1. Понятие функции - Кафедра естественнонаучных дисциплин

МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ
ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ТУРИЗМА
МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации
к практическим и семинарским занятиям
МОСКВА – 2011
МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ
ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ТУРИЗМА
МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации
к практическим и семинарским занятиям
МОСКВА – 2011
2
Методические рекомендации
утверждены и рекомендованы
Экспертно-методическим
Советом РГУФКСиТ
Протокол №_____
от «____» ____________2011 г.
Составители: Конюхова Г.П. – кандидат педагогических наук, доцент
кафедры ЕНД РГУФКСиТ;
Конюхов В.Г. – кандидат технических наук, доцент кафедры ЕНД
РГУФКСиТ;
Яшкина Е.Е. – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД
РГУФКСиТ.
Рецензент: Попов Г.И. – д.п.н., профессор кафедры ЕНД РГУФКСиТ.
Методические указания разработаны к практическим и семинарским
занятиям по курсу «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям 032100.62 «Физическая культура», 100200.62 «Туризм», 080100.62
«Экономика», по специальностям: 032101.65 «Физическая культура и
спорт», 032103.65 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм»,
100201.65 «Туризм», 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (АФК)», 030602.65 «Связи с общественностью»,
080507.65 «Менеджмент организации», 030301.65 «Психология», 040104.65
«Организация работы с молодежью», 050720.65 «Физическая культура».
3
Введение
Данное учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений физической культуры и спорта, изучающих основы высшей
математики и математической статистики.
При написании учебного пособия авторы исходили из требований государственного образовательного стандарта и опыта проведения лекционных
и практических занятий по данной дисциплине на кафедре естественнонаучных дисциплин и информационных технологий Российского государственного университета физической культуры.
Главной целью работы является помощь студентам как очной, так и
заочной форм обучения в изучении курса «Математики».
Учитывая прикладной характер изложения основных понятий и методов в курсе «Математика», наибольшее внимание уделено решению задач по
темам, наиболее близким по своей постановке к области физической культуры и спорта. В работе приведены примеры решения типовых задач и задачи
для самоконтроля.
Содержание учебного пособия выдержано в рамках учебного плана.
4
1. Понятие функции
Пример. Найти область определения функции y=2x3-3x+4.
Функция y=2x3-3x+4 определена на всей числовой оси xR.
Пример. Найти область определения функции y 
x 1
.
( x  6)  ( x  3)
Знаменатель дроби не может быть равным нулю. Следовательно,
функция определена, если ( x  6)  ( x  3)  0 . Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один из сомножителей, поэтому x  6  0 и x  3  0 ,
или x  6 и x  3 . Следовательно функция y 
x 1
определена на
( x  6)  ( x  3)
всей числовой оси, за исключением точек -3 и 6: x(-,-3)(-3,6)(6,+).
Пример. Найти область определения функции y  1  x 2 .
Подкоренное выражение не может быть отрицательным. Следовательно, функция определена, если 1  x 2  0 или (1  x)(1  x)  0 . Методом интервалов получаем, что x [1, 1]. Область определения заданной функции
иметь вид x[-1,1].
Пример. Найти область определения функции y 
ln( x  2)
x 2  2 x  3) )
.
Заданная функция определена, если определен ln( x  2) , то есть
x  2  0 , и подкоренное выражение в знаменателе положительно, то есть
x 2  2 x  3  0 . Решением неравенства x  2  0 , является x  2 , или
x  (2,) . Для решения неравенства
x 2  2 x  3  0 найдем предвари-
тельно корни уравнения x 2  2 x  3  0 . Ими являются x1=-1 и x2=3. После
этого методом интервалов получаем, что x  (,1)  (3,). Учитывая оба
5
полученные условия, получаем, что, область определения заданной функции
иметь вид x  (2,1)  (3,).
Пример. Исходя из определения предела показать, что lim (3x  5)  1.
x 2
Зададимся произвольным   0 . Необходимо найти такое   0 , что для всех
x,
удовлетворяющих
неравенству
|x-2|<δ,
выполняется
неравенство
| (3x  5)  1 |  . Раскрывая скобки запишем последнее неравенство в виде


| 3x  6 |  , или x  2  . Выбирая   , получим, что для всех x, удовле3
3
творяющих неравенству |x-2|<δ выполняется неравенство | (3x  5)  1 |  .
Значит lim (3x  5)  1.
x 2
Пример. Сравнить порядок функций α=4x3 и β=5x3 при x→∞.
 ( x)
4x3 4
 lim 3  , то функции α(х) и β(х) являются бесконечПоскольку lim
x   ( x )
x  5 x
5
но малыми одного порядка при x→∞.
x2  x  6
Пример. Найти асимптоты графика функции y 
.
x4
x2  x  6
  , и
x  4  0
x4
Поскольку lim
x2  x  6
  , то прямая x=-4
x  4  0
x4
lim
является вертикальной асимптотой.
Вычисляя
значения
пределов
x2  x  6
k  lim
1
x  x ( x  4)
и
x2  x  6
 3x  6
b  lim [
 x ]  lim
 3 (аналогично и при x→-∞), получаx 
x  x  4
x4
ем, что прямая y=x-3 является наклонной асимптотой.
6
y=
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
1-x 4, x≠0
0, x=0
.
В точке x=0 функция меет устранимый разрыв, поскольку в этой точке
существует предел функции, равный 1 ( lim y ( x )  1), который не равен знаx0
чению функции в этой точке y(0)=0. Чтобы функция стала непрерывной в
точке x=0 следует определить ее значение в этой точке равным ее предельному значению в этой точке y (0)  lim y ( x )  1.
x0
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
x2, x<1
y=
2x, x≥1
.
Функция имеет в точке x=1 разрыв первого рода, поскольку
lim y ( x )  1 , а lim y ( x )  2 .
x 01
x01
y=
Пример. Исследовать на непрерывность функцию
x, x<0
1/x, x>0
Функция меет в точке x=0 разрыв второго рода, поскольку
lim y ( x )  0 , а lim y ( x )   - правый предел в точке x=0 не существует.
x00
x00
Пример. Исследовать на непрерывность функцию y=cos(1/x).
Точка x=0 является точкой разрыва второго рода для функции
y=cos(1/x), поскольку не существует ни левого, ни правого предела этой
функции при x0.
Упражнения
1. Установите области определения функций:
y  ( x  5)( 2 x  8)
1.1. y  2 x 2  3x  1
1.6.
1.2. y  2 x10  3x5  1
4x2  x  7x
1.7. y 
( x  8)( x  5)
7
1.3. y 
5x  10
x(2 x  10)
2
1.8. y  x  9 x  14
1.4. y 
2x  7
x  5x  6
1.9. y 
2
1.5. y  x  2
3x  5
4x2  1
1.10. y 
( x  1)( x  8)
( x  2)( x  5)
2. Используя определение покажите, что следующие функции являются бесконечно большими:
2.2. y 
2.1. y  x 2  1 , x+
3
, a=2
x2
3. Вычислите значения следующих пределов:
2x2  2
x 1 3 x 2  2 x  1
3.1. lim
lim
3.2.
x  1
x52
x 1
4. Исследуйте данные функции на непрерывность на отрезке [c,d], если:
5.1. y 
3x  10
( x  2)( x  1)
а) [c,d]=[-10, 20], б) [c,d]=[-0.5, 0.5]
2. Понятие производной
Пример. Найти производную функции y=5sinx.
y'=(5sinx)'=5(sinx)'=5cosx.
Пример. Найти производную функции y=2x3+4cosx.
y'=(2x3+4cosx)'=(2x3)'+(4cosx)'=2(x3)'+4(cosx)'=2·3x3-1+4·(-sinx)=6x2-4sinx.
Пример. Найти производную функции y=2x·tgx.
y'=(2x·tgx)'=(2x)'·tgx+2x·(tgx)'=2x·ln2·tgx+2x·
1
2
=2x·tgx·(ln2+
).
2
cos x
sin 2 x
5x
Пример. Найти производную функции y 
.
sin x
5
(5 ) sin x  5 (sin x ) 5 ln 5 sin x  5 cos x
y  (
) 

