ВВЕДЕНИЕ
Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей курса
элементарной математики. Она представляет собой раздел математики, посвященный
изучению особого класса функций, называемых тригонометрическими.
Основной моделью, позволяющей наглядно проиллюстрировать понятие
тригонометрической функции, является единичная окружность на плоскости с
фиксированной системой координат, начало которой совпадает с центром окружности.
Она же представляет некий инструмент для решения простейших тригонометрических
уравнений, неравенств и их систем. С помощью единичной окружности можно
корректно записать ответ при решении тригонометрических уравнений, неравенств и их
систем, учтя область определения уравнения (неравенства), а также исключив
повторяющиеся решения. Так, если в результате решения уравнения мы получим две

серии решений:  = ,  ∈ Ζ,
4
 = ,  ∈ Ζ, то легко видеть,

что числа  = ,  ∈ Ζ, содержатся среди множества чисел  = ,  ∈ Ζ. Поэтому
4

ответом будет  = ,  ∈ Ζ.
4
Единичная окружность позволяет проанализировать тригонометрические формулы,
сравнив области определений функций, стоящих в левой и правой частях каждой из них,
и выделить «опасные формулы». Назовем формулу «опасной», если области
определений функций, стоящих в левой и правой ее частях, не совпадают. Бездумное
применение такими формулами может привести к потере корней (или приобретению
посторонних корней) уравнения.
Рассмотрим, например, формулу: tg 2x =
2
1−2 
. Найдем область определения

функции у = tg 2x: 2 ≠ + ,  ∈ Ζ. Отметим точки, соответствующие недопустимым
2
у
значениям х, на единичной окружности (рис 1).
х
Рис.1
Область определения функции у =
2
1−2 
:
1- tg2x≠0,


4

2
 ≠ + ,  ∈ ,

 ≠ + ,  ∈ ,
 ≠ + ,  ∈ .
2
2
х
Рис.1
Рис.2
Решим уравнение ctg x + tg 2x = 0 (1). В лучшем случае ученик решает так:
ОЗД
у
 ≠ ,  ∈ ,


4
2
 ≠ + ,  ∈ .
х
Переходим к уравнению (2):
Далее:
1−2 +22 
(1−2 )∙
1

+
2
1−2 
= 0.
Рис.3
= 0; 1+tg2x = 0. Ответ: действительных корней нет.
Да, действительно, действительных корней у уравнения (2) нет, но не у данного

уравнения (1). Легко видеть, что числа вида  = + ,  ∈ , удовлетворяют уравнению
2
(1). Дело в том, что при замене tg 2x выражением
определения функции у = tg2x на множество

2
2
1−2 
происходит сужение области
+ ,  ∈ .
Пользоваться «опасными» формулами, конечно, можно, но каждый раз следить за
изменением области допустимых значений уравнения (неравенства) при этом.
Учащиеся нередко сталкиваются и с такой проблемой, когда полученный ими ответ
при решении тригонометрического уравнения не совпадает с ответом учебника или
других учеников класса.
Кто прав в этой ситуации? И здесь нам поможет единичная окружность.
В качестве примера рассмотрим различные способы записи чисел, соответствующих
y
точкам А, В, С окружности (рис. 4)

2
3
3
1)  = +
,  ∈ 
B
2) x = π+2 πl,l∈ 

 = ± + 2,  ∈ 
3

2
3
3
3)  = − +
4)  = π +
A
5)  =  + 2,  ∈ 
2
3
,  ∈ 
r, r ∈ Z

3

 = + 2,  ∈ 
3
=−

3
+ 2,  ∈ 
6)  = − + 2,  ∈ 

 = ± + 2,  ∈ 
3
x
C
Рис.4
Можно спорить, какой из перечисленных способов лучше, но ясно одно, что все они
правильно указывают числа, соответствующие трем заданным точкам единичной
окружности.
Опыт показывает, что учащиеся часто пренебрегают единичной окружностью, делая
упор на заучивание формул для решения простейших тригонометрических уравнений, а
потому решают фактически вслепую. В результате допускают ошибки.
Непреодолимым барьером для значительной части учащихся являются задачи с
параметром, в том числе тригонометрические уравнения и их системы с параметром.
При решении просто необходимо использовать не только единичную окружность, но и
координатную прямую.
ТАБЛИЦА «ОПАСНЫХ» ФОРМУЛ.
Известны различные типы и методы решения тригонометрических уравнений:
простейшие; решаемые разложением левой части на множители; приводимые к одной
функции одного аргумента; однородные относительно sin x, cos x; решаемые введением
вспомогательного аргумента; используя свойство ограниченности выражения А sin x +В
cos x и т.д. При решении любого уравнения я рекомендую учащимся использовать
единичную окружность, а при необходимости и координатную прямую. Найдя область
допустимых значений уравнения, желательно исключить на единичной окружности те
точки (если такие есть), числа соответствующие которым не могут являться корнями
данного уравнения. Затем надо постараться привести данное уравнение к одному или
нескольким простейшим уравнениям. Решение полученных уравнений отметить на
единичной окружности соответствующими точками. Окончательный ответ записывается
наиболее рационально.
Особенно важно применение единичной окружности при решении уравнений:




