )  MCOY
(Фi ) = 0;
*
*
*
MCOZ
(FiE )  MCOZ
(REi )  MCOZ
(Фi ) = 0,
*
*
*
где FOX
, FOY
, FOZ
– проекции главного вектора активных сил на ко*
*
*
ординатные оси; ROX
, ROY
, ROZ
– проекции главного вектора реак*
*
*
ций внешних связей на координатные оси; ФOX
, ФOY
, ФOZ
– проек-
*
ции главного вектора сил инерции на координатные оси; MCOX
(FiE ) ,
*
*
MCOY
(FiE ) , MCOZ
(FiE ) – проекции главного момента активных сил на
204
*
*
*
координатные оси; MCOX
(REi ) , MCOY
(REi ) , MCOZ
(REi ) – проекции
главного момента реакций внешних связей на координатные оси;
*
*
*
MCOX
(Фi ) , MCOY
(Фi ) , MCOZ
(Фi ) – проекции главного момента сил
инерции на координатные оси.
В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций главных векторов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции, а также
суммы проекций главных моментов активных сил, реакций
внешних связей и сил инерции относительно произвольного
центра на координатные оси инерциальной системы отсчёта равны нулю.
Как правило, в инженерной практике силы не приводят в одну
точку и, следовательно, такими понятиями, как главные векторы сил
и главные моменты сил относительно произвольной точки не пользуются, а применяют силы, приложенные в различных точках механической системы. В этом случае принцип Даламбера выражается
следующими уравнениями:
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX + Σ ФiOX = 0;
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY + Σ ФiOY = 0;
E
Σ FiOZ
+ Σ REiOZ + Σ ФiOZ = 0;
Σ MOX (FiE ) + Σ MOX (REi ) + Σ MOX (Фi ) = 0;
Σ MOY (FiE ) + Σ MOY (REi ) + Σ MOY (Фi ) = 0;
Σ MOZ (FiE ) + Σ MOZ (REi ) + Σ MOZ (Фi ) = 0,
E
E
E
где Σ FiOX
, Σ FiOY
, Σ FiOZ
– суммы проекций активных сил на коорди-
натные оси; Σ REiOX , Σ REiOY , Σ REiOZ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси; Σ ФiOX , Σ ФiOY , Σ ФiOZ – суммы проекций сил инерции на координатные оси; Σ MOX (FiE ) , Σ MOY (FiE ) ,
Σ MOZ (FiE ) – суммы моментов активных сил относительно координатных осей; Σ MOX (REi ) , Σ MOY (REi ) , Σ MOZ (REi ) – суммы моментов
реакций внешних связей относительно координатных осей;
Σ MOX (Фi ) , Σ MOY (Фi ) , Σ MOZ (Фi ) – суммы моментов сил инерции относительно координатных осей.
205
В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций активных сил, реакций
внешних связей и сил инерции на координатные оси, а также
суммы моментов активных сил, реакций внешних связей и сил
инерции относительно координатных осей равны нулю.
Последние математические выражения применяются для механических систем, расположенных в трёхмерном пространстве. Для
плоских систем используют двумерное пространство. В таком пространстве принцип Даламбера выражается следующими уравнениями:
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX + Σ ФiOX = 0;
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY + Σ ФiOY = 0;
Σ M A (FiE ) + Σ MA (R Ei ) + Σ MA (Фi ) = 0,
где Σ M A (FiE ), Σ MA (R Ei ) , Σ MA (Фi ) – суммы моментов соответственно
активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно
произвольной точки А.
В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций активных сил, реакций
внешних связей и сил инерции на координатные оси, а также
сумма моментов активных сил, реакций внешних связей и сил
инерции относительно произвольной точки равны нулю.
В инженерной практике, как правило, принцип Даламбера применяют для определения реакций внешних связей, наложенных на
механическую систему.
5.6.3. Приведение сил инерции точек твёрдого
тела к простейшему виду
В данном учебно-методическом пособии рассматриваются неизменяемые механические системы, в которые входят тела, осуществляющие следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.
При поступательном движении силы инерции материальных точек приводятся к главному вектору Ф* сил инерции, который прикла-
206
дывается в центре масс твёрдого тела (рис. 5.37) и определяется по
формуле
Ф* = – m·aС.
Рис. 5.37
Согласно рис. 5.37 главный вектор сил инерции Ф* направлен в
сторону, противоположную ускорению aС. Модуль главного вектора
сил инерции определяется по формуле Ф* = m·aС.
Рассмотрим вращательное движение твёрдого тела относительно оси ОХ, которая не проходит через его центр масс (рис.
5.38).
Рис. 5.38
207
Согласно положениям кинематики имеем векторное равенство
aС = aСω + aСε ,
где aС – ускорение центра масс; aСω – центростремительное ускорение центра масс; aСε – вращательное ускорение центра масс.
В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек
тела приводятся к главному вектору Ф* сил инерции и главному векторному моменту М*Ф , определяемым по формулам:
Ф* = Фω + Фε;
 ,
М*Ф = – JCX1· 
где Фω = – m· aСω – центробежная сила инерции; Фε = – m· aСε – вращательная сила инерции; JCX1 – момент инерции тела относительно
 – вектор углового ускореоси СХ1, проходящей через центр масс; 
ния.
Направления сил инерции Фω, Фε показаны на рис. 5.36. Модули
составляющих Фω, Фε главного вектора Ф* сил инерции и приведённого момента М*Ф сил инерции определяют по формулам:
*
 I,
 I·CO); МФ = МΦ = JCX1·I 
 2 )·CO); Фε = m·(I 
Фω = m·(( 
 I – соответственно масса, угловая скорость и модуль
где m,  , I 
 тела; СО – расстояние от центра масс до оси
углового ускорения 
вращения.
В инженерной практике наиболее часто используется вариант, в
котором центробежная и вращательная силы инерции прикладываются в центре масс (см. рис. 5.38). Этот вариант и рекомендуется
для дальнейшего использования как основной вариант.
Для общего ознакомления приведём и другие варианты приложения сил инерции.
Рассмотрим вариант вращательного движения твёрдого тела,
при котором силы инерции Фω, Фε прикладываются на оси вращения
(рис. 5.39).
В этом случае модули искомых инерционных нагрузок определяются по формулам:
*
 I,
 I·CO); МФ
 2 ·CO); Фε = m·(I 
Фω = m·( 
= МΦ = JОX·I 
где JОХ – момент инерции тела относительно оси вращения.
208
Рис. 5.39
Рассмотрим вариант вращательного движения твёрдого тела
 I·CO);
 2 ·CO); Фε = m·(I 
(рис. 5.40), при котором: Фω = m·( 
МФ* = МΦ = 0.
Рис. 5.40
209
В этом случае центробежную и вращательную силы инерции
прикладывают в точке О1, а расстояние ОО1 определяют по формуле
ОО1 = JОХ/(m·CO),
где JОХ – момент инерции тела относительно оси вращения.
В инженерной практике широкое распространение имеет вариант, при котором ось вращения тела проходит через его центр масс
(рис. 5.41).
Рис. 5.41
В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек
твёрдого тела приводятся к моменту МФ сил инерции.
 I.
МФ = JСХ· I 
Определим и покажем на рис. 5.42 главный вектор Ф* сил инерции и момент МФ сил инерции при плоскопараллельном движении
твёрдого тела.
Рис. 5.42
210
При таком движении твёрдого тела имеем:
 I,
Ф* = m·ac; МФ = JCZ·I 
где JCZ – момент инерции тела относительно оси CZ вращения, проходящей через центр масс.
Для закрепления изложенного материала студентам рекомендуется выполнить курсовое задание Д 5.
5.6.4. Варианты курсового задания Д 5
«Применение принципа Даламбера
к определению реакций связей»
Определить реакции внешних связей механической системы: в
заданном положении для вариантов 4, 5, 10, 19, 21 – 30; в момент
времени t1 для вариантов 1, 8, 9, 20; в тот момент времени, когда
угол поворота имеет значение φ1, для вариантов 2, 3, 6, 7.
На расчётных схемах плоскость OXY (AXY) горизонтальна,
плоскость OYZ (AYZ) вертикальна. Расчётные схемы механизмов и
необходимые для решения данные приведены в табл. 5.3, в которой
 – угловая скорость; φ0,  0 – значения угла поворота и угловой
скорости в начальный момент времени.
Примечания:
Для варианта 17. Радиус инерции ротора 2 двигателя 3;
iС2Х2 = 0,10 м.
Для варианта 21. Радиус инерции ротора 2 двигателя 3 ;
iС2Х2 = 0,12 м.
Для варианта 25. Радиус инерции шкива 3 iС3Х3 = 0,18 м.
Для варианта 26. Радиус инерции шкива 3 iС3Х3 = 0,22 м.
Для варианта 27. Радиус инерции шкива 3 iС3Х3 = 0,15 м.
Для варианта 28. Радиус инерции шкива 3 iС3Х3 = 0,15 м.
Вращающиеся тела, для которых не задан радиус инерции,
рассматривать как тонкие однородные стержни или
сплошные однородные диски (варианты 5, 6 – 9, 12, 16, 20,
22). На схемах вариантов 1, 8, 9, 16, 17, 20 – 22 указаны
внешние моменты М.
211
Таблица 5.3
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
Исходные данные
2
3
1
m = 20 кг;
l = 0,60 м;
М = 1,0 Н·м;
t1 = 10 c;
φ0 = 0о;
 0 = 0 рад/с
2
m = 25 кг;
l = 0,50 м;
φ1 = 60о;
φ0 = 0о;
 0 = 0 рад/с
m = 40 кг;
l = 0,80 м;
φ1 = 60о;
φ0 = 0о;
 0 = 6,3 рад/с
3
212
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m = 20 кг;
l = 0,80 м
4
m1 = 30 кг;
m2 = 1,5 кг;
r = 0,60 м;
R = 0,50 м;
b = 0,30 м;
с = 0,40 м;
d = 0,30 м;
 = 6 рад/с
5
m = 40 кг;
R = 0,30 м;
φ1 = 30о;
φ0 = 0о;
 0 = 0 рад/с
6
213
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
7
m = 20 кг;
R = 0,25 м;
φ1 = 60о;
φ0 = 0о;
ОС = R/2;
 0 = 5,5 рад/с
8
m = 50 кг;
R = 0,30 м;
М = 4,0 Н·м;
t1 = 5 c;
φ0 = 0о;
 0 = 0 рад/с
9
m1 = 20 кг;
m2 = 5 кг;
r = 0,60 м;
R = 0,50 м;
b = 0,30 м;
с = 0,25 м;
d = 0,30 м;
M = 10t Н·м;
t1 = 2 c
214
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m1 = 12 кг;
m2 = 5 кг;
l1 = 0,25 м;
b = 0,40 м;
с = 0,20 м;
 = 10 рад/с
10
m1 = 10 кг;
m2 = 6 кг;
r = 0,25 м;
b = 0,30 м;
с = 0,40 м;
d = 0,35 м;
 = 10 рад/с
11
m1 = 10 кг;
m2 = 6 кг;
R = 0,25 м;
r = 0,20 м;
b = 0,30 м;
с = 0,50 м;
d = 0,35 м;
 = 10 рад/с
12
215
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m1 = 10 кг;
m2 = 6 кг;
b = 0,50 м;
с = 0,20 м;
 = 10 рад/с
13
m = 10 кг;
b = 0,80 м;
с = 0,20 м;
 = 10 рад/с
14
m1 = 10 кг;
m2 = 20 кг;
b = 0,30 м;
с = 0,80 м;
d = 0,35 м;
 = 10 рад/с
15
216
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m1 = 80 кг;
m2 = 20 кг;
m3 = 0,4m1;
R3 = 0,10 м;
М = 100 Н·м
16
17
m1 = 10 кг;
m2 = 20 кг;
m3 = 10 кг;
M = 30 Н·м;
R2 = 0,2 м;
b = 0,30 м;
с = 0,80 м
18
m = 10 кг;
b = 0,30 м;
с = 0,20 м;
d = 0,35 м;
 = 10 рад/с
217
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m = 12 кг;
b = 0,30 м;
с = 0,25 м;
d = 0,35 м;
 = 8 рад/с
19
m = 40 кг;
R = 0,30 м;
M = 3,0 H·м;
OC = R/2;
t1 = 4 c;
φ0 = 0о;
 0 = 8 рад/с
20
m1 = 100 кг;
m2 = 40 кг;
m3 = 15 кг;
M = 124 H·м;
R2 = 0,2 м;
b = 0,30 м
21
218
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m1 = 80 кг;
m2 = 20 кг;
R2 = 0,10 м;
М = 120 Н·м
22
m1 = 10 кг;
m2 = 25 кг;
b = 0,30 м;
с = 0,50 м;
d = 0,35 м;
 = 10 рад/с
23
m1 = 10 кг;
m2 = 25 кг;
b = 0,20 м;
с = 0,50 м;
d = 0,30 м;
 = 12 рад/с
24
219
Продолжение табл. 5.3
1
2
3
m1 = 10 кг;
m2 = 25 кг;
m3 = 20 кг;
R3 = 0,30 м;
r3 = 0,20 м
25
m1 = 80 кг;
m2 = 20 кг;
m3 = 20 кг;
m4 = 20 кг;
R3 = 0,30 м;
r3 = 0,20 м;
b = 0,20 м;
c = 0,30 м
26
m1 = 50 кг;
m2 = 20 кг;
m3 = 20 кг;
R3 = 0,25 м;
r3 = 0,15 м;
b = 0,20 м
27
220
Окончание табл. 5.3
1
2
3
28
m1 = 30 кг;
m2 = 15 кг;
m3 = 15 кг;
P = 300 H;
R3 = 0,25 м;
r3 = 0,15 м
29
m1 = 10 кг;
m2 = 25 кг;
m3 = 25 кг;
b = 0,20 м;
с = 0,15 м;
d = 0,25 м;
 = 8 рад/с
30
m1 = 10 кг;
m2 = 25 кг;
m3 = 20 кг;
m4 = 15 кг;
b = 0,50 м;
с = 0,35 м;
d = 0,15 м
 = 16 рад/с
221
5.6.5. Пример выполнения курсового задания Д 5
В курсовом задании Д 5 требуется определить реакции внешних
связей, наложенных на механическую систему в следующих случаях: в произвольный момент времени; в фиксированный момент времени t1; в тот момент времени, когда угол поворота тела равен значению φ1.
Рассмотрим последовательно эти случаи.
Случай 1.
Однородный стержень 1 длиной l и точечный груз 2, закрепленный на конце стержня, совершают вращательное движение относи 1 (рис. 5.43).
тельно оси OZ с постоянной угловой скоростью 
Рис. 5.43
Дано: m1 = 20 кг; m2 = 10 кг; ОА = l = 1 м; α = 30о. Определить
реакции связи в точке О.
Решение.
Запишем формулу, выражающую принцип Даламбера для механической системы в векторном виде:
Σ FiE + Σ R Ei + ΣФi = 0,
222
где Σ FiE – геометрическая сумма активных сил; Σ R Ei – геометрическая сумма реакций внешних связей, наложенных на механическую
систему; ΣФi – геометрическая сумма сил инерции.
Согласно этому принципу на механическую систему действуют
активные силы G1, G2, реакции YО, ZО внешней связи и силы инерции Ф1, Ф2. Применительно к рассматриваемой задаче принцип Даламбера выражается формулой
G1 + G2 + YО + ZО + Ф1 + Ф2 = 0.
Покажем эти силы на рис. 5.41. Силы G1, G2 поместим в центрах
С1, С2 масс тел 1 и 2.
Используя исходные данные задачи, запишем формулы для
определения модулей активных сил и сил инерции:
G1 = m1·g; G2 = m2·g.
Так как механическая система вращается с постоянной угловой
 1, то угловое ускорение 
1 = 0 и, следовательно, модускоростью 
ли aС1, aС2 ускорений центров С1, С2 масс тел 1 и 2 соответственно
равны:
ω
 1)2·0,5·l sin(α);
aС1 = aС1
= (
ω
 1)2·l sin(α),
aС2 = aС2
= (
ω
ω
где aС1
, aС2
– модули центростремительных ускорений центров
масс тел рассматриваемой механической системы.
Тогда имеем:
ω
 1)2·0,5·l sin(α));
Φ1 = m1·aС1 = m1· aС1
= m1·(( 
ω
 1)2·l sin(α)).
Φ2 = m1·aС2 = m1· aС2
= m2·(( 
Сила инерции Ф1 тела 1 приложена в точке D на расстоянии
ОD = 2·l/3, так как эпюра распределения элементарных сил инерции
тела 1 имеет форму треугольника.
Согласно рис. 5.43 на рассматриваемую конструкцию действует
плоская произвольная система сил (G1, G2, YО, ZО, Ф1, Ф2). Принцип
Даламбера в этих условиях выражается системой трех уравнений.
