Задача 1. Определение реакций опор твердого

Содержание
Задача 1. Определение реакций опор твердого тела ............................................... 3
1.1 Вариант схемы I ................................................................................................ 3
1.1.1 Определение реакций опор ....................................................................... 4
1.2 Вариант схемы II ............................................................................................... 5
1.2.1 Определение реакций опор ....................................................................... 5
1.2 Рассмотрим вариант схемы III ......................................................................... 6
Задача 2. Расчет ступенчатого бруса на прочность и жесткость при растяжении
и сжатии ....................................................................................................................... 8
2.1 Определение продольных усилий ................................................................... 9
2.2 Определение напряжений ................................................................................ 9
2.3 Определение перемещений ............................................................................ 10
2.4 Построение эпюр ............................................................................................. 11
2.5 Проверка условия прочности и жесткости ................................................... 12
Задача 3. Расчет плоской стержневой системы на прочность и жесткость при
растяжении и сжатии ................................................................................................ 14
3.1 Определение усилий в стержнях ................................................................... 14
3.2 Определение площадей сечений стержней .................................................. 16
3.2 Определение деформаций стержней ............................................................. 17
Список литературы ................................................................................................... 18
2
Задача 1. Определение реакций опор твердого тела
Определить реакции опор прямолинейных брусьев, показанных на
рисунке 1.
Принять:
P2  0,6P1  0,6  38  22,8 кН.
Таблица 1.1 – таблица исходных данных
Шифр
6
8
9
8
5
6
3
2
студента
Обозначение
P1 ,
№
М,
q,
a,
b,
с,
,
исходных
схемы кН
кНм кН/м
м
м
м
градус
данных
Числовые
6
38
16
14
1,5
2,0
2,8
30
значения
На рисунке 1.1 приведены расчетные схемы.
I,II,III варианты схем
Рисунок 1.1 – Расчетные схемы
1.1 Вариант схемы I
Отбросим опоры, заменив их соответствующими реакциями. Зададимся
плоскостью с осями 0x и 0y. На рисунке 1.1.1 приведена схема без опор.
3
Рисунок 1.2 – Расчетная схема без опор
1.1.1 Определение реакций опор
Запишем уравнение равновесия для данной плоской системы сил:
 Fix  0 : R x  0; (1.1)

 Fiy  0 : P1  q(b  c)  R y  0; (1.2)

 M iz  0 : M Ry  M îï  q(b  c)(b  c) / 2  M  P1 (a  b  c)  0.(1.3)
где
F ,F
M
ix
iy
– сумма всех сил на оси 0x и 0y соответственно, кН;
– сумма моментов относительно оси 0z (ось 0z перпендикулярна
осям 0x и 0y), кНм;
M Ry – момент относительно точки приложения силы R y , кНм;
R x , R y – реакции опоры, кН;
M îï – момент реакции опоры, кНм;
Из уравнения (1.1) видно, что реакция R x  0 .
Из уравнения (1.2) выразим и посчитаем реакцию R y :
P1  q(b  c)  R y  0 ;
iz
R y  q(b  c)  P1  14  (2  2,8)  38  29,2 кН.
Из уравнения (1.3) выразим и посчитаем момент опоры M îï :
MRy  Mîï  q(b  c)(b  c) / 2  M  P1 (a  b  c)  0 ;
M îï  q(b  c)(b  c) / 2  M  P1 (a  b  c) 
 14  (2  2,8)(2  2,8) / 2  16  38(1,5  2  2,8)  94,12 êÍì .
Вывод:
Были найдены реакции опоры жесткой заделки, их величины составили:
R x  0; R y  29,2 êÍ ; M îï  94,12 êÍì .
Реакции опоры имеют положительные величины, следовательно, направление
реакций верное.
4
1.2 Вариант схемы II
Отбросим опоры, заменив их соответствующими реакциями. Зададимся
плоскостью с осями 0x и 0y. Силу P2 заменим ее проекциями на
соответствующие оси 0x и 0y. На рисунке 1.3 приведена схема без опор.
Рисунок 1.3 – Расчетная схема без опор
1.2.1 Определение реакций опор
Запишем уравнение равновесия для данной плоской системы сил:
 Fix  0 : R Àx  P2 x  0; (1.4)

 Fiy  0 : P1  R Ày  P2 y  0; (1.5)