с переменной в знаменателе;
содержащих функции тангенс и котангенс;
корни которых должны удовлетворять определенным условиям;
методом оценок.
Но при решении других типов не стоит игнорировать окружность, т.к. на
заключительном этапе она поможет при отборе корней, при записи ответа. Решая
уравнение, необходимо следить за изменением области допустимых значений уравнения.
Она может меняться в результате тождественных преобразований, возведении обеих
частей уравнения в одну и ту же четную степень, при применении тригонометрических
тождеств и т.д. При применении одних тригонометрических тождеств область
допустимых значений уравнения может остаться неизменной, а при других – может
расшириться или сузиться. Использование предлагаемой таблицы «опасных» формул, на
мой взгляд, может помочь решить вопрос о потере или приобретении посторонних
корней при применении различных тригонометрических тождеств.
Область допустимых
значений левой части
тождества
ТОЖДЕСТВО
 2  =
2  =
1
2  + 1
1
2  + 1
tgx·ctgx=1
 =
1

 =
2 =
1

2
2  + 1
1 − 2 
2 = 2
  + 1
Область допустимых
значений правой части
тождества
2 =
2
2  + 1
2  − 1
2 =
2  + 1
2 =
 =
2
1 − 2 
1 − 2
2

 ±  ≠ + ,  ∈ 
2
± ≠

+ ,  ∈ 
2
( + ) =

+ ,  ∈ 
2

 ≠ + ,  ∈ 
2
 ± 
1 ∓  ∙ 
≠
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
I УРОВЕНЬ
1. Простейшие тригонометрические уравнения.
1) Решите уравнения:

1
4
2
2cos 4x = 1;
cos (5x+ ) = ;
3sin 5x – 2 = 0;
sin ( − 2) = -1;
ctg 4x = 5;


2 cos ( − 3) = √2.
6
4
2) Найдите корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку.
(cos x -
√2
)(sin
2
x+
√2
)
2
= 0, [0;2π]; cos 3x =
√3
,
2

 3
4
2
[-π;π]; sin (2x - ) = -1, [− ;
2
].
2. Уравнения, решаемые разложением на множители или приводимые к
квадратным.
sin2 x – sin x = 0;
sin2 x + sin x ·cos x = 0;
√3cos2 x = sin x ·cos x;
tg2 x = 4tg x – 3;
cos2 x = cos x + 2;
sin2 2x + 2 = 3sin 2x;
cos2 x = sin2 x –1;
2cos x + cos2 x = 2 – sin2 x;
ctg2 2x – 6ctg 2x +5 = 0.
3. Однородные уравнения.
sin x + √3cos x = 0; sin2 x = sin x ·cos x;
3sin2 x + sin x ·cos x – 2cos2 x = 0.
4. Применение формул синуса и косинуса суммы (разности) аргументов.
1) Решите уравнение:
cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = -1;
sin 3x cos 5x - sin 5x cos 3x = 0,5;
√3
;
2
sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1; cos 3x cos 5x = sin 3x sin 5x; cos 5x cos 7x = √2
2
√2
2
sin x +
cos x = 1;
cos x + sin x = 1;
√3 cos x - sin x = 1.
2) Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
sin 0,2x cos 0,8x + cos 0,2x sin 0,8x = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x, х ∈[0; 3π];
cos 0,7x cos 1,3x - sin 0,7x sin 1,3x = sin 7x cos 9x - sin 9x cos 7x, х ∈[-π; π].
5. Применение формулы тангенса суммы и разности аргументов.
1) Решите уравнение:
+3
1−3
= 1;
5−3
1+35
= √3;
2) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π; 2π]:
√3−
1+√3
= 1;

5

 2+1
5
 −2
= √3.
6. Применение формул двойного аргумента.
sin 2x - 2 cos x = 0;
2 sin x = sin 2x;

cos2
3
-
 1
sin2 = ;
3 2
1
sin 4x ·cos 4x = ;
2
7. Применение формул понижения степени.