E
Σ FiOY
+ Σ REiOZ + Σ ФiOY = 0;
(1)
E
Σ FiOZ
+ Σ REiOZ + Σ ФiOZ = 0;
(2)
Σ MО (FiE ) + Σ MО (R Ei ) + Σ MО (Фi ) = 0,
(3)
где Σ MО (FiE ), Σ MО (R Ei ) , Σ MО (Фi ) – суммы моментов соответственно
активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно
точки О.
Преобразуем последние уравнения к следующему виду:
YО – Φ1 – Φ2 = 0;
(1I)
223
– G1 – G2 + ZО = 0;
(2I)
G1·0,5·l·sin(α) + G2·l·sin(α) – Φ1·(2·l/3)·cos(α) – Φ2·l·cos(α) = 0.
(3I)
При использовании условий задачи эти уравнения принимают
вид:
 1)2·0,5·l sin(α)) – m2·((  1)2·l·sin(α));
YО – m1·(( 
(1II)
– m1·g – m2·g + ZО = 0;
(2II)
m1·g·0,5·l·sin(α) + m2·g·l·sin(α) –
 1)2·0,5·l·sin(α))·(2·l/3)·cos(α) –
– m1·(( 
 1)2·l·sin(α))·l·cos(α) = 0.
– m2·(( 
(3II)
В трёх уравнениях (1II), (2II), (3II) содержатся три неизвестные
 1. Решим эти уравнения.
величины: YО, ZО, 
Из уравнения (3II) имеем
 1 =
g  l  sin(  )  (0,5  m1  m2 )
=
l  sin(  )  l  cos(  )  (0,333  m1  m2 )
=
=
g  (0,5  m1  m2 )
=
l  cos(  )  (0,333  m1  m2 )
9,81 (0,5  20  10)
= 3,686 рад/с.
1 0,866  (0,333  20  10)
Из уравнения (2II) следует, что
ZО = g·(m1 + m2) = 9,81·(20 + 10) = 294,300 H.
Из уравнения (1II) получим
 1)2·l ·sin(α)·(0,5·m1+ m2) =
YО = ( 
= 3,6862·1·0,5·(0,5·20 + 10) = 135,939 )H.
Таким образом, ответы на вопросы (YО = ?, ZО = ?), поставленные в курсовом задании Д 5, получены.
Случай 2.
Однородный стержень массой m из состояния покоя приходит
во вращательное движение относительно вертикальной оси OZ по
гладкой горизонтальной плоскости под действием пары сил с моментом М (рис. 5.44).
Определить реакции внешней связи в момент времени t1.
 0 = 0; M = 10·t; t1 = 1 c.
Дано: m = 10 кг; ОА = l = 1 м; φ0 = 0; 
Решение.
224
Запишем формулу, выражающую принцип Даламбера в векторном виде:
Σ FiE + Σ R Ei + ΣФi = 0,
где Σ FiE – геометрическая сумма активных сил; Σ R Ei – геометрическая сумма реакций внешних связей, наложенных на механическую
систему; ΣФi – геометрическая сумма сил инерции.
Рис. 5.44
Согласно этому принципу на стержень действуют активная сила
G (сила тяжести), активная пара сил с моментом М, реакции XО, YО
цилиндрического шарнира в точке О, реакция N гладкой горизонтальной поверхности OXY, центробежная Фω и вращательная Фε
силы инерции и момент МΦ сил инерции. Силы G и N на рис. 5.42 не
показаны, так как рисунок приведён в ортогональной проекции.
Стержень на рис. 5.42 изображён в произвольный момент времени, при этом предполагается, что он вращается с угловой скоростью  в сторону возрастания угловой координаты φ с угловым
 . Исходя из этого предположения, силы Фω, Фε инерускорением 
ции и момент МΦ сил инерции направлены так, как это показано на
рис. 5.44.
Применительно к рассматриваемой задаче принцип Даламбера
выражается формулой
G + XО + YО + N + Фω + Фε = 0.
225
Модули Фω, Фε сил инерции и модуль МΦ момента сил инерции
определим по формулам:
 ·l/2);
Φω = m· aСω = m·((  )2·l/2); Φε = m· aСε = m·( 
 = (m·l2/12)· 
 .
MΦ = JCZ· 
Поскольку стержень движется по гладкой горизонтальной поверхности, то силы G и N на это движение не влияют и, следовательно, их можно исключить из рассмотрения. В этих условиях
принцип Даламбера выражается системой трёх уравнений:
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX + Σ ФiOX = 0;
(1)
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY + Σ ФiOY = 0;
(2)
Σ MО (FiE ) + Σ MО (R Ei ) + Σ MО (Фi ) = 0,
(3)
где Σ MО (FiE ), Σ MО (R Ei ) , Σ MО (Фi ) – суммы моментов соответственно
активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно
произвольной точки О.
Применительно к рассматриваемой задаче имеем:
XO + Φω·cos(φ) + Φε·sin(φ) = 0;
(1I)
YO + Φω·sin(φ) + Φε·cos(φ) = 0;
(2I)
M – Φε·(l/2) – MФ = 0.
(3I)
При использовании условий задачи эти уравнения приобретают
следующий вид:
 ·l/2)·sin(φ) = 0;
XO + m((  )2·l/2)·cos(φ) + m( 
(1II)
 ·l/2)·cos(φ) = 0;
YO + m·((  )2·l/2)·sin(φ) + m·( 
II
(2 )
 ·l/2)·(l/2) – (m·l2/12)· 
 = 0.
M – m·( 
II
(3 )
Следует отметить, что угловая скорость  , угловое ускорение
 и угол φ поворота зависят от времени t (  = f1(t); 
 = f2(t); φ = f3(t)).

 1,
В момент времени t1 они будут иметь соответствующие значения 
1, φ1. Внесём эти значения в последние уравнения.

 1)2·l/2)·cos(φ1) + m·( 
1·l/2)·sin(φ1) = 0;
XO + m·(( 
(1III)
 1)2·l/2)·sin(φ1) + m·( 
1·l/2)·cos(φ1) = 0;
YO + m·(( 
(2III)
1·l/2)·(l/2) – (m·l2/12)· 
1 = 0.
M – m·( 
(3III)
Нетрудно заметить, что в трёх уравнениях содержатся следую 1, 
1, φ1, следовательно, для
щие неизвестные величины: XО, YО, 
226
успешного решения задачи требуется получить дополнительные
уравнения. Для этого дифференциальное уравнение (3III) представим в следующем виде:
1 = 10·t.
(m·l2/3)· 
Преобразовав это уравнение, получим
1 = 30·t/(m·l2).
(4)

Дважды проинтегрировав последнее уравнение, получим:
 1 = (30/(m·l2))·(t2/2) + C1 = (15/(m·l2))·t2 + C1;
φ = (15/(m·l2))·(t3/3) + C1·t + C2 = (5/(m·l2))·t3 + C1·t + C2,
где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.
 0 = 0 и φ0 = 0, то С1 = 0 и С2 = 0. Тогда справедливы
Поскольку 
выражения:
 = (15/(m·l2))·t2;
(5)
φ = (5/(m·l2))·t3.
(6)
Если в уравнения (4), (5), (6) подставить значения времени t1, то
получим:
1 = (30/(m·l2))·t1 = (30/(10·12))·1 = 3 рад/с2;

(4I)
 1 = (15/(m·l2))·(t1)2 = (15/(10·12))·12 = 1,5 рад/с;
(5I)
φ1 = (5/(m·l2))·(t1)3 = (5/(10·12))·13 = 0,5 рад.
(61)
Определим значения sin(φ1) и cos(φ1):
sin(φ1) = 0,479; cos(φ1) = 0,877.
1,  1, sin(φ1), cos(φ1) определим проПо известным величинам 
екции XО, YО реакций связи на координатные оси:
 1)2·l/2)·cos(φ1) – m·( 
1·l/2)·sin(φ1) =
XO = – m·(( 
= –10·(3,52·1/2)·0,877 – 10·(1,5·1/2)·0,479 = – 57,308 H;
 1)2·l/2)·sin(φ1) + m·( 
1·l/2)·cos(φ1) =
YO = – m·(( 
= –10·(3,52·1/2)·0,479 + 10·(1,5·1/2)·0,877 = – 22,760 H.
Таким образом, ответы на вопросы (XО = ?, YО = ?), поставленные в курсовом задании Д 5, получены.
Случай 3.
Однородный круг массой m и радиусом R находится в состоянии покоя. В момент времени t0 = 0 ему придали угловую скорость
 0 . Определить реакции внешней связи в момент времени, когда
227
угол поворота тела равен значению φ1. На рис. 5.45 круг изображен
в произвольный момент времени.
 0 = 10 рад/с.
Дано: m = 10 кг; R = 1 м; φ1 = 60о; φ0 = 0о; 
Решение.
Запишем формулу, выражающую принцип Даламбера в векторной форме:
Σ FiE + Σ R Ei + ΣФi = 0,
где Σ FiE – геометрическая сумма активных сил; Σ R Ei – геометрическая сумма реакций внешних связей, наложенных на механическую
систему; ΣФi – геометрическая сумма сил инерции.
По условию задания на материальное тело действует активная
сила тяжести G, реакции YО, ZО цилиндрического шарнира, центробежная Фω и вращательная Фε силы инерции и момент МΦ сил
инерции. Направления нагрузок G, YО, ZО, Фω, Фε, МΦ показаны на
рис. 5.45.
Рис. 5.45
При определении направления этих нагрузок предполагается,
что тело вращается в сторону увеличения угловой координаты φ
ускоренно. Модули инерционных нагрузок в момент времени t1, когда угол поворота тела равен φ1, определяют по формулам:
228
 ·OC);
Φω = m· aСω = m·((  )2·OC); Φε = m· aСε = m·( 
 = (m·R2/2)· 
 ,
MΦ = JСХ1· 
где aСω , aСε , JСХ1 – соответственно модули центростремительного и
вращательного ускорений центра масс и момент инерции круга относительно оси, проходящей через центр масс.
Так как система сил, действующая на круг, является плоской и
произвольной, то для решения поставленной задачи необходимо
составить три уравнения:
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY + Σ ФiOY = 0;
(1)
E
Σ FiOZ
+ Σ REiOZ + Σ ФiOZ = 0;
(2)
Σ MO (FiE ) + Σ MO (REi ) + Σ MO (Фi ) = 0,
(3)
где Σ MO (FiE ), Σ MO (REi ) , Σ MO (Фi ) – суммы моментов соответственно активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно точки О.
Для рассматриваемого варианта курсового задания Д 5 имеем:
YО – Φω·sin(φ) + Φε·cos(φ) = 0;
(1I)
– G + ZО – Φω·cos(φ) – Φε·sin(φ) = 0;
(2I)
G·(0,5·R)·sin(φ) + Φε·(0,5·R) + MΦ = 0.
(3I)
В уравнения (1I), (2I), (3I) введём обозначения исходных данных.
 ·0,5·R)·cos(φ) = 0;
YО – m((  )2·0,5·R)·sin(φ) + m·( 
(1II)
 ·0,5·R)·sin(φ) = 0;
m·g + ZО – m·((  )2·0,5·R)·cos(φ) – m·( 
(2II)
 ·0,5·R)·0,5·R + (m·R2/2)· 
 = 0.
m·g·0,5·R·sin(φ) + m( 
II
(3 )
Очевидно, что при вращении тела его угловой путь φ, угловая
 будут переменны и взаимозавискорость  и угловое ускорение 
симы. При значении угла φ1 угловая скорость будет иметь значение
1. Исходя из этого, уравнения
 1, а угловое ускорение значение 
II
II
II
(1 ), (2 ), (3 ) приобретают вид:
 1)2·0,5·R)·sin(φ1) + m·( 
1·0,5·R)·cos(φ1) = 0;
YО – m(( 
III
(1 )
 1)2·0,5·R)·cos(φ1) – m·( 
1·0,5·R)·sin(φ1) = 0;
m·g + ZО – m·(( 
III
(2 )
1·0,5·R)·0,5·R + (m·R2/2)· 
1 = 0.
m·g·0,5·R·sin(φ1) + m·( 
III
(3 )
229
В системе этих уравнений содержатся следующие неизвестные:
 1, 
1. Для решения задачи необходимо получить четвёртое
YО, ZО, 
уравнение.
Проанализируем исходные данные задачи. Нам известны
начальное (φ0 = 0) и конечное (φ1) значения угла поворота тела.
Связь между начальным и конечным значениями параметров определяется теоремой об изменении кинетической энергии механической системы на её конечном перемещении.
E
TSk – TSn = Σ Ai ,
где ТSk – кинетическая энергия механической системы в конечном
положении; ТSn – кинетическая энергия механической системы в
E
начальном положении; Σ Ai – сумма работ внешних сил, приложенных к механической системе, на её перемещении.
Кинетическую энергию твёрдого тела при его вращательном
движении определяют по формуле
T = 0,5·JОХ·(  )2,
где JОХ – момент инерции тела относительно оси ОХ вращения;
 – угловая скорость.
Для рассматриваемой задачи
JОХ = m·R2/2 + m·(CO)2 = m·R2/2 + m·(0,5·R)2 = 0,75 m·R2.
Тогда получим
T = 0,75·m·R2·(  )2.
Определим кинетические энергии тела в начальный и конечный
моменты времени:
 0 )2; TSk = 0,75·m·R2·(  1)2.
TSn = 0,75·m·R2( 
Определим сумму работ внешних сил, приложенных к телу, при
его повороте из начального положения (φ0 = 0) в конечное положение (φ1 = 60о).
E
Σ Ai = – G·HC = – m·g·(0,5·R – 0,5·R·cos(φ1)) =
= – 0,5·m·g·R·(1 – cos(φ1)).
Применительно к условиям задания теорема об изменении кинетической энергии приобретает вид
 1)2 – (  0 )2) = – 0,5·m·g·R·(1 – cos(φ1)).
0,75·m·R2·(( 
 1 угловой скорости.
Отсюда определим значение 
 1 =
=
0,75  R  ( 0 )2  0,5  g  (1  cos( 1 ))
=
0,75  R
0,75  1 (10 )2  0,5  9,81 (1  0,5)
= 9,835 рад/с.
0,75  1
230
Решим систему уравнений (1III), (2III), (3III) относительно неиз1.
вестных величин YО, ZО, 
III
Из уравнения (3 ) имеем
0,5  g  sin( 1 )
0,5  m  g  R  sin( 1 )
=
–
=
0,75  R
0,75  m  (R)2
0,5  9,81 0,866
=–
= – 5,663 рад/с2.
0,75  1
1 = –

Из уравнения (1III) определим YО.
 1)2·0,5·R·sin(φ1) – m· 
1·0,5·R·cos(φ1) =
YО = m·( 
= 10·9,8352·0,5·1·0,866 – 10(– 5,663)·0,5·1·0,5 = 497,793 H.
Из уравнения (2III) получим
 1)2·0,5·R·cos(φ1) + m· 
1·0,5·R·sin(φ1) =
ZО = m·g + m·( 
= 10·9,81 + 10·9,8352·0,5·1·0,5 + 10(– 5,663)·0,5·1·0,866 = 315,397 H.
Таким образом, ответы на вопросы (YО =?, ZО = ?), поставленные в курсовом задании Д 5, получены.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «сила инерции».
2. Записать формулу для определения силы инерции материальной точки.
3. Записать формулу, выражающую принцип Даламбера для
несвободной материальной точки в векторной форме.
4. Записать формулы, выражающие принцип Даламбера для
свободной материальной точки в координатной форме.
5. Записать формулы, выражающие принцип Даламбера для
несвободной материальной точки в координатной форме.
6. Записать формулы, выражающие принцип Даламбера для
несвободной механической системы в векторной форме.
7. Записать формулы, выражающие принцип Даламбера для
несвободной неизменяемой механической системы в координатной форме.
8. Записать формулу для определения главного вектора сил
инерции поступательно движущегося твёрдого тела.
9. Записать формулы, по которым определяются центробежная и вращательная силы инерции и момент сил инерции
при вращательном движении тела относительно оси, не прохо231
дящей через центр масс, в случае, когда силы инерции приложены в центре масс.
10. Записать формулу для определения момента сил инерции при вращении тела относительно оси, проходящей через
его центр масс.
11. Записать формулы для определения инерционных нагрузок
при плоскопараллельном движении твёрдого тела.
6. ОСНОВНЫЕ НАЧАЛА АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Принцип возможных перемещений является основополагающим принципом аналитической механики.
Аналитическая механика – раздел механики, в котором изучается равновесие или движение механизмов с помощью общих, единых аналитических методов, применяемых для любых
механических систем.
6.1. Обобщённые координаты и возможные
перемещения тел и точек механической системы
Перемещения точек механической системы не могут быть независимыми, так как на них наложены внешние и внутренние связи.
Положение точек механической системы определяется только заданием независимых координат. Такие координаты называют обобщёнными координатами.
232
Обобщённые координаты механической системы – независимые между собой параметры, однозначно определяющие
положение механической системы.