.
sin x
sin 2 x
sin 2 x
x
x
x
x
8
x
Пример. Вычислить производную функции u=earcsinx.
Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=ev, где
v=arcsinx. Используя первую формулу для дифференцирования сложной
функции, получим
1
u  (e v )(arcsin x )  e v
1  x2
 earcsin x
1
1  x2
.
Пример. Вычислить производную функции u=sin5x.
Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=v5, где v=sinx.
Применим вторую формулу для дифференцирования сложной функции и получим
u'=5sin5-1x·(sinx)'=5sin4x·cosx.
Пример. Вычислить производную функции, заданной параметрически
x=5(t-sint)
y=5(1-cost)
Здесь (t)= 5(t-sint), а (t)==5(1-cost), поэтому
t
t
2
sin
cos
(5(1  cost )) (1  cost )
sin t
2
2  ctg t , t ≠ πn, n- целое.
y x 



t
(5(t  sin t )) (t  sin t ) 1  cost
2
2 sin 2
2
Пример. Найти производную неявной функции y', заданной уравнением x2+y2=5.
Поскольку y является функцией переменной x, то будем рассматривать
y2 как сложную функцию переменной x. По правилу дифференцирования
сложной функции имеем (y2)'=2yy'. Дифференцируя по x обе части исходного уравнения, получим уравнение
2x+2yy'=0
для определения искомой производной. Из него находим
9
y  
x
.
y
Пример. Составить уравнения касательной и нормали к графику функцииy=2x3 в точке M0 с абсциссой x0=1.
Находим производную рассматриваемой функции:
y'=(2x3)'=2·(x3)'=2·3x2=6x2.
Вычислим значения функции y0 и ее производной y0 в точке x0=1:
y0 =6·(1)2=6.
y0=2·(1)3=2,
Подставляя значения x0, y0 и y0 в уравнение касательной, получим
y-2=6·(x-1), или y=6x-4.
Аналогично, подставляя значения x0, y0 и y0 в уравнение для нормали, имеем:
1
1
1
y  2   ( x  1) , или y   x  1 .
6
6
6
Пример. Составить уравнения касательной и нормали к кривой
x2+2xy2+3y4=6 в точке M0(1,-1).
Дифференцируя исходное уравнение по x, получаем уравнение для вычисления производной неявной функции: 2x+2y2+4xyy'+12y3y'=0. Из которого находим: y   
x  y2
. Подставляя сюда значения x0=1 и y0=-1, получа2 xy  6 y 3
ем значение производной y0 в точке M0: y0  
1  ( 1) 2
1

.
2  1  ( 1)  6  ( 1) 3 4
Уравнение касательной
1
1
1
y  1  ( x  1) , или y  x  1 .
4
4
4
Уравнение нормали
y  1  4  ( x  1) , или y  4 x  3 .
10
Пример. Найти вторую производную функции y=3cos2x.
Для определения второй производной сначала необходимо найти первую
производную данной функции:
y'=(3cos2x)'=(3(cosx)2)'=3((cosx)2)'=3·2cosx·(-sinx)=-3sin2x.
Дифференцируя полученное выражение, находим вторую производную
y''=(y')'=(-3·sin2x)'=-3·cos2x·2=-6·cos2x.
Пример. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков
функции y=2e3x.
dy=y'dx=(2e3x)'dx=2·3e3xdx=6e3xdx,
dy=y''dx2=(2e3x)''dx2=(6e3x)'dx2=18e3xdx2,
dy=y(3)dx3=(2e3x)(3)dx3=(18e3x)'dx3 =54e3xdx3.
Пример. Разложить в ряд Маклорена показательную функцию f(x)=ex.
f '(x)=f (2)(x)=…=f (n)(x)=f(x)=ex
f '(0)=f (2)(0)=…=f (n)(0)=f(0)=e0=1
Подставляя значения производных в общее выражение для ряда Маклорена,
получаем:
ex  1 
x x2
xn
ex
  ...   Rn , где Rn 
x n1 , и 0<<1.
1! 2!
n!
( n  1)!
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=sinx
f(x)=sinx
f(0)=sin(0)=0
f /(x)=cosx
f /(0)=cos(0)=1
f (2)(x)=-sinx
f (2)(0)=-sin(0)=0
f (3)(x)=-cosx
f (3)(0)=-cos(0)=-1
sin x 
x x3 x5
( 1) m1 x 2 m1
   ... 
 R2 m ,
1! 3! 5!
( 2m  1)!
11
x 2 m1
где Rn  ( 1) cos(x )
, и 0<<1.
( 2m  1)!
m
Упражнения
1. Найти производные и дифференциалы функций:
1.1. y=3x4+7x2+4
1.2. y  5 x 4 
2 ln x

x7
3
1.3. y=5·6x·sinx
1.4. y 
arctgx  12
7e x  11x
1.11. y  (
2tgx
 9 x )  (8 arcsin x  log 3 x )
5
1.12. y  ln 2 arcsin x
1.13. y=3cosx4
1.14. y  tg (2 x 4 )
1.7. y  ctg (e x  8x 2 )
1.15. y  arctg (5x 3 )
1.8 y=log3(2x3+2)
1.16. y=lncos2x
1.9. y  e4 x5
1.17. y  57 xcosx
1.10. y  arcsin( 3x 2  2 x  3)
1.18. y  ln tg 3 x  7 x 2
2. Составить уравнения касательной и нормали
x2 y2

 1 ; M0(5,4)
5
4
2.1. y=x2-3x+4; x0=1
2.3.
2.2. y=x3-5x-1; x0=2
2.4. y=cos2x; x0=π/4
3. Найти производные и дифференциалы первого, второго и третьего порядков для функций
3.1. y=x3+2x2+3x+6
3.3. y=ln(3x-1)
3.2. y=32x+7
3.4. y=xlnx
4.Разложить функцию в ряд Маклорена:
4.1. y=cosx
4.3. y=ln(1+x)
4.2. y=tgx
4.4. y=arctgx
12
3. Применение производной к исследованию функции
Пример.
Найти
интервалы
возрастания
и
убывания
функции
y=f(x)=2x3-15x2-10.
1. Найдем область определения x{R}.
2. Вычислим производную y'=f '(x)=6x2-30x=6x(x-5).
3. Первая производная существует во всей области определения функции.
4. Приравнивая производную нулю y'=0, получим уравнения для
нахождения стационарных точек: 6x(x-5)=0. Произведение обращается в
ноль, если один из сомножителей равен нулю. Поэтому уравнение имеет два
корня x=0 и x=5.
5. Множество критических точек совпадет со множеством стационарных, поскольку производная существует во все области определения функции. Отметим критические точки на числовой оси (см. рис. 1).
6. Для нахождения знака производной удобно воспользоваться методом интервалов (см. рис. 1). Определим знак производной на каждом интервале,
-
+
+
5
0
x
Рис. 1.
подставляя удобные для вычисления значения аргумента из этого интервала
в выражение для производной. Например, для интервала (-,0) возьмем x=-1:
f '(-1)= 6·(-1)·(-1-5)= 36, знак «+», поэтому производная f '(x) положительна
в этом интервале. Для интервала (0;5):
f '(1)= 6·1·(1-5)= -24 знак «-», произ-
водная отрицательна. На полупрямой (5,+): f '(6)= 6·6·(6-5)= 36 знак «+»,
13
производная положительна. Отмечаем знаки производной над числовой
осью.
7. Поскольку производная функции положительна на полупрямых (,0) и (5,+) то функция возрастает на этих промежутках. Производная
функции отрицательна на интервале (0,5), поэтому функция убывает на этом
интервале. Изображаем полученные результаты графически стрелками.
8. При прохождении через точку x=0 производная меняет знак с «+» на
«-», следовательно эта точка является максимумом функции. При переходе
через точку x=5 производная меняет знак с «-» на «+», поэтому x=5 - точка
минимума. Для определения максимального и минимального значений
функции подставим найденные значения x в ее выражение: ymax=y(0)=2·0315·02-10=-10; ymin=y(5)=2·53-15·52-10=250-375-10=-135.
Пример. Найти точки экстремума функции y=(x-4)7.
Вычислим производную y'=7(x-4)6. Она обращается в ноль в точке x=4,
поэтому эта точка и является критической. Производная y' положительна и
слева и справа от критической точки x=4, следовательно, функция не имеет
точек экстремума.
Пример. Найти точки экстремума функции y=x2/3.
Функция y=x2/3 определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Она дифференцируема при всех значениях аргумента, за исключением точ2 1

