Урок 9.Тема Нахождение площади треугольника. Вспомним

Урок 9.Тема Нахождение площади треугольника.
Вспомним основные формулы площади основных фигур.
Квадрат
, где а – длина стороны квадрата.
Прямоугольник
, где а и b – длины сторон прямоугольника.
Параллелограмм
Площадь определяется стороной и опущенной к ней высотой.
, где а и b – длины сторон,
соответствующим сторонам (см. Рис. 1).
Рис. 1
и
– длины высот, опущенных к
2. Площадь треугольника
Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, если провести в параллелограмме
диагональ, получим два треугольника (см. Рис. 2). В таком случае имеем
формулу:
Рис. 2
Площадь треугольника можно выразить иначе (см. Рис. 3).
Выразим высоту
из прямоугольного треугольника
:
Подставим полученное выражение в формулу площади, получим:
Рис. 3
Кроме того, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности:
, где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр треугольника.
Рассмотрим происхождение данной формулы. Помним, что для треугольников со вписанной
окружностью есть методика решения задач: провести в треугольнике биссектрисы, найти их точку
пересечения – центр вписанной окружности; найти расстояние от центра до сторон треугольника –
радиусы, получить точки касания.
Рис. 4
Е, Р и К; далее нужно было бы отметить равные касательные и их связь со сторонами, но в данном
случае в этом нет необходимости (см. Рис. 4).
Площади слагаемых выразим через сторону и высоту, причем высотой в данных треугольниках
является радиус вписанной окружности:
Вынесем общий множитель за скобки:
По этой же формуле можно вычислять радиус описанной окружности.
Кроме того, площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности:
3. Площадь трапеции
Пусть заданы трапеция ABCD и ее средняя линия MN (см. Рис. 5). Напомним, что средняя линия
соединяет середины боковых сторон трапеции, параллельна ее основаниям и равна их
полусумме:
.
Рис. 5
Напомним, что высотой трапеции называют расстояние между ее основаниями. Обозначим высоту
данной трапеции h, среднюю линию обозначим за m. Высоты и средней линии трапеции достаточно,
чтобы найти ее площадь:
4. Решение задач
Задача 1: в треугольнике
что
точка В переместилась по стороне АВ ближе к точке А, так
, аналогично точка С переместилась, так что
. Получили новый
треугольник
(см. Рис. 6). Доказать, что
.
Доказательство:
Напомним, что площадь можно выразить как произведение сторон на синус угла между ними, получим:
Рис. 6
Таким образом, если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей,
а мы знаем, что любой многоугольник можно разбить на треугольник, и таким образом выполнять
сравнение.
Задача 2: найти отношение площадей подобных треугольников.
Дано:
Несложно доказать, что
Напомним отношение периметров подобных треугольников:
В заключение рассмотрим, каким образом диагонали параллелограмма разобьют его площадь.
Задача 3: доказать, что диагонали параллелограмма рассекают его площадь на четыре равновеликих
треугольника.
Дано: параллелограмм ABCD,
Доказать:
Рис. 7
Напомним, что, согласно свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся
пополам.
Рассмотрим два треугольника и отношение их площадей:
– высота, опущенная из вершины В на сторону АС, – является высотой для двух рассматриваемых
треугольников. Получаем:
Таким образом, рассматриваемые площади треугольников равны. Аналогично можно доказать
равенство остальных площадей и оттуда взять заданное выражение.
Докажем с помощью площади свойство биссектрисы.
Задача: биссектриса AL треугольника
рассекла сторону ВС на отрезки m и n (см. Рис. 8).
Доказать, что полученные отрезки относятся как прилежащие к ним стороны треугольника:
Доказательство:
Обозначим площади маленьких треугольников:
Выразим площади разными способами:
, где
– высота, опущенная из вершины А.
Рис. 8
Приравняем правые части полученных выражений, получаем:
Итак, мы вспомнили, как находить площадь различных многоугольников, вывели много вариантов
формулы площади треугольника и решили несколько задач, пользуясь выведенными формулами.
1.
2.
3.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Edu.glavsprav.ru (Источник).
Uztest.ru (Источник).
School-collection.edu.ru (Источник).
1.
Домашнее задание
Задание 1: пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Докажите,
что
2.
.
Задание 2: на сторонах АВ, ВС и СА треугольника
1:2, ВМ:МС = 2:3, СР:РА = 3:4. Площадь треугольника
3.
взяты точки К, М и Р так, что АК:КВ =
равна 1. Найдите площадь
треугольника
.
Задание 3: вершины А, В, С и D параллелограмма соединены прямыми соответственно с
серединами сторон ВС, CD, DA и АВ. Найдите площадь параллелограмма, ограниченного этими
прямыми, если площадь параллелограмма-ABCD равна 1.--------------------------------------------------
Площадь Герона S=p(p-a)(p-b)(p-c),где a,b,c стороны треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника S=ab-----.где a,b катеты
2