Число независимых координат равно числу степеней свободы
механической системы. Так, например, для материальной точки, перемещающейся в пространстве, обобщёнными координатами
(X = f1(t), Y = f2(t), Z = f3(t)) являются уравнения движения точки. Точка в пространстве имеет три степени свободы. Для тела, совершающего вращательное движение, обобщённой координатой является
зависимость φ = f(t) – угловой путь тела. Для плоскопараллельного
движения твёрдого тела число обобщённых координат равно трём:
XC = f1(t); YC = f2(t); φ = f3(t), где XC, YC – координаты центра масс тела: φ – угол поворота тела относительно оси, проходящей через его
центр масс.
Координаты любой точки механической системы являются
функциями обобщённых координат (рис. 6.1).
Положение всех точек кривошипно-ползунного механизма
вполне определяется заданием только угла поворота φ кривошипа.
Этот угол и примем за обобщённую координату механизма. Таким
образом, рассматриваемый механизм имеет одну степень свободы.
Покажем, что координата точки В ползуна зависит от обобщённой
координаты.
ХB = OK + КB = r·cos(φ) + l 2  (r  sin( ))2 .
Нетрудно показать, что и координаты других точек (А, С) также
зависят от обобщённой координаты φ:
ХA = f2(φ); ХС = f3(φ).
Рис. 6.1
233
Возможное (виртуальное) перемещение точки – любое допускаемое наложенными связями перемещение материальной
точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может
занимать в тот же момент времени.
Другими словами, возможные (или виртуальные) перемещения
механической системы – воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на
систему связями.
Для иллюстрации этого понятия рассмотрим рычаг АВ, который
может совершать вращательное движение (рис. 6.2).
Рычаг АВ рассматривается как механическая система, на которую наложена связь – шарнирно-неподвижная опора. В качестве
обобщённой координаты используем угол φ поворота тела. Зададим
углу φ бесконечно малое перемещение δφ, которое называют возможным угловым перемещением или приращением угловой
координаты φ. При повороте рычага на угол δφ точки А и В переместятся по дугам ААI, ВВI.
Рис. 6.2
Возможные перемещения точек А и В рассматривают как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек замещают направленными прямолинейными отрезками
(векторами δSA, δSB), отложенными по касательным к траекториям
точек. Модули возможных перемещений δSA, δSB точек А и В определяют по формулам:
δSA = АО·δφ; δSВ = ВО·δφ.
234
Размерность возможных перемещений определяется размерностью обобщённой координаты: δφ [рад]; δSA, δSВ [м]. Направления
возможных перемещений точек механической системы совпадает с
направлениями скоростей VA, VB этих точек.
В данном учебно-методическом пособии рассматриваются неизменяемые механические системы с одной степенью свободы. Материальные тела, входящие в такие механические системы, совершают следующие виды движений: поступательное, вращательное,
плоскопараллельное. Рассмотрим подробнее эти движения.
Поступательное движение (рис. 6.3).
При поступательном движении возможные перемещения всех
точек тела геометрически равны:
δSA = δSB = δSС.
Так как тело при поступательном движении не поворачивается,
то его возможное угловое перемещение равно нулю (δφ =0).
Рис. 6.3
Возможные перемещения δSA, δSA, δSС точек А, В, С можно
связать с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:
δSA = VA·δt; δSB= VB·δt; δSC= VC·δt,
где δt – бесконечно малый промежуток времени.
Вращательное движение (рис. 6.4).
235
За обобщённую координату в таком движении принимают угол
поворота φ, а за возможное перемещение δφ – приращение угла
поворота. Модули возможных перемещений δSA, δSA, δSС точек А,
В, С определяют по формулам:
δSA = АО·δφ; δSВ= ВО·δφ; δSС= СО·δφ.
Рис. 6.4
Следует отметить, что при вращательном движении твёрдого
тела возможные перемещения точек тела геометрически различны:
δSA ≠ δSA ≠ δSС.
Плоскопараллельное движение (рис. 6.5).
Рис. 6.5
236
Согласно определению при плоскопараллельном движении тело имеет три степени свободы и, следовательно, этому соответствует три обобщённые координаты ХС, YC, φ, где XC, YC – координаты центра масс; φ – угол поворота тела относительно оси CZ1, проходящей через его центр масс.
Из курса кинематики известно, что плоскопараллельное движение твёрдого тела можно представить как вращательное движение
относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей
(МЦС). В этом случае в качестве обобщённой координаты используют только угол поворота φ.
Как правило, в инженерной практике возможные перемещения
точек механической системы определяют с помощью мгновенного
центра вращения (мгновенного центра поворота), положение которого всегда совпадает с положением мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр вращения – точка неподвижной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к
данному.
Рассмотрим частные случаи определения возможных перемещений точек тела при его плоскопараллельном движении.
Случай 1 (рис. 6.6).
Рис. 6.6
Положение мгновенного центра вращения (точка Р) определяют
так же, как и положение МЦС. Так как методика определения поло237
жения МЦС подробно рассмотрена в курсе кинематики, то здесь она
не приводится. Модули возможных перемещений δSA, δSA, δSС точек А, В, С определяют по формулам:
δSA = АР·δφ;
δSВ = ВР·δφ;
δSС = СР·δφ,
где АР, ВР, СР – соответственно расстояния от точек А, В, С до
мгновенного центра вращения.
Необходимо еще раз напомнить, что возможные перемещения
δSA, δSA, δSС точек А, В, С связаны с их скоростями VA, VB, VC следующими соотношениями:
δSA = VA·δt;
δSB= VB·δt;
δSC= VC·δt.
Таким образом, направления возможных перемещений точек и
их скоростей совпадают.
Случаи 2, 3, 4 (рис. 6.7).
Формулы для определения модулей возможных перемещений
точек А, В, С в случаях 2, 3, 4 остаются такими же, как и формулы
для случая 1 (см. рис. 6.6).
238
Рис. 6.7
Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения –
мгновенно поступательное движение (рис. 6.8).
Из курса кинематики известно, что при мгновенно поступательном движении скорости всех точек тела геометрически равны:
VA = VB = VC.
Так как δSA = VA·δt; δSB = VB·δt; δSC = VC·δt, то отсюда следует,
что равны и возможные перемещения этих точек:
δSA = δSB = δSC.
239
Рис. 6.8
В инженерной практике возможные перемещения точек твёрдого тела при его плоскопараллельном движении связывают между
собой через их проекции на прямую, соединяющую эти точки (рис.
6.9).
Рис. 6.9
Возможные перемещения δSA, δSB точек А и В тела при его
плоскопараллельном движении связаны соотношением
δSA·cos(α) = δSB·cos(β).
При решении задач аналитической механики все возможные
перемещения точек механической системы выражают через приращение обобщённой координаты рассматриваемого механизма (рис.
6.10).
Согласно рис. 6.10 механическая система (кривошипноползунный механизм) состоит из трёх звеньев: 1 – кривошип;
2 – шатун; 3 – ползун. Механизм имеет одну степень свободы. В качестве обобщённой координаты используем угол φ1 поворота
240
тела 1. В заданном положении механизма обобщённой координате
φ1 зададим приращение δφ1. Таким образом, δφ1 – возможное угловое перемещение звена 1, которое совершает вращательное движение. Исходя из этого, определим модуль возможного перемещения δSA.
δSA = AO·δφ1.
Рис. 6.10
Кинематический анализ работы механизма показывает, что
звено 2 совершает плоскопараллельное движение, а звено 3 совершает поступательное движение вдоль координатной оси ОХ. Из
условия принадлежности точки В звену 3 возможное перемещение
δSВ направлено вдоль координатной оси ОХ. Спроецировав возможные перемещения точек А и В на прямую, соединяющую эти
точки, получим
δSA = δSВ·cos(30о).
Отсюда имеем
δSВ = δSА/cos(30о) = AO·δφ1/cos(30о).
Таким образом, установлено, что линейные возможные перемещения точек А и В зависят от возможного углового перемещения
δφ1 звена 1 механизма.
δSA = AO·δφ1 = f1(δφ1);
δSB = AO·δφ1/cos(30о) = f2(δφ1).
241
6.2. Связи и их классификация. Идеальные связи
В аналитической механике широко используются понятия: «механическая система»; «связи», наложенные на механическую систему. Уточним эти понятия и проведём их классификацию.
Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения,
налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.
Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.
Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных
связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).
Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы.
Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п.
Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением f(X, Y, Z) = 0.
Дифференциальные связи – связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат ещё
первые производные от этих координат по времени.
Уравнение такой связи имеет вид
f(X, Y, Z, dX/dt, dY/dt, dZ/dt) = 0.
Голономные связи – геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых можно проинтегрировать.
Неголономные связи – дифференциальные связи, уравнения
которых не могут быть проинтегрированы.
Стационарные связи – связи, в уравнения которых время
явно не входит.
242
Например, геометрическая стационарная связь в виде невесомого стержня длины l, ограничивающая перемещение материальной точки (рис. 6.11), описывается уравнением
X2 + Y2 + Z2 – l2 = 0.
Рис. 6.11
Если в рассматриваемом примере (рис. 6.11) вместо стержня
будет нить, длина которой с течением времени изменяется, то такая
связь будет геометрически нестационарной. Эта связь описывается
уравнением
X2 + Y2 + Z2 – l2(t) = 0.
Двусторнние (удерживающие) связи – связи, допускающие
возможные перемещения только в двух взаимно противоположных направлениях.
Примером такого типа связи служит, например, кулисный камень. Эти связи описываются уравнением f(X, Y, Z, t) = 0.
Односторонние (неудерживающие) связи – связи, при которых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются возможными.
К связям такого типа относится, например, шарнирноподвижная опора. Аналитически эти связи описываются неравенствами типа f(X, Y, Z, t) ≥ 0.
Механическая система – любая совокупность материальных
точек, движения которых взаимозависимы.
243
Голономная система – механическая система, на которую
наложены голономные связи.
Неголономная система – механическая система, на которую наложена хотя бы одна неголономная связь.
Возможное перемещение системы – любая совокупность
возможных перемещений точек данной механической системы, допускаемая всеми наложенными на неё связями.
Рассмотрим понятие «возможная работа силы», которое
также широко применяют в аналитической механике.
Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая величина, равная скалярному произведению вектора силы
F на вектор возможного перемещения δS точки её приложения.
На рис. 6.12 показаны векторы F и δS.
Рис. 6.12
Согласно рис. 6.12 и определению возможную работу δA(F) силы F определяют по формуле
δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cos(α).
В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.
Рассмотрим случай, при котором под действием силы F тело
совершает вращательное движение относительно оси ОХ (рис.
6.13).
При вращении тела возможную работу δA(F) силы F на возможном угловом перемещении δφ в общем случае определяют по формуле
244
δA(F) = ± МОХ(F)·δφ = ± (F·h)·δφ,
где МОХ(F) – момент силы F относительно оси ОХ вращения;
h – плечо силы F относительно оси вращения.
Рис. 6.13
Следует отметить, что при совпадении направления МОХ(F) и δφ
возможная работа δA(F) > 0. Если направления МОХ(F) и δφ противоположны, то δA(F) < 0.
Возможная элементарная работа δAS сил, приложенных к точкам механической системы, вычисляется по формуле
δAS = ΣδA(Fi).
Рассмотрим еще одно понятие «идеальные связи», применяемое в аналитической механике.
Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных
работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы.
Идеальными связями являются: гладкая поверхность; шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры; шероховатая поверхность при качении по ней рассматриваемого тела и др.
245
6.3. Принцип возможных перемещений
При решении задач на равновесие механических систем,
например, для составной конструкции применяются соответствующие уравнения равновесия. Как правило, такие задачи являются
статически неопределимыми. Для их решения требуется рассматривать равновесие каждого из тел системы под действием активных
сил, реакций внешних связей и реакций внутренних связей. В результате того, что для каждого из тел системы составляются уравнения равновесия, приходится решать большие системы уравнений.
Такой подход к решению задачи становится громоздким и потому
малопригодным. В этих случаях целесообразно использовать принцип возможных перемещений, который существенно облегчает решение поставленной задачи.
Формулировка принципа возможных перемещений.
Для равновесия механической системы, на которую наложены
стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно,
чтобы сумма работ активных (задаваемых) сил на любых
возможных перемещениях механической системы равнялась
нулю.
Этот принцип выражается формулой
δA = ΣδA(Fi) = ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0,
где Fi – активная сила, приложенная к i-й точке механической системы; δSi – возможное перемещение точки приложения силы Fi.
Принцип возможных перемещений в декартовой системе отсчёта имеет вид
Σ(FiOX·δSiOX + FiOY·δSiOY + FiOZ·δSiOZ) = 0,
где FiOX, FiOY, FiOZ – проекции задаваемых (активных) сил на координатные оси; δSiOX, δSiOY, δSiOZ – проекции возможных перемещений
δSi точки приложения сил Fi на координатные оси.
Если предыдущую формулу (ΣFi·δSi = ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0)
продифференцировать по времени, то получим
ΣFi·Vi = ΣFi·Vi·cos(Fi, Vi) = 0,
где Vi = d(δSi)/dt – возможная скорость точки приложения силы Fi.
Так как по определению F·V = F·V·cos(F, V) = N, где N – мощность, то последнее равенство трактуют как принцип возможных
скоростей или принцип возможных мощностей.
246
Для равновесия механической системы, на которую наложены
стационарные идеальные связи, необходимо и достаточно,
чтобы сумма мощностей активных сил на любых возможных
скоростях точек этой системы равнялась нулю.
Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовые задания Д 6, Д7.
6.3.1. Варианты курсового задания Д 6
«Применение принципа возможных перемещений
к решению задач о равновесии сил, приложенных
к механической системе с одной степенью свободы»
Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, и необходимые для расчёта данные приведены в табл. 5.4. В расчётах использовать следующие условные
обозначения: с – коэффициент жёсткости пружины (Н/см); h – деформация пружины (см); Q, P – силы (Н); М – момент пары сил
(Н·м).
Примечания:
Вариант 6. Вес рукоятки О1А не учитывать.
Вариант 7. Пружина сжата.
Вариант 8. Пружина сжата.
Вариант 10. Вес рукоятки ОА не учитывать.
Вариант 14. Вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина
растянута.
Вариант 16. Вес стержней О1А и О2В не учитывать.
Вариант 18. Р – вес блока радиуса R3.
Вариант 19. Вес звена АВ не учитывать.
Вариант 24. Пружина сжата.
Вариант 25. Вес стержней АО и ВО не учитывать. Пружина
растянута.
Вариант 26. Пружина растянута.
Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в последнем
столбце табл. 5.4.
247
Таблица 5.4
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
2
Исходные данные, определяемая величина
3
ОА = 10 см;
М = 20 Н·м;
P=?
1
О1А = 20 см;
Р = 100 Н;
M=?
2
R2 = 40 см;
r2 = 30 см;
R3 = 20 см;
M = 100 Н·м;
Q=?
3
248
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
ОС/ОА = 4/5;
Р = 200 Н;
h = 4 см;
с=?
4
ОА = 100 см;
М = 10 Н·м;
P=?
5
R2 = 50 см;
r2 = 15 см;
R3 = 20 см;
О1А = 80 см;
Q = 200 H;
P=?
6
249
Продолжение табл. 5.4
1
3
2
OC = OA;
с = 10 Н/см;
h = 3 см;
P=?
7
ОС = АС;
Р = 200 Н;
с = 10 Н/см;
h = 2 см;
Q=?
8
ОА = 20 см;
Q = 200 H;
M=?
9
250
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
10
R2 = 40 см;
r2 = 15 см;
R3 = 20 см;
ОА = 100 см;
Q = 2000 H;
h = 4 см;
с=?
11
ОА = 20 см;
М = 300 Н·м;
P=?
12
O1D = 60 см;
АО = 20 см;
М = 100 Н·м;
P=?
251
Продолжение табл. 5.4
1
3
2
13
ОА = 40 см;
М = 200 Н·м;
P =?
14
ОВ = 2ОА;
Q = 20 H;
с = 25 Н/см;
h = 3 см;
P=?
АС = ОС = ОD;
Q = 3000 H;
с = 250 Н/см;
h = 3 см;
P=?
15
252
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
16
d1 = 100 см;
d2 = 60 см;
d3 = 80 см;
d4 = 40 см;
Q = 5000 H;
c = 100 Н/см;
h = 4 см;
P=?
17
ОА = 20 см;
М = 200 Н·м;
P=?
Q = 200 H;
P = 200 H;
с = 100 H/см;
h=?
18
253
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
19
R1 = 20 см;
R2 = 30 см;
ОА = 25 см;
М = 100 Н·м;
P=?
20
ОА=АВ =50 см;
АС = 50 см;
Q = 50 H;
P = 100 H;
M=?
ОА=АВ= 25 см;
АС=DC= 25 см;
Р = 200 Н;
M=?
21
254
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
ОА = 40 см;
М = 400 Н/см;
P=?
22
ОС =2ОА = 1 м;
Р = 200 Н;
М = 50 Н·м;
с = 50 Н/см;
h=?