y

ки x=0. При x0 производная равна
3 3 x , а в точке x=0 не существует.
Уравнение y'=0 корней не имеет, поэтому единственной критической точкой
является точка x=0. Производная y' отрицательна слева от точки x=0 и положительна справа от нее, поэтому точка x=0 является точкой минимума.
Для нахождения минимального значения ymin подставим x=0 в исходное вы-
14
ражение для функции: y(0)=02/3=0. Таким образом, функция имеет в точке
x=0 минимум ymin=0.
Пример. Исследовать на экстремум функцию y=f(x)=2x3-9x2+6 с помощью второго достаточного условия.
Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=6x2-18x=6x(x-3). Составим уравнение для нахождения критических точек, приравнивая первую
производную нулю: y'=0; 6x(x-3)=0. Отсюда находим, что данная функция
имеет две критические точки: x=0 и x=3. Знак производной слева и справа от
этих точек легко определяется, поэтому можно решить задачу об экстремумах с помощью первого достаточного условия. Однако применим второе достаточное условие. Для этого вычислим вторую производную y''= f ''(x)=12x18=6(2x-3). Поскольку y''(0)= f ''(0)=-18=<0 и y''(3)= f ''(3)=18>0, то функция
имеет максимум ymax=f(0)=6 в точке x=0 и минимум ymin=f(3)=-21 в точке x=3.
Пример. Исследовать на экстремум функцию y=f(x)=(x-2)4+6 с помощью третьего достаточного условия.
Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=4(x-2)3. Составим
уравнение для нахождения критических точек: y'=0; 4(x-2)3=0 и x-2=0. Отсюда находим, что точка x=2 является критической для данной функции.
Вторая производная f (2)(x)=12(x-2)2 при x=2 равна нулю. Третья производная
f (3)(x)=24(x-2) при x=2 также обращается в ноль. Четвертая производная
f (4)(x)=24>0. Следовательно, в точке x=2 функция имеет минимум ymin=f(2)=6
в точке x=2.
Пример. Определить наибольшее и наименьшее значения функции
y=f(x)=3x-x3 на отрезке [-2,3].
Вычислим производную данной функции y'= f '(x)=3-3x2. Составим
уравнение для нахождения критических точек: y'=0; 3-3x2=0. Отсюда нахо15
дим, что точки x=1 являются критическими для данной функции. Обе они
принадлежат отрезку [-2,3]. Определим значения функции в этих точках:
f(1)=2, f(-1)=-2. Затем вычислим значения функции на границах отрезка: f(2)=2, f(3)=-18. Из полученных четырех значений выберем наибольшее и
наименьшее. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [2,3] равно 2, а наименьшее -18.
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции y=f(x)=2x2-10x+15.
Вычислим сперва первую производную y   f ( x )  4 x  10 , затем вторую производную y''=f ''(x)=4. Вторая производная положительна при всех
допустимых значениях аргумента. Таким образом, график исследуемой
функции является вогнутым на всей числовой оси (-,+).
Пример. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции y=f(x)=x3-12x2+24.
Сперва находим первую производную y'= f '(x)=3x2-24x, затем вторую
y''= f ''(x)=6x-24=6(x-4). При x<4 вторая производная отрицательна, а x>4 при
положительна. Таким образом, график исследуемой функции является выпуклым на участке (-,4) и вогнутым на участке (4,+).
Пример. Найти точки перегиба графика функции y=f(x)=x3-6x2+5x.
1. Область определения – вся числовая ось (-∞,+∞).
2. Находим первую производную y'= f '(x)=3x2-12x+5,
3. Определяем вторую производную y''=f ''(x)=6x-12=6(x-2).
4. Вторая производная существует во всей области определения функции.
5. Приравниваем вторую производную нулю: y''=0; 6(x-2)=0. Решая полученное уравнение, находим критическую точку x=2.
16
6. Учитывая, что вторая производная определена на все числовой оси,
единственной критической точкой второго рода является точка x=2, в которой вторая производная обращается в ноль. Наносим ее на числовую ось (см.
рис. 2.).
+
2
x
Рис. 2
7. Критическая точка x=2 разбивает числовую прямую на два участка
(-,2) и (2,+). Определим знак второй производной на каждом из них с помощью метода интервалов. Например, для интервала (-,2) возьмем x=0: f
''(0)= 6·(0-2)=-12 , знак «-», поэтому производная f ''(x) отрицательна в этом
интервале. Для интервала (2,+):
f ''(3)= 6·(3-2)= 6 знак «+», вторая произ-
водная положительна. Отметим результаты значками «+» и «-» над числовой
осью.
8. Поскольку вторая производная функции отрицательна на полупрямой (-,2) то график функции является выпуклым на этом промежутке. Вторая производная функции положительна на интервале (2,+), поэтому график функции является вогнутым на этом интервале. Изобразим это на рисунке дугами.
9. При прохождении через точку x=2 вторая производная меняет знак с
«-» на «+», следовательно эта точка является точкой перегиба. Для определения ее ординаты подставим найденные значения x в выражение для функции: y(2)= 23-6·22+5·2= 8-24+10=-6. Таким образом, точка с координатами(2,6) является точкой перегиба графика рассматриваемой функции.
Пример. Определить точки перегиба графика функции y=f(x)=x5/3.
17
Находим первую производную y'=f /(x)=5/3x2/3
тем вторую y   f ( x) 
10
9x
1
5 2
y   f ( x)  x 3 , а за3
. В точке x=0 вторая производная не существу3
ет, поэтому она является критической точкой второго рода. Критическая
точка x=0 разбивает числовую прямую на две полупрямых (-,0) и (0,+).
Определим знак второй производной на каждом из этих участков. При x<0
вторая производная отрицательна, а при x>0 положительна. Таким образом,
точка (0,0) является точкой перегиба графика исследуемой функции, причем
является выпуклым на участке (-,0) график является выпуклым, а на участке (0,+) - вогнутым.
Пример. Найти точки перегиба графика функции y=f(x)=x3-15x2+4 с
помощью второго достаточного условия.
Находим первую производную
y'= f '(x)=3x2-30x, а затем вторую
y''=
f ''(x)=6x-30=6(x-5). Определяем точки, в которых вторая производная обращается в ноль: y''=0; 6(x-5)=0. Отсюда x=5- критическая точка второго рода.
Третья производная равна y (3)=f (3)(x)=6>0. Следовательно, точка (2,-246) является точкой перегиба графика исследуемой функции.
Пример. Определить точки перегиба графика функции y=f(x)=(x-2)5 с
помощью третьего достаточного условия.
Вычисляем последовательно производные данной функции:
y'= f '(x)=5(x-2)4
f '(x)=0  x=2
y''= f ''(x)=20(x-2)3
при x=2 f ''(x)=0
y (3)=f (3)(x)=60(x-2)2
при x=2 f (3)(x)=0
y (4)=f (4)(x)=120(x-2)
при x=2 f (4)(x)=0
y (5)=f (5)(x)=120
при x=2 f (5)(x)0
18
Номер отличной от нуля в точке x=2
производной n=5 . Поскольку
номер производной нечетный, то точка (2,0) является точкой перегиба исследуемой функции.
Пример. Построить график функции y 
x3  4
.
x2
1. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому она
определена и непрерывна всюду на всей бесконечной прямой, за исключением точки x=0, в которой знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения D(y)=(-,0)(0,+).
 x3  4
2. y( x) 
, поэтому функция не является ни четной, ни нечетx2
ной.
3. Определим точки пересечения графика с осью абсцисс: y=0;
x3  4
 0 и x  3 4 . Точек пересечения с осью ординат нет, поскольку при
2
x
x=0 функция не определена.
4. x=0 является точкой разрыва. Так как lim y   , то прямая x=0 (ось
x 0
ординат) является вертикальной асимптотой графика.
Исследуем вопрос о существовании наклонных асимптот.
f ( x)
x3  4
4
k  lim
 lim
 lim (1  3 )  1 ,
3
x
x
x
x
x
x
x3  4
4
4
b  lim [ f ( x)  kx]  lim ( 2  x)  lim ( x  2  x)  lim ( 2 )  0
x
x
x
x x
x
x
Аналогично, при x- k=1 и b=0. Следовательно, уравнение наклонной
асимптоты и при x+, и при x- имеет вид y=x.
5. Определим интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции.
y  (
Вычислим
первую
производную
x3  4
4
8 x3  8