1 - cos x = 2sin ;
1 - cos x = sin x sin ;
2

1 + cos x = 2cos ;
2
2

sin2
2
3
= ;
4
sin x ·cos x = 0,25;
cos 2x = 2 sin2 x.

sin x = tg2 (1+ cos x);
2

cos2
4
1
= .
4
8. Решение тригонометрических уравнений путем преобразования сумм
тригонометрических функций в произведение.
cos x + cos 3x = 0;
sin 3x = sin 17x;
sin x + sin 2x + sin 3x = 0;
cos 3x - cos 5x = sin 4x.
9. Решение тригонометрических уравнений путем преобразования
произведений тригонометрических функций в сумму.




cos (x + ) cos (x - ) – 0,25 = 0;
sin (x + ) cos (x - ) = 1;
3
3
3
2 sin x ·cos 3x + sin 4x = 0;
sin

2
·sin
6
3
2
1
= .
2
10.Решение тригонометрических уравнений путем преобразования
выражения А sin x + В cos x к виду С sin (x+t).
√3 sin x + cos x = 1; sin x - √3  =√3; sin x + cos x = √2; sin x - cos x = 1.
II УРОВЕНЬ
1. Уравнения, решаемые разложением на множители или приводимые к
квадратным.
√16 −  2 · sin x = 0;
(√2  - 1) √4 2 − 7 + 3 = 0;



12− √2
2
2
6
2
2 cos2 + √3 cos = 0; 4 cos2(x – ) – 3 = 0; sin2 x –
+5
2
=
1
 2 
;
sin - 3√2 = 0;
√2 + 2| | = 0; 5 - 5 sin 3(π – x) = cos2 (3π – 3x);
3
sin2 x + cos2 2x + cos2 (
2
+ 2) + 2   tg x = 1.
2. Однородные уравнения.
√2 sin 17x = √6 17 ;
√3 sin 3x = cos 3x;
2
2

2
2
2 sin 2x - 5 sin 2x cos 2x + 2cos 2x = 0;

sin2 = 3cos2 ;
2
2
5 sin x - 14 sin x cos x - 3cos x = 2;





2
2
2
2
2
4 sin2 - 3 = 2 sin cos ; sin ( + 2) + cos ( − ) = 0; | sin x | =|   |;



√3  (  − 3) +3 sin ( 2 − 3) = 0; sin2 x - 5cos x = sin x cos x - 5sin x;
sin2 x + 2 sin (π – x) cos x - 3 cos2 (2π – x) = 0;
3. Применение формул синуса и косинуса суммы (разности) аргументов.



√2 sin ( 4 − 2) + sin 2 =
√3 √2
; 
2
2
–
√2
2
  = 1; √3   +   = 1
4. Применение формул двойного аргумента.
1) Решите уравнение:
2 - cos 2x +3 sin x = 0;
26 sin x cos x - cos 4x + 7 = 0;
sin4 x + cos4 x = sin x cos x;
sin 2x + 2 sin x = 2 + 2 cos x;
2) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
3sin 2x + cos 2x = 1; 4 sin x + sin 2x = 0, х ∈[0; 2π]; cos 4x + 2 sin 4x = 1;


4
4
cos2 (3x+ ) - sin2 (3x+ ) +
√3
2
= 0;
3) Сколько корней имеет уравнение на заданном отрезке:
20 28
(cos x - sin x)2 = 1 - 2sin 2x, х ∈[
9
;
9
].
5. Применение формул понижения степени.

3

1
6
4
4
2
1) Решите уравнение: 2 (2 − ) = ; cos2 (3 − ) = .
2) Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| < 4:
4 2 x + 2 2 = 3; 4 cos2 2+ 8 cos2 x = 7.
6. Решение тригонометрических уравнений путем преобразования сумм
тригонометрических функций в произведение.
1) Решите уравнение:
sin 3x = cos 2x;
sin (7π + x) = cos (2x + 9π);
1 + cos 6x = 2 2 5x;
2 x + 2 3x = 1; 2 2 3x – 1 = cos2 4 - 2 4x; tg x + tg 5x = 0;
sin x + sin 3x + cos x + cos 3x = 0;
2) Сколько корней имеет уравнение (найдите корни уравнения) на заданном