23
24
Q
255
AD = OD = OB;
P = 250 H;
c = 150 H/см;
h = 2,5 см;
Q=?
Продолжение табл. 5.4
1
2
3
OD=DB=0,8AO;
Q = 400 H;
c = 120 H/см;
h = 3 см;
P=?
25
ОА = 25 см;
Р = 500 Н;
М = 120 Н·м;
h = 2 см;
с=?
26
ОВ = АВ;
c = 180 Н/см;
h = 2 см;
P=?
27
256
Окончание табл. 5.3
1
2
3
ОВ = (5/4)ОА;
Р = 450 Н;
Q=?
28
AO = 30 см;
BD = O1D;
M = 120 H·м;
с = 100 Н/см;
h=?
29
R2 = 36 см;
r2 = 15 см;
R3 = 20 см;
r3 = 10 см;
Р = 600 Н;
Q =?
30
257
6.3.2. Пример выполнения курсового задания Д 6
При выполнении курсовых заданий Д 6, Д 7 необходимо учесть
следующие замечания.
1. Если не все связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, например, имеются шероховатые поверхности (неидеальные связи), то к активным нагрузкам
следует добавить силы трения. Таким приёмом силы трения переносят в разряд активных сил и, следовательно, шероховатую поверхность можно рассматривать как идеальную связь (рис. 6.14).
Рис. 6.14
Таким образом, при решении задачи рис. 6.14,а и рис. 6.14,б эквивалентны.
2. Если требуется определить какую-либо реакцию идеальной
связи, то, применив аксиому связей, отбрасывают соответствующую
связь и заменяют её реакцией связи. Таким образом, исходная
связь заменяется другой связью, допускающей возможные перемещения. Тем самым искомая реакция переносится в разряд активных
сил. Этот приём решения задач является черезвычайно эффективным, так как искомая реакция связи непосредственно определяется
из уравнения, выражающего принцип возможных перемещений.
На рис. 6.15, 6.16 приведены некоторые варианты определения
реакций внешних связей для механических систем.
В исходном положении (см. рис. 6.15) на механическую систему,
состоящую из двух тел, в точке А наложена связь – жёсткая заделка.
Снимем ограничение на перемещение тела 1 в горизонтальном
направлении, сохранив остальные ограничения. Варианты такой
замены показаны на рис. 6.15,б, 6.15,в.
258
Рис. 6.15
При таких заменах тело 1 может совершить только поступательное движение, параллельное координатной оси ОХ. Если задать возможное перемещение δSA точке А механической системы,
то её точки В и С получат возможные перемещения δSВ, δSС, зависящие от δSA.
При определении реактивного момента МА для механической
системы, приведённой на рис 6.15, жёсткую заделку заменяют шарнирно-неподвижной опорой (см. рис. 6.16).
При такой замене тело 1 может совершать вращательное движение. Зададим этому телу возможное угловое перемещение δφ1.
Точки В и С механической системы получат линейные возможные
перемещения δSВ, δSС, зависящие от перемещения δφ1.
259
Рис. 6.16
Задачи на применение принципа возможных перемещений
рекомендуется решать по следующему алгоритму.
1. Изобразить рассматриваемую механическую систему на рисунке в соответствующем масштабе.
2. Приложить к механической системе активные нагрузки.
3. При наличии неидеальных связей добавить соответствующие
реакции связей (например, силы трения).
4. Для определения реакции связи эту реакцию перенести в
разряд активных сил путём замены существующей связи на
связь, допускающую возможное перемещение в направлении,
как правило, противоположном направлению определяемой реакции связи.
5. Задать возможное перемещение одной из точек механической системы и выразить возможные перемещения точек приложения сил в зависимости от заданного возможного перемещения.
6. Вычислить сумму работ активных сил на возможных перемещениях их точек приложения и приравнять эту сумму нулю.
7. Решив составленное уравнение, определить искомую величину.
Пример.
На рис. 6.17 изображена механическая система, находящаяся в
равновесии. Определить модуль силы F, приложенной в точке А рычага 1.
260
Дано: G5 = 100 H; α = 30о; d1 = 1 м; b1 = 0,5 м; d3 = 0,8 м;
b3 = 0,5 м.
Рис. 6.17
Решение.
Согласно рис. 6.17 механическая система, содержащая пять
тел, имеет одну степень свободы. Наложенные на эту систему в
точках С и К связи (шарнирно-неподвижные опоры) являются идеальными. На механическую систему, находящуюся в равновесии,
действуют активные силы F и G5.
Зададим возможное угловое перемещение δφ1 телу 1, которое
может совершать вращательное движение (рис. 6.18).
Рис. 6.18
261
Модули возможных перемещений δSA , δSB точек А и В в зависимости от δφ1 определим по формулам:
δSA = δφ1·АС = δφ1·d1; δSB= δφ1·BC = δφ1·b1.
Решая совместно эти выражения, найдем зависимость
δSB= f(δSA) = δSA·b1/d1.
Из условия принадлежности точки D телу 3, которое получит
возможное угловое перемещение δφ3, эта точка получит возможное
перемещение δSD, перпендикулярное отрезку DK.
δSD = δφ3·DK = δφ3·d3.
Рассмотрим элементарное движение тела 2. Это тело совершает мгновенно поступательное движение, так как возможные перемещения δSB, δSD соответствующих точек этого тела одинаково
направлены. Исходя из этого, имеем
δSD = δSB = δφ3·d3 = δSA·b1/d1.
Точка Е тела 3 получит возможное перемещение δSЕ, модуль
δSЕ которого определим по формуле
δSЕ = δφ3·ЕK = δφ3·b3.
Выразим модуль возможного перемещения δSЕ точки Е сначала в зависимости от модуля возможного перемещения δSD точки D,
а затем в зависимости от модуля возможного перемещения δSА точки А:
δSЕ = δSD·(b3/d3) = S A
b1  b3
.
d1  d3
Так как участок нити EL и груз 5 совершают поступательные
движения, то имеем
δSЕ = δSL = δSC5 = S A
b1  b3
,
d1  d3
где δSL, δSC5 – соответственно возможные перемещение точки L,
принадлежащей нити 4 и центру С5 масс груза 5.
Запишем принцип возможных перемещений для рассматриваемой механической системы.
ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0 = F·δSА·cos(α) – G5·δSC5 = 0.
Так как δSC5 = S A
b1  b3
, то получим
d1  d3
F·δSА·cos(α) – G5· S A
b1  b3
= 0.
d1  d3
Решая последнее выражение, определим модуль силы F, при
котором механическая система находится в равновесии.
262
6.3.3. Варианты курсового задания Д 7
«Применение принципа возможных перемещений
к определению реакций опор составной конструкции»
Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции. Схемы конструкций и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.5. На рисунках все
размеры указаны в метрах.
Таблица 5.5
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
Исходные данные
2
3
Р1 = 10 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 6 кН·м;
q = 2 кН/м
1
Р1 = 6 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 12 кН·м;
q = 1 кН/м
2
Р1 = 8 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 3 кН·м;
q = 2 кН/м
3
263
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 5 кН;
Р2 = 12 кН;
М = 4 кН·м;
q = 2 кН/м
4
5
Р1 = 6 кН;
Р2 = 8 кН;
М = 3 кН·м;
q = 2 кН/м
6
Р1 = 4 кН;
Р2 = 6 кН;
М = 10 кН·м;
q = 2 кН/м
264
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
7
Р1 = 7 кН;
Р2 = 8 кН;
М = 15 кН·м;
q = 2 кН/м
8
Р1 = 8 кН;
Р2 = 8 кН;
М = 16 кН·м;
q = 2 кН/м
9
Р1 = 10 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 6 кН·м;
q = 2 кН/м
265
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
10
Р1 = 10 кН;
Р2 = 3 кН;
М = 9 кН·м;
q = 2 кН/м
11
Р1 = 12 кН;
Р2 = 5 кН;
М = 6 кН·м;
q = 1 кН/м
12
Р1 = 11 кН;
Р2 = 3 кН;
М = 8 кН·м;
q = 4 кН/м
266
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 10 кН;
Р2 = 12 кН;
М = 8 кН·м;
q = 2 кН/м
13
Р1 = 10 кН;
Р2 = 2 кН;
М = 12 кН·м;
q = 2 кН/м
14
Р1 = 15 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 5 кН·м;
q = 2 кН/м
15
267
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 16 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 4 кН·м;
q = 1 кН/м
16
17
Р1 = 17 кН;
Р2 = 3 кН;
М = 6 кН·м;
q = 6 кН/м
18
Р1 = 18 кН;
Р2 = 9 кН;
М = 4 кН·м;
q = 8 кН/м
268
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 19 кН;
Р2 = 7 кН;
М = 12 кН·м;
q = 2 кН/м
19
Р1 = 20 кН;
Р2 = 12 кН;
М = 8 кН·м;
q = 4 кН/м
20
Р1 = 21 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 12 кН·м;
q = 6 кН/м
21
269
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 22 кН;
Р2 = 12 кН;
М = 10 кН·м;
q = 5 кН/м
22
Р1 = 23 кН;
Р2 = 9 кН;
М = 5 кН·м;
q = 8 кН/м
23
Р1 = 24 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 12 кН·м;
q = 2 кН/м
24
270
Продолжение табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 25 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 8 кН·м;
q = 2 кН/м
25
Р1 = 26 кН;
Р2 = 16 кН;
М = 6 кН·м;
q = 6 кН/м
26
Р1 = 27 кН;
Р2 = 10 кН;
М = 4 кН·м;
q = 3 кН/м
27
271
Окончание табл. 5.5
1
3
2
Р1 = 28 кН;
Р2 = 18 кН;
М = 8 кН·м;
q = 2 кН/м
28
29
Р1 = 28 кН;
Р2 = 20 кН;
М = 6 кН·м;
q = 2 кН/м
30
Р1 = 30 кН;
Р2 = 20 кН;
М = 6 кН·м;
q = 1 кН/м
272
6.3.4. Пример выполнения курсового задания Д 7
Дано: конструкция, состоящая из двух тел, находится в равновесии под действием следующих нагрузок: Р1 = 2 кН; Р2 = 4 кН;
М = 6 кН·м; q = 1 кН/м (рис. 6.19).
Рис. 6.19
Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.
Решение.
Заменим равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загруженного участка тела 1 (рис. 6.20). Модуль этой силы определим по
формуле Q = q·2 = 1·2 = 2 кН.
Рис. 6.20
273
Поскольку связи, наложенные на рассматриваемую механическую систему, являются идеальными, то для решения поставленной
задачи правомерно применение принципа возможных перемещений.
Найдем горизонтальную составляющую ХА реакции в жёсткой
заделке.
Согласно известным положениям статики жёсткая заделка
накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости
OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и
поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение
тела 1 только параллельно оси ОХ, сохраняя другие ограничения, и
покажем на рисунке реакцию ХА. В результате этих действий реакция ХА переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке
А (см. рис. 6.19) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко
закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.
Зададим возможное перемещение δSA точке А тела 1. Так как
тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:
δSA = δSP1 = δSQ = δSC,
где δSP1 – возможное перемещение точки приложения силы Р1;
δSQ – возможное перемещение точки приложения силы Q;
δSC – возможное перемещение точки С.
Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка
получит возможное перемещение δSВ, параллельное опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 параллельны, то тело 2 совершает поступательное движение. Исходя из этого, имеем следующее равенство:
δSC = δSВ = δSР2,
где δSР2 – возможное перемещение точки приложения силы Р2.
Таким образом, возможные перемещения всех точек тел 1 и 2
геометрически равны:
δSA = δSP1 = δSQ = δSC = δSВ = δSР2.
Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для рассматриваемого случая.
ΣFi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0 = – XA·δSA + P1·δSP1 – P2·cos(45о)·δSР2 = 0.
(1)
Поскольку δSA = δSP1 = δSР2, то выражение (1) можно записать в
следующем виде:
– XA·δSA + P1·δSА – P2·cos(45о)·δSА = 0.
274
Решая последнее выражение относительно ХА, получим
XA = P1 – P2·cos(45о) = 2 – 4·0,707 = – 0,828 кН.
Найдем вертикальную составляющую YА реакции в жёсткой заделке.
Согласно известным положениям статики жёсткая заделка
накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости
OXY (поступательные движения параллельно координатным осям и
поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на перемещение
тела 1 только параллельно оси ОY, сохраняя другие ограничения, и
покажем на рисунке реакцию YА. В результате этих действий реакция YА переходит в разряд активных сил, а жёсткая заделка в точке
А
(рис. 6.21) заменяется кулисным камнем, к которому жёстко закреплено тело 1 составной конструкции. При такой замене составная конструкция становится подвижной.
Рис. 6.21
Зададим возможное перемещение δSA точке А тела 1. Так как
тело 1 может совершать только поступательное движение, то возможные перемещения всех точек этого тела геометрически равны:
δSA = δSP1 = δSQ = δSC,
где δSP1 – возможное перемещение точки приложения силы Р1;
δSQ – возможное перемещение точки приложения силы Q;
δSC – возможное перемещение точки С.
Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка
должна получить возможное перемещение δSВ, параллельное
275
опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 не параллельны,
то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что
мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке В. Относительно оси, проходящей через точку В и перпендикулярной плоскости рис. 6.21, тело 2 повернётся на угол δφ2. Исходя из этого, имеем
следующее равенство:
δSC = CB·δφ2 = 3·δφ2.
Следует заметить, что возможные перемещения δSC, δSP2 точки
С и точки приложения силы Р2 перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром поворота тела 2.
Принцип возможных перемещений выражается формулой
∑Fi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0.
Так как величину угла между направлениями активной силы Р2
и возможным перемещением δSP2 точки приложения этой силы
определять достаточно затруднительно, то элементарную работу
приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил
относительно его мгновенного центра поворота, который расположен в точке В. С этой целью силу Р2 разложим на составляющие силы: P2·sin(45о) и P2·cos(45о).
Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений:
– YA·δSA + Q·δSQ + P2·sin(45о)·1,5·δφ2 +
+
P2·cos(45о)·3·δφ2
–
M·δφ2
=
0.
(2)
Так как δSA = δSQ = 3·δφ2, то выражение (2) можно преобразовать к следующему виду:
– YA·3·δφ2 + Q·3·δφ2 + P2·sin(45о)·1,5·δφ2 +
+ P2·cos(45о)·3·δφ2 – M·δφ2 = 0.
Решая последнее выражение относительно YA, получим
YA = Q 1+ P2·sin(45о)·0,5 + P2·cos(45о)·1 – M/3 =
= 2 1 + 4·0,707·0,5 + 4·0,707·1 – 6/3 = 4,242 кН.
Найдём реактивный момент МА в жёсткой заделке.
Жёсткая заделка накладывает три ограничения на перемещения тела в плоскости OXY (поступательные движения параллельно
координатным осям и поворот в этой плоскости). Снимем ограничение на поворот тела 1 в плоскости ОХY, сохраняя другие ограничения, и покажем на рисунке реактивный момент МА. В результате
этих действий реакция МА переходит в разряд активных нагрузок, а
жёсткая заделка в точке А (рис. 6.22) заменяется шарнирнонеподвижной опорой. При такой замене составная конструкция становится подвижной. Тело 1 может совершать вращательное движе276
ние относительно оси, проходящей через точку А. Зададим телу 1
возможное угловое перемещение δφ1. Тогда точки приложения активных сил Р1, Q и точка С получат возможные перемещения δSP1,
δSQ, δSC.
δSP1 = 1,5·δφ1; δSQ = ( 3 2  12 )·δφ1; δSC = CA·δφ1.
Рис. 6.22
Следует отметить, что возможное перемещение δSC перпендикулярно отрезку, соединяющему точку С с осью вращения тела 1,
проходящей через точку А.
Так как точка С принадлежит и телу 2, то оно тоже будет подвижным. Для того, чтобы связь в точке В не разрушилась, эта точка
должна получить возможное перемещение δSВ, параллельное
опорной поверхности шарнирно-подвижной опоры. Поскольку возможные перемещения δSC, δSВ точек С и В тела 2 не параллельны,
то тело 2 совершает плоскопараллельное движение. Очевидно, что
мгновенный центр поворота тела 2 находится в точке С2. Относительно оси, проходящей через точку С2 и перпендикулярную плоскости рис. 6.22, тело 2 повернётся на угол δφ2. Исходя из этого,
имеем следующее равенство:
δSC = CС2·δφ2.
Так как точка С принадлежит и телу 1, и телу 2, то справедливо
равенство
δSC = CA·δφ1 = CС2·δφ2.
Из рис. 6.22 нетрудно установить, что СА = СС2. Отсюда имеем
277
δφ1 = δφ2.
Возможные перемещения δSC, δSР2 точки С и точки приложения
силы Р2 перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с
мгновенным центром поворота тела 2.
В общем случае принцип возможных перемещений выражается
формулой
∑Fi·δSi·cos(Fi, δSi) = 0.
