Общая теория движения по малоэксцентричным

Общая теория движения по
малоэксцентричным орбитам
В.М. Юровицкий
В современной космонавтике при исследовании орбитальных движений
используется аппарат кеплеровский движений.
Большая часть орбитальных движений приходится на почти круговые
(малоэксцентричные) орбиты. Действительно, пусть разность между апогеем и перигеем
орбиты составляет 100 км. Это очень большая величина для практическпи используемых
орбит. Но и в этом случае эксцентриситет составляет всего 100/6400=0.013. Для такого
орбитального движения кеплеровский аппарат излишне сложен. Данная работа посвящена
созданию специального языка для описания движения по малоэксцентричным орбитам
(МЭО).
Уравнение движения КА по орбите имеет вид:
r   2r 

2
r
 2 r   r.
;
(1)
Здесь мы ввели систему отсчета с началом в центре Земли и с осью, направленной
постоянно на КА. Система отсчета является вращающейся с угловой частотой ω. В первом
уравнении введена центробежная сила инерции, а второе уравнение характеризует
равновесие кориолисовых и тангенциальных сил вдоль касательного направления.
Переменными задачи является радиус r и угловая скорость вращения системы отсчета ω.
Решение этой задачи хорошо известно и дается в виде кеплерового движения.
Наша задача получить более простое решение, соответствующее МЭО.
Для круговой орбиты имеем стационарное решение:
r  R  Const ;     Const ;  2 

R3
.
(2)
Для МЭО принимаем:
r  R (1  x);    (1  w);
(3)
где x и w – малые величины.
Кроме того, введем независимую переменную φ, связанную с переменной t
соотношением:
d
   (1  w).
dt
(4)
Подставляя (3) и (4) в (1) и оставляя лишь члены первого порядка, получаем
уравнения движения:
x  2w  3x;
 2 x  w.
(5)
Рассмотрим одну из апсидальных точек траектории (апогей или перигей). В
апсиде x’=0, x=0, w=w0=W. Для x получаем уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
x  x  2W .
Общее решение системы тривиально:
x  2W (1  cos  ) ;
w  W (3  4 cos  ).
(6)
Кроме того, с точностью до второго порядка
x  x  2W sin  .
(7)
Для зависимости фазы от времени имеем неявную зависимость:

t
0
d
1
 (1  3W )  4W sin  .
 ( ) 
(8)
А для периода обращения получаем:
T
2
(1  3W ).

(9)
Итак, фаза φ полностью определяет положение и все параметры на заданной
орбите. А сама орбита полностью определяется набором параметров (Ω,W). Назовем
параметр Ω углоскоростным параметром (УСП), а параметр W – углоскоростной
аномалией (УСА). Физический смысл их достаточно прозрачен. УСП есть угловая
скорость круговой орбиты, касающейся МЭО в одной из апсидальных точек. Будем
называть их апсидальными орбитами. Причем ту, которая касается в перигейной точке,
будем называть перигейной, и, соответственно, другую – апогейной орбитами. Реальная
траекторие лежит в кольце между перигейной и апогейной орбитами.
Углоскоростная аномалия есть относительное отклонение угловой скорости
реальной орбиты в апсидальной точке от соответствующей апсидальной орбиты.
Таким образом, каждая МЭО может быть описана не одним, а двумя описаниями
– (Ω,W) и (Ω’,W’). Соотношение между ними:
   (1  6W );
W   W .
(10)
Положительное значение УСА соответствует перигейному описанию,
отрицательное – апогейному.
Связь этого описания с эллиптическим через фокальный параметр и
эксцентриситет дается выражениями:
p  R(1  2W );
e  2W .
(11)
На рисунке изображена схема расположения МЭО и ее апсидальных орбит.
Единицей измерения УСА является сек-1. Для этой единицы предлагается дать
особое название кес. Для практических целей удобно использовать мккес. Углоскоростной
параметр можно измерять в промилле, пм, т.е. в тысячных долях.
Таким образом, основы теории малоэксцентричных орбит заложены. В
последующих статьях будет продемонстрировано приложение этой теории для решения
разнообразных задач космонавтики.
Апогейная
орбита
А
P
Реальная орбита (МЭО)
Перигейная орбита
Гостевая
книга
Назад