№1.20. Точечные заряды Q = 2нКл расположены на = - 1нКл, Q

№1.20. Точечные заряды Q 1 = - 1нКл, Q 2 = -1нКл, Q 3 = 2нКл расположены на
плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы

решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(0,a),


r2 = (-a, 0), r3 =(-a,-a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить
напряженность и потенциал электрического поля в точке О с радиус-вектором

r =(-2a, -2a).
Решение:

1) Напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 в искомой точке E1 =

 
Q1
*
(
r  r1 )
40 R 31

Где R 1 - модуль вектора, соединяющего заряд Q 1 с точкой О, т.е r  r1 .

 
 

Q3
Q2
E
Q 2 - создает E 2 =
,
Q
=
*
(
r

r
)
*
(
r  r3 )
3
3
2
40 R 3 2
40 R 3 3






r  r1 =(-2a, -3a) R 1 =a 13 ; r  r2 =(-a, -2a) R 2 =a 5 ; r  r3 =(-a, -a) R 3 =a 2
Исходя из принципа суперпозиции





E = E1  E 2  E3 =(-522,62; -421,57) E =671 В
м
2) Потенциал равен алгебраической сумме потенциалов
=
Q1
40 R1
+
Q2
40 R2
+
Q3
40 R3
, Q – величина скалярная.   =63В

Ответ: E =671 В
м
.  =63В.
№1.25. Точечные заряды Q 1 =1нКл, Q 2 =-2нКл, Q 3 =1нКл расположены на плоскости
в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы решетки, в


которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(a, 0), r2 =(a, a),

r3 =(0, a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить напряженность и

потенциал электрического поля в точке с радиус-вектором r =(2a, a).
Решение:

1) Напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 в искомой точке E1 =


Где R 1 - модуль вектора, соединяющего заряд Q 1 с точкой О, т.е r  r1 .


 
 
Q3
Q2
E
Q 2 - создает E 2 =
,
Q
=
*
(
r

r
)
*
(
r  r3 )
3
3
2
40 R 3 2
40 R 3 3






r  r1 =(a, a) R 1 =a 2 ; r  r2 =(a, 0) R 2 =a; r  r3 =(2a, 0) R 3 =2a
Исходя из принципа суперпозиции





E = E1  E 2  E3 =(-1253,6; 321,4) E =1294 В
м
2) Потенциал равен алгебраической сумме потенциалов
 
Q1
*
(
r  r1 )
40 R 31
=
Q1
Q2
+
40 R1
40 R2
+
Q3
40 R3
, Q – величина скалярная.   =-71В

Ответ: E =671 В
м
.  =-71В.
№2.5 Тонкое кольцо радиуса R=0.08м несет равномерно распределенный заряд с
линейной плотностью  =10 8 Кл . Какова напряженность электрического поля в
м
точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние a=0.1м?
Решение:
1
dQ
, dQ-заряд, который содержится в dl. Очевидно, что суммарная y40 a 2
составляющая напряженности поля в искомой точке равна 0(симметрия), а
dE x =dE*cos  (её сумма и будет общей), где  - угол между вектором dE и осью X.
dE 
dQ 
R2
Q
dl = dl , Q – общий, а dQ- заряд участка dl кольца. cos  = 1  2 
2R
a
dE x 
E=
*
1
40
1
40
*
*

a2

a2
* 1
R2
* dl
a2
2R
* 1
R2
R
R2
=
=2711.82 В - направлена вдоль оси OX.
*
dl
*
1