Так как величину угла между направлениями активной силы Р2
и возможным перемещением δSP2 точки приложения этой силы
определять достаточно затруднительно, то элементарную работу
приложенных к телу 2 сил определим через работу моментов сил
относительно его мгновенного центра поворота, который находится
в точке С2. Как и ранее (см. рис. 6.21), силу Р2 разложим на составляющие силы: P2·sin(45о) и P2·cos(45о), параллельные координатным осям.
Запишем уравнение, выражающее принцип возможных перемещений.
– MA·δφ1 + P1·1,5·δφ1 – Q·1·δφ1 –
– P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·6·δφ2 + M·δφ2 = 0.
(3)
Поскольку δφ1 = δφ2, то выражение (3) можно преобразовать к
виду
– MA·δφ1 + P1·1,5·δφ1 – Q·1·δφ1 –
– P2·sin(45о)·1,5·δφ1 – P2·cos(45о)·6·δφ1 + M·δφ1 = 0.
Решая это уравнение относительно МА, получим
MA = + P1·1,5 – Q·1 – P2·sin(45о)·1,5 – P2·cos(45о)·6 + M =
= 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·1,5 – 4·0,707·6 + 6 = – 14,210 кН·м.
Определим реакцию RB.
Шарнирно-подвижная опора в точке В накладывает только одно
ограничение на перемещение тела 2 в пространстве. Снимем это
ограничение на поступательное движение тела, параллельное оси
ОY, и покажем на рис. 6.23 реакцию RB. Так как тело 1 неподвижно,
то возможным перемещением тела 2 является его поворот относительно оси, проходящей через точку С на угол δφ2.
На рис. 6.23 показаны возможные перемещения δSВ, δSР2 точек
приложения сил RB и Р2.
Составим уравнение, выражающее принцип возможных перемещений, при этом учтём, что работа силы при повороте тела равна
произведению момента силы относительно мгновенного центра поворота на угол поворота тела.
P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·3·δφ2 + M·δφ2 – RB·δSB = 0.
(4)
278
Так как δSB = 3·δφ2, то выражение (4) приводится к виду
P2·sin(45о)·1,5·δφ2 – P2·cos(45о)·3·δφ2 + M·δφ2 – RB·3·δφ2 =
0.
Рис. 6.23
Решая последнее выражение относительно RB, получим
RB = P2·sin(45о)·0,5 – P2·cos(45о)·1 + M/3 =
= 4·0,707·0,5 – 4·0,707·1 + 6/3 = 0,586 кН.
Проведём проверку полученных результатов расчёта. Для этого
рассмотрим равновесие составной конструкции под действием активных нагрузок Р1; Р2, М, Q и реакций внешних связей XA, YA, MA,
RB (рис. 6.24).
279
Рис. 6.24
Запишем уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил и подставим в них определённые значения реакций
внешних связей.
E
Σ FiOX
+ Σ REiOX = 0 = XA – P1 + P2·cos(45о) =
= – 0,828 – 2 + 4·0,707 = – 2,828 + 2,828 = 0;
E
Σ FiOY
+ Σ REiOY = 0 = YA – P2·sin(45о) + RB =
= 4,242 – 2 – 4·+ 0,586 = 4,828 – 4,828 = 0;
ΣМА( FiE ) + ΣМА( R Ei ) = 0 =
= – MA + P1·1,5 – Q·1 – P2·sin(45о)·4,5 – M + RB·6 =
= – (–14,210) + 2·1,5 – 2·1 – 4·0,707·4,5 – 6 + 0,586·6 =
= 20,728 – 20,728 = 0.
Проверка подтвердила правильность расчётов.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Сформулировать определение понятия «обобщённые координаты механической системы».
2. Что изучает аналитическая механика?
3. Сформулировать определение понятия «возможные перемещения несвободной механической системы».
4. Сформулировать определение понятия «связи».
5. Сформулировать определение понятия «геометрические
связи».
6. Сформулировать определение понятия «стационарные
связи».
7. Сформулировать определение понятия «уравнения связей».
8. Сформулировать определение понятия «дифференциальные связи».
9. Сформулировать определение понятия «голономные связи».
10. Сформулировать определение понятия «неголономные
связи».
11. Сформулировать определение понятия «нестационарные
связи».
12. Сформулировать определение понятия «двусторонние
(удерживающие) связи».
13. Сформулировать определение понятия «односторонние
(неудерживающие) связи».
280
14. Сформулировать определение понятия «голономная система».
15. Сформулировать определение понятия «неголономная
система».
16. Сформулировать определение понятия «возможное перемещение системы».
17. Сформулировать определение понятия «возможная (элементарная) работа силы».
18. Записать формулу для определения возможной работы
силы.
19. Записать формулу для определения возможной работы
сил, приложенных к механической системе.
20. Сформулировать определение понятия «идеальные связи».
21. Сформулировать принцип возможных перемещений.
22. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в векторной форме.
23. Записать формулу, выражающую принцип возможных перемещений, в координатной форме.
24. Записать формулу, выражающую принцип возможных
скоростей (принцип возможных мощностей).
6.4. Общее уравнение динамики
6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы
Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить и к решению задач динамики, если его дополнить принципом Даламбера.
Рассмотрим движение несвободной неизменяемой механической системы, на которую наложены идеальные связи, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 6.25).
Согласно принципу Даламбера i-я точка механической системы
E
совершает движение под действием активной силы Fi , реакции
REi внешней связи, реакции R iJ внутренней связи и силы инерции Фi.
Этот принцип выражается формулой
FiE + REi + R iJ + Фi = 0.
281
Рис. 6.25
Пусть точка Сi механической системы получит возможное перемещение δSСi. Очевидно, что элементарная работа δА сил, приложенных к точке, равна нулю.
E
E
J
δА = ( Fi + Ri + R i + Фi)·δSСi = 0.
Просуммируем последние выражения и получим
E
E
J
Σ Fi ·δSСi +Σ Ri ·δSСi + Σ R i ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0.
Для движущейся механической системы сумма работ активных
сил, реакций внешних связей, внутренних сил и сил инерции, приложенных к её точкам, на любых возможных перемещениях этой системы равна нулю.
Поскольку на механическую систему наложены идеальные связи, то сумма работ реакций этих связей равна нулю.
E
Σ Ri ·δSСi = 0.
Так как рассматривается неизменяемая механическая система,
то сумма работ реакций внутренних связей также равна нулю.
J
Σ R i ·δSСi = 0.
E
J
Исходя из того, что Σ Ri ·δSСi = 0 и Σ R i ·δSСi = 0, получим
E
Σ Fi ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0.
Последнее уравнение называют общим уравнением динамики.
В любой момент времени работа активных сил и сил инерции
материальных точек несвободной механической системы с
идеальными связями на её любом возможном перемещении
равна нулю.
282
E
Общее уравнение динамики (Σ Fi ·δSСi + ΣФi·δSСi = 0) можно
преобразовать к следующим видам:
E
Σ( Fi + Фi)·δSСi = 0;
E
E
Σ Fi ·δSСi·cos( Fi , δSСi) + ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSСi) = 0;
E
E
E
Σ( FiOX
·δSiОХ + FiOY
·δSiOY + FiOZ
·δSiOZ) +
+ Σ(ФiOX·δSiOX + ФiOY·δSiOY + ФiOZ·δSiOZ) = 0;
E
E
E
Σ( FiOX
·δSiOX + FiOY
·δSiOY + FiOZ
·δSiOZ) +
 ·δSiOY – m· Z
 ·δSiOX – m· Y
 ·δSiOZ) = 0,
+ Σ(– m· X
Ci
Ci
Ci
E
E
E
где FiOX
, FiOY
, FiOZ
– проекции активных сил на координатные оси;
ФiOX, ФiOY, ФiOZ – проекции сил инерции на координатные оси; δSiOX,
δSiOY, δSiOZ – проекции возможных перемещений точек приложения
 , Z
 , Y
 – проекции ускорений матесил на координатные оси, X
Ci
Ci
Ci
риальных точек механической системы на координатные оси.
Общее уравнение динамики позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы.
Если среди связей системы имеются односторонние связи, то
для применения общего уравнения динамики необходимо, чтобы
возможные перемещения системы не разрушали эти связи, а обеспечивали их функциональное назначение.
Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание Д 8.
6.4.2. Варианты курсового задания Д 8
«Применение общего уравнения
динамики к исследованию движения механической
системы с одной степенью свободы»
Для заданной механической системы определить ускорения
центров масс грузов 1. Массами нитей пренебречь. Трение качения
и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.
Варианты механических систем и необходимые для решения
данные приведены в табл. 5.6.
Блоки и катки, для которых радиусы инерции в табл. 5.6 не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.
Примечания:
Радиусы инерции даны относительно центральных осей,
перпендикулярных плоскости чертежа.
Коэффициенты трения принимать одинаковыми при
скольжении тел по плоскостям.
283
Таблица 5.6
Номер
варианта
1
Расчётная схема механизма
2
Исходные данные
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
r3 = r;
R3 = 2r;
1
iC2X2 = r 2 ;
iC3X3 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
R3 = 2r;
45о
 = 45о;
f = 0,1
2
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R4 = r;
3
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
284
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = r;
4
iC2X2 = r 2 ;
30о
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
r3 = r;
R3 = 2r;
5
iC2X2 = r 2 ;
iC3X3 = r 2 ;
f = 0,1

P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = 2r;
6
iC2X2 = r 2

285
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
7
iC2X2 = r 2 ;
f = 0,1

P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
8
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = 2r;
9
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
286
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = 2r;
10
iC2X2 = r 2 ;
45о
45о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
11
iC2X2 = r 2 ;

f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
12
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
287
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = 2r;
R3 = r;
13
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
14
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = 2r
15
288
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
r4 = r;
R4 = 2r;
16
iC2X2 = r 2 ;
iC4X4 = r 2
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
R3 = r
17
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
r4 = r;
R4 = 2r;
18
iC2X2 = r 2 ;
iC4X4 = r 2 ;
30о
289
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = 1,5r;
19
iC2X2 = r 2 ;
45о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
r3 = r;
R3 = 2r;
20
iC3X3 = r 2 ;
iC4X4 = r 2 ;
30о
45о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
R3 = r;
45о
f = 0,1
21
290
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
22
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = 2r;
23
iC2X2 = r 2 ;
45о
45о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = 2r;
24
iC2X2 = r 2 ;
45о
f = 0,1
291
Продолжение табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
R3 = r;
45о

f = 0,1
25
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = r;
26
iC2X2 = r 2 ;
30о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
r2 = r;
R2 = 2r;
R3 = r;
R4 = r;
27
iC2X2 = r 2
292
Окончание табл. 5.6
1
2
3
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
R3 = r;
45о
f = 0,1
28
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = r;
r3 = r;
R3 = 2r;
29
iC3X3 = r 2 ;
45о
45о
f = 0,1
P = 10G;
G1 = G;
G2 = 2G;
G3 = 3G;
G4 = 4G;
R2 = 2r;
R3 = r;
45о
f = 0,1
30
293
6.4.3. Пример выполнения курсового задания Д 8
Для заданной механической системы (рис. 6.26) определить
ускорение груза 1 при его опускании.
Рис. 6.26
Дано: G1 = 8G; G2 = 4G; G3 = 2G; P = G; f3 = 0,1; iC2X2 = 0,1 м;
f4 = 0,1; α = 30o; b = 0,5 м; d = 0,4 м; r2 = 0,2 м; R2 = 0,5 м, где G1, G2,
G3 – вес соответствующих тел механической системы; f3 – коэффициент трения скольжения тела 3 при его движении по шероховатой
поверхности; f4 – коэффициент трения скольжения между телами 2
и 4; iC2X2 – радиус инерции тела 2 относительно оси, проходящей
через его центр масс; α, b, d, r2, R2 – геометрические параметры.
Механическая система начинает движение из состояния покоя.
Решение.
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из
тел 1, 2, 3 (рис. 6.27), предположив, что груз 1 опускается ускоренно.
Согласно общему уравнению динамики механическая система
совершает движение под действием активных сил: G1, G2, G3 – силы
тяжести тел 1, 2, 3; F3 – сила трения при движении груза 3 по шероховатой поверхности; F4-2 – сила трения при скольжении цилиндрической поверхности тела 2 по тормозной колодке тела 4 и инерциΦ
онных нагрузок: Ф1, Ф3 – силы инерции тел 1, 3; М2 – момент сил
инерции при вращении тела 2 относительно оси С2Х2.
294
Как это отмечалось ранее, при наличии неидеальных связей,
наложенных на механическую систему, эти связи необходимо преобразовать в идеальные путём переноса сил трения в разряд активных сил.
Рис. 6.27
Для определения силы трения F4-2 механическую систему, показанную на рис. 6.26, расчленим по внутренней связи и рассмотрим
равновесие рычага 4 (рис. 6.28).
Рис. 6.28
295
На тело 4 действуют: активная сила Р; реакции YA, ZA внешней
связи в точке А (шарнирно-неподвижная опора); реакции N2-4, F2-4
внутренней связи. Направления сил N2-4, F2-4 показывают, как тело 2
действует на тело 4. Составим уравнение равновесия.
ΣMA( FiE ) + ΣMA( R Ei ) = N2-4·b – P·(b + d) = 0.
Из этого уравнения определим модуль нормальной реакции
N2-4 = P·(b + d)/b = G·(b + d)/b.
Согласно закону сухого трения (закону Кулона) сила трения F2-4
связана с нормальной реакцией N2-4 соотношением
F2-4 = f4·N2-4 = f4·G·(b + d)/b.
По известному закону динамики (закон равенства действия и
противодействия) имеем
F4-2 = F2-4 = f4·G·d/b.
Таким образом, сила F4-2 трения, приложенная к телу 2 со стороны тела 4 (см. рис. 6.27), определена.
Для определения силы F3 трения рассмотрим поступательное
движение груза 3 (рис. 6.29) в инерциальной системе отсчёта
O3Y3X3. Используя известные положения динамики, примем груз 3
за материальную точку.
Рис. 6.29
На рис. 6.29 использованы условные обозначения: N3 – нормальная реакция шероховатой поверхности; VС3, aС3 – соответственно скорость и ускорение центра масс тела 3.
Составим дифференциальное уравнение поступательного движения тела 3.
 = – G3·cos(α) + N3,
m· Y
C3
 – проекция ускорения aС3 на координатную ось O3Y3.
где Y
C3
 = 0, то получим
Так как Y
C3
296
N3 = G3·cos(α).
Тогда имеем
F3 = f3·N3 = f3·G3·cos(α) = f3·2·G·cos(α).
Таким образом, сила трения F3 определена.
Вернёмся к рис. 6.27. Зададим возможное перемещение δSС1
центру масс тела 1. При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ2 = δSС1/R2, а центр С3 масс тела 3 получит возможное линейное перемещение, модуль которого δSС3 = δSС1·(r2/R2).
Двойным дифференцированием по времени возможных перемеще 2 тела 2 и модуль aС3
ний δφ2, δSС3 определим угловое ускорение 
ускорения центра масс тела 3.
 2 = aС1/R2; aС3 = aС1·(r2/R2).

К рассматриваемой механической системе приложим активные
Φ
силы G1, G2, G3, F3, F4-2 и инерционные нагрузки Ф1, Ф2, М2 .
Φ
Модули сил инерции Ф1, Ф3 и момента М2 сил инерции определяют по формулам:
Ф1 = m1·aС1 = (G1/g)·aС1 = (8·G/g)·aС1;
Ф3 = m1 ·aС3 = (G3/g)·aС3 = (2·G/g)·aС1·(r2/R2);
Φ
 2 = m2·(iС2Х2)2· 
 2 = (G2/g)·(iС2Х2)2· 
 2 =
М2 = JС2Х2· 
= (4·G/g)·(iС2Х2)2·(aС1/R2).
Запишем общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы:
E
E
Σ Fi ·δSСi·cos( Fi , δSСi) + ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSСi) = 0.
Определим первое слагаемое правой части этого уравнения.
E
E
Σ Fi ·δSСi·cos( Fi , δSСi) =
= G1·δSС1 – F4-2·δSС1 – G3·δSС3·sin(α) – F3·δSС3 =
= 8·G·δSС1 – f4·G·((b + d)/b)·δSС1 – 2·G·δSС1·(r2/R2)·sin(α) –
– f3·2·G·cos(α)·δSС1·(r2/R2) =
= G·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·G·cos(α)·(r2/R2))·δSС1.
Определим второе слагаемое правой части общего уравнения
динамики:
Φ
ΣФi·δSСi·cos(Фi, δSCi) = – Ф1·δSС1 – М2 ·δφ2 – Ф3·δSС3 =
= – (8·G/g)·aС1·δSС1 – (4·G/g)·(iС2Х2)2·(aС1/R2)·(δSС1/R2) –
– (2·G/g)·aС1·(r2/R2)·δSС1·(r2/R2) =
= – (G/g)·(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2)·aС1·δSС1.
