шпоры по математике

1)метод координат .Задача: описание положения объекта в пространстве,3 вида
пространств. Систем координат сущ. бесконечно много, но координаты точки будут
разными→нужно иметь формулу перехода.Имея исходную систему можно перейти к др,
используя 2 операции:а)сдвиг начала(x01=x0-a) б)поворот осей.x’=xcosφysinφ,y’=xsinφ+ysinφ.Чтобы провести обратную операцию нужно заменить x на x’ и.т.д.
2)векторы.Свойства:сложение,умножение на число,вычитание,комммутсть(a+b=b+a),ассоциат.(a+b)+i=a+(b+i), умн.суммы на число.
3)точка,делящая отрезок в заданном отношении.Координаты вектора-разность начала и
конца.2 вектора равные,если у них равны все соответст. координат Нулевой
вектор.|a|=корx2+y2.am/mb=λ x=x1+ λx2/1+ λ. x=x1+x2/2.
4)Разложение вектора по ортам.
Орта-вектор,имеющий единственную длину и направлений по одной из осей координат.
Любой вектор можно выразить в виде линейной комбинации ортов.а=axi+ayj, a=(ax;ay)
L1 и l2 .Если l1 и l2 неколлинеарны,то любой вектор на плоскости можно представить в
виде линейной комбинации этих векторов.a= λ1 L1+ λ2l2
5)Скалярное произведение 2 векторов.
A*b=|A||b|cosφ. Ab=ba φ=0 cos0=1 aa=|a|2 cos 90=0 ab=0 a(x1 y1) b(x2 y2) ab=x1x2+y1y2
Док-во a и b разложим по ортам a=x1i+y1j,
b=x2i+y2j.ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2ii+x1y2ij+x2y1ij+y1y2jj=x1x2+y1y2. угол между
векторами cosφ=ab/|a||b|
6)прямая линия на плоскости
y=kx+b k=tgx Ax+By+C=0 A,B,C=const.C=0 A0+B0=0,B=0 Ax+c A=0 By+c=0 n=(A’B)нормаль перепен. Линии.док-во Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0 A(x1-x2)+B(y1-y2)=0
n=(A;B) (x2-x1;y2-y1)=M1M2 nM1M2=0 nM1M2=|n||M1M2|cosφ=0 ч.т.д.
7)условия параллельности и перпендикулярности.
n1||n2 n2= λn1 (A2,B2)= λ(A1,B1) A2=λA1 B2=λB1 A2/A1=B2/B1=λ
y=k1x+b1 k1=tgφ1 y=k2x+b2 k2=tgφ2 n1=(A1B1) n2=(A2B2) n1n2=A1A2+B1B2 =0
8)угол между 2 прямыми на плоскости
cosφ=A1A2+B1B2/корA12+B12*корA22+B22=A1A2+1/кор(A1/B1)2+1)*кор(A2/B2)+1
cosφ=R1R2+1/кор(k12+1)кор(K22+1) tgφ-? Sin2φ+cos2φ=1 tg2φ+1=1/cos2φ tgφ=кор1/(cos2φ1)=кор((k12+1)(k22+1)/(k1k2+1)2)-1=кор(k1-k2)2/(k1k2+1)2=|k1-k2/k1k2+1| tg(φ1-φ2)=tgφ1tgφ2/1+tgφ1tgφ2
9)Расстояние от точки до прямой.
Ax+By+C=0 P(x0;y0) 1)x0=y0=0 d=-C/корA2+B2 d=|Ax0+By0+c|/корA2+B2
10)Уравнение пучка прямых.
y-y0=k(x-x0) y-y1=k(x-x1) y2-y1=k(x2-x1) k=y2-y1/x2-x1 y-y1=y2-y1/x2-x1*(x2-x1)
y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1
11)Прямая и плоскость в пространстве
M(x0;y0;z0) N(x;y;z) Mn=(x-x0;y-y0;z-zo)MN_|_n MN n=0 Mn n=A(x-x0)+B(y-y0)+C(zz0)=0 Ax+By+Cz+(Ax0-By0-Cz0)=0 Ax+By+Cz+D=0
Условие параллельности A1x+B1y+C1z+D и A2x+B2y+C2Z+D=0 n1=(A1;B1;C1)
n2(A2;B2;C2) A1/A2=B1/B2=C1/C2 условия перпен. n1n2=0 A1A2+B1B2+C1C2=0 прямая