м
a 2 0
2 0 a 2
a2
Ответ: E=2711.82 В
м
№2.7. Одна половина тонкого прямого стержня имеет положительный заряд с
Кл
линейной плотностью  =10 8
, а другая отрицательный заряд с такой же
м
линейной плотностью. Длина всего стержня b=0.2м. На перпендикуляре к оси
стержня, восстановленном из его середины, находится точечный положительный
заряд Q=10 9 Кл. Определить силу, действующую на этот заряд.
Решение:
Очевидно, что суммарная Yсоставляющая напряженностей
от левой и правой частей
проводника равна нулю, а xсоставляющие от левой и
правой частей стержня
сонаправлены и равны по
модулю. Вычислим
напряженность поля в искомой
точке, которое создает
положительно-заряженная часть
стержня.
1
dQ
dE 
* 2
40 r  x 2
dQ= dx dE x  dE * cos  ,  -угол между вектором dE и осью OX.
1
 *x
x
*
dx
 dE x 
cos  
2
2 3
40
r 2  x2
r  x 
E=
0

*
4 0 b
2
x
r
2
x

2 3
dx =

2 0 * b 2  4r 2
. Результирующая напряженность в искомой
точке направлена горизонтально и численно равна E=

0 * b 2  4r 2
=
Cила сонаправлена с вектором напряженности и численно равна F=E*Q=
Ответ: F=
180 *10 9
0.01  2r 2
180
0.01  2r 2
В
м
180 *10 9
0.01  2r 2
Н
Н
№3.9. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается
вокруг ядра по круговой орбите. Определите частоту вращения электрона, если
радиус его орбиты r=53 * 10 12 м.
Решение:
meV 2
V
об
e2
e2
 2*10 15






3 3
2
2R
с
R
16 R  0 me
40 R
об
с
№3.23. Тонкое кольцо радиусом R=0.1м несет равномерно распределенный заряд
Q=10 7 Кл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его
середины, находится точечный заряд Q1 =10 8 Кл. Определить силу F, действующую
на точечный заряд Q 1 со стороны заряженного кольца, если он удален от центра
кольца на b=0.2м.
Решение:
Ответ: 2*10 15
Напряженность поля в точке, где находится заряд Q1 равна E=
bQ
*
40
1
b

3
2 2
и
R
вектор направлен вдоль перпендикуляра к плоскости кольца, восстановленном из его

2

середины, от плоскости кольца.  сила, действующая на заряд F  Q1 E

F =Q 1 *
bQ
*
40
1
b
2
R

3
2 2
 1.8*10 4 Н
Ответ: 1.8*10 4 Н
№4.19. Согласно выводам квантовой механики при локализации электрона внутри
сферы радиуса R=10 10 м. его электрический заряд может быть распределен по
e
 r 
* sin 2   , e-заряд электрона, r- расстояние от центра
объему с плотностью  
2
2Rr
R
R
сферы. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r= от
2
центра сферы.
Решение: По теореме Гаусса. Поток вектора напряженности через сферу радиусом r равен
Q
Ф=4 r 2 E. Ф= , Q – заряд, заключенный в сферу. dQ= dV   4r 2 dr
0
R
2
R
e
2e  1
R
e
 2r   2 e
2
2
2  r 

r
Q= 
*4
dr=

*

r

sin
*
sin

  = ; 4 r E=



2
2 0
R 2
4
R
 R  0 2
0 2Rr
e
В
E=
 E  28*10 10
2
м
2R  0
В
м
№4.24. Согласно выводам квантовой механики при локализации электрона внутри
сферы радиуса R=10 10 м. его электрический заряд может быть распределен по
e
 2r 
* sin 2 
объему с плотностью  
 , e-заряд электрона, r- расстояние от
2
2Rr
 R 
R
центра сферы. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r=
2
от центра сферы.
Решение: Ф=4 r 2 E; dQ= dV   4r 2 dr
Ответ: E=28*10 10
R
2
e
e
В
e
 2r 
2
 E  28*10 10
* sin 2 
 *4 r dr=  E=
2
2
2
м
2R  0
 R 
0 2Rr
Q= 
Ответ: E=28*10 10
В
м
№5.6. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью
Кл
заряда  =0.2*10 9
. Определить потенциал электрического поля в точке
м
пересечения диагоналей.
Решение:
Используем принцип суперпозиции для скалярного потенциала
   i   d
Потенциал всей рамки   8 0 , где φ0 - потенциал ½ стороны квадрата. Найдем φ0 ,
разбивая сторону рамки на бесконечно малые участки с зарядом dq=τdl:


dl
φ0 =
=

4 0 l r
4 0

4

0

 
rd
   4
=
 ln tg     =
r cos 4 0 
 2 4  0

 

