Метод. ук. по ТФ КП

17. Разложение функций в ряд Тейлора.
Если в точке а функция f(z) аналитична, то в некотором круге с центром в
этой точке она разлагается в ряд Тейлора:
f(z) = c0 +c1 (z-a) + c2 (z-a)2 + cn (z-a)n +…. , где
cn =
f n  a 
(n = 0, 1, 2, …)
n!
В к а ж д о й и з з а д а ч 17.1 – 17.10 требуется разложить указанную
функцию в ряд Тейлора по степеням z-a, где а – заданное число. Определить
круг сходимости каждого из рядов.
17.1.
1
, a=i.
z 1
17.2.
17.3.
1
, a=0.
z 4
17.4.
2
z
, a=1.
z2
17.6. sin z cos z, a = 0 17.7. ez, a =- 1
17.5. cos (3z-i), a=0.
17.8. cos2 z, a=0
2
, a=i.
z 1
17.9. cos z, a =

4
17.10. ez+3, a =- 1
В задачах 17.11 – 17.17 разложить указанные функции в ряд Тейлора по
степеням z, используя
а) готовые известные разложения;
z
z2
zn
+
+ …+
+ ··, | z | < ∞
1!
2!
n!
z z z3
z5
z 2 n 1
sin z = +
- ·· + (-1)n-1
+ ···, | z | < ∞
1! 1 3!
5!
2n  1!
ez = 1 +
cos z = 1 -
z4
z2
z 2n
+
- (-1)n
+ ···, | z | < ∞
2!
4!
2n !
1
= 1 + z + z2 + ·· zn + ·· , | z | < 1
1 z
z
z2
zn
ln(1-z) = - - ·· - ·· , | z | < 1
1
2
n
б) почленное дифференцирование и интегрирование рядов;
в) метод неопределенных коэффициентов.
17.11.ln (1+z) 17.12.
2
(1  z ) 2
17.15.(z+1)ln(z+1) –z 17.16.
17.13.
ln 1  z 
z
z2
1  z 
3 2
17.14.
17.17.
1
1  z 
2 2
sin z
z
В з а д а ч а х 17.18 –17.17.20 методом неопределенных коэффициентов
требуется найти три первых отличных от нуля членов разложения указанных
функций в ряд Тейлора по степеням z , а также круг сходимости каждого
ряда.
17.18.
z
cos z
17.19.
z
ln 1  z 
18. Ряд Лорана.
Функциональный ряд вида
17.20.
z
ln 1  z 
с0 +
cn
c2
с 1
+
+ ··+
+ ··
2
za
z  a 
z  a n
называется рядом Лорана. Областью сходимости такого ряда является
внешность круга с центром в точке а и радиусом R, где R находится по
формулам
R = lim
сn1
cn
или R = lim n cn
Суммой данного ряда является функция, аналитическая в области ее
сходимости
Обобщение степенного ряда является ряд вида:
n 
 c z  a 
n  
n
n
,
(*)
который понимается как сумма двух рядов

 c z  a 
n 0
n
n

 c z  a 
и
n
n
n 1
Первый из этих рядов называют п р а в и л ь н о й ч а с т ь ю
р я д а , второй – г л а в н о й ч а с т ь ю.
Ряд (*) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся оба эти
ряда. Областью сходимости правильной части ряда (*) является некоторый
круг | z - a | < R, а главной части – внешность некоторого круга | z - a| > r.
Будем предполагать, что r < R. В таком случае область сходимости ряда(*)
представляет собой кольцо r < | z - a | < R. Сумма ряда является
аналитической в кольце сходимости, причем граничные окружности кольца
проходят через особые точки функции.
В з а д а ч а х 18.1 – 18.5 и 18.11-18.15 требуется найти области
сходимости следующих рядов

18.1.
2
n


zn
18.2.

 ( z  i) n
2
18.3.
2
18.4.

n
z n 18.5.

( z  1) n

n  1

n2
z
n
n
 ( n!  z

2
n
)
В з а д а ч а х 18.6 – 18.10 и требуется найти области сходимости
следующих рядов и если возможно определить их суммы:


zn
+
n 1
n 0 2
2n
n
n 0 z
18.7. 
18.6. 

18.9. 

18.11.
3
n
z  2n
5 n2
n  1

zn
18.12.