в пространстве-линия пересечения двух плоскостей.
12)уравнение прямой,проходящей через 2 точки в пространстве.P1(x1;y1;z1)P2(x2;y2;z2)
P1M=(x-x1;y-y1;z-z1) P1P2=(x2-x1;y2-y1;z2-z1)каноническое уравнение-уравнение
прямой,проходящей через заданную точку в заданном направлении. P(x1;y1;z1)
k=(ax;ay;az) PM||k PM(x-x1;y-y1;z-z1) x-x1/ax=y-y1/ay=z-z1/az
13)Эллипс-геом. Место точек, сумма расстояний до которых от двух данных точек
постоянна.Эти данные точки называются фокусами эллипса.|F1M|+|F2M|=2a
вывод:|F1M|=кор(x+c)2+y2 |F2M|=кор(c-x)2+y2 /кор(x+c)2+y2 +кор(c-x)2+y2=2c/
кор(x+c)2+y2=2a-кор(c-x)2+y2/(x+c)2+y2=4a2-4aкор(c-x)2+y2+(c-x)2+y2....x2/a2+y2/b2=1 aбольшая полуось,b-малая
14)Гипербола-геом.место точек,разность расстояний которых до 2 данных точек
постоянна. |F1M|=|F2M|=2c 0<a<c |F1M|=кор(x+c)2+y2 F2M=кор(x+c)2+y2/кор(x+c)2+y2кор(x-c)2+y2=2c....x2/a2+y2/a2-c2=1 a2-c2=-b2 x2/a2-y2/b2=1
15)Парабола-геом.место точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой.точкафокус параболы,прямая-директриса.|AM|=|FM| |AM|=p/2+x |FM|=кор(x-p/2)2+y2
p/2+x=кор(x-p/2)2+y2 y2=2px
16)векторы в n-мерном пространстве
a=(a1,a2,..a1) λ-число а-векторов. λa=(λa1, λa2.... λan) 2)b=(b1 b2 bn)
a+b=(a1+b1;a2+b2;an+bn) a+0=a a+(-a)=0 свойства:a+b=b+a/a=(b+c)=(a+b)+c/λ(ma)=
λma/(a+b) λ=aλ+bλ/(λ+M)+a=λa+Ma скалярное произведение:a=(a1;a2...an)b=(b1,b2...bn)
(a,b)=a1b1+a2b2+....+anbn свойства:1)(a,b)=(b.a)2)(a1a)>=0;(a1a)=0 3)(A+b,c)=(a,c)+(b,c)
4)( λa,b)=(a, λb)= λ(ab)
17)система векторов в Rn a1,a2...an-векторы из пространства Rn.Система векторов a1,a2,an
называется линейно независимой,если λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 λ1=λ2=0 В Rn макс число
линейно независимых векторов равно n.теорема:a1,a2...an-система векторов.Для того
чтобы она была линейно зависимой необходимо и достаточно чтобы один из векторов
этой системы можно было представить в виде линейной комбинации
остальных.Необходимо:Пусть a1..an-линейно зависима,сущ. λ1, λ2, λn одновременно не
равны 0,так что λ1a1+...+λnan=0/Пусть λ1не=0
λ1a1+λ2a2+λnan=0|:λ1 a1+λ2/λ1a2 +λn/λ1 an=0 a1=-λ2/λ1 a2-...-λn/λ1an достаточно:Пусть a1
...an-система векторов.a1=λ2a2+..+λnan→a1-λ2a2... λnan=0 при этом λ=1→a1...an –линейно
зависима
18)базис пространства RN. Любая сист из линейно не завис векторов в прост-ве обр базис
этого простр.Б-это сист со свойствами:векторов ровно n штук, вектора линейно не завис.Б
может быть бескон много.Ортоб:это б,все вектора кот ортогональны друг другу.Длина
векторов базиса =1.Пусть вектора a1, a2,an обр базис прост-ва Rn,может быть представлен
в виде линейной комбинации векторов б,причем такое представление-един-нно.Такое