 M iz  0 : M À  M  P2 y (a  b)  R By (a  b  c)  0.(1.6)
где R Àx , R Ày – реакции опоры в точнее А, кН;
R By – реакция опоры в точнее B, кН;
P2 x , P2 y – проекции силы P2 на оси 0x и 0y соответственно, кН;
M À – момент относительно точки А.
Из уравнения (1.4) выразим и посчитаем реакцию R Àx :
R Àx  P 2 x  0 ;
R Àx  P2 x  P2 cos  22,8  cos30 o  19,7 êÍ
Из уравнения (1.5) выразим и посчитаем реакцию R Ày :
P1  R Ày  P2 y  0 ;
R Ày  P1  P2 y  P1  P2 sin   38  22,8  sin 30 o  49,4 êÍ .
Из уравнения (1.6) выразим и посчитаем реакцию R By :
M  P2 y (a  b)  R By (a  b  c)  0 ;
R By 
 M  P2 y (a  b)
( a  b  c)
 M  P2 sin 30 o (a  b)


( a  b  c)
 16  22,8  sin 30 o  (1,5  2)

 37,4 êÍ .
(1,5  2  2,8)
5
Вывод:
Были найдены реакции опор шарнирно опертого бруса, их величины
составили: R Àx  19,7 êÍ ; R Ày  49,4 êÍ ; R By  37,4 êÍ .
Реакции опоры имеют положительные величины, следовательно, направление
реакций верное.
1.2 Рассмотрим вариант схемы III
Отбросим опоры, заменив их соответствующими реакциями. Зададимся
плоскостью с осями 0x и 0y. На рисунке 1.4 приведена схема без опор.
Рисунок 1.4 – Расчетная схема без опор
1.2.1 Определение реакций опор
Запишем уравнение равновесия для данной плоской системы сил:
 Fix  0 : R Bx  0; (1.7)

 Fiy  0 : R Ày  P2  R By  P1  qc  0; (1.8)

 M iz  0 : M B  M  P2 b  R Ay (a  b)  qc(c / 2)  P1c  0.(1.9)
где M À – момент относительно точки А.
Из уравнения (1.7) видно, что R Bx  0 ;
Из уравнения (1.9) выразим и посчитаем реакцию R Ày :
 M  P2 b  R Ay (a  b)  qc(c / 2)  P1c  0 ;
 M  P2 b  qc(c / 2)  P1c

(a  b )
 16  22,8  2  14  2,8  (2,8 / 2)  38  2,8

 63,7 êÍ.
(1,5  2)
Из уравнения (1.8) выразим и посчитаем реакцию R By :
R Ay 
R Ày  P2  R By  P1  qc  0;
 P2  P1  qc  63,7  22,8  38  14  2,8  9,3 кН.
R By  R Ày
Вывод:
Были найдены реакции опор шарнирно опертого бруса, их величины
составили: R Ày  63,7 êÍ ; R Bx  0 ; R By  9,3 êÍ .
6
Реакция опоры R Ày  63,7 êÍ имеет отрицательное значение, это говорит о
противоположном направлении этой реакции на схеме рисунка 1.4. Остальные
реакции положительны, значит направление верное.
7
Задача 2. Расчет ступенчатого бруса на прочность и жесткость при растяжении
и сжатии
Для заданного стального ступенчатого бруса на рисунке 2.1 требуется:
– построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и
перемещений;
– проверить выполнение условий прочности и
жесткости,
если
  160 ÌÏà ,   1 ìì, Å  200 ÃÏà .
При несоблюдении одного из условий увеличить размеры
сечений.
Для всех схем на рисунке 2 принять:
F1 – площадь круглого сечения диаметром d;
F2 – площадь квадратного сечения со стороной a.
Таблица 2.1 – Размеры конструкции и величины исходных данных
Шифр
6
8
9
8
5
6
3
2
студента
Обозначение
l1 ,
l2 ,
l3 ,
P1 ,
P2 ,
№
d,
a,
исходных
схемы м
мм
мм
м
м
кН
кН
данных
Числовые
10
1,6
1,4
1,6
45
50
30
40
значения
Рисунок 2.1 – Схема ступенчатого бруса
Площадь круглого сечения:
d2
0,045 2
F1    3,14
 1,59  10 3 м;
4
4
где d – диаметр круглого сечения, м.
Площадь квадратного сечения:
F2  a 2  0,052  2,5  10 3 м;
где а – сторона квадратного сечения, м
8
6
P3 ,
кН
20
2.1 Определение продольных усилий
Разобьем брус на три участка z1 ; z 2 ; z 3 . Определим для каждого из
участков величину нагрузки. Схема, разбитая на участки, показана на
рисунке 2.2
Рисунок 2.3 – схема, разбитая на участки z1 ; z 2 ; z 3
Для участка z 3 ; 0  z 3  l 3 :
P( Z3 )  P3 ;
где P( Zi ) – усилие в заданном сечении, кН.
P( Z3 0 )  P3  20 кН;
P( Z3 l3 )  P3  20 кН.
Для участка z 2 ; 0  z 2  l 2 :
P( Z2 )  P3  P2 ;
P( Z2 0)  P3  P2  20  40  20 кН;
P( Z2 l2 )  P3  P2  20  40  20 кН.
Для участка z1 ; 0  z1  l1 :
P( Z1 )  P3  P2  P1 ;
P( Z10 )  P3  P2  P1  20  40  30  10 кН;
P( Z1l1 )  P3  P2  P1  20  40  30  10 кН.
Эпюра продольных усилий показана на рисунке 2.5 б).
Вывод:
Положительные усилия – растягивающие, отрицательные
сжимающие.
–
2.2 Определение напряжений
По найденным усилиям
соответствующие участкам z1 ; z 2 ; z 3
Для участка z 3 :
в
пункте
9
2.1,
найдем
напряжения
20  10 3
( Z3 ) 