 ( z  2i)
n

 1 2 n
1  zn
18.10.  n1 +  n
z
3 3
n 0

n
18.13.
n  1

18.16.
3
 z  i 
n 0

n
18.17.
n
z

n 1
n 0 2
n 0
2
n
2
( z  1) n

18.14.  5 n z n
n
2 n1  i n1
zn
n 0

18.8. 



i n1

n
n 1 z

i n1

n
n 1 z


z n n2
 n)
z
 n!
n 1

2  i n1
18.18. 
zn
n 0
18.15.
(

18.19.

z  2n
n  1
 1n 2 n - 1  z n
 z n1

3 3n

18.20.
3n2
n 0
n 0
19. Разложение функций в ряд Лорана.
В з а д а ч а х 19.1 – 19.4 требуется разложить данные функции в ряд Лорана
в указанных кольцах.
19.1.
z
,1< z <3
( z  i )( z  3)
1
19.2.
19.3. z 3 e z , 0 < z < ∞ 19.4.
19.5.
1
,0< z <1
z (1  z )
3
,1< z <2
z  z2
2
1
, -1 < z < 0
z (1  z )
В з а д а ч а х 19.6 – 19.11 и 19.17 – 19.20 требуется найти все возможные
разложения в ряд Лорана по степеням z-a следующих функций.
1
1
1
,а = 1. 19.7. 2
. а = 0 19.8. 2
,а=0
z z
z  4z  3
z  4z  3
1
1
z3
19.9. 2
,
а
=
0
19.10.
, а = -1 19.11.
,а=
2
z  i z  2z  3
z 1 z  4
z  1z  2
19.6.
2



0
z
1
19.12.
,1 < z < 3 19.13.
,0 < z < 2
( z  i )( z  3)
z (2  z )
1
3
,1 < z < 2
z  z2
1
1
1
19.16.
, 0 < z < 1 19.17. 2
.а = 0 19.18. 2 .а = 0
z  4z  3
z 1
z (1  z )
19.14. z 2 e z , 0 < z < ∞
19.19.
1
,а=0
2
z 1 z2  2



19.15.
2
19.20.
z2
, а = - 1.
z  1z  2
20. Требуется вычислить вычеты указанных функций относительно каждой
из них особых точек.
Пусть а – изолированная особая точка однозначной аналитической
функции f(z) и С – окружность |z-a|=r такая, что в замкнутом круге
| z – a | ≤r нет других особых точек функции f(z), кроме а. Интеграл от
функции f(z) по такой окружности С, деленной на 2πi называется в ы ч е т о
м ф у н к ц и и в точке а и обозначается Re sf z  .
z a
Таким образом, по определению
Re sf z  =
z a
1
f z dz
2i C
Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно.
Практически вычисление основывается на том факте, что вычет функции f(z)
в изолированной особой точке а равен коэффициенту при (z-a)-1 в
лорановском разложении функции в окрестности точки а:
Re sf z  = с-1
z a
Если точка а – полюс, то для определения вычета иногда можно и не
находить разложения в ряд Лорана. Если а является для f(z) простым
полюсом, то можно пользоваться формулой
Re sf z  = lim (z-a)f(z)
z a
z a
Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если f(z)
имеет вид: f(z) =
 z 
, где φ(a) ≠ 0, ψ(a) = 0 ψ'(a) ≠ 0. Тогда
 z 
 а 
Re sf z  = /
 а 
z a
В случае когда а – полюс кратности k,


d k 1 f  z  z  a 
1
lim
Re sf z  =
k  1! z a
dz k 1
z a
sin Z
1
Z 2  Z 1
20.1. f(Z) =
20.2. f(Z) =
20.3. f(Z) = Z 2 cos
2
3
Z 2
( Z  1)
Z Z
cos Z
sin Z
20.4. f(Z) = tg Z 20.5 f(Z) =
20.6 f(Z) =
2
( Z  1)
(x   )2
Z
cos Z
sin Z
20.7 f(Z) =
20.8. f(Z) = z
20.9. f(Z) =
1
1
e 1
(Z  ) 2
(Z  ) 2
2
2
Z2
Z 2
20.10 f(Z) = z
20.11 f(Z) =
Z ( Z  1)( Z  2)
e 1
20.12. f(Z) =
Z 2 1
( Z  2)( Z 2  4)
20.13. f(Z) =
k
sin 2 Z
( Z  1) 2
20.14. f(Z)=
Z2
( Z  1) 2
1
3
20.15. f(Z) = cos
Z 1
2
20.16. f(Z) = sin
Z 1
20.18. f(Z) =
Ze Z
20.17. f(Z) =
1 Z
Z
e 1
Z
Вычислить вычеты относительно бесконечно удаленных точек.
20.19. f(Z) =
3Z 6  5
Z 7 1
20.20. f(Z) = ZcosZ 20.21. f(Z) =
20.22. f(Z) = sin
1
Z
sin Z
Z