Внося эти слагаемые в общее уравнение динамики, получим
G·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·G·cos(α)·(r2/R2))·δSС1 –
– (G/g)·(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2)·aС1·δSС1 = 0.
297
Отсюда определим модуль aС1 ускорения центра масс груза 1:
aC1 = g·(8 – f4·((b + d)/b) – 2·(r2/R2)·sin(α) – f3·2·cos(α)·(r2/R2))/
/(8 + 4·(iС2Х2/R2)2 + 2·(r2/R2)2) =
= 9,81·(8 – 0,1·((0,5 + 0,4)/0,5) – 2·(0,2/0,5)·0,5 –
– 0,1·2·0,866·(0,2/0,5))/
/(8 + 4·(0,1/0,5)2 + 2·(0,2/0,5)2) = 9,584 м/с2.
Таким образом, ответ на вопрос (aС1 =?), поставленный в курсовом задании Д 8, получен.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в векторной форме.
2. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в скалярной форме.
3. Записать формулу, выражающую общее уравнение динамики, в координатной форме.
6.5. Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные
уравнения движения механической системы в обобщённых координатах.
Для механической системы с n степенями свободы эти уравнения имеют вид
d
 Ci ) – ∂TS/∂qCi = Qqci, i = 1, …, n,
(∂TS/∂ q
dt
где ТS – кинетическая энергия механической системы; qCi – обоб Ci – обобщённая скорость; Qqci – обобщённая
щённая координата; q
сила по обобщённой координате qCi.
Число уравнений Лагранжа второго рада равно числу степеней
свободы рассматриваемой механической системы.
Используя рис 6.30, поясним понятия «обобщённая скорость», «обобщённая сила».
298
Рис. 6.30
E
На рис. 6.30 приняты условные обозначения: Fi – активная сила, приложенная к точке механической системы; δqCi – приращение
обобщённой координаты qCi (возможное перемещение i-й точки си Ci – обобщённая скорость i-й точки механической системы.
стемы); q
Обобщённая скорость – производная по времени от обобщённой координаты.
q Ci = dqCi/dt.
E
Определим возможную элементарную работу δАS( Fi ) активных
E
сил Fi , приложенных к точкам механической системы при задании
какой-либо её точке возможного перемещения δqCi.
E
E
E
δАS( Fi ) = Σ Fi ·δqCi·cos( Fi , δqCi).
Обобщенная сила Qqci по обобщенной координате qCi – величина, равная отношению возможной элементарной работы
E
δАS активных сил Fi , приложенных к точкам механической
системы, к модулю δqСi приращения обобщённой координаты
qCi.
E
Qqi = δAS( Fi )/δqCi.
299
Формулировка уравнения Лагранжа второго рода.
Разность полной производной по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости и
частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.
Уравнения Лагранжа второго рода используют в качестве универсального метода составления дифференциальных уравнений
движения механических систем любой степени сложности. Преимущество этого метода по сравнению с применяемыми ранее общими
теоремами динамики заключается в том, что в уравнениях Лагранжа
второго рода используются только активные силы. Это намного
упрощает решение задач динамики механических систем.
Согласно учебной программе выполнение курсового задания на
применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию
движения механических систем не предусмотрено. Тем не менее
для развития общего кругозора студента приведём пример решения
такого типа задач.
Пример.
Однородный барабан 1 массой m1 и радиусом R1 приводится во
вращение активным моментом М. На барабан наматывается невесомый трос, перекинутый через невесомый блок 2. К свободному
концу троса прикреплён груз 3 массой m3 (рис. 6.31).
Механическая система начинает двигаться из состояния покоя.
Составить дифференциальное уравнение вращательного движения
барабана.
Дано: m1 = 20 кг; R1 = 0,2 м; m3 = 10 кг; М = 200 Н·м.
Рис. 6.31
300
Решение.
Механическая система имеет одну степень свободы. Примем за
обобщённую координату q угол φ1 поворота тела 1 (рис. 6.32).
Рис. 6.32
Запишем уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы.
d
 1) – ∂TS/∂φ1 = Qφ1,
(∂TS/∂ 
dt
где ТS – кинетическая энергия механической системы; Qφ1 – обоб 1 – обобщённая скощённая сила по обобщённой координате φ1; 
рость.
Зададим приращение δφ1 обобщённой координате φ1. Тогда
центр масс тела 3 получит возможное перемещение
δSС3 = δφ1·R1.
Кинетическая энергия механической системы равна
ТS = Т1 + Т3,
где Т1 – кинетическая энергия барабана 1; Т3 – кинетическая энергия
груза 3.
Тело 1 совершает вращательное движение относительно оси
С1Х1. Его кинетическую энергию определим по формуле
 1)2 = 0,5·(m1·(R1)2/2)·(  1)2 = 0,25·m1·(R1)2·(  1)2.
T1 = 0,5·JC1X1·( 
Согласно рис. 6.32 тело 3 совершает поступательное движение.
Исходя из этого утверждения, его кинетическую энергию определим
по формуле
 1·R1)2.
T3 = 0,5·m3·(VC3)2 = 0,5·m3·( 
301
В последней формуле символом VC3 обозначена скорость центра масс тела 3.
Кинетическая энергия механической системы
 1)2 + 0,5·m3·(  1·R1)2 =
ТS = 0,25·m1·(R1)2·( 
 1·R1)2.
= (0,25·m1 + 0,5·m3)·( 
Определим частную производную от кинетической энергии ме 1.
ханической системы по обобщённой скорости 
 1 = 2·(0,25·m1+ 0,5·m3)·(R1)2· 
1.
∂TS/∂ 
Тогда
d
 1) = (0,5·m1+ m3)·(R1)2· 
1.
(∂TS/∂ 
dt
Так как кинетическая энергия системы не зависит от обобщённой координаты φ1, то соответственно её частная производная
∂TS/∂φ1 равна нулю (∂TS/∂φ1 = 0).
Тогда левая часть уравнения Лагранжа вторго рода равна
d
 1) – ∂TS/∂φ1 = (0,5·m1+ m3)·(R1)2· 
1.
(∂TS/∂ 
dt
E
Определим элементарную работу δАS( Fi ) сил, приложенных к
механической системе на её возможном перемещении.
E
δАS( Fi ) = M·δφ1 – G3·δSC3 = M·δφ1 – m3·g·δφ1·R1 =
= (M – m3·g·R1)·δφ1.
Согласно определению обобщённая сила Qφ1 по обобщённой
координате φ1 равна
Qφ1 = δАS/ δφ1 = M – m3·g·R1.
Уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы принимает вид
1 = M – m3·g·R1.
(0,5·m1+ m3)·(R1)2· 
1, поРешая это уравнение относительно углового ускорения 
лучим
M  m3  g  R1
=
(0,5  m1  m3 )  (R1 )2
200  10  9,81 0,2
=
= 17,344 м/с2.
2
(0,5  20  10)  (0,2)
1 =

Дважды интегрируя эти дифференциальные уравнения и определив постоянные интегрирования, получим:
 1 = 17,344·t; φ1 = 8,672·t2.
302
7. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИБЛИЖЁННОЙ ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ
7.1. Гироскоп с тремя степенями свободы
Гироскопом называют симметричное твёрдое тело, угловая
 1 вращения которого относительно оси симметрии значискорость 
 2 вращения оси
тельно превосходит по модулю угловую скорость 
симметрии.
 1I = ω1 >> I  2 I = ω2,
I
 1,  2 .
где ω1, ω2 – модули угловых скоростей 
В современных гироскопических приборах частота n1 вращения
относительно оси симметрии (оси гироскопа) достигает значений
40000 – 50000 об/мин (ω1 = 4200 – 5200 рад/с), а частота n2 вращения оси симметрии равна одному обороту за 2 – 3 минуты (n2 = 3, 14
– 4, 73 об/мин) и даже за 20 минут (n2 = 0,314 об/мин) для гирокомпасов.
Рассмотрим случай, когда гироскоп движется в инерциальной
системе отсчёта O2X2Y2Z2 около неподвижной точки О2 (рис. 7.1).
Рис. 7.1
303
На рис. 7.1 приняты условные обозначения: O2X2Y2Z2 – инерциальная система отсчёта (ИСО); O1X1Y1Z1 – подвижная система от 1 – вектор угловой скорости  1 вращения гироскопа
счёта (ПСО); 
относительно оси симметрии (ось симметрии гироскопа совпадает с
 2 – вектор угловой скороосью O1Z1 подвижной системы отсчёта); 
 2 вращения оси O1Z1 симметрии гироскопа относительно оси
сти 
O2Z2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2; θ – угол наклона оси
O1Z1 симметрии к оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта (угол ну 1) – кинетический момент гироскопа относительно точки
тации); LO( 
О при его вращении вокруг оси симметрии O1Z1 с угловой скоростью
 1; LO(  2 ) – кинетический момент гироскопа относительно точки О
при его вращении вокруг оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта
 2 ; LO – кинетический момент гироO2X2Y2Z2 с угловой скоростью 
скопа относительно точки О при его вращении с угловой скоростью
 вокруг мгновенной оси вращения OZ3;  – вектор угловой скорости  вращения гироскопа относительно мгновенной оси вращения
OZ3.
Начала О1 подвижной системы отсчёта O1X1Y1Z1 и О2 инерциальной системы отсчёта O2X2Y2Z2 помещены в точку О.
 1 относительно оси
Гироскоп вращается с угловой скоростью 
O1Z1 симметрии, которая в свою очередь вращается с угловой ско 2 относительно оси O2Z2 инерциальной системы отсчёта
ростью 
O2X2Y2Z2.
 абсолютной угловой скорости гироскопа определяют
Вектор 
 =  1 +  2 . При этом вектор  лежит на мгновенной
по формуле 
оси OZ3 вращения гироскопа.
Кинетический момент LO гироскопа относительно точки О равен
 1) + LO(  2 ).
LO = LO( 
В развёрнутом виде последняя формула выглядит следующим
образом:
 1) + JO2Z2·(  2 ),
LO = JO1Z1·( 
где JO1Z1, JO2Z2 – моменты инерции гироскопа относительно осей
O1Z1, O2Z2.
 2 I << I  1I, то величина угла θ очень мала (в современТак как I 
ных приборах она составляет доли секунды). Тогда с достаточной
для инженерной практики точностью можно считать, что
 2 ) = JO2Z2·(  2 ) = 0.
LO( 
С учётом этого допущения имеем
304
 1).
LO = JO1Z1·( 
Из последнего выражения следует, что вектор LO кинетического
момента гироскопа относительно точки О совпадает с осью симметрии гироскопа. Исходя из этого утверждения, рис. 7.1 можно преобразовать к следующему виду (рис. 7.2).
Рис. 7.2
На таком допущении основана приближённая (элементарная)
теория гироскопов.
При решении задач с помощью приближённой теории гироскопов удобно пользоваться теоремой Резаля, которая выражается
формулой
dLO/dt = U = Σ MO(FiE) + Σ MO(RiE) = MEO ,
где LO – кинетический момент гироскопа относительно точки О;
U – скорость конца вектора LO в инерциальной системе отсчёта;
Σ MO(FiE), Σ MO(RiE) – геометрические суммы моментов активных сил
FiE и реакций RiE внешней связи относительно точки О; MEO – главный момент внешних сил, приложенных к гироскопу, относительно
точки О.
Скорость U конца вектора LO кинетического момента гироскопа относительно точки О направлена так же , как и век305
тор MEO главного момента внешних сил , приложенных к гироскопу, относительно той же точки.
Использование теоремы Резаля позволяет решать следующие
задачи: 1) по известным активным силам FiE и реакциям RiE внешней
связи определяют направление движения оси симметрии гироскопа;
2) по известному закону движения оси гироскопа определяют главный момент внешних сил MEO .
Пример 1.
Гироскоп совершает быстрое вращение относительно вертикальной оси OZ симметрии, имея неподвижную точку О (рис. 7.3).
Рис. 7.3
Определить направление движения оси симметрии гироскопа,
если к ней приложена активная сила FiE, которая параллельна плоскости OYZ.
Решение.
Приложим к гироскопу активную силу FiE, силу тяжести G и реакции XO, YO, ZO внешней связи в точке О (рис. 7.4).
306
Рис. 7.4
Определим главный момент MEO внешних сил относительно
точки О.
MEO = Σ MO(FiE) + Σ MO(G) + Σ MO(XO) + Σ MO(YO) + Σ MO(ZO).
Так как Σ MO(G) = 0, Σ MO(XO) = 0; Σ MO(YO) = 0, Σ MO(ZO) = 0, то
имеем
MEO = Σ MO(FiE).
Главный момент MEO внешних сил относительно точки О приложен в этой точке и направлен по оси ОХ в сторону увеличения координаты Х (напомним, что момент силы относительно точки направляется перпендикулярно плоскости, проходящей через силу и точку
так, что с его конца видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки против хода часовой стрелки).
 гироскопа относительно точки
Кинетический момент LO = JOZ· 
 угловой скорости вращения. КоО направлен в сторону вектора 
нец вектора LO обозначим точкой D.
Применив теорему Резаля U = MEO , направляем вектор U скорости точки D параллельно вектору MEO .
307
Таким образом, ось OZ симметрии гироскопа будет перемещаться в плоскости OXZ, которая перпендикулярна направлению
активной силы FiE.
Пример 2.
Определить движение тяжёлого гироскопа, ось которого составляет угол θ с вертикалью, если:  – угловая скорость вращения
относительно оси O1Z1 симметрии; JO1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси симметрии; b = OC – расстояние от центра тяжести С до точки О опоры (рис. 7.5).
Рис. 7.5
Рассмотрим движение гироскопа в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 7.6).
Приложим к гироскопу активную силу G (силу тяжести) и реакции XO, YO, ZO внешней связи в точке О. Модуль MEO главного момента MEO внешних сил, приложенных к гироскопу, равен
MEO = G·OC·sin(θ).
Вектор MEO главного момента внешних сил направлен по оси OY
в сторону увеличения координаты Y.
Кинетический момент LO гироскопа относительно точки О
 угловой скорости
направлен по оси симметрии в сторону вектора 
и равен по модулю
308
LO = JO1Z1·ω,
 I – модуль вектора угловой скорости  .
где ω = I 
Рис. 6
Обозначим точкой D конец вектора LO. Согласно теореме Резаля, U = MEO . Поэтому U – скорость точки D направлена перпендикулярно к оси симметрии (параллельна оси ОХ) в сторону увеличения
координаты Х. Модуль U скорости U равен
U = MEO = G·OC·sin(θ) = const.
Таким образом, точка D имеет постоянную по модулю скорость
U, направленную перпендикулярно к вертикальной плоскости, содержащей ось симметрии гироскопа. При этом ось гироскопа описывает боковую поверхность кругового конуса, поворачиваясь относи 1. Это движение
тельно вертикальной оси OZ с угловой скоростью 
называют регулярной прецессией оси гироскопа.
 1 регулярной прецесВычислим модуль ω1 угловой скорости 
сии.
309
 1I = U/(DA) =
ω1 = I 
G  OC  sin( ) G  OC
G  OC
=
=
.
L O  sin( )
LO
JO1Z1  
Окончательно имеем
ω1 =
G  OC
.
JO1Z1  
Чем меньше модуль ω угловой скорости  вращения гироскопа
относительно его оси симметрии, тем больше модуль ω1 угловой
 1 прецессии (от величины угла θ угловая скорость прескорости 
цессии не зависит).
Задачи на определение движения оси гироскопа с помощью
приближённой теории рекомендуется решать по следующему алгоритму.
1. Проверить, имеет ли гироскоп три степени свободы.
2. Выбрать систему координат.
3. Изобразить на рисунке внешние силы, приложенные к гироскопу.
4. Определить главный момент MEO внешних сил относительно
неподвижной точки О.
5. Найти кинетический момент LO гироскопа относительно неподвижной точки О.
6. Применив теорему Резаля U = MEO , определить движения оси
гироскопа.
В экзаменационных задачах, как правило, требуется определить ω, JO1Z1, ОС. Эти величины определяют по формулам:
G  OC
;
JO1Z1  
G  OC
JO1Z1 =
;
  1
J
   1
ОС = O1Z1
.
G
ω1 =
Пример 3.
На рис. 7.7 приведена схема гироскопа в кардановом подвесе.
Конструктивная схема содержит корпус 1, уравновешенный массивный круглый цилиндр, горизонтальную 3 и вертикальную рамки.
310
Рис. 7.7
Тело 2 вращается с угловой скоростью  в подшипниках горизонтальной рамки 3 относительно оси ОХ. Рамка 3 может поворачиваться в подшипниках рамки 4 относительно оси OY. В свою очередь рамка 4 может поворачиваться в подшипниках корпуса 1 гироскопа относительно оси OZ. Координатные оси OX, OY, OZ пересекаются в центре масс механической системы, состоящей из тел 2, 3,
4.
Если точки О и С совпадают, то такой гироскоп называют
астатическим (уравновешенным), в противном случае – тяжёлым.
Определить изменение положения оси ОХ вращения тела 2,
пренебрегая трением в подшипниках.
