(выборка В 1 ).

1. Обработка одноуровневого технологического эксперимента (выборка В1).
342
330
337
283
332
317
308
280
302
265
1.1 Построить эмпирический закон распределения для данной выборки.
321 324 325 365 347 287 317 313 318 при 50  m  200
330 277 310 331 313 298 325 296 327 устанавливаем число k :
318 329 345 324 344 277 359 355 299 k  3.332  lg m  1  3.332  lg 90  1  7
величина интервала:
289 328 356 319 307 327 337 346 290
322 366 282 344 314 321 310 304 301 y  ymax  ymin  382  277  15
k
7
316 339 363 323 329 349 382 294 320
313 300 335 311 359 318 296 320 319
317 314 376 321 292 291 333 300 319
322 346 323 315 323 329 333 328 304
325 320 349 353 301 302 277 292 300
граница
классов
277-292
292-307
307-322
322-337
337-352
352-367
367-382

y i*
mi
yi
mi yi
yi2
mi yi2
284.5
299.5
314.5
329.5
344.5
359.5
374.5
—
10
14
26
21
9
8
2
90
-2
-1
0
1
2
3
4
—
-20
-14
0
21
18
24
8
37
4
1
0
1
4
9
16
—
40
14
0
21
36
72
32
215
среднеквадратическое
отклонение:
 
S y  S y 2 
 1567.61  39.59
Эмпирический закон распределения выборки В1
Гистограмма:
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
277
292
307
322
337
352
367
1.2 Определить точечные оценки (среднее, дисперсия).
Среднее значение:
382
1 m
 yi  (321  324  325  365  347  287  317  313  318)  (330  277  310  331  313 
m i1
 298  325  296  327)  (318  329  345  324  344  277  359  355  299)  (289  328  356 
 319  307  327  337  346  290)  (322  366  282  344  314  321  310  304  301)  (316 
 339  363  323  329  349  382  294  320)  (313  300  335  311  359  318  296  320 
 319)  (317  314  376  321  292  291  333  300  319)  (322  346  323  315  323  329 
 333  328  304)  (325  320  349  353  301  302  277  292  300)/100  (2917  2807 
 2950  2899  2864  3015  2871  2863  2923  2819) / 100  28928 / 100  289.28
y
Дисперсия:
S 2 y 
1 m
 yi  y 2  1  (321  289.28) 2  (324  289.28) 2  (325  289.28) 2  (365  289.28) 2 