представление назыв разлож вектора по базису,а коэффиценты разложения λ назыв
координатами вектора в данном базисе.b=λ1a1+λ2a2+..+ λnan.док-во является линейнозависимой так как в пространстве Rn не может быть больше чем n линейно независимых
векторов. λ1a1+ λ2a2+ λ1nn+ λn+1b=0.Хотя бы один из коэффицентов отличен от 0.Пусть
λn+1не=0,это невозможно так как вектора составляют базис,когда все числа=0.Покажем
единственность разложения.вектор B разложен в 2 вариантах:1)= λ1a1+ λ2a2+ λnan
2)M1a1+M2a2+Mnan 0=( λ1-M1)a-1+( λ2-M2)a-2+( λn-Mn)an λ1=M1 λ2=M2 λn=Mn.Если n
векторов в Rn меньше чем n,то такие вектора базиса не образуют.
19)Матрица-прямоугольная таблица.если m=n ,то квадратная.Если числа,то числовая.Если
функции,то функциональная.нулевая.над и под диогональные
элементы.операции:сложение,вычитание,A+B=B+A,A+(B+C)=(A+B)+C,A+0=A.
Умножение матрицы на число.Матрицы
перемнож.свойства:ABне=BA,A(BC)=(AB)C,A(B+C)=AB+AC, A0=0, AE=
EA=A.транспонирование
20)Определитель-число,которое харатеризует некоторые матрицы.Для каждой квадратной
матрицы можно выписать определитель.|A|т=|A|, если все элементы матрицы умножить на
число k,то величина определителя увеличится в k раз.Если есть строка или столбец=0,то
=0.если к элементам одной строчки прибавить число не изменится.Если элементы одной
строчки пропорц. Элементам другой строчки,то опр=0.
21)обратная матрица
Если опр не=0,то матрица невыраженная.Если=0,то выраженная.Матрица обратная
|A|,если A-1*A=A*A-1=E.Если квадратная матрица не выражена,то A-1сущ. и
единст.Единственность:Пусть дана матрица A,|A|не=0,предположим,что |A| имеет 2
обратные матрицы.B1 и B2.B1A=AB1=E, B2A=AB2=E
B2(B1A)=B2(AB1)=B2E/(B2A)B1=B2E EB1=B2E B1=B2.Теорема существования обратной
матрицы.Введем вспомогательную матрицу A=a11 a12 a1n, a21 a22 a2n , an1 an2
an3.Заменим каждый элемент матрицы её алгебраическим дополнением.A’=A11 и
т.д.Протранспонируем A-1A=AA-1=E A*=A11 A21 An1,A12 A22 An2,A1n A2n An,союзная
матрица AA*=|A|E A’=(a11 a12,a21 a22)=(-1)1+1a22,(-1)1+2a21,(-1)2+1a21,(-1)2+2a11)=(a22 a21,-a12 a11) (a11 a22,a21 a22)(a22 –a12,-a21 a11)=(a11a22-a12a21-a11a12+a11a12,a21a22a21a22-a21a12+a11a22)=|A|E.матрица не выражена A A*/|A| ,A-1=A*/|A|-формула
нахождения квадратной матрицы
22)Система линейных уравнений в матрице
Решение системы называется набор чисел x1,x2,xn,которые при подстановке в систему
делают правильными все m равенства.Если система имеет хотя бы одно решение,она
называется совместной,если решений нет,то система несовместна.Матричный метод
годится для решения не любых систем,а только систем,у которых число неизвестных
равно числу уравнений. Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..........
..........
..........
..........
.......