 12,6 МПа;
F1
1,59  10 3
где  ( Zi ) – напряжение в заданном сечении, МПа.
Для участка z 2
P( Z2 )  20  10 3
 ( Z2 ) 

 8 МПа;
F2
2,5  10 3
Для участка z1 :
P( Z1 )
10  10 3
( Z1 ) 

 6,29 МПа;
F1
1,59  10 3
Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке 2.5 в).
Вывод:
Положительные напряжения – растягивающие, отрицательные –
сжимающие.
P( Z1 )
2.3 Определение перемещений
Отбросим опору и заменим ее реакцией R. По эпюре продольных
усилий
На рисунке 2.5 б) видно, что величина реакции жесткой заделки R = 10кН.
Величина реакции положительная, следовательно, реакция должна растягивать
брус. Разобьем схему на участки z'1 ; z'2 ; z'3 .
Рисунок 2.4 – Схема, разбитая на участки z'1 ; z'2 ; z'3
Для участка z'1 ; 0  z'1  l1 :
P z'
l ( Z '1)  ( Z1 ) 1 ;
EF1
где l ( Z' ) – абсолютная продольная деформация соответствующего участка, м.
i
l ( Z '10 )  0;
10  10 3  1,6
l ( Z'1l1 ) 

 5,03  10 5 ì  5,03  10 2 ìì ,
9
3
EF1
200  10  1,59  10
Для участка z ' 2 ; 0  z' 2  l 2 :
P z'
l( Z'2 )  l ( Z'1l1 )  ( Z2 ) 2 ;
EF2
P( Z1 ) l1
10
l ( Z '2 0 )  l ( Z '1l1 )  5,03  10 2 ìì ;
l ( Z '2 l2 )  l ( Z '1l1 ) 
P( Z2 ) l 2
EF2
20  10 3  1,4
 5,03  10 

200  10 9  2,5  10 3
5
 0,57  10 5 ì  0,57  10 2 ìì ;
Для участка z'3 ; 0  z'3  l 3 :
l ( Z'3 )  l ( Z'2 l2 ) 
l ( Z '3 0 )  l ( Z ' 2l2 )
l ( Z '3l3 )  l ( Z '2 l2 ) 
P( Z3 ) l3
EF1
 0,57  10 5 
P( Z3 ) z'3
;
EF1
 0,57  10 2 ìì ;
20  10 3  1,6