m i1
90
 (347  289.28) 2  (287  289.28) 2  (317  289.28) 2  (313  289.28) 2  (318  289.28) 2  (330 
 289.28) 2  (277  289.28) 2  (310  289.28) 2  (331  289.28) 2  (313  289.28) 2  (298  289.28) 2 
 (325  289.28) 2  (296  289.28) 2  (327  289.28) 2  (318  289.28) 2  (329  289.28) 2  (345 
 289.28) 2  (324  289.28) 2  (344  289.28) 2  (277  289.28) 2  (359  289.28) 2  (355  289.28) 2 
 (299  289.28) 2  (289  289.28) 2  (328  289.28) 2  (356  289.28) 2  (319  289.28) 2  (307 
 289.28) 2  (327  289.28) 2  (337  289.28) 2  (346  289.28) 2  (290  289.28) 2  (322  289.28) 2 
 (366  289.28) 2  (282  289.28) 2  (344  289.28) 2  (314  289.28) 2  (321  289.28) 2  (310 
 289.28) 2  (304  289.28) 2  (301  289.28) 2  (316  289.28) 2  (339  289.28) 2  (363  289.28) 2 
 (323  289.28) 2  (329  289.28) 2  (349  289.28) 2  (382  289.28) 2  (294  289.28) 2  (320 
 289.28) 2  (313  289.28) 2  (300  289.28) 2  (335  289.28) 2  (311  289.28) 2  (359  289.28) 2 
 (318  289.28) 2  (296  289.28) 2  (320  289.28) 2  (319  289.28) 2  (317  289.28) 2  (314 
 289.28) 2  (376  289.28) 2  (321  289.28) 2  (292  289.28) 2  (291  289.28) 2  (333  289.28) 2 
 (300  289.28) 2  (319  289.28) 2  (322  289.28) 2  (346  289.28) 2  (323  289.28) 2  (315 
 289.28) 2  (323  289.28) 2  (329  289.28) 2  (333  289.28) 2  (328  289.28) 2  (304  289.28) 2 
 (325  289.28) 2  (320  289.28) 2  (349  289.28) 2  (353  289.28) 2  (301  289.28) 2  (302 
1
 (1006.1584  1205.4784 
90
 1275.9184  5733.5184  3331.5984  5.1984  768.3984  562.6384  824.8384)  (1658.1184 
 150.7984  429.3184  1740.5584  562.6384  76.0384  1275.9184  45.1584  1422.7984) 
 (824.8384  1577.6784  3104.7184  1205.4784  2994.2784  150.7984  4860.8784  4319.1184 
 289.28) 2  (277  289.28) 2  (292  289.28) 2  (300  289.28) 2 
 94.4784)  (0.0784  1499.2384  4451.5584  883.2784  313.9984  1422.7984  2277.1984 
 3217.1584  0.5184)  (1070.5984  5885.9584  52.9984  2994.2784  611.0784  1006.1584 
 429.3184  216.6784  137.3584)  (713.9584  2472.0784  2472.0784  5434.6384  1137.038 
1577.6784  3566.4784  8596.9984  22.2784)  (943.7184  562.6384  114.9184  2090.3184 
471.7584  4860.8784  824.8384  45.1584  943.7184)  (883.2784  768.3984  611.0784 
 7520.3584  1006.1584  7.3984  2.9584  1911.4384  114.9184)  (883.2784  1070.5984 
 3217.1584  1137.0384  661.5184  1137.0384  1577.6784  1911.4384  1499.2384)  (216.6784 
 1275.918  943.7184  3566.4784  4060.2384  137.3584  161.7984  150.7984  7.3984 
 114.9184) 
141085.0536
 1567.61
90
1.3 Определить относительные ошибки и доверительные интервалы для
генерального среднего и генеральной дисперсии.
Абсолютная доверительная ошибка среднего:
 y  upd  S y
при pd  0.95 , upd   2   y  S y
1
m
2
2
 39.59 
 8.346
m
90
Относительная доверительная ошибка среднего:
 y 
 y
y
100 
8.346
100  2.885
289.28
Границы доверительного интервала среднего значения:
н  y  upd  S y
1
 289.28  2  39.59 
m
1
в  y  upd  S y
 289.28  2  39.59 
m
н  280.934    297.626  в
1
 280.934
90
1
 297.626
90
Абсолютная доверительная ошибка дисперсии:
 S 2   upd  S 2 y
 S 2   upd 
1
1
 2  39.592 
 233.649
2m
2  90
100
100
 2
 14.907% – относительная доверительная ошибка
2m
2  90
дисперсии
Граница доверительного интервала дисперсии:
 н  S y upd  S y
1
1
  y  S 2 y upd  S y
 в
2m
2m
1
1
 н  39.59  2  39.59 
  y  39.59  2  39.59 
 в
2  90
2  90
 н  33.688   y  45.492   в
1.4 Спланировать объём выборки, если при определении среднего относительная
ошибка не должна превышать 1%.
Для планирования объёма выборки из В1 выбираем 3 значения: 314, 322, 321.
Выборка В*.
Числовые характеристики В*:
y
1 m
 yi  314  322  321 / 3  319 – среднее значение
m i 1
Дисперсия:
S 2 y 
 25  9  4 / 2  19


1 m
 yi  y 2  314  3192  322  3192  321  3192 / 2 

m  1 i1
Среднее квадратичное отклонение:
S y  S 2 y  19  4.359
Квадратичная неровнота:
Cy 
S y
4.359
 100 
 100  1.366
y
319
Абсолютная доверительная ошибка:
 y  tT pd , f  S y
2
1
1
 4.303  4.359 
 10.829
m
3
где f  m  1  2 ; pd  0.95 ; tT pd , f   4.303
Относительная доверительная ошибка:
2
 y  tT pd , f  Cy
1
1
 4.303 1.366 
 3.395
m
3
Доверительный объём измерений:   1%
2
 upd  Cy  2 1.366 
 
my  
  7.464  7
 y   1 

Реализуем выборку объёма m1  2 . Для этого выбираем 2 значения: 324, 325,
2
2
319, 315, 311, 317, 313.
Выборка В**.
Числовые характеристики В**:
y
1 m
 yi  324  325  319  315  311  317  313 / 7  317.714 – среднее значение
m i1
Дисперсия:
 324  317.714 2  325  317.714 2  319  317.714 2  


