0–0. (8795634021) 0–1. раз)

Игра «Домино». Решения. 18.02.2014
0–0. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором
произведение любых трёх подряд идущих цифр делится на 9.
(8795634021)
0–1. Известно, что 5x2=3y3. Число y увеличили в три раза. Во сколько раз
увеличилось число x, если равенство сохранилось? (в 27  3 3 раз)
0–2. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором
сумма любых трёх подряд идущих цифр делится на 9. (9810. Должна
быть цикличность остатков по модулю 9, т.е. цифры, стоящие через
две, должны быть сравнимы по модулю 9, а у нас всего одна такая
пара (0, 9), значит, в нашем числе не более 12+2=4 цифр. Эти
соображения дадут нам число 9810.)
0–3. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором
сумма любых трёх подряд идущих цифр делится на 8. (98710. Должна
быть цикличность остатков по модулю 8, т.е. цифры, стоящие через
две, должны быть сравнимы по модулю 8, а у нас всего две таких
пары (0, 8) и (1, 9), значит, в нашем числе не более 2∙2+1=5 цифр. Эти
соображения дадут нам число 98710.)
0–4. Найдите все двузначные числа, каждое из которых на 6 меньше суммы
квадратов своих цифр. (46 и 66. Составим уравнение: ab  6  a 2  b 2 .
Оно равносильно уравнению 31  (a  5) 2  (b  1)b , из которого
перебором цифр a и b найдём все возможные варианты равенства.)
0–5. Запишите по возрастанию 16 трёзначных чисел, в записи которых
могут быть только 1, 2, 3 и 4, так, чтобы остатки этих чисел при делении
на 16 шли последовательно от 0 до 15. (например, 112 (0), 113 (1), 114
(2), 211 (3), 212 (4), 213 (5), 214 (6), 311 (7), 312 (8), 313 (9), 314 (10), 411
(11), 412 (12), 413 (13), 414 (14), 431 (15))
0–6. В клетках квадрата 33 расставьте 9 цифр (необязательно 4 4 1
различных) так, что окажутся точными квадратами все 7 4 0 0
трёхзначных чисел, получаемых в строках (при прочтении слева 1 0 0
направо), в столбцах (сверху вниз) и главной диагонали (слева
сверху – вправо вниз). (пример в таблице справа)
1–1. Решите неравенство: x²>|x|. ((-;-1)(1;+))
1–2. Сколько существует трёхзначных чисел, в которых все цифры –
чётные? (100=4∙5∙5 – первая цифра выбирается четырьмя способами
(2, 4, 6, 8), вторая и третья – пятью (0, 2, 4, 6, 8))
1–3. Сколько существует треугольников с вершинами в семи точках,
никакие три из которых не лежат на одной прямой?
( C73 
7!
 35 треугольников)
3!4!
1–4. Окружность, проходящая через вершины B, C и D
трапеции ABCD c А= пересекает боковую сторону
АВ в точке М, отличной от В. На стороне CD взята точка К так, что
ВК||DM. Найдите BKD. (180-. Заметим, что MDK=MDC=180MBC [как противоположный угол вписанного четырёхугольника
MDCB] =BAD= [BAD и ABC=MBC прилежат к одной боковой
стороне трапеции], значит, BKD=180-MDK [как прилежащие к
боковой стороне трапеции BKDM] =180-.)
1–5. На сколько нулей оканчивается десятичная запись числа
100!=123…100? (на 24 нуля, т.к.
разложение на простые
множители числа 100! содержит 2 в 97-й степени (см. следующую
задачу),
а
5
–
в
меньшей
степени
–
24-й,
т.к.
100  100  100  100 
 5    5 2    53    5 4   ...  20  4  0  24 )
1–6. Найдите наибольшую
100!=123…100.
степень
двойки,
на
которую
делится
100  100  100  100  100  100  100 
 2  3  4  5  6  7  ...  50  25  12  6  3  1  0 )
 2   2   2   2   2   2   2 
( 97  
2–2. Найдите целую часть числа ( 2  3  4  5 ). (3)
2–3. В треугольнике АВС (АВ=1, ВС=3)
медиана АМ пересекает биссектрису
ВЕ в точке Р. Найдите отношение
АР:РМ? (2:3. Если рассмотреть
систему материальных точек 3А,
1В, 1С, то точка Р окажется её
барицентром, т.к. ВМ:СМ=1:1, а АЕ:ЕС=АВ:ВС=1:3. Тогда из
теоремы о группировки масс и правила рычага следует, что
АР:РМ=2:3.)
2–4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого
равна 2, а разность катетов равна 2 . (1/2. Пусть меньший катет равен
2
2
a, тогда по теореме Пифагора a  (a  2 )  4 . Решив это уравнение,
найдём, что катеты равны
6 2
, отсюда
2
найдём площадь.)
2–5. Какое наибольшее количество коней
можно разместить на шахматной доске так, чтобы
каждый конь бил ровно одного коня? Приведите ответ
и пример. (32 коня. Разобьём всю доску на 4
квадрата 44, каждый из которых разобьём на 4
цикла из 4 клеток (см. рис.). В каждом из этих 16 циклов не более
двух коней, иначе найдётся конь, бьющий не менее двух других
коней, значит, всего не более 216=32 коней, пример расстановки
которых на рис.)
1001 1001  1000
1001  1000  ...  2  1