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное
решение и это решение находится по формулам:xi = i/,где =det A, а i – определитель
матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов
bi.
i =
a11...a1i 1
a 21...a 2i i
b1
b2
a1i 1 ...a1n
a 2i 1 ...a 2 n
...
a n1 ...a ni1
...
bn
...
a ni1 ...a nn
док-во Ax=B,|A|не=0,2)единственность AC1=B,AC2=B/A-1AC1=A-1B, A-1AC2=A-1B,
C1=A-1B,C2=A-1B.C1=C2
23)ранг матрицы
Число k=r(A)=rank(A) Число A называется рангом матрицы A,если оно:1)сущ.хотя бы
один минор k-порядка,не=0 2)все миноры более высоких порядков =0.Ранг можно
интепритировать,как функцию, множество возможных значений которой это все целые
числа,а область определения множество матриц.ранг матрицы=порядку наибольшего
отличного от нуля минора. Теорема о базисном миноре.В произвольной матрице А
каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых
расположен базисный минор.Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен
максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
24)Теорема Кронекера – Капелли.Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда
и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.RgA =
RgA*. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1  a


 a 21 
 ... 
 
a 
 m1 
11
+ x2
 a12 

+
 a 22 
 ... 


a 
 m2 
… + xn
 a1n   b1 

  
 a 2 n   b2 
 ...    ... 

  
 a  b 
 mn   m 
Доказательство.1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть
линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу,
т.е. переход АА* не изменяют ранга.2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они
имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация
столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
25)Гаусс.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..........
..........
..........
..........
.......

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Любую систему такого вида можно привести к равносильной ей разрешенной системе.2
системы равносильны, если имеют одно и то же множество решений. Преобразование
переводящее систему 1 в разрешенную называется джордановыми.в результате работы
алгоритма Гаусса слева будут стоять неизвестные,а справа числа и свободные
переменные.Это решение общее.Придавая свободным разные числовые
решения,получаем частные решения.
26)собственные числа
На некоторые вектора матрица действует только изменением длины,без поворота,такие
вектора называются собственными векторами матрицы.λ-собственное значение
матрицы(характеристическое число матрицы,если можно подобрать такой ненулевой nмерный вектор ,чтобы было выполнено соотношение:Ax=λx,|A-λE|=0. Собственные
вектора,соответст. Зачениям матрицы линейно независимы друг от друга.
27)Модель Леонтьева.
Для описания эконом пропорции внутри какого-нибудь региона.между выпуском разных
отраслей хозяйства.Постановка задачи:эконом.система состоит из 3 отраслей.В течение
года над системой проводились наблюдения,результат которой сведены в таблице.По
данным табл строится матрица коэффицентов прямых запросов.
28) Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матричный метод применим
к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.Метод
удобен для решения систем невысокого порядка.Метод основан на применении свойств
умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
 a11 a12 ... a1n 
 b1 
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1


 
a x  a x  ...  a x  b
a 21 a 22 ... a 2 n 

 b2 
 21 1
22 2
2n n
2 Составим матрицы: A =
;
B
=
 ... ... ... ... 
 ...  ;

..........
..........
..........
..........
.......



 
a

b 
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
a
...
a
n2
nn 
 n1
 n
 x1 
 
x 
X =  2  .Систему уравнений можно записать:AX = B.Сделаем следующее
...
 