. В точке при x=0 производная не су)  (x  2 )  1  3 
x2
x
x
x3
19
ществует. Приравнивая выражение для производной нулю и решая полученное уравнение, получим стационарную точку x=2 . Таким образом, рассматриваемая функция имеет две критические точки: при x=2 производная обращается в ноль, а при x=0 не существует. Эти точки разбивают числовую ось
на три части: (-,0), (0,2) и (2,+). Исследуем знаки производной:
при -<х<0
y(-1)=(-1-8)/(-1)=9,
y'>0, функция возрастает;
при 0<x<2
y(1)=(1-8)/1=-7,
y'<0, функция убывает;
при 2<x<+ y(3)=(27-8)/27=19/27,
y'>0, функция возрастает.
Следовательно, точка x=2 является точкой минимума, ymin=3. Точка x=0 не
является точкой экстремума, ибо она не принадлежит области определения.
6. Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и
точки
перегиба.
Для
этого
вычислим
вторую
производную:
y   (1 
8
24

. Так как вторая производная положительна при всех зна)

x3
x4
чениях аргумента из области определения, то график функции является всюду вогнутым и, следовательно, не имеет точек перегиба.
Исходя из полученных данных строим график функции (см. рис. 3).
y
x3  4
y
x2
y=x
x
0
Рис. 3
20
Упражнения
1. Найти интервалы возрастания и убываний и экстремумы функций:
1.1. y=2x3+3x2-36x+5,
1.2. y  e 3 x
4
4 x 3
,
1.3. y=2+(x-3)6/7,
1.4. y=(x-5)6+3
1.5. y  x 
1
x
1.6. y=xe2x-1.
1.7. y=log2(x4+5)
1.8. y  xe

x4
4
2. Найти наибольшие и наименьшие значения функций на отрезках:
2.1. y=2x3+3x2-12x+2
на отрезке [-3,2],
2.2. y=x2+4x+3
на отрезке [-1,1].
3. Определить промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:
3.1. y=-2x3+24x2,
3.4. y=(x+1)3,
3.2. y=x4-12x3,
3.5. y=(2x-4)4,
3.3. y=xarctgx,
3.6. y=ln(x2+1).
4. Исследовать функции и построить их графики:
4.1. y=2x3-9x2,
4.2. y 
x
,
x 4
4
4.3. у=x+e-x,
4.4. y=x+arctgx.
4. Неопределенный интеграл
Пример. Найти интеграл  (3x 4  6 x 2  5)dx .
Пользуясь свойством интеграла от суммы, представим данный интеграл в виде суммы трех интегралов. Затем в каждом из полученных интегралов вынесем постоянные множители (3, 6 и 5 соответственно) за знак интеграла. Далее воспользуемся формулами основных табличных интегралов:
4
2
4
2
4
2
 (3x  6 x  5)dx   3x dx   6 x dx   5dx  3 x dx  6 x dx  5 dx 
21
3
6
3
 x 5  x 3  5x  C  x 5  2 x 3  5x  C .
5
3
5
Пример. Найти интеграл  (5 cos x  6e x )dx .
x
x
x
x
 (5 cos x  6e )dx   5 cos xdx   6e dx  5 cos xdx  6 e dx   5 sin x  6e  C .
2 x 5  3x 2  4 x x
dx .
Пример. Найти интеграл 
x3
Представим подынтегральное выражение данного интеграла в виде
суммы трех слагаемых, разделив числитель почленно на знаменатель:
2 x 5  3x 2  4 x x
3
2

2
x

 4 x 1,5 . Используя далее свойства неопределенно3
x
x
го интеграла, получаем:
2 x 5  3x 2  4 x x
3
3
dx   ( 2 x 2   4 x 1,5 )dx   2 x 2 dx   dx   4 x 1,5dx 