1
2
2
2
2

/6 








S 2 y 
y

y


315

317
.
714


311

317
.
714

317

317
.
714

 i


m  1 i1
  313  317.714 2



 39.514  53.086  1.654  7.366  45.078  0.51  22.222  / 6  28.238
m
Среднее квадратичное отклонение:
S y  S 2 y  28.238  5.314
Квадратичная неровнота:
Cy 
S y
5.314
100 
100  1.673
y
317.714
Абсолютная доверительная ошибка:
 y  tT pd , f  S y
1
1
 12.706  5.314 
 25.52
m
7
где f  m  1  6 ; pd  0.95 ; tT2 pd , f   12.706
2
Относительная доверительная ошибка:
 y  tT pd , f  Cy
1
1
 12.706 1.673 
 8.034
m
7
2
1.5 Проверить гипотезу о пропорциональности технологического параметра для
заданной выборки.
Проверка гипотезы осуществляется по критерию х2:
 mi  m pi
x  
 mp
i 1 
i
k
2




2
где m – объём выборки; mi – частота попадания в i – классе; k – число классов;
pi – вероятность попадания в i – интервал.
pi  p y1i  y  y2i   F  y2i  y1i 
xT2  p, f  k  l  1  xT2 0.95;4
где l  2,  ; f  7  2  1  4 – число степени свободы
Рассмотрим гипотезу H0 : fˆГ  y   f ГТ  y  , при конкурирующей H1 : fˆГ  y   f ГТ  y 
Введём новое значение z 
yi  y

, где   39.59 ; y  289.28
i
интервал
y ср
z1
z2
Фz1 
Фz2 
pi
mpi
mi  mpi
mi  mpi
mpi
1
277-292
284.5
0.31
0.07
0.1217
0.0279
0.0938
8.442
1.558
0.184
2
292-307
299.5
0.07
0.45
0.0279
0.1736
0.1457
13.113
0.887
0.068
3
307-322
314.5
0.45
0.83
0.1736
0.2967
0.1231
11.079
14.921
1.347
4
322-337
329.5
0.83
1.205
0.2967
0.3944
0.0977
8.793
12.207
1.388
5
337-352
344.5
1.205
1.58
0.3944
0.4429
0.0485
4.365
4.635
1.062
6
352-367
359.5
1.58
1.96
0.4429
0.4750
0.0321
2.889
5.111
1.769
7
367-382
374.5
1.96
2.34
0.4750
0.4903
0.0153
1.377
0.623
0.452
6.27
xT2 0.95;4  9.488


2
2
2
k m m 
гипотеза
  xR  39.313  xТ  9.488 
i
pi
2
  39.313
xR  
 mp 
i 1 

i

технологического процесса H 0 : f Г  y   f ГТ  y  не принимается.
о
нормальности
1.6 Проверить наличие резко выделяющихся значений в выборке (метод 3 ).
ymin  277
ymax  382
y  289.28
Sy  289.28  3  867.84  3
289.28  867.84  y  289.28  867.84
 578.56  y  1157.12
ymin и ymax находятся в пределах интервала (  578.56 ; 1157.12 ), следовательно резко
выделяющихся значений в выборке нет.
2. Обработка сравнительного технологического эксперимента.
Подготовка данных: сформировать из исходного массива В1 методом
рандомизации две выборки малого объёма m  30 В2 и В3 для дальнейших
исследований.
2.1 Определить числовые характеристики выборок В2 и В3.
Числовые характеристики выборки В2.
m В2 В3
1 347 287 Среднее значение:
2 313 298 y  1 m y  1   347  313  344  307  314  329  359  292  323  / 9 
 i 10  1   301

m  1 i1
3 344 277


4 307 327  3229 / 9  358.778
5 314 321 Дисперсия:
6 329 349
 347  358.7782  313  358.7782  


7 359 318
  344  358.7782  307  358.7782  

8 292 291
1 m
1 
2
2
2

S 2 y 
yi  y  
   314  358.778  329  358.778   / 9 

9 323 329
m  1 i1
10  1 

2
2





359

358
.
778

292

358
.
778



10 301 302


2
2
  323  358.778  301  358.778 
138.721  2095.625  218.39  2680.961  2005.07  886.729  0.049  
 / 9  15823.1 / 9  1758.127
 
  4459.301  3338.297

Среднее квадратичное отклонение:
 
S y  S y 2  1758.127  41.93
Коэффициент вариации:
V y 
Квадратичная неровнота:
Cy 
S y
41.93

 0.117
y
358.778
S y
41.93
 100 
 100  11.687%
y
358.778
Абсолютная доверительная ошибка среднего значения:
 y  tT pd , f  S y
1
1
 2.262  41.93 
 29.993
m
10
где f  m  1  9 ; pd  0.95 ; tT2 pd , f   2.262
2
Относительная доверительная ошибка среднего значения:
 y  tT pd , f  Cy
2
1
1
 2.262 11.687 
 8.36
m
10
Числовые характеристики выборки В3.
Среднее значение:
1 m
1
yi 
 287  298  277  327  321  349  318  291  329  302 / 9  3099 / 9 

m  1 i1
10  1
 344.333
y
Дисперсия:
 287  344.3332  298  344.3332  277  344.3332  


2
2
2
m

 327  344.333  321  344.333  349  344.333  
1
1
2



/9 
S 2 y 
y

y


 i
m  1 i1
10  1   318  344.3332  291  344.3332  329  344.3332  


2
  302  344.333

 3287.111  2146.778  4533.778  300.444  544.444  21.778  
 / 9  16399.399 / 9  1822.155
 