x 
 n
преобразование: A-1AX = A-1B, т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В Х = А-1В
29)Функции и их свойства.
Любой элемент пространства Rn можно трактовать как упорядоченный набор чисел.В
пространстве Rn задана функция n-переменных,если указано правило по которому для
любого вектора x,принадлежащего V y=f(x1,x2..xn).x=V y=2/x12+x23+3.Область
определения-множество значений аргументов для которых выполнимы все
операции,предписанные F.Множество значений-область которую y пробегает,когда x ..
весь диапазон.Функция y неограниченна сверху,если можно указать такую
последовательность точек в области D(y),что значения функции неограниченно
возрастают.ограничена снизу.Сложная функция y=f(U1,U2...Um)U1= U1(x1,x2,xn)
U2=U2(x1,x2,xn) Um=Um(x1,x2,xn) обратная функция y=-f(x) x€d(y)x=φ(y)x=-f(y) Если
функция монотонна,то она имеет обратную.
30)Предел
Функция f(x1...xn) имеет в точке M0(x10...xn0)предел равный B(limf(x1..xn),x→M0),если
для любого б>0 сущ. E>0,такое что x€We(M0)∩D(y)→|f(x)-b|<б(xне=M0).Для некоторых
функции пределы сущ. во всех точках области определения,для некоторых возможны
исключения.Определяются такие точки просто,если при подстановке предельной точки
M0 в функцию получается число,то это обычная предельная функция.
31) Основные теоремы о пределах.
lim C  C
Теорема 1. x a
, где С = const.Следующие теоремы справедливы при
предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.
lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
Теорема 2. xa
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
Теорема 3. xa
lim C  f ( x)  C  lim f ( x)
x a
Следствие. xa
f ( x)
f ( x) lim
lim
 xa
xa g ( x)
lim g ( x)  0
lim g ( x)
xa
Теорема 4.
при x  a
lim f ( x)  A
Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и x  a
, то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.
lim g ( x)  lim u ( x)  A
x a
Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и xa
, то и
lim  A
xa
.Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если
существует такое число М>0, что f(x)<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена
вблизи точки х = а.
32) Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть
числом или одной из величин , + или -, если lim f ( x)  0 .Бесконечно малой функция
xa
может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных
значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Свойства бесконечно малых
функций:Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже
бесконечно малая функция при ха.Произведение фиксированного числа бесконечно
малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.Произведение
бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является
бесконечно малой функцией при ха.Частное от деления бесконечно малой функции на
функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая. Определение.
Функция называется бесконечно большой при ха, где а – число или одна из величин ,
+ или -, если lim f ( x)  A , где А – число или одна из величин , + или -.
xa
33)Сравнение функций.f(x) g(x) xне=x f(x)=0?g(x)не=0.lim f(x)/g(x)=1 x→x0.
1)lне=0,lне=∞ f(x)=0 g(x)
1)l=1,то функция f(x) и g(x) при x→x0,называется
эквивалентной.2)l=0 f(x) есть функция более высокого порядка малости чем g(x) 3)l=∞
0, при n  m

sin x
P( x)  a 0
1
g(x)=0(f(x)).замечательные пределы: 1) lim
  , при n  m 2) lim
x 0
x  Q ( x )
x
b
0

, при n  m
x
 1
3) lim 1    e
x 
x

34)неопределенность
lim f(x)=f(x0) x→x0.Непонятные выражения:1)0/02)∞/ ∞3)0∞4) ∞-∞5)1∞6)lim(1+x)1/xx→0
раскрытие
неопределенности:1)lim
x→+∞
Pn(x)/Qn(x)
Pn(x)=xn+a1xn-1+....+an
m
m-1
n
n-1
m
m-1
Qn(x)=x +b1x .+...+bn=lim
x +a1x +...+an/x +b1x +..bm
x→∞
а)n<m
lim
2
m-n
m-n-1
1+a11/x+a21/x +..+an/xn/x +b1x
+..+bn=0 б)n=m lim Pm(x)/Qn(x)=1 x→∞ 2)lim
Pn(x)/Qn(x) x→x0=lim (x-x0)Pn-x/(x-x0)-Qn-1(x)=lim Pn-1(x)/Qn-1(x)=[o/o]
35)Асимптоты графиков функций одной переменной
y=f(x) f/x>x0 f(x)-опр.y=kx+b является асимптотой к графику функции f(x) при x→∞,если
предел [f(x)-(kx+b]=0
36) Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется
непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
lim f ( x)  f ( x0 ) Тот же факт можно записать иначе: lim f ( x)  f ( lim x) Определение.
x x0
x x0
x x0
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является
непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой
разрыва.Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого
положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х,
удовлетворяющих условию
x  x0  
верно неравенство
f ( x)  f ( x0 )   .
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если
приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при хх0.