200  10 9  1,59  10 3
 10,7  10 5 ì  10,7  10 2 ìì ;
Эпюра продольных деформаций показана на рисунке 2.5 г).
Вывод:
Положительные деформации – растягивающие, отрицательные –
сжимающие.
2.4 Построение эпюр
По данным вычисленным в пунктах 2.1; 2.2; 2.3 построим соответствующие
эпюры на рисунке 2.5.
11
а) расчетная схема; б) эпюра продольных сил;
в) эпюра нормальных напряжений; г) эпюра продольных деформаций.
Рисунок 2.5 – эпюры
2.5 Проверка условия прочности и жесткости
Условие прочности при растяжении данной схемы:
 max   ,
где max – максимальные напряжения, МПа.
Из эпюры нормальных напряжений на рисунке 2.5 в) видно, что
максимальные напряжения на участке z 3 .
( Z3 )  12,6 ÌÏà    160 ÌÏà
Вывод:
Условие прочности выполнилось.
Условие жесткости при растяжении данной схемы:
l max  l ,
где l max – максимальные напряжения, мм.
12
Из эпюры деформаций на рисунке 2.5 г) видно, что максимальные
деформации на участке z 3 .
l max  l ( Z3 )  10,7  10 2 ìì  l  1 ìì
Вывод:
Условие жесткости выполнилось.
13
Задача 3. Расчет плоской стержневой системы на прочность и жесткость при
растяжении и сжатии
Для стержневой системы на рисунке 3.1 требуется:
– определить усилия в стержнях;
– найти площади поперечных сечений стержней из расчета на
прочность по допускаемым напряжениям;
– вычислить деформации стержней.
Размеры конструкции и величины нагрузок приводятся в таблице 3.1.
Материал стержней – Сталь3 с характеристиками:
 ò  240 ÌÏà ; n ò  1,5; Å  200 ÃÏà
Заштрихованные элементы на схемах считать абсолютно жесткими.
Таблица 3.1 – таблица исходных данных
Шифр
6
8
9
8
5
6
3
студента
Обозначение
№
a,
b,
c,
d,
P,
q,
исходных
схемы
м
м
м
м
кН
кН/м
данных
Числовые
6
1,8
1,7
1,4
1,4
85
25
значения
Рисунок 3.1 – расчетная схема
3.1 Определение усилий в стержнях
Разобьем это систему на две части и каждую из них рассмотрим в
отдельности. Правая часть схемы показана на рисунке 3.2. отбросили опоры и
заменили их реакциями. Зададимся плоскостью с осями координат 0x и 0y.
14
Рисунок 3.2 – Правая часть расчетной схемы.
Необходимо найти усилие N 3 в стержне №3, величины реакции опоры
находить нет необходимости. Поэтому составим уравнение равновесия
моментов относительно точки, отброшенной опоры А :
 M iz  0 : M À   N 3  q(c  d)(c  d) / 2  0 .
Из этого уравнения выразим и посчитаем N 3 :
N 3  q(c  d)(c  d) / 2  25  (1,4  1,4)(1,4  1,4) / 2  98 кН
Обратим внимание на то что усилие N 3 – сжимающие.
Теперь рассмотрим левую часть схемы на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – Левая часть расчетной схемы.
Составим уравнения равновесия:
 Fix  0 :  N 3  N 2 cos  0; (3.1)

 Fiy  0 : N1  N 2 sin   P  0, (3.2)
гдe N i – усилие в стержнях, кН.
a
cos  ,
l2
d
sin   ,
l2
где l 2 – длина стержня №2, м.
15
l 2  a 2  d 2  1,82  1,42  2,28 м
a
1,8

 0,789 ;
l 2 2,28
d 1,4
sin   
 0,614 .
l 2 2,28
Из формулы 3.1 выразим и найдем N 2 :
 N 3  N 2 cos   0 ;
N3
98
N2 

 124,2 кН.
cos 0,789
Из формулы 3.2 выразим и найдем N 1 :
N1  N 2 sin   P  0 ;
N1  P  N 2 sin   85  124,2  0,614  8,74 кН
cos 
3.2 Определение площадей сечений стержней
Условие прочности при растяжении для стержней:
N
i  i   3.1
Fi
где Fi – площадь поперечного сечения соответствующего стержня, ì 2 ;
 – допускаемое нормальное напряжение, МПа.
   ò  240  160 МПа.
n ò 1,5
Выразим Fi из формулы 3.1:
N
Fi  i .

Для стержня №1:
N1 8,74  10 3
F1 

 0,546  10 4 ì 2 ,
6
 160  10
Для стержня №2:
N 2 124,2  10 3
F2 

 7,76  10 4 ì 2 ,
6
 160  10
Для стержня №3:
N 3 98  10 3
F3 

 6,13  10 4 ì 2 ,
6
 160  10
16
3.2 Определение деформаций стержней
Запишем формулу деформации стержней при растяжении и сжатии
(формула Гука):
Nl
l i  i i ,
E i Fi
где li – абсолютная продольная деформация, соответствующего стержня, м;
li – длина соответствующего стержня, м;
E i – модуль упругости (модуль Юнга 1-го рода), Па.
Модуль упругости E i для всех стержней одинаков.
Для стержня №1:
N1l1 N1d
8,74  10 3  1,4
l1 


 1,12  10 3 ì  1,12 ìì ,
9
4
EF1 EF1 200  10  0,546  10
Для стержня №2:
N 2 l 2 N 2 (a  b)
124,2  10 3  2,28
l 2 


 1,82  10 3 ì  1,82 ìì ,
9
4
EF2
EF2
200  10  7,76  10
Для стержня №3:
N 3 l 3 N 3 (a  b) 98  10 3  (1,8  1,7)
l 3 


 2,8  10 3 ì  2,8 ìì ,
9
4
EF3
EF3
200  10  6,13  10
Вывод:
Были найдены усилия в стержнях, рассчитаны минимальные площади
сечений стержней, а также их деформации.
17
Список литературы
1.
2.
3.
Степин, П. А. Сопротивление материалов [Text]: учебник/П.А. Степин.–
11–е изд., стереотип. – СПб.: Лань, 2010. – 320 с.
Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных заданий для
студентов [Text] : Под ред. Кравченко О.Ф, Кравченко Н.В.Учебное
пособие , 34 с.
http://standartgost.ru
18