промежутке: sin 2x + sin 6x = cos 2x, х ∈[0; ]; 2cos2  – 1 = sin 3x, х ∈[0; ];
2
2
cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x, х ∈(0; 2,5);
(0; 2,5).
2 cos  - 1 = sin 3x, х ∈
2
7. Решение тригонометрических уравнений путем преобразования
произведений тригонометрических функций в сумму.
1) Решите уравнение: sin 3x cos x = sin
5
2
cos
3
2
; cos 2x cos x = cos 2,5x cos 0,5x
2) Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень
уравнения: sin x sin 3x = 0,5; cos x cos 3x +0,5 = 0.
8. Решение тригонометрических уравнений путем преобразования
выражения А sin x + В cos x к виду С sin (x+t).
cos 2x + √3 sin 2x = √2;
4 sin x - 3 cos x = 5;
sin 5x - cos 5x =
√6
;
2


3

3
sin + cos = 1;
3 sin 2x + 4 cos 2x = 2,5;

5cos - 12sin = 6,5
2
2
III УРОВЕНЬ
1. Решите уравнение: a) sin x +7 cos x = 5;
а) Решение:
Используем формулы sin  =
получим:

2

1+2
2
2
+7

2

2
1+
2
1−2

2

1+2
2
2
- 5 = 0,
, cos  =
2
1+
+7
2
б) 5 sin x +10 cos x +2 = 0.

2

1+2
2
1−2
1−2
1+2

и замену  =  ,
− 5 = 0,
2
2u + 7 – 7u2 -5 – 5u2 = 0, - 12u2 +2u +2 = 0, 6u2 – u – 1 = 0, D = 25,

1
2

2
1
1
2
3
u= ,u=-
1
Выполним обратную замену:  = ,
 = 2 + 2,  ∈ 
2
1
1
 = − ;
2
 = −2 + 2,  ∈ 
3
1
1
2
3
3
Ответ: 2 + 2; −2 + 2,  ∈ 
б) 4 sin 2x + 8(sin x- cos x) = 7.
2. a) sin 2x +2 sin x = 2 - 2 cos x;
а) Решение:
sin x cos x + sin x = 1 - cos x,

2

1+2
2
2

2

1+2
2
1−2
·
+

2

1+2
2
2
=1−

2

1+2
2
1−2

. Замена  =  , получим u4 + u2 – 2u = 0,
2
u(u3 + u – 2) = 0, u(u – 1)(u2 +u + 2) = 0,

u = 0,
 = 0,
u = 1;
 = 1,
2

2
x = 2πn,n∈ 


Ответ: 2πn; + 4,  ∈ .
x = + 4,  ∈ .
2
2
3. 2 sin 17x +√3 cos 5x + sin 5x = 0.
Решение: 2 sin 17x +2(
√3

2
1
5 + sin 5x) = 0,
2

sin 17x + sin ( + 5) = 0,
3


sin ( + 11)  (6 − ) = 0;
6
6


6
11
=− +


9
6
,  ∈ 


6
11
Ответ: − +
 = + ,  ∈ .

4. а) (sin x + √3 cos x)2 – 5 = cos( − );
6


9
6
; + ,  ∈ .

б) (√3  −  )2 +1 = 4 cos ( + ).
3
а) Решение:
1
√3

2
4(   +
2
2 

)2 – 5 – cos( - x) = 0,

6

4 cos ( - x) – cos ( - x) – 5 = 0, замена cos ( - x) = a, | a |≤ 1
6
6
6
1

4
6
4a2 – a – 5 = 0, D = 81, a = 1 ; a = -1. Обратная замена cos ( - x) = -1,
x=−
5
6
Ответ: −
+ 2,  ∈ .
5. а) √3  +   + 2 =
12

5
6
+ 2,  ∈ .

б) √2(  -  ) = 2x - .
;
2
б) Решение:
√ ∙ √ (

√
  +


√
 ) = 2x - ,
2



4
4
4
cos ( + x) = x - , x = .
6.
3

Ответ: .
4
7 
 2 
+ 1 = |cos
|
Решение:

О.Д.З. уравнения: x ≠ + ,  ∈ . Учитывая, что левая часть уравнения принимает
2
положительные значения, корни уравнения (если они есть) должны удовлетворять
условию   > 0. Данное уравнение равносильно
совокупности систем:
y
  > 0,

2
  > 0,
3
 2 
+1=
7 
cos 
0 x
,
  > 0,
  < 0,
3
 2 

2
y

+1=−
7 
cos 
x
.