  693.444  2844.409  235.111  1792.111

Среднее квадратичное отклонение:
 
S y  S y 2  1822.155  42.687
Коэффициент вариации:
V y 
Квадратичная неровнота:
Cy 
S y 42.687

 0.124
y
344.333
S y
42.687
100 
100  12.397%
y
344.333
Абсолютная доверительная ошибка среднего значения:
 y  tT pd , f  S y
1
1
 2.262  42.687 
 30.534
m
10
где f  m  1  9 ; pd  0.95 ; tT2 pd , f   2.262
2
Относительная доверительная ошибка среднего значения:
 y  tT pd , f  Cy
2
1
1
 2.262 12.397 
 8.868
m
10
2.2 Определить доверительные интервалы для генерального среднего и
генеральной дисперсии.
Доверительный интервал для среднего значения выборки В2:
н  y  tT pd ; f  S y
1
1







y

t
pd
;
f

S
y

 в
T
2
2
m
m
1
1
н  358.778  2.262  41.93 
   358.778  2.262  41.93 
 в
10
10
н  328.785    388.771  в
Доверительный интервал для дисперсии:
 12  S 2 y   2 y   22  S 2 y
m 1
9
m 1
9
 2
 0.47 ;  22 
 2
 3.33
  x 0.025;9
 x 0.025;9
2
2 
x 1  ; f 
x  ;f
 2 
2 
где   0.05 ; f  m  1  9
 12 
0.47 1758.127   2 y  3.33 1758.127
826.32  1758.127  5854.563
Доверительный интервал для среднего значения выборки В3:
н  y  tT pd ; f  S y
1
1
   y  tT2 pd ; f  S y
 в
m
m
1
1
н  344.333  2.262  42.687 
   344.333  2.262  42.687 
 в
10
10
н  313.799    374.867  в
2
Доверительный интервал для дисперсии:
 12  S 2 y   2 y   22  S 2 y
m 1
9
m 1
9
 2
 0.47 ;  22 
 2
 3.33
  x 0.025;9
 x 0.025;9
2
2 
x 1  ; f 
x  ;f
 2 
2 
где   0.05 ; f  m  1  9
 12 
0.47 1822.155   2 y  3.33 1822.155
856.413  1822.155  6067.776
2.3 Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних выборок В2 и В3:
H 0 : y1Г  y2 Г ; M y1  M y2 .
Сравниваем две дисперсии нормальных генеральных совокупностей с числом
степеней свободы:
S12 y  1758.127 ; f1  9
S22 y  1822.155 ; f 2  9
Оцениваем возможность принятия гипотезы H 0 :  12   22 .
При альтернативной гипотезе H1 :  12   22 и доверительной вероятности pd  0.95
находим:
FT 0.95;9;9  3.18
S 2 y 1758.127
FR  12

 0.965
S 2 y 1822.155
т.к. FR  0.965  FT  3.18 , то выдвинутую гипотезу об однородности дисперсии или
равной точности двух рядов измерений y1 и y2 надо принять.
Сравниваем две средние из нормальных распределений генеральных
совокупностей.
Если  12   22 доказана, то используется критерий t :
tR 
S 2 y 
y1  y2
y  y2
m1  m2
,
 1

S y1  y2 
S 2 y m1  m2
m1  1 S12 y m2  1 S22 y  9  11758.127  9  11822.155 
где
m1  m2  2
992
14065.016  14577.24 28642.256

 1790.141
16
16
y1  358.778 ; S12 y  1758.127 ; m1  10
y2  344.333 ; S22 y  1822.155 ; m2  10
Проверим гипотезу о равенстве средних:
H 0 : M y1  M y2  при конкурирующей гипотезе
H1 : M y1  M y2 
Затем находим расчётное значение критерия Стьюдента:
358.778  344.333
10 10 14.445

 2.236  0.763
10  10
42.31
1790.141
и его табельное значение tT2   0.05, f  10  10  2  18  1.734
tR 

Т.к. tR  tT , то генеральные средние y1Г и y2 Г статически не различаются.
Гипотеза H 0 : M y1  M y2  принимается.
2