1. Вычислить определитель: 2. Найти ранг матрицы:

Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии.
1. Вычислить определитель:
0
1.2.
6 3 5
3 2 4 1
5 1 4 3
3 8 7 6
2. Найти ранг матрицы:
1 3 7
2 5


2.2.   1 0 4 8 3 
 3 6 10  4 7 


3. Решить систему линейных уравнений:
а) по правилу Крамера;
б) средствами матричного исчисления.
 х  у  z  4

3.2. 2 х  3 у  z  1
 х  у  2z  6

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
3х1  2 х2  х3  9 х4  12

4.2.  5 х1  3х2  4 х3  3х4  7
 х  7 х  6 х  15 х  4
2
3
4
 1
5. Дана матрица А. Найти А 1 , обратную данной. Сделать проверку ,
вычислив произведение.
4
3 
 1


5.2.   8 2  5 
  2  8  6


6. Найти:



а) скалярное произведение а (2 в -3 а );




б) при каком значении α векторы а +3 в и в - α а ортогональны ?
в) для прямой М 1 М 2 написать уравнение с угловым коэффициентом в
отрезках и общее уравнение;
г) начертить график прямой М 1 М 2 .


6.2. а = 1; 2;  1; в = 0;  1; 1
М 1 (3; -1)
М 2 (1; 4)
7. В треугольнике М 0 М 1 М 2 найти уравнение медианы, высоты,
проведенных из вершины М 0 , а также уравнение средней линии
EF,параллельной основанию М 1 М 2 . Вычислить длину, найденной
высоты.
7.2. М 0 (-2; 6);
М 1 (3; -1); М 2 (1; 4)
8. По каноническому уравнению кривой второго порядка определите тип
кривой, начертите ее график. Найдите координаты фокусов, вершин и
центра (для центральной кривой).
8.2. х 2 +у 2 +6х-4у=0
9. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии.
9.2.
(х 2 +у 2 ) 2 =8у 3
10. Дано комплексное число z; требуется:
а) записать число z в алгебраической форме;
б) изобразить его на комплексной плоскости C;
в) найти модуль и аргумент числа z и записать его в тригонометрической и показательной формах;
г) вычислить z8 по формуле Муавра;
д) найти все корни уравнения ω3 + z = 0 и изобразить их на комплексной
плоскости.
10.2. z  2 2 / 1  i 
1. Найти неопределённые интегралы. Правильность полученных результатов проверить
дифференцированием:
2. Вычислить определённый интеграл:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:
4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
5. Даны функция z = f(x; y), точка А(x 0; y0) и вектор a =(a1; a2). Найти: 1) grad z в точке
А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f(x; y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж.
7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям y(0) = yo , y'(0) = y'o .
9. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