2πn < x < + 2,  ∈ 
2
2
4cos x +3sin2 x - 7    = 0,

+ 2< x < π+ 2πn ,  ∈ 
2
4cos2x +3sin2 x + 7    = 0.
4
3
y
1

2πn < x < + 2,  ∈ 
2
4
tg x = ,
3
tg x = 1,

2
+ 2< x < π+ 2πn ,  ∈ 
4
0
x
y
0
tg x = - ,
3
tg x = - 1.
x
-1
4
−
3
Изобразим точки на одной окружности и запишем им соответствующие числа:
y
=
=

(−1)
4
(−1)
+ ,  ∈ 
4
 + ,  ∈ 
00
3
x

4
Ответ: (−1) + ,  ∈ , (−1)  + ,  ∈ 
7. sin x -
4
|2−1|
2 cos −1
3
2
2
  =  

О.Д.З. уравнения:  ≠ ± + 2,  ∈ .
3
Данное уравнение сводится к совокупности систем:
1
cos  > ,
2
sin x – sin2 x = sin2 x,
1
cos  < ,
2
sin x + sin2 x = sin2 x;
y
π/3
1
cos  > ,
0
2
sin x = 0,
1
x
x
sin x = ,
y
π/3
2
-π/3
0
1
cos  < ,
2
x
sin x = 0,
5π/3
x = πn, n∈ Z

x = +2 πn, n∈ Z
Ответ: πn, n∈ Z;
6

6
+2 πn, n∈ Z
|sin |
8. 2|−2| sin  = √2
Решение: О. Д.З. уравнения:  ∈ .

Данное уравнение равносильно уравнению: |x - 2|sin x = |sin x| .
2
Рассмотрим ряд возможных случаев.
1) sin x = 0, x = πn, n ∈Z - решения данного уравнения.
2) sin x >0,
2|х - 2|sin x = x sin x,
sin x >0,
2|х - 2|= x.
sin x >0,
x ≥ 2,
x = 4,
y
0
0
π
x
2
4
x= ,
4
3
0
3
0 < x <2,
sin x >0.
x
Решаем системы с помощью окружностей. Первая система решений не имеет.
4
Решением второй системы является число х = .
3
3) sin x < 0,
2|х - 2|= -х,
sin x < 0,
x ≤ 0,
- 2 x + 4 = - x,
sin x < 0,
x ≤ 0,
x = 4.
не имеет.
4
Ответ: ,  ∈ Z ; .
3

9. 2 sin (3 + ) = √1 + 8 sin 2 2 2.
4
Решение:
Уравнение равносильно следующей системе:

 (3 + ) ≥ 0,
4

42 (3 + ) = 1 + 8 sin 2 2 2,
4

 (3 + ) ≥ 0,
4

2 − 2 (6 + ) = 1 + 4 sin 4 cos 4,
2

 (3 + ) ≥ 0,
4
1 + 2 sin 6 = 2(sin 6 + sin 2),

 (3 + ) ≥ 0,
4
1
sin 2x = ,
2

 (3 + ) ≥ 0,
4
x=
x=

12
5
12
+ ,  ∈ ,
 + ,  ∈ .
Решим неравенство системы:

2πm ≤ 3x+ ≤ π + 2πm, m∈ ,
4
 2
 2
− +  ≤  ≤ + ,  ∈ .
12 3
4 3
Система решений
С помощью единичной окружности выберем те решения системы, которые

7
12
удовлетворяют неравенству  (3 + ) ≥ 0
4
=
=

12
17
12
+ 2,  ∈ 
11
12
 + 2,  ∈ 
Ответ:

12
+ 2;
17
12
5
12
 + 2, ,  ∈ 

12
0
 x
 − 12
4
5
4
19
12
17
4
10. log(x-x2) (sin x + cos x) = log(x-x2) (1+ sin 2x)
Решение:
О.Д.З. уравнения:
sin x + cos x > 0,
x – x2 > 0,
x – x2≠ 1;
2πn<  +

4
< π + 2πn, n∈ ,

3
4
4
− + 2 <  <
+ 2,  ∈ .

sin ( + ) > 0,
4
x(1-x) > 0
3
4
1
0
Решением неравенства х(1 – х) > 0 является интервал (0;1).

−
Покажем это на окружности. Итак, х∈ (0; 1).
4
Данное уравнение сводится в области определения к
равносильному уравнению:
sin x + cos x = 1 + sin 2x;
sin x + cos x = (sin x + cos x)2;
(sin x + cos x)( sin x + cos x – 1) = 0;
sin x + cos x = 1, Уравнение sin x + cos x = 0 не имеет решений в О.Д.З.
sin x + cos x = 0.
исходного уравнения. Решаем второе уравнение
совокупности:

sin ( + ) =
4
√2
;
2
 = 2,  ∈ 

 = + 2,  ∈ .
2
Видим, что полученные решения уравнения sin x + cos x = 1 не входит в О.Д.З.
данного уравнения.
Ответ: нет корней.
Скачать

Система задач по теме "