3
x
x
x
1
x3
x 0,5
2
8
 2  x 2 dx  3 dx  4  x 1,5dx  2  3 ln | x | 4
 C  x 3  3 ln | x | 
C
x
3
 0,5
3
x
.
Пример. Найти интеграл  x 2 cos x 3dx методом подведение функции под
знак дифференциала.
x3 1 3
 dx :
Преобразуем заданный интеграл с учетом того, что x dx  d
3 3
2
x3 1
3
3
 x cos x dx   cos x  x dx   cos x d 3  3  cos x dx .
2
3
3
2
3
В полученном интеграле переменной интегрирования служит выражение x3.
Относительно этой переменной получается табличный интеграл от косинуса
3
3
3
 cos x dx  sin x  C . Следовательно,
1
1
2
3
3
3
3
 x cos x dx  3  cos x dx  3 sin x  C .
22
Пример. Найти интеграл  (3x  6) 21dx методом замены переменной.
Введем новую переменную t следующим образом: t=3x+6. Дифференцируя
обе части равенства, получим: dt=(3x+6)'dx=3dx. Выразим дифференциал dx
старой переменной через дифференциал dt новой: dx=
dt
. Подставляя полу3
ченные результаты в исходный интеграл, получим:
dt
1
1
1
21
21
21
22
22
 (3x  6) dx   t 3  3  t dt  3  22 t  C  66 t  C .
Ответ необходимо выразить через старую переменную x. Подставим t=3x+6 в
полученный результат интегрирования и получим
1
21
22
 (3x  6) dx  66 (3x  6)  C .
Пример. Найти интеграл  x 2 cos x 3dx методом замены переменной.
1
Пусть t  x 3 . Тогда dt  3x 2 dx и x 2 dx  dt . Следовательно,
3
1
1
1
2
3
3
 x cos x dx  3  costdt  3 sin t  C  3 sin x  C .
Пример. Найти интеграл  x sin dx методом интегрирование по частям.
Этот интеграл относится к первому типу. Поэтому положим u=x,
dv=sinxdx. Тогда du=dx, v=-cosx. Используя формулу интегрирования по частям, получаем
 x sin xdx   x cos x   cos xdx  x cos x  sin x  C .
Пример. Найти интеграл  ln xdx методом интегрирование по частям.
23
Поскольку данный интеграл следует отнести ко второму типу, то примем, что u=lnx, dv=dx. Тогда du=
dx
, v=x. Применяя формулу интегрироx
вания по частям, получаем
dx
 ln xdx  x ln x   x x  x ln x   dx  x ln x  x  C .
Пример. Вычислить интеграл  e x sin xdx методом интегрирование по
частям.
Данный интеграл относится к третьей группе. Обозначим его через I.
Примем, что u=ex, dv=sinxdx. Тогда du=exdx, v=-cosx. Следовательно,
I   e x sin xdx  e x cos x   e x cos xdx .
Применим метод интегрирования по частям к интегралу  e x cos xdx , входящему в правую часть полученного выражения, считая, что u=ex и dv=cosxdx.
Тогда du=exdx, v=sinx и
I  e x cos x  (e x sin  I )  e x cos x  e x sin x  I .
В результате получено линейное уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая это уравнение, получим искомый интеграл
ex
I  (sin x  cos x )  C .
2
На последнем шаге решения к первообразной была прибавлена произвольная
постоянная.
Упражнения
1. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:
1.1.  (2 sin x  3 cos x )dx
1.5.  (2 x 3  3 x 
1.2.  (3e x  5 sin x )dx
1.6.  ( 3
24
2
x2

4
)dx
x2
5 3 x
 5 )dx
x
x
1.3.  (
2 x 5  3x  x
dx
1.7. 
x2
3
 3  2 x )dx
2
cos x
3
1.4.  (
 4 cos x  2 x 2 )dx
2
1 x
1.8.  (
3
1  x2
 2 x x )dx
2. Найти интегралы методом подведение функции под знак дифференциала:
2.1.  ( x 3  1)( x 4  4 x  3) 4 dx
2.4.  tgxdx
x3
dx
2.2.  4
( x  2) 3
2.5.  xe 2 x 3dx
2.3.  sin( 3x) cos(3x)dx
2.6.  ( x  1) sin( x 2  2 x )dx
2
3. Найти интегралы методом замены переменной:
3.1.  sin( 2  5x)dx
3.4.  x 3 x 4  6dx
3.2.  x 3 ( 2  3x 4 ) 6 dx
3.5.  sin( x 3  3) x 2 dx
3.3. 
x 2 dx
x3  4
3.6. 
e
3 x 2
dx
3x  2
4. Найти интегралы методом интегрирования по частям:
4.1.  x cos2 xdx
4.4.  ( x 2  2 x  5) ln xdx
4.2.  e 3 x x 2 dx
4.5.  xarctg ( x )dx
4.3.  ( x 2  3x  1) cos xdx
4.6.  e 2 x cos xdx
5. Определенный интеграл
1
Пример. Вычислить определенный интеграл  x 4 dx .
0
x5
Одной из первообразных для функции y=x является функция
, по5
4
этому по формуле Ньютона – Лейбница имеем:
x 5 1 15 05 1
 x dx  5 |0  5  5  5 .
0
1
4
25
1
1
dx .
2
0 1 x
Пример. Вычислить определенный интеграл 
Функция arctgx является одной из первообразных для функции
1
,
1  x2
следовательно по формуле Ньютона – Лейбница получим:
1

1

1
 1  x 2 dx arctgx |0  arctg1  arctg 0  4  0  4 .
0
b
Пример. Вычислить определенный интеграл  cos xdx .
a
b
Поскольку  cos xdx  sin x  C , то  cos xdx  sin x |ba  sin b  sin b .
a

Пример. Вычислить интеграл  (3 sin x  2 x )dx .
0
Воспользовавшись свойствами, представим исходный интеграл в виде
разности двух интегралов, а затем вынесем постоянные множители за знаки
интегралов:





0
0
0
0
0
 (3 sin x  2 x )dx   3 sin xdx   2 xdx 3 sin xdx  2  xdx .
Определим первообразные для каждой из подынтегральных функций по таблице основных интегралов и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

x2 
2
2
 (3 sin x  2 x )dx  3 cos x |0 2  2 |0  3 cos  3 cos0    0  6   .
0

1
Пример. Вычислить интеграл  6e 3 x 1 xdx методом подведение функ0
ции под знак дифференциала.
26
2
Сперва внесем x под знак дифференциала. Для этого проинтегрируем
x2
x2 1 2
 dx . Далее воспользуемся тем, что
 C . Тогда xdx  d
его  xdx 
2 2
2
под знак дифференциала можно внести постоянный множитель и добавить
произвольную постоянную:
1
 6e
0
3 x 2 1
1
xdx  6 e
1
1
1
2
x2
3 x 2 1
2
3 x 2 1
2
d
 3 e dx   e d (3x )   e3 x 1d (3x 2  1) .
2
0
0
0
3 x 2 1
0
В преобразованном интеграле переменной интегрирования служит выражений 3х2+1. Интеграл относительно этого выражения является табличным, поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:
1
 6e
3 x 2 1
xdx  e 3 x
2
1 1
0
|  e4  e
0
e
2
Пример. Вычислить интеграл  ln 3 2 x
1
2
dx
методом замены переменной.
x
Введем новую переменную t следующим образом: t=ln2x. Продифференцировав обе части этого равенства, находим связь между дифференциалами новой и старой переменной: dt=(ln2x)'dx=
dx
. При замене переменной
x
интегрирования необходимо одновременно заменить и пределы интегрирования. Учитывая связь между новой и старой переменными, получим, что
1
e
если x=1/2, то t  ln( 2  )  ln 1  0 , а если x=e/2, то t  ln( 2  )  ln e  1 . Под2
2
ставим в исходный интеграл новую переменную, выражение для частного
dx
через дифференциал новой переменной dt и заменим пределы интегрироx
вания. В результате получим интеграл
e
dx 1 5
t6 1 1 0 1
 ln 2 x x   t dt  6 |0  6  6  6 .
1
0
2
2
3
27
2
 sin x
Пример. Вычислить интеграл
2
dx
методом замены переменx
4
ной.
Пусть t  x , dt 
dx
dx
 2dt . Определим новые пределы Интеи
2 x
x
грирования. Если x=2/4, то t=/2, а если x=2, то t= . Поэтому