 ... 
2–6. Найдите сумму 1001 дроби:
.
2001
2001  2000
2001  2000  ...  1002  1001
(1. Введём последовательность S1 = /1001; Sk = k/k+1000 + k/k+1000 Sk–1.
Искомая сумма равна S1001. С другой стороны нетрудно убедиться
(доказывая по индукции), что Sk = k/1001.)
3–3. Какое наименьшее значение может принимать разность шестизначных
чисел ТУРНИР  ДОМИНО ? (Одинаковые буквы – одинаковые цифры,
разные буквы – разные цифры) (–885276=102362–987638)
3–4. Какое наибольшее количество слонов можно разместить
на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более
двух других слонов? Приведите ответ и пример. (28
слонов. Рассмотрим слонов на одном цвете, например,
белом (на чёрном цвете наибольшее количество слонов
будет такое же). Каждый белопольный слон бьёт в 4
направлениях на граничные узлы, из которых максимум два
направления могут быть перекрыты другими белопольными
слонами, значит, слон бьёт хотя бы 2 своих узла из 30 граничных (2
угловых узла принадлежат только чёрных клеткам – a1 и h8). Тогда
на белом цвете стоят не более [30:2]=15 слонов, но при этом ровно 15
слонов быть не может, т.к. левый нижний и правый верхний узлы
клетки a8 могут быть побиты только слоном из этой клетки, но
тогда он бьёт уже 3 граничных узла, а других слонов на белом цвете
не более [27:2]=13. Значит, на каждом цвете стоит не более 14 слонов,
а на всей доске – не более 214=28 слонов, пример расположения
которых на рис.)
3–5. Чему равно отношение гипотенузы к меньшему катету в
прямоугольном
треугольнике,
стороны
которого
образуют
5 1
геометрическую прогрессию? (
2 . Пусть стороны треугольника
упорядочены как a<b<c, тогда по теореме Пифагора a²+b²=c², а из
условия геометрической прогрессии следует, что ac=b². Решаем
получившуюся систему, сведя её к квадратному уравнению
1
относительно нужного нам отношения:
2
c
с
    1  0 .)
a
a
3–6. Найдите наибольшее натуральное число, в котором для любого
натурального n, не превышающего количества цифр, сумма первых n
цифр будет делиться на n. (такого числа не существует, т. к. любое
число из одних девяток обладает данным свойством)
4–4. У кубического многочлена три корня расположены симметрично
относительно 1, а их произведение равно (1). Найдите наибольший
корень. ( 2  1. В силу симметрии эти корни равны 1, 1, 1+ (где
0), тогда (1)1(1+)= 1, откуда   2 .)
4–5. Найдите радиус окружности, описанной около равнобочной трапеции
с основаниями 2 и 14, с боковой стороной 10. ( 5 2 . Окружность,
описанная
около
равнобочной
трапеции,
является и окружностью, описанной около
любого
треугольника,
вершины
которого
совпадают с вершинами трапеции. Радиус
окружности, описанной около треугольника со
сторонами a, b, c и площадью S, найдём по
формуле R 
abc 10 14  8 2

 5 2 .)
4S
4  56
4–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных
цифр, в котором произведение любых трёх подряд
идущих цифр делится на 8. (9876452031)
5–5. Поставьте на шахматной доске не менее 40 коней так,
чтобы каждый бил не более двух других коней.
(например, 40 коней, см. рис.)
5–6. Найдите все простые p, для которых число 10р²25р+1 является
квадратом целого числа. (3, 19 и 31. Заметим, что p=2 не подходит.
Значит, p – нечетное, а выражение – квадрат четного
числа10р²25р+1=4m². Тогда 5p(2p-5)=(2m-1)(2m+1). Пусть 2m-1=pk,
где k-нечётное, тогда
5(2p-5)=k(pk+2). Если k≥5, то
pk+2≥5p+2>2p-5, т.е. k(pk+2)>5(2p-5). При k=1 имеем p=3, при k=3
имеем p=31. Пусть 2m+1=pk, где k-нечётное, тогда 5(2p-5)=k(pk-2).
Если k≥5, то pk-2≥5p-2>2p-5, т.е. k(pk-2)>5(2p-5). k=1 не подходит,
k=3 дает p=19.)
6–6. Действительные числа a, b, c таковы, что b < 0 и ab=9c. При каких a
многочлен f(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных вещественных корня?
(При всех действительных a. Пусть a > 0. Тогда f(0) = ab < 0. Но
9
a
ab
 a
f   =

> 0. Значит, многочлен имеет корни
8 18
 2
a

 a 
  ,   ,   , 0  и (0, +). Случай a < 0 разбирается
2

 2 
3
Случай a = 0 очевиден.)
на участках
аналогично.