10. Исследовать сходимость числового ряда
u
n 1
n

11. Найти интервал сходимости степенного ряда  an x n с заданными коэффициентами an:
n 1
b
12. Вычислить определенный интеграл
 f  x  dx с точностью до
0,001. Использовать
0
разложение подынтегральной функции в степенной ряд и его почленное интегрирование.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
1. Решить задачу графическим методом.
2.
L( x )  3 x1  x 2  min при ограничениях
 x1  x 2  0,
 x  5 x  5,
2
 1
 x1  0, x 2  0 .
2. Решить задачу симплексным методом.
2.
L( x )  2 x1  3 x 2  max при ограничениях
 x1  4 x 2  8,
 x1  4,
2 x  5
 2
 x1  0, x 2  0 .
3. Решить транспортную задачу.
Составить план перевозок по доставке требуемой продукции из пунктов А1 , А2 , А3 в
пункты назначения В1 , В2 , В3 минимизирующий суммарные транспортные расходы.
Стоимости Cij (i  1,2,3, ; j  1,2,3, ) перевозки единицы продукции с i-го пункта в j-ый
пункт распределения приведены в таблице.
2.
Ai\Bj
20
40
30
30
2
3
4
10
1
1
1
50
2
4
2
ЗАДАНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Случайным образом выбирается число из множества 1,2,3,4,5,6,7,8. Какова
вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 4.
ЗАДАНИЕ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
При аттестации 100 сотрудников неаттестованными оказались 8. Какова
вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.
ЗАДАНИЕ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Случайным образом выбирается число из множества S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Событие
А={взятое число <5}, В={взятое число >6}. Используя теорему сложения, найдите
вероятность того, что взятое число принадлежит хотя бы одному множеству А или В.
ЗАДАНИЕ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА.
В условиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый.
Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2. (предыдущая задача: в
урне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1 черный
шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятность того, что это
белый шар?)
ЗАДАНИЕ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
В следующих задачах дискретная случайная величина задана законом
распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое
ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации,
коэффициент асимметрии.
10.
X
-1
0
1
P
0.4
0.2
0.4
ЗАДАНИЕ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ
Вероятность того, что клиенту страховой компании понадобится страховка равна
0,01. Случайная величина Х- число клиентов, которые обратятся в страховую компанию
за страховкой из 10000 застраховавшихся. Найти числовые характеристики Х и
вероятности а) Р( х =100) б)Р(90 х 110).
ЗАДАНИЕ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. РАВНОМЕРНОЕ
И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Случайная величина Х- время обслуживания клиентов в мастерской имеет
показательное распределение с функцией распределения F(х)=1-е-3х(отсчет времени
берется в часах). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности а)
Р(Х<0,5) б) Р(0,2<X<0,4).
ЗАДАНИЕ 8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ПРАВИЛО 3-Х СИГМ.
Продолжительность работы прибора есть нормально распределенная с.в. с
параметрами а=1000 ч. и  2=900 ч. Найти вероятность того, что продолжительность
горения лампы составляет: а) более 1000 ч. б) менее 1000 ч. в) от 940 ч. до 1060 ч.
Выписать плотность распределения данной с.в. и изобразить решение п. в) на графике
плотности.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
ЗАДАНИЕ 9. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПО
НЕСГРУППИРОВАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ.
Дана выборка. Требуется:
а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;
б) Вариационный ряд;
в) Найти "хорошие" оценки математического ожидания и дисперсии;
г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
0,1,1,3,1,2,2,0,1,0.
ЗАДАНИЕ 10. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Используя данные задачи 6, определите, каким должен быть минимальный размер
выборки для того, чтобы оценить истинный процент "за" с 95% надежностью и с
точностью не более 2%. (Задача №6: по предварительному опросу населения большого
города, в котором участвовало 900 жителей, за мероприятие Х, готовы проголосовать 400
человек из опрошенных жителей. Найти 90% доверительный интервал, в котором
находится истинный процент готовых проголосовать за мероприятие Х)
ЗАДАНИЕ 11. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.
F,T - критерии
Для сравнения организации работы на двух однотипных предприятиях, были взяты
выборочные данные объемами n1 и n2 соответственно по признаку - объемы выпущенной
продукции в у.е. Оценки дисперсии S12 и S22 даны ниже. Можно ли считать, что
предприятия работают одинаково точно. Уровень значимости выбрать самостоятельно.
5. n1=11, n2=9; S12  83,6; S22  74,8.
ЗАДАНИЕ 12.КРИТЕРИЙ ПИРСОНА
В следующих задачах для приведенных группировочных данных проверить
гипотезу о том, что они получены из нормальной генеральной совокупности. Уровень
значимости выбрать самостоятельно.
7. Граница
1-5
5-9
9-13
13-17
17-21
21-25
25-29
интервала
Частота
3
29
56
81
67
19
8
ЗАДАНИЕ 13. ВЫБОРОЧНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.
В следующих задачах следует построить уравнение регрессии вида y x  b0  b1x.
Сделать вывод о возможности использования линиию регрессии в дальнейших прогнозах.
Данные об удельной величине спроса товаров (Y) и среднедушевого дохода (Х).
Xi
Yi
1
3,5
2
6,1
3
7,5
4
7,8
6
8,2
6
8,1