dx

 2  sin tdt  2 cos t |  2 cos  2 cos  0  2  2 .
2sin x
2

x

2
2
2
4
2
Пример. Вычислить интеграл  xe x dx методом интегрирования по ча1
стям.
Введем функции u и v следующим образом: u=x и dv=exdx. Тогда du=dx,
а v=ex. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
2
2
x
x 2
x 2
x
2
2
1
2
 xe dx  xe |   e dx  xe |1 e |1  e ( x  1) |1 e (2  1)  e (1  1)  e .
x
x 2
1
1
1
Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции y=3x2, осью абсцисс и прямыми x=1 и x=2.
2
2
1
1
S   3x 2 dx  3 x 2 dx 3
x3 2
|1  x 3 |12  2 3  13  8  1  7 .
3
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и
y x.
Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого решим систему уравнений
y = x2
y
28
x .
Приравнивая правые части этих уравнений, получим:
x 2  x , или
x ( x 3 2  1)  0 .
Произведение обращается в ноль, если один из сомножителей равен нулю.
Приравнивая каждый из сомножителей нулю, получаем два корня x=0 и x=1.
На отрезке [0,1] график функции y  x лежит выше графика функции y=x2,
поэтому
1
1
1
2
1
2
1
1
S   ( x  x )dx   x dx   x 2 dx  [ x 3 2  x 3 ] |10  13 2  13  .
3
3
3
3
3
0
0
0
2
3
2
Пример. Найти длину дуги кривой y  x 2 от x=0 до x=3.
3
3
1
1
2
2 3
Найдем производную данной функции y   ( x 2 )   x 2  x 2 . Под3
3 2
ставим производную в формулу для длины дуги кривой и проведем интегрирование. Дописывая под знаком дифференциала единицу, получаем:
3
3
3
3
2
L   1  ( x ) dx   1  x dx   1  x d (1  x )  (1  x ) 2 |30 
3
0
0
0
3
3
3
3
2
2
2
2
[(1  3) 2  (1  0) 2 ]  [4 2  12 ]  [8  1]  4 .
3
3
3
3
2
Пример. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
x3
вокруг оси абсцисс кривой y  на отрезке [1,2].
3
Найдем производную данной функции y   (
x3
)  x 2 . Тогда
3
x3
2
2
 2
S  2 
1  x 4 dx   1  x 4 dx 4   1  x 4 d (1  x 4 )   (1  x 4 ) 2 |12 
61
61
6 3
1 3
3
2


9
3
4 2 2
1
 (1  x ) | 

9
3
4 2
3
4 2
[(1  2 )  (1  1 ) ] 
29

9
(17 17  2 2 ) .
Пример. Определить объем тела, полученного путем вращения вокруг

оси абсцисс кривой y=cosx на отрезке [0, ] .
2


1  cos 2 x

sin 2 x  2  2
.
V    cos xdx   
dx  ( x 
) |0 
2
2
2
4
0
0
2
2
2
Упражнения
1. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:
2
64
1.5.  (
1.1.  x dx
5
1

1
3
dx
1.2. 
2
 cos x
6
4
1.6.
dx
 1  x2
1
3
(2 x  1) 2
1.7. 
dx
x2
1
2
2
1.3.  ( 4 x  2e x  3x 3 )dx
1

2
2

3
x

)dx
3
x2
x2
6x 2  2  8x 3
1.8. 
dx
x
1
e
2
1.4.  (2 x  3 cos x )dx
0
2. Найти интегралы методом подведение функции под знак дифференциала:
1
2.1.  x
3
1
xdx
4
01 x
x  1dx
2.4. 
4
0
2
1
2.2.  (3x 2  1)( x 3  x ) 2 dx
2.5.  e e
1
2x
2 x
dx
0
e 2 x dx
2.6. 
2x
2 3  2e
1
xdx
2.3. 
2
01 x
3
3. Найти интегралы методом замены переменной:
3
2
3.1.  9  3x dx
3.4.  x 2 ( x 3  1) 4 dx
0
1
2

dx
3.2. 
1 5x  3
3.5.
30
2
2
 cos x sin xdx

2

2
2
cos x
dx
3
 sin x
4
e x
3.3.  2 dx
1 x
2
3.6. 
4. Найти интегралы методом интегрирования по частям:
2
1
4.1.  arccos xdx
4.3.  x 2 cos xdx
0

0
2
e
ln x
dx
2
x
1
4.4. 
4.2.  e cos xdx
x
0
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
5.1 y = -x+2 и y = x2
5.2 y = x2 и y = 2x2-3x+2
6. Найти длину дуги кривой y  ln sin x от x=π/3 до x=π/2.
7. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

абсцисс кривой y  sin 2 x на отрезке [0, ] .
2
8. Определить объем тела, полученного путем вращения вокруг оси абсцисс
кривой
8.1. y  x e x на отрезке [0,1].
2
8.2. y  xe 2 x на отрезке [0,1].
9. Найти объем тела, заключенного между поверхностями, образованными
при вращении линий графиков функций y=x и y  x вокруг оси абсцисс.
6. Дифференциальные уравнения
Пример. Получить общее решение уравнения y   3
x2
.
y
Представим производную в виде отношения соответствующих дифференциалов и подставим в данное уравнение:
dy
x2
3 .
dx
y
31
Затем умножим обе части уравнения на ydx. В результате приходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными
ydy = 3x2dx.
Интегрируя обе части этого уравнения, получим
y2
 x3  C .
2
2
 ydy   3x dx , или
Полученное соотношение представляет собой общее решение исходного
дифференциального уравнения в неявном виде. Выразив из него y, получим
общее решение в явном виде:
y   2x3  C .
Пример. Проинтегрировать уравнение x(y2-4)dx+ydy=0.
Перенесем x(y2-4)dx в правую часть уравнения и разделим обе его части на (y2-4)0:
ydy
  xdx .
y2  4
Проинтегрировав обе части полученного уравнения, находим
ln|y2-4| = - x2 + ln|C|.
В последнем соотношении произвольная постоянная интегрирования была
записана в виде натурального логарифма от модуля некоторой постоянной С.
Такой прием целесообразно использовать для упрощения записи решения
тогда, когда при интегрировании дифференциального уравнения в окончательном выражении появляются логарифмы. Для упрощения полученного
выражения воспользуемся логарифмическим тождеством, согласно которому
A=lneA
при любом действительном А. Полагая A=-x2, получим
 x 2  ln e  x и
2
ln | y 2  4 | ln e  x  ln | C | ln | Ce  x | .
2
2
Потенцируя, получим общее решение дифференциального уравнения в виде
2
x
y2-4= Ce .
32
Пусть теперь y2-4=0, т.е. y=2. Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что y=2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, поскольку его можно получить из общего решения
при С=0.
Пример. Найти частное решение уравнения (1+x2)dy+ydx=0 при
начальном условии y(1)=1.
Перенесем ydx в правую часть и разделим обе части полученного уравнения на (1+x2)dx. В результате получим уравнение к вида
dy
dx
.

y
1  x2
Интегрируя его, получим общее решение
dy
dx
 y    1  x 2 , или ln|y|=-arctgx+C.
Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С. Для этого подставим x=1 и y=1 в выражение для общего решения. В результате получим
ln1=-arctg1+C, или C= arctg1=/4.
Подставим найденное значение постоянной С в общее решение
lny=-arctgx+/4 или
lny=lne-arctgx+/4.
Потенцируя, получаем искомое частное решение в явном виде
y=e/4-arctgx.
Пример. Найти общее решение уравнения
(x2+2xy)dx+xydy=0.
В рассматриваемом случае P(x,y)=x2+2xy, Q(x,y)=xy. Обе функции являются однородными второй степени. Введем подстановку y=tx, тогда
dy=xdt+tdx. Подставим выражения для y и dy в исходное уравнение
(x2+2x2t)dx+tx2(xdt+tdx)=0, или (x2+2x2t+t2x2)dx+tx3dt=0.
33
Перенося (x2+2x2t+t2x2)dx в правую часть и разделяя переменные, получим
dx
tdt
dx
tdt
,
и

C.