Решение.
Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы, так
как его положение определяется тремя независимыми углами поворота относительно осей OX, OY, OZ, пересекающихся в центре С
масс механической системы, состоящей из тел 2, 3, 4. При этих
условиях главный момент MEO внешних сил относительно точки О
311
равен нулю: ( MEO = 0). Кинетический момент LO гироскопа направлен
по оси ОХ. Конец вектора LO обозначим точкой D (см. рис 7.7).
Применив теорему Резаля (U = MEO ), находим U = 0, т. е. скорость точки U равна нулю. Это означает, что при вращении массивного тела 2 ось ОХ гироскопа сохраняет неизменное положение в
пространстве.
Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче, получен.
7.2. Гироскопический момент
При изменении положения оси гироскопа (рис. 7.8) формируется гироскопический момент MGir
относительно точки О, который
O
определяют по формуле
 ×  1,
MGir
O = JO1Z1· 
где JO1Z1 – момент инерции гироскопа относительно оси O1Z1;
 – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительно оси
 1 – вектор угловой скорости вращения гироскопа относительO1Z1; 
но оси прецессии OZ.
Рис. 7.8
312
На рис. 7.8 оси OZ, O1Z1 расположены в плоскости OYZ. Согласно правилу векторного произведения вектор MGir
O одновременно
 ,  1 и направлен в сторону, откуда виперпендикулярен векторам 
 к вектору  1, происходящий против хода чаден поворот вектора 
совой стрелки. Исходя из этого правила, вектор MGir
O лежит на оси
ОХ и направлен в сторону увеличения координаты Х. Модуль MGir
O
гироскопического момента определяют по формуле
 I·I  1I = JO1Z1·ω·ω1·sin(θ),
MGir
O = JO1Z1·I 
 I, ω1 = I  1I – модули векторов  ,  1; θ – угол, составленгде ω = I 
 ,  1.
ный векторами 
Гироскопический момент MGir
O стремится совместить ось гироскопа с осью прецессии.
Рассмотрим быстрое вращение тела 1 с угловой скоростью  в
рамке 2, которая вращается относительно угловой оси OY с угловой
 1 (рис. 7.9).
скоростью 
Рис. 7.9
 1I. По отношению к
При этом выполняется неравенство I  I >> I 
рамке 2 цилиндрические шарниры в точках А и В являются внешни313
ми связями. В этих связях формируются гироскопические (динамические) реакции RA, RB, противодействующие моменту MGir
O . Реакции RA, RB образуют пару сил, алгебраический момент MSopr которой
равен
MSopr = RA·h.
Вектор MSopr этой пары сил направлен противоположно вектору
MGir
O гироскопического момента (рис. 7.10).
Рис. 7.10
Вектор MSopr момента реакций опор А и В и его модуль MSopr
можно также определять по формулам:
 1× JOХ·  ·= – JOХ·  ×  1;
MSopr = – MGir
O = 
 I×I  1I.
MSopr = JOХ·ω·ω1·= – JOХ·I 
Задачи на определение гироскопических реакций опор рекомендуется решать по следующему алгоритму.
 угловой скорости соб1. Изобразить на рисунке векторы 
ственного вращения гироскопа и его кинетического момента
.
LO = JOХ· 
 1 угловой ско2. Определить и изобразить на рисунке вектор 
рости прецессии оси гироскопа.
314
3. Найти гироскопический момент MGir
и его модуль MGir
O
O по
 ×  1; MGir
 I·I  1I =
формулам:
= JO1Z1· 
= JO1Z1·I 
MGir
O
O
JO1Z1·ω·ω1·sin(θ),
 I, ω1 = I  1I – модули векторов  ,  1; θ – угол, составленгде ω = I 
 ,  1.
ный векторами 
4. Определить вектор MSopr момента реакций опор А и В и его
модуль MSopr по формулам:
 1× JOХ·  ·= – JOХ·  ×  1;
MSopr = – MGir
O = 
 I×I  1I.
MSopr = JOХ·ω·ω1·= – JOХ·I 
5. Определить модуль реакции одной из опор гироскопа по
формуле RA = JOХ·ω·ω1/h.
315
8. УДАР
8.1. Удар двух тел
Рассмотрим удар двух тел, движущихся поступательно, в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 8.1).
Рис. 8.1
На рис. 8/1 приняты условные обозначения: С1, С 2 – центры
масс тел 1, 2; VC1; VC2 – скорости центров масс тел.
Удар есть процесс, при котором в течение очень малого промежутка времени действуют очень большие силы. Время этого процесса часто равно тысячным и даже десятитысячным долям секунды. Величина силы, приложенной к телу во время удара, может в
тысячи и даже в десятки тысяч раз превосходить вес тела.
Удар – механическое взаимодействие материальных тел,
приводящее к конечному изменению скоростей их точек
за бесконечно малый промежуток времени.
Примечание. Этот промежуток времени называют временем удара.
В теории удара классической механики вводится следующая
идеализация этого процесса – совершается предельный переход к
бесконечно большим силам, действующим бесконечно малое время
(ударные силы) и имеющим конечный импульс S.
316
Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.
Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.
В технической литературе зачастую ударные силы называют
мгновенными силами.
Согласно известным утверждениям кинематики поступательное
движение твёрдого тела имеет такие же уравнения движения, как и
точка. Рассмотрим движение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчёта OXYZ под действием силы тяжести G и
активной силы FiE на участке АВ (рис. 8.2).
Рис. 8.2
В момент времени, когда материальная точка занимает на траектории её движения положение В, происходит удар. В этом положении материальная точка получает конечное изменение скорости
от V1 до V2. В момент удара на материальную точку кроме сил G и
FiE действует ударная сила Р. В отличие от ударной силы Р, силы FiE
и G называют немгновенными силами.
В положении В, где действовала ударная сила Р, происходит
резкое изменение траектории движения АВD точки. После прекра-
317
щения действия ударной силы Р материальная точка на участке ВD
снова движется под действием силы тяжести G и активной силы FiE.
Таким образом, в теории удара классической механики сделаны
следующие допущения.
1. Действие немгновенных сил за время удара не учитывают.
2. Перемещение материальной точки за время удара не учитывают.
3. Результат действия ударной силы на материальную точку
выражается в скачкообразном (конечном) изменении за время удара вектора её скорости, которое описывается векторным равенством V2 = V1 + (S/m).
В действительности скачок скорости происходит в течение
очень малого промежутка времени. Рассмотрим взаимодействие
двух тел, совершающих поступательное движение в момент удара
(рис. 8.3), и введём понятия, широко используемые в инженерной
практике.
Рис. 8.3
Линия центров – линия, проходящая через центры масс
соударяющихся тел.
Центральный удар – удар, при котором линия действия
ударного импульса, приложенного к ударяемому телу,
проходит через его центр масс.
Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс
соударяющихся тел лежат на линии центров.
318
Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.
Рассмотрение процесса удара требует выхода из рамок классической механики – отказа от схемы абсолютно твёрдого тела и перехода к схеме деформируемого тела. В зависимости от степени
восстановления недеформированного состояния удары разделяются на абсолютно неупругие, упругие и абсолютно упругие.
Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.
В конце неупругого удара центры тяжести соударяющихся движутся с одинаковыми скоростями.
Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние тел восстанавливается не полностью.
В конце упругого удара центры тяжести соударяющихся тел
движутся с разными скоростями.
Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью.
В конце абсолютно упругого удара центры тяжести соударяющихся тел движутся с разными скоростями.
Рассмотрим прямой центральный упругий удар двух тел. На
рис. 8.4 изображена расчётная схема этого удара. До удара (см.
рис. 8.4,а) соударяющиеся тела 1 и 2 движутся в одном направлении с абсолютными скоростями VC1, VC2 центров С1, С2 масс этих
тел. На рис. 8.4,б изображен момент удара тел 1 и 2. Расчётная
схема движения тел после удара приведена на рис. 8.4,в.
Напомним, что абсолютной скоростью называют скорость в
инерциальной системе отсчёта.
Процесс упругого удара разделим на два этапа. В течение первого этапа (см. рис. 8.4,б) совершается деформация соударяющихся тел. В течение второго этапа – частичное восстановление недеформированного состояния. В момент окончания первого этапа и
319
начала второго центры масс тел обладают одинаковыми скоростями, которые они имели бы в конце соответствующего абсолютно неупругого удара. В конце второго этапа центры масс тел имеют другие абсолютные скорости UС1, UС2.
Рис. 8.4
Отношение изменений скоростей тел после удара к скоростям
тел до удара характеризуется коэффициентом восстановления
при ударе.
Коэффициент восстановления при ударе – величина,
равная модулю отношения разности проекций скоростей
центров масс тел на нормаль после удара к разности
проекций скоростей центров масс тел на нормаль до
удара.
Величину коэффициента k определяют по формуле
k=
UC2On  UC1On
,
VC1On  VC2On
где UC2On, UC1On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел
2 и 1 на главную нормаль после удара; VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел 1 и 2 до удара.
Коэффициент восстановления, являющийся безразмерной величиной, изменяется в пределах от 0 до 1 (0 < k < 1); при абсолютно
неупругом ударе k = 0, при упругом ударе k < 1, при упругом ударе
k = 1.
320
Рассмотрим косой центральный удар двух тел (рис. 8.5).
Рис.8.5
При рассмотрении косого центрального упругого удара поступательно движущихся твёрдых тел поверхности соударяющихся тел
будем считать абсолютно гладкими.
До удара (см. рис. 8.5а) абсолютные скорости VC1, VC2 центров
С1, С2 центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами α1, α2. После удара (см. рис. 8.5,б) абсолютные скорости UC1,
UC2 центров масс тел 1 и 2 направлены к линии центров под углами
β1, β2.
Величину коэффициента k при косом ударе определяют по
формуле
k=
UC2On  UC1On
U  cos(2 )  UC1  cos(1 )
= C2
.
VC1On  VC2On
VC1  cos( 1 )  VC2  cos(  2 )
8.2. Удар шара о неподвижную плоскость
Рассмотрим удар поступательно движущегося шара о неподвижную плоскость (рис. 8.6).
Шар массой m движется поступательно и скорость VC направлена по нормали к неподвижной массивной поверхности в точке А. В
момент времени, когда шар достигает этой поверхности, происходит
321
прямой центральный удар. Различают две фазы этого удара. В течение первой фазы шар деформируется до тех пор, пока скорость
его не станет равной нулю. Во время этой фазы кинетическая энергия шара обращается в потенциальную энергию сил упругости деформируемых тел и частично расходуется на их нагревание. В течение второй фазы под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия шара полностью не восстанавливается. Поэтому шар отделяется от неподвижной поверхности с абсолютной скоростью UС, модуль
которой меньше модуля его скорости VC до удара.
Рис. 8.6
Согласно рис. 8.6, шар падает на неподвижную горизонтальную
плоскость с высоты h1, при этом начальная скорость его центра
масс равна нулю (VC0 = 0). В начале процесса удара скорость его
центра масс равна VC. В конце удара шар со скоростью центра масс
UС отрывается от неподвижной поверхности и поднимается на высоту h2max, где скорость его центра масс равна нулю.
По известным величинам h1, h2max определяют коэффициент
восстановления при ударе по формуле
k=
h2 max
.
h1
322
Эта формула используется при экспериментальном определении коэффициента восстановления.
В случае абсолютно неупругого удара шар от плоскости не отделяется, т е. h2 = 0. Тогда k = 0.
При абсолютно упругом ударе шар отскакивает от неподвижной
плоскости и возвращается в исходное положение, т. е. h2max = h1. В
этом случае k = 1.
При упругом ударе h2max < h1 и, следовательно, 0 < k < 1.
В случае прямого центрального удара тела о неподвижную поверхность модули скоростей связаны соотношением
UС = k·VC.
Рассмотрим косой удар шара о неподвижную горизонтальную
плоскость (рис. 8.7).
Рис. 8.7
Шар ударяется о неподвижную плоскость со скоростью VC, которая направлена к этой плоскости под углом α. После удара шар
отскакивает от неподвижной плоскости со скоростью UС, под углом β
к плоскости. Коэффициент восстановления при ударе определяют
по формуле
k=
tg()
.
tg()
Последняя формула указывает удобный способ экспериментального определения коэффициента восстановления k при упругом
ударе. По этому способу замеряют угол α и угол β отражения.
В случае абсолютно упругого удара угол падения α равен углу
отражения β, откуда k = 1.
323
Задачи на определение коэффициента восстановления при
ударе решают по следующему алгоритму.
1. Направить на рисунке главную нормаль (ось On) вдоль линии
центров, а касательную (ось О – перпендикулярно к ней.
2. Вычислить проекции скоростей VC1On, VC2On центров масс С1,
С2 соударяющихся тел в начале удара на главную нормаль.
3. Вычислить проекции скоростей UC1On, UC2On центров масс С1,
С2 соударяющихся тел в конце удара на главную нормаль.
4. Определить коэффициент восстановления при ударе по
формуле k =
UC2On  UC1On
.
VC1On  VC2On
8.3. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел
Из–за остаточных деформаций и нагревания тел при ударе
происходит частичная потеря кинетической энергии соударяющихся
тел. Определим потерю кинетической энергии при упругом ударе
двух поступательно движущихся тел, имеющих коэффициент восстановления k.
Введём условные обозначения: Т1 – кинетическая энергия механической системы до удара; Т2 – кинетическая энергия механической системы после удара; ΔТ – потеря кинетической энергии механической системы в процессе удара.
Величины Т1, Т2, ΔТ определяют по формулам:
T1 = 0,5·(m1·(VC1)2 + m2·(VC2)2);
T1 = 0,5·(m1·(UC1)2 + m2·(UC2)2);
ΔT = T1 – T2,
где m1, m2 – массы соударяющихся тел; VC1, VC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел до удара; UC1, UC2 – модули абсолютных скоростей центров масс тел после удара.
Потерю кинетической энергии при прямом центральном упругом
ударе определяют по формуле

m1  m2 
 ·(VC1On – VC2On)2,
 2  (m1  m2 
ΔT = (1 – k2)· 
где VC1On, VC2On – проекции абсолютных скоростей центров масс тел
1, 2 на главную нормаль.
При абсолютно неупругом ударе k = 0 и, следовательно,
324

m1  m2 
 ·(VC1On – VC2On)2.
 2  (m1  m2 
ΔT = 
При абсолютно упругом ударе k = 1 и, следовательно, ΔT = 0.
Решение задач на вычисление потери кинетической энергии
при ударе двух тел следует выполнять по приведённым выше формулам.
8.4. Действие ударных сил на твёрдое тело
при его вращении относительно неподвижной оси
Рассмотрим процесс удара при вращении твёрдого тела на
примере плоской пластины под действием активных сил FiE и реакций RiE внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ
(рис. 8.8).
Рис. 8.8
325
Твёрдое тело до удара вращается относительно оси ОХ с угловой скоростью  . В момент удара о неподвижную поверхность (см.
 1 , а после удара
рис. 8.8,а) твёрдое тело имело угловую скорость 
 2 (см. рис. 8.8,в).
его угловая скорость изменилась до значения 
Напомним, что по теории удара силы FiE, RiE являются немгновенными силами, следовательно, их действие на твёрдое тело не
учитывается.
В момент удара на тело действуют ударные силы РiE, ударный
импульс которых обозначим символом S(PiE) (см. рис. 8.8,б). Ударные силы РiE относятся к разряду внешних сил.
Определим изменение угловой скорости тела в момент удара.
Для этого воспользуемся выражением
LOX(2) – LOX(1) = ΣMOX(S(PiE)),
где LOX(1), LOX(2) – кинетические моменты тела относительно оси ОХ
вращения до и после удара; ΣMOX(S(PiE)) – сумма моментов ударных
импульсов относительно оси вращения тела.
Последняя формула выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы при ударе.
Изменение кинетического момента механической системы
относительно оси вращения при ударе равно сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно той же оси.
Кинетический момент твёрдого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой
оси на модуль угловой скорости. Исходя из этого, имеем:
 1 I; LOX(1) = JOX·I  2 I.
LOX(1) = JOX·I 
Тогда теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения при ударе можно представить в следующем виде:
 2 I – JOX·I  1 I = ΣMOX(S(PiE)).
JOX·I 
Отсюда
E
 MOX (S(Pi ))
 2 I – I  1 I =
Δφ = I 
.
JOX
Таким образом, изменение угловой скорости твёрдого тела,
вращающегося относительно неподвижной оси, под действием
внешних ударных сил равно сумме моментов импульсов этих сил
относительно оси вращения, разделённой относительно той же
оси.
326
Итак, действие ударного импульса на тело, вращающегося относительно неподвижной оси, проявляется в скачкообразном изменении его угловой скорости.
Этой теоремой следует пользоваться в задачах на удар по телу, вращающемуся относительно неподвижной оси, когда в число
данных и искомых величин входят: ударные импульсы; момент
инерции тела относительно оси вращения; угловые скорости в
начале и конце удара.
Задачи с помощью теоремы об изменении кинетического момента механической системы при ударе решают по следующему алгоритму.
1. Изобразить на рисунке внешние ударные импульсы.
2. Вычислить сумму моментов ударных импульсов относительно оси вращения.
3. Подставив результат вычислений, полученный в предыдуE
 MOX (S(Pi ))
 2 I – I  1 I =
щем пункте, в уравнение Δφ = I 
, опредеJOX
лить искомую величину.
327
Приложение
СЛОВАРЬ
ТЕРМИНОВ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОНЯТИЙ
Механика – наука о механическом движении и механическом взаимодействии материальных тел.
Теоретическая механика – раздел механики, в котором изучаются законы движения механических систем и общие свойства этих
движений.
Статика – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием сил.
Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются движения материальных тел без учёта их масс и действующих на них сил.
Динамика – раздел механики, в котором изучаются движения механических систем под действием сил.
Масса – одна из основных характеристик любого материального
объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства.
Инертность – свойство материального тела, проявляющееся в
сохранении движения, совершаемого им при отсутствии действующих сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, когда на тело начинают действовать силы.
Материальная точка – точка, имеющая массу.
Абсолютно твёрдое тело – материальное тело, в котором
расстояние между двумя любыми точками остается неизменным.
Механическая система – любая совокупность материальных
точек, движения которых взаимозависимы.
328
Механическое действие – действие на данное тело со стороны
других тел, которое приводит к изменению скоростей точек
этого тела или следствием которого является изменение взаимного положения точек данного тела.
Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.
Свободное твёрдое тело – тело, на перемещения которого не
наложено никаких ограничений.
Система отсчёта – система координат, связанная с телом, по
отношению к которому определяется положение других тел (механических систем) в разные моменты времени.
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического
действия одного тела на другое.
Сила тяжести – сила, действующая на точку вблизи земной поверхности, равная произведению массы m этой точки на ускорение g свободного падения в вакууме.
Вес тела – сумма модулей сил тяжести, действующих на частицы этого тела.
Внешняя сила – сила, действующая на какую-либо точку механической системы со стороны тел, не принадлежащих рассматриваемой механической системе.
Внутренние силы – силы, действующие на какие-либо точки механической системы со стороны других точек, принадлежащих
рассматриваемой механической системе.
Система сил – любая совокупность сил, действующих на механическую систему.
Сосредоточенная сила – сила, приложенная к телу в какой-либо
одной его точке.
Распределённые силы – силы, действующие на все точки некоторой части линии, поверхности или объёма.
329
Связи – материальные тела, накладывающие ограничения на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.
Реакции связей – силы, действующие на точки механической системы со стороны материальных тел, осуществляющих связи,
наложенные на эту систему.
Инерциальная система отсчёта – система отсчета, по отношению к которой изолированная материальная точка находится
в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Естественные координатные оси – прямоугольная система
осей с началом в движущейся точке, направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали к траектории этой точки.
Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть тело
или точку в положение статического равновесия.
Амплитуда свободных колебаний – величина наибольшего отклонения точки от положения статического равновесия.
Период свободных колебаний – отрезок времени, за который
точка проходит положение статического равновесия в одном и
том же направлении.
Период затухающих колебаний – промежуток времени между
двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя.
Амплитуда затухающих колебаний – величина наибольшего
отклонения точки в ту или другую сторону от положения статического равновесия в течение каждого колебания.
Сила инерции – величина, равная произведению массы материальной точки на её ускорение и направленная противоположно
этому ускорению.
330
Переносная сила инерции при рассмотрении движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта – величина,
равная произведению массы точки на её переносное ускорение и
направленная противоположно этому ускорению.
Кориолисова сила инерции при рассмотрении движения точки в
неинерциальной системе отсчёта – величина, равная произведению массы точки на её кориолисово ускорение и направленная
противоположно этому ускорению.
Центр масс механической системы – геометрическая точка,
для которой сумма произведений масс всех материальных точек,
образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
Момент инерции механической системы относительно оси –
величина, равная сумме произведений масс всех материальных
точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси.
Радиус инерции твердого тела относительно оси вращения – величина, произведение квадрата которой на массу тела
равно моменту инерции тела относительно этой оси.
Радиус инерции механической системы относительно оси
вращения – величина, квадрат которой равен отношению момента инерции механической системы относительно данной оси
к массе этой системы.
Количество движения материальной точки – векторная мера
механического движения, равная произведению массы точки на её
скорость.
Элементарный импульс силы – векторная мера действия силы,
равная произведению силы на элементарный промежуток времени
её действия.
Импульс силы за конечный промежуток времени – величина,
равная определенному интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интеграла являются моменты начала и конца
данного промежутка времени.
331
Количество движения механической системы – величина, равная сумме количеств движения всех материальных точек, образующих механическую систему.
Момент количества движения материальной точки относительно центра – величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения.
Момент количества движения точки относительно оси – величина, равная проекции на ось момента количества движения
точки относительно любого выбранного на данной оси центра.
Момент количества движения m·V точки относительно оси –
величина, равная алгебраической сумме моментов компонентов
m·VOX, m·VOY, m·VOZ вектора m·V относительно этой оси.
Центральная сила – сила, линия действия которой постоянно
проходит через некоторую точку, неподвижную в данной системе
отсчета и называемую центром силы.
Кинетический момент или главный момент количеств движения механической системы относительно данного центра
– величина, равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этого центра.
Кинетический момент или главный момент количеств движения механической системы относительно оси – величина,
равная сумме моментов количеств движения всех точек механической системы относительно этой оси.
Элементарная работа силы – скалярная мера действия силы,
равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки её приложения.
Элементарное перемещение точки – перемещение точки из
данного положения в положение, бесконечно близкое к нему.
Работа силы на конечном перемещении точки её приложения
– величина, равная криволинейному интегралу от элементарной
работы силы, действующей на данную материальную точку, взя332
тому вдоль дуги кривой, описанной точкой при этом перемещении.
Мощность силы – величина, равная скалярному произведению
силы на скорость точки её приложения.
Кинетическая энергия материальной точки – скалярная мера
механического движения, равная половине произведения массы
точки на квадрат её скорости движения.
Кинетическая энергия системы – величина, равная сумме кинетических энергий всех материальных точек механической системы.
Аналитическая механика – раздел механики, в котором изучается равновесие или движение механизмов с помощью общих, единых
аналитических методов, применяемых для любых механических
систем.
Обобщённые координаты механической системы – независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение механической системы.
Возможное (виртуальное) перемещение точки – любое допускаемое наложенными связями перемещение материальной точки
из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же
момент времени.
Мгновенный центр вращения – точка неподвижной плоскости,
поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к данному.
Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).
Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат
только координаты точек механической системы.
333
Стационарные связи – связи, в уравнения которых время явно не
входит.
Двусторнние (удерживающие) связи – связи, допускающие возможные перемещения только в двух взаимно противоположных
направлениях.
Односторонние (неудерживающие) связи – связи, при которых
точки механической системы имеют возможные перемещения,
противоположные которым не являются возможными.
Возможное перемещение системы – любая совокупность возможных перемещений точек данной механической системы, допускаемая всеми наложенными на неё связями.
Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая
величина, равная скалярному произведению вектора силы F на
вектор возможного перемещения δS точки её приложения.
Идеальные связи – связи, для которых сумма элементарных работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении механической системы.
Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах.
Обобщённая скорость – производная по времени от обобщённой
координаты.
Обобщённая сила Qqci по обобщенной координате qci – величина, равная отношению возможной элементарной работы δАS акE
тивных сил Fi , приложенных к точкам механической системы, к
приращению δqci обобщенной координаты qci.
Удар – механическое взаимодействие материальных тел, приводящее к конечному изменению скоростей их точек за бесконечно
малый промежуток времени.
Примечание. Этот промежуток времени называют временем удара.
334
Ударная сила – сила, импульс которой за время удара является
конечной величиной.
Ударный импульс – импульс ударной силы за время удара.
Примечание. В технической литературе зачастую ударные силы называют мгновенными силами.
Линия центров – линия, проходящая через центры масс соударяющихся тел.
Центральный удар – удар, при котором линия действия ударного
импульса, приложенного к ударяемому телу, проходит через его
центр масс.
Прямой удар – удар, при котором скорости центров масс соударяющихся тел лежат на линии центров.
Косой удар – удар, при котором хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел не лежит на линии центров.
Абсолютно неупругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел не восстанавливается.
Упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние
тел восстанавливается не полностью.
Абсолютно упругий удар – удар, при котором недеформированное состояние соударяющихся тел восстанавливается полностью.
Коэффициент восстановления при ударе – величина, равная
модулю отношения разности проекций скоростей центров масс
тел на нормаль после удара к разности проекций скоростей центров масс тел на нормаль до удара.
335
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ…….…………………………………………………………………………….3
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»
(раздел «Динамика»)…………………………………………………...………………….6
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ…………………………………………………….………………8
ПРОГРАММА РАЗДЕЛА «ДИНАМИКА»……………………………….….…..............10
1. ДИНАМИКА ТОЧКИ…………………………………............................................14
1.1. Введение в динамику точки………………………………………………….14
1.2. Основные понятия и определения…………………………………………15
1.3. Основные законы механики………………………..………………………..17
1.4. Дифференциальные уравнения движения несвободной
материальной точки в декартовой системе отсчёта……………….…..20
1.5. Дифференциальные уравнения движения несвободной
материальной точки в естественных координатных осях………….....21
1.6. Задачи динамики точки…………………………………............................24
1.7. Алгоритм решения первых задач динамики точки
в декартовой системе отсчёта………………………………….................25
1.8. Пример решения первой задачи динамики точки
в декартовой системе отсчёта………………………………….................26
1.9. Алгоритм решения первых задач динамики точки
в естественных координатных осях…………………………..…………...28
1.10. Пример решения первой задачи динамики точки
в естественных координатных осях…….…..…………………………...30
1.11. Алгоритм решения вторых задач динамики точки
в декартовой системе отсчёта…………..………………………………..33
1.12. Варианты курсового задания Д 1 «Интегрирование
дифференциальных уравнений движения материальной точки,
находящейся под действием постоянных сил»…………….………….36
1.13. Пример выполнения курсового задания Д 1……………………………42
Вопросы и задания для самоконтроля…………………………………47
2. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА……………………………..48
2.1. Виды колебательных движений материальной точки…………..……..48
2.2. Свободные колебания материальной точки……………………………..50
2.3. Дифференциальное уравнение движения точки под действием
постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы
сопротивления движению…………………………………….……………..53
2.4. Затухающие колебания материальной точки……………………………54
2.5. Апериодическое движение точки…………………………………………..57
2.6. Вынужденные колебания материальной точки под действием
постоянной системы сил, восстанавливающей силы
и возмущающей силы………………………………………………………...59
2.7. Влияние сопротивлений движению на вынужденные колебания
материальной точки …………………………….…………………………...65
2.8. Алгоритм решения задач на колебания материальной точки………..68
2.9. Пример решения задачи на свободные колебания груза
по гладкой наклонной поверхности………………………………………..70
Вопросы задания для самоконтроля……………………………………..74
3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ……………………..76
336
3.1. Дифференциальные уравнения относительного движения
материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции….….76
3.2. Частные случаи относительного движения материальной точки…….81
3.3. Принцип относительности классической механики.
Инерциальные системы отсчета…………………………………………...85
3.4. Алгоритм решения задач на динамику относительного
движения материальной точки……………………………………………..86
3.5. Варианты курсового задания Д 2 «Исследование относительного
движения материальной точки» ……………………………………………87
3.6. Пример выполнения курсового задания Д 2……………………………..98
Вопросы и задания для самоконтроля………………………………….104
4. ГЕОМЕТРИЯ МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ………………………...105
4.1. Центр масс механической системы………………………………………105
4.2. Алгоритм определения кинематических характеристик
центра масс механической системы……………………………………..108
4.3. Моменты инерции твёрдого тела. Радиус инерции…………………...109
Вопросы и задания для самоконтроля………………………………….113
5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ……………………………………………….115
5.1. Теорема о движении центра масс механической системы…………..115
Вопросы и задания для самоконтроля………………………………….117
5.2. Теоремы об изменении количества движения материальной
точки и количества движения механической системы………………..118
5.2.1. Теорема об изменении количества движения материальной
точки………………………………………………………………………118
5.2.2. Теорема об изменении количества движения механической
системы………………………………………………………………….121
Вопросы и задания для самоконтроля…………………………….124
5.3. Теоремы об изменении момента количества движения
материальной точки и об изменении кинетического
момента механической системы…………………………………………124
5.3.1. Моменты количества движения материальной точки
относительно центра и оси…………………………………………..124
5.3.2. Теорема об изменении момента количества движения
материальной точки……………………………………………..……127
5.3.3. Кинетический момент механической системы относительно
центра и оси……………………………………………………............130
5.3.4. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы…………………………………………….…132
5.3.5. Варианты курсового задания Д 3 «Применение теоремы
об изменении кинетического момента к определению
угловой скорости твёрдого тела»…………………..........................134
5.3.6. Пример выполнения курсового задания Д 3……….......................145
Вопросы и задания для самоконтроля……………………………..153
5.4. Динамика движений твёрдого тела……………………………………….154
5.4.1. Динамика поступательного движения твёрдого тела…………….154
5.4.2. Динамика вращательного движения твёрдого тела….....……..…156
5.4.3. Динамика плоскопараллельного движения
твёрдого тела…………………………………………………………....158
5.4.4 Динамика сферического движения твёрдого тела….………….….161
337
5.4.5. Динамика общего случая движения твёрдого тела………………164
Вопросы и задания для самоконтроля……………………………...167
5.5. Теорема об изменении кинетической энергии………………………….167
5.5.1. Работа силы на перемещении точки её приложения……….……167
5.5.2. Кинетическая энергия механической системы…………………….173
5.5.3. Варианты курсового задания Д 4 «Применение теоремы
об изменении кинетической энергии к изучению движения
механической системы»……………………………………………....177
5.5.4. Пример выполнения курсового задания Д 4……………………….189
Вопросы и задания для самоконтроля……………………………..197
5.6. Принцип Даламбера для материальной точки
и механической системы………………………………………..................197
5.6.1. Принцип Даламбера для несвободной материальной точки…...197
5.6.2. Принцип Даламбера для несвободной
механической системы………………………………………………..200
5.6.3. Приведение сил инерции точек твёрдого
тела к простейшему виду………………………………………………204
5.6.4. Варианты курсового задания Д 5 «Применение принципа
Даламбера к определению реакций связей»…….…....................209
5.6.5. Пример выполнения курсового задания Д 5……………………….220
Вопросы и задания для самоконтроля……………………............229
6. ОСНОВНЫЕ НАЧАЛА АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ…………………….230
6.1. Обобщённые координаты и возможные
перемещения тел и точек механической системы…………………….230
6.2. Связи и их классификация. Идеальные связи………………………....239
6.3. Принцип возможных перемещений……………………………………...243
6.3.1. Варианты курсового задания Д 6 «Применение принципа
возможных перемещений к решению задач о равновесии
сил, приложенных к механической системе с одной степенью
свободы»………………………… ………………………………………244
6.3.2. Пример выполнения курсового задания Д 6……………………….255
6.3.3. Варианты курсового задания Д 7 «Применение принципа
возможных перемещений к определению реакций опор
составной конструкции»………… …………………………………...260
6.3.4. Пример выполнения курсового задания Д 7……………………….270
Вопросы и задания для самоконтроля……………………………..277
6.4. Общее уравнение динамики……………………………………………….278
6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы………..……278
6.4.2. Варианты курсового задания Д 8 «Применение общего
уравнения динамики к исследованию движения
механической системы с одной степенью свободы»…………..…280
6.4.3. Пример выполнения курсового задания Д 8………………….…….291
Вопросы и задания для самоконтроля…………………………..…..295
6.5. Уравнения Лагранжа второго рода……………………………………….295
7. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИБЛИЖЁННОЙ ТЕОРИИ ГИРОСКОПОВ…..……………..300
7.1. Гироскоп с тремя степенями свободы…………………………………...300
7.2. Гироскопический момент…………………………………………………..309
8. УДАР………………………………………………………………………..……….313
8.1. Удар двух тел………………………………………………………………...313
338
8.2. Удар шара о неподвижную плоскость………………………..................318
8.3. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел………................…321
8.4. Действие ударных сил на твёрдое тело при его
вращении относительно неподвижной оси……………..……………….322
Приложение ……………………………………………………………………….325
Учебное издание
Александр Михайлович Лукин
Владимир Васильевич Квалдыков
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебно-методическое пособие
Главный редактор Т. И. Калинина
Подписано к печати 19.03.10
Формат 60х90 1/16. Бумага писчая
Гарнитура Arial. Оперативный способ печати
Усл. п. л. 21,0, уч.-изд. л. 15,27
Тираж 400 экз. Заказ
Цена договорная
***
Издательство СибАДИ
644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ
339
Скачать