0


x
(t  1) 2
x (t  1) 2
Вычислим отдельно второй интеграл:
tdt
t  1  1dt
(t  1)dt
dt
dt
dt
1
 (t  1)2   (t  1)2   (t  1)2   (t  1)2   t  1   (t  1)2  ln | t  1 |  t  1  C
.
Следовательно решение имеет следующий вид:
ln | x |  ln | t  1 | 
1
C.
t 1
Возвратимся к старой неизвестной функции y, подставляя в полученное
уравнение t=y/x
ln | x |  ln |
y
1
1| 
C.
y
x
1
x
и, окончательно,
ln | x  y | 
x
C.
x y
Пример. Проинтегрировать уравнение y  
2y
 x.
x
Воспользуемся методом Бернулли, для чего подставим y=uv в исходное уравнение
2
uv  uv  uv  x , или
x
2
u[v  v ]  vu  x
x
2
Функцию v найдем из условия v  v  0 . Последнее уравнение решаx
2
ется методом разделения переменных. Перенося  v в правую часть и учиx
тывая, что v 
dv
, получаем
dx
34
dv
dx
dv
dx
dv 2
 v;
 2 ;    2 ; ln|v|=2ln|x|+ln|C|; ln|v|=ln|Сx2| и v = Cx2.
dx x
v
x
v
x
Для удобства вычислений выберем решение, соответствующее С=1: v = x2.
Подставим полученное выражения для функции v в уравнение vu  x для
определения функции u: x 2u  x . Последнее уравнение решается методом
разделения переменных
x2
du
dx
dx
 x ; du  ;  du   ; u = ln|x|+C.
dx
x
x
Подставив выражения для u и v в y=uv, получим искомое общее решение
y = x2(ln|x|+C).
Пример. Решить дифференциальное уравнение y'' = 20x3.
Для повышения наглядности решения введем вспомогательную функцию v(x)=y'. Тогда v'(x)=y'' и исходное уравнение принимает следующий
вид:
v' = 20x3.
Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его способом, описанным в п. 9.2, получим
dv
 20x 3 ; dv  20 x 3dx и v  5x 4  C1 .
dx
Подставим в последнее выражение y' вместо v
y   5x 4  C1 .
Это уравнение тоже представляет собой уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными. Решая его, получим:
dy
 5x 4  C1 ; dy  (5x 4  C1 )dx и y  x 5  C1 x  C2 .
dx
Найденная функция является общим решением исходного дифференциального уравнения.
Пример. Решить дифференциальное уравнение y   2 y   3 y  0 .
35
Составим соответствующее характеристическое уравнение
k 2  2k  3  0 .
Его дискриминант положителен D  22  4  3  16  0 , следовательно
характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня
k1, 2 
 p  D 2  16

, k1=-1 и k2=3.
2
2
Общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
y  C1e  x  C2 e3 x .
Пример. Решить дифференциальное уравнение y   8 y   16 y  0 .
Составим соответствующее характеристическое уравнение
k 2  8k  16  0 .
Его дискриминант равен нулю D  82  4 16  0 . Таким образом, уравнение имеет два равных действительных корня
k1,2 
p
 4 .
2
Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
y  (C1  C2 x )e 4 x .
Пример. Решить дифференциальное уравнение y   4 y   13 y  0 .
Выпишем соответствующее характеристическое уравнение
k 2  4k  13  0 .
Дискриминант
полученного
уравнения
отрицателен
D  42  4 13  36  0 . Поэтому корни характеристического уравнения ком-
плексные сопряженные
k1, 2 
 p  D 4  6i

 2  3i , k1=2+3i и k2=2-3i.
2
2
и общее решение уравнения записывается в виде
y  (C1 cos(3x )  C2 sin( 3x ))e2 x .
36
Упражнения
1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными:
1.1. y  
x2
y3
1.4. ( x 2  1)dy  ( y  5)dx  0
1.2. xy  e y
1.3. y  
1.5. x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0
1 3
y cos x
4
1.6. y ln 3 y  y  x  1  0
2. Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка:
2.1. xy  y 2  (2 x 2  xy ) y
2.4. xy   y  xe

y
x

y
x
2.2. x 2 y  xy  5 y 2  0
2.5. xy   y  xe
2.3. xyy  y  2x
dy y 2  x 2

2.6.
dx
2 xy
2
2
3. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
3.1. y  
y
 x2 y4
x
3.2. xy  y  x 2 cos x
3.3. y   2 xy  xe  x
2
3.4. y  cos x  y  1  sin x
4. Решить простейшие дифференциальные уравнения второго порядка:
4.1. y   4
4.2. y  
2
0
x
4.3. y  3e2 x
4.4. y  2 sin x cos2 x  sin 3 x
5. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
5.1. y   y   2 y  0
5.3. y   5 y   6 y  0
5.2. y  4 y  4 y  0
5.4. y   25 y  0
37
6. Решить дифференциальные уравнения и найти их частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

6.1. y  sin x  0 ; y ( )  2
3
6.2.
y
 ln y ; y(2)=1
y
6.3.
yy  y
 e  0 ; y(1)=0
x
6.4. xy   5x  y ; y(1)=1
6.5. y  xe  x ; y(0)=1, y'(0)=0
6.6. y   3 y   2 y  0 ; y(0)=7, y'(0)=11



6.7. y   2 y   10 y  0 ; y ( )  0 , y ( )  e 6
6
6
7. Числовые и функциональные ряды
 1
Пример. Исследовать на сходимость ряд  .
n 1 n
Воспользуемся критерием Коши. Выберем p=n. Тогда, поскольку сумма состоит из n слагаемых, а наименьшее из них равно
1
,
2n
n p
2n 1
1
1
1


  n .
2n
2
k  n 1 k
k  n 1 k
Таким образом, для  
1
не существует такого номера N, что при nN для
2
n p
любого натурального p выполняется неравенство
1
1
   . Следова2
k  n 1 k

тельно, рассматриваемый ряд расходится.
4n  3
.
n 1 2n  1

Пример. Исследовать на сходимость ряд 
38
3
4n  3
n  4  2 . Так как предел
 lim
Вычислим предел общего члена: lim
n  2 n  1
n 
1 2
2
n
4
общего члена не равен нулю, то рассматриваемый ряд является расходящимся.

4
(с помощью первого
n
n 1 2  7  6
Пример. Исследовать сходимость ряда 
признака сравнения).

2
:
n
n 1 7
Каждый член данного ряда меньше соответствующего член ряда 
4
2
 n . Последний ряд является сходящимся, поскольку составлен из
n
27  6 7
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно,
сходится и рассматриваемый ряд.

3
(с помощью второго
n 1 4n  5
Пример. Исследовать сходимость ряда 
признак сравнения).
Сравним члены данного ряда un с членами vn гармонического ряда

1
n 1 n
 :
un
3n
3
3
 lim
 lim
 .
n  v
n 4n  5
n  4  5 n
4
n
lim
Поскольку этот предел существует и не равен нулю, и гармонический ряд
является расходящимся, то расходится и рассматриваемый ряд.
Пример. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда
n
 4n 

 .
n 1  6n  3 

39
n
4n
4
2
 4n 
Вычислим C  lim n un  lim n 
 lim
 lim
 . Посколь
n 
n 
n 6n  3
n  6  3 n
3
 6n  3 
ку C=2/3<1, то исследуемый ряд сходится.
Пример. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда
3n
 6.
n 1 n

В
рассматриваемом
3n
un  6 ,
n
случае
3n 1
un 1 
( n  1) 6
и
un1
3n1 n 6
n6
.

3
un (n  1)6 3n
(n  1)6
un1
n6
3
 lim 3

lim
 3 . Поскольку D=3>1, то
n u
n ( n  1) 6
n (1  1 n ) 6
n
Вычислим D  lim
исследуемый ряд расходится.
Пример. С помощью признака Лейбница исследовать сходимость зна-
( 1) n1
кочередующегося ряда 
.
n
n 1

Поскольку | un1 |  | un |
1
1 n  n 1
1
 

 0 - абсолютные велиn  1 n n(n  1) n(n  1)
( 1) n 1
 0 , то, согласно признаn 
n
чины членов ряда монотонно убывают, и lim
ку Лейбница, ряд сходится.
Пример. С помощью признака Вейерштрасса исследовать сходимость
функционального ряда

sin nx
.
2
n 1 n

 1
sin nx 1
Так как | 2 | 2 , а ряд  2 сходится, то рассматриваемый функциоn
n
n 1 n
нальный ряд равномерно сходится на всей числовой оси.
40

1
( x  3) n .
2
n 1 n
Пример. Определить радиус сходимости ряда 
an
( n  1) 2  1 
1
1

 1   .
В рассматриваемом случае an  2 , an1 
и
an1
n2
n
(n  1) 2
 n
2
Вычислим радиус сходимости:
2
a
 1
 2 1
R  lim n  lim 1    lim 1   2   1 .
k  a
k 
 n  k   n n 
n 1
3n
Пример. Определить радиус сходимости ряда 
( x  1) 4 n .
n 1 4n  1

В
рассматриваемом
an
3n (4n  5)
4n  5
.


an1 (4n  1)3n1 3(4n  1)
3n
an 
,
4n  1
случае
3n1
an1 
4n  5
и
Поскольку степени разности (x-1) образуют
арифметическую прогрессию со знаменателем 4, то для определения радиуса
an
:
n  a
n 1
сходимости воспользуемся соотношением R  k lim
an
4n  5
1
45 n
1
 4 lim
 4 4 lim
4 .
n  a
n 3( 4n  1)
3 n  4  1 n
3
n 1
R  4 lim
i
 i2  2 
Пример. Определить радиус сходимости ряда   2
 ( x  4) 3i .
i 1  8i  2i 

i2  2
В рассматриваемом случае an=0 при n=3i-1, an=0 при n=3i-2, и an  2
8i  2i
при n=3i. Воспользуемся соотношением R 
1
для определения раlim n | an |
n
диуса сходимости:
R
1
 i2  2 
3
i
lim  2

i 
 8i  2i 
8i 2  2i
82 i 3
3


lim

lim
 8  2.
2
i 
i 
i2  2
1  2 i2
i

2
lim 3 2
i 
8i  2i
1
i
3
41
Упражнения
1. Выпишите первые четыре члена ряда:
10n  2
n
n 1 2  1


1.1.  ( 1) n  (2n  1)
1.3. 
n 1
3n
n 1 n!


1.2. 
1.4.  ( 1) n2 
n 1
n2  1
10  n
2. Установите соотношение для общего члена ряда
2
3
4
2.1. 2, -4, 8, -16,…
1  3  5   7 
2.3.
,   ,   ,   ,...
3  5  7   9 
4 6 8
2.2. 2, , , ,...
3 9 27
2.4. e 2 ,
e 4 e 6 e8
, , ,...
2 6 24
3. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:
 8n 3  3n 2  2n 
3.7.   4

2
n 1  3n  5n  6 
3n 2  4
3.1.  2
n 1 5n  3n  2


2n 3  n 2  1
2
n 1 n  2n  1
3n
9
n 1 n


3.2. 
3.8. 


n
n/2
n 1 4
6
n 1 7 n  2
3.9. 
3.3. 


1
n
n 1 3  10
3.10.  ( 1) n1 2n1
3.4. 
n 1


3
n 1 6n  2
3.11.  ( 1) n1
3.5. 
 3n 4  5n 3  2 
3.6.   4

2
n 1  7n  6n  5 

2n
n 1
n

3.12.  ( 1) n1
n 1
2n  4
2n  1
1
4n1
4. Исследовать на сходимость функциональные ряды:

( 1) n ( 2n  1)
4.3. 
x6  n6
n 1

n 2 sin n x
4.3. 
3n
n 1
cosn x
4.1.  4
n 1 n
4
4.2.  2
4n
n 1 4n  x


42
5. Определить радиус и область сходимости рядов:

2
n 0
3n 2  1
5.1. 
( x  3)

n
5.2.  (2n  1)! ( x  1) n
n 1

6
xn
n 1 n( 2n  1)
5.3. 
32 n1
5.4.  n ( x  7) n
n 1 n

n  2 2n
x
n 1 4n  3

5.5. 
2n  1
( x  3) n
n
n 1 4

5.6. 
43
Список литературы
1. Рекомендуемая литература (основная)
1.
Высшая математика и математическая статистика / Под общ. ред. Г. И.
Попова. – М.: Физическая культура, 2009. – 368с.
2.
Конюхова Г.П., Конюхов В.Г. Основы выборочного метода исследования. – М.: РИО РГУФК, 2005. – 43с.
3.
Конюхова Г.П., Конюхов В.Г. Основы корреляционного анализа. – М.:
Физическая культура, 2008. – 56с.
4.
Основы математической статистики / Под ред. В.С.Иванова. – М.: Физкультура и спорт, 1990. – 176с.
5.
Селиванова Т.Г. Учебное пособие для студентов РГАФК. - М.: С.Принт,
1999. – 87с.
6.
Спортивная метрология: Учебник для институтов физической культуры
/ Под ред. В. М. Зациорского - М.: Физкультура и спорт,1982.-252 с.
2. Рекомендуемая литература (дополнительная)
1.
Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейкман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1992.
- 256с.
2.
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1999. – 640с.
3.
Баврин И.И. Курс высшей математики. – М.: Владос, 2004. - 560с.
4.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Дрофа, 2003. – 288с.
5.
Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2002. – 480c.
6.
Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов. -М.: Физматлит, 2003. –
44
248с.
7.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 564с.
8.
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения
по математическому анализу – М.: Дрофа, 2001. - 725с.
9.
Высшая математика. Общий курс /Под ред. А.И.Яблонского. — Минск:
Высшая школа, 1993. – 368с.
10. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:
Высшая школа, 2006. – 479c.
11. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справ.пособие
к решению задач – М.: Тетра-Системс, 2006. – 288с.
12. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу – М.: АСТ,Астрель, 2002. – 495с.
13. Ивченко Г.И., Медведев Ю.Я. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1994. – 328с.
14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: - М.: Наука,
1965. – 571с.
15. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. - М.: Физматлит,
2003. – 224с.
16. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2004. –
280с.
17. Ляшко С.И., Боярчук А.К., Александрович И.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Ч. 1. – М.: Диалектика,Вильямс,
2001. – 432с.
18. Калихман И.Л., Четыркин Е.М. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982. – 243с.
19. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика. - М.: Инфра-м, 1997. – 302с.
20. Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию
вероятностей. - М.: Наука, 1982. – 188с.
45
21. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М.: АСТ Астель, 2004. – 656c.
22. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2003. –
319с.
23. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - СПб.: Лань, 2003. – 432с.
24. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений
по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск: Выщэйная школа, 1996. – 315с.
25. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. – М.: Медицина, 1998. – 232с.
26. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. — М.:
Высшая школа, 1990. – 416с.
27. Никольский С.М. Курс математического анализа – М.: Физматлит, 2001.
– 592с.
28. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Физматлит, 2002. – 496с.
29. Савич Л.К., Смольская Н.А. Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск: Адукация, 2006. – 207с.
30. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:
Изд-во МГУ, 1990. – 328с.
31. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Физматлит,
2002. – 856с.
32. Шипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2002. –
176с.
33. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Физматлит,
2004. – 312с.
34. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии –
СПб.: Лань, 2005. – 336с.
46