 3  0.07 7  10 2  2  10 9 14  10
 3 
ln tg   =
=
=
= 1,58В
 ln tg    ln 1 =
8.85
8.85  10 12
0
4 0 
 8 
 8 
 4 0
  8 0 =12,64В
Ответ:  =12.64В
№5.15. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d равном
5*10 3 м друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с
в
в
поверхностными плотностями  1 = 0.2*10  6 и  2 =-0.3*10  6 . Определить
м
м
разность потенциалов между плоскостями.
Решение:
1  2
(сумма модулей, т.к векторы

2 0 2 0


сонаправлены). Разность потенциалов  =Ed ,  =( 1  2 )d=141В
2 0 2 0
Напряженность поля между плоскостями E=
Ответ:  = 141В
№ 6.17. Точечные заряды Q 1 =10 9 Кл, Q 2 =10 9 Кл, Q 3 =-10 9 Кл, Q 4 =-10 9 Кл
расположены на плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной
a=0.1м. Узлы решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус



векторами r1 =(0,0), r2 =(a,0), r3 =(a,a), r4 =(0,a). В остальных узлах заряды

отсутствуют. Определить дипольный момент p данной системы зарядов и его

В
потенциальную энергию П во внешнем электрическом поле E =(0,100) .
м
Решение: Суммарный заряд системы зарядов равен нулю.



p =(0;-2*10 10 ) Кл*м, П=- p* E (скалярное произведение) П=2*10 8 Дж

Ответ: П=2*10 8 Дж, p =(0;-2*10 10 ) Кл*м
№ 6.17. Точечные заряды Q 1 =10 9 Кл, Q 2 =-2*10 9 Кл, Q 3 =10 9 Кл расположены на
плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы

решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(a,a),


r2 =(-a,a), r3 =(-a,-a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить дипольный

момент p данной системы зарядов и его потенциальную энергию П во внешнем

В
электрическом поле E =(0,-100) .
м
Решение: Суммарный заряд системы зарядов равен нулю.



p =(2*10 10 , -2*10 10 ), П=- p* E =-2*10 8 Дж

Ответ: p =(2*10 10 , -2*10 10 ), П=-2*10 8 Дж
№7.21. Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля.
В некоторой точке поля с потенциалом  1 =100В электрон имел скорость
м
V 0 =6*10 6 . Определить потенциал точки поля, в которой скорость электрона будет
с
в два раза меньше первоначальной.
Решение:
Релятивистскими эффектами пренебрегаем. Изменение кинетической энергии электрона
равно работе сил электрического поля.
meV02 meV02
3 meV02
 1  +23.2В

  e * ( 2  1 )   2 =- *
8
e
2
8
Ответ:  2 =+23.2В
№7.22. При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает  -частица со
м
скоростью V=1.6*10 7 . Определить разность потенциалов электрического поля, в
с
котором можно разогнать покоящуюся  -частицу (ядро атома гелия) до такой же
скорости.
Решение: масса покоя частицы m=6.64*10 27 кг, заряд +2e.Релятивистскими эффектами
пренебрегаем.
mV 2
mV 2
 2e *    =
=2.656*10 6 В
2
4e
Ответ:  =2.656*10 6 В
№8.2. Определить электроёмкость C металлической сферы радиусом R=0.02м,
погруженной в воду. Диэлектрическая проницаемость воды  =81.
Решение: При условии, что внешний слой диэлектрика бесконечен –
C=4 0R  180*10 12 Ф
Ответ: С=180*10 12 Ф.
№8.8. Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до
разности потенциалов U 0 6В. Определить разность потенциалов между пластинами
конденсаторов, если после отключения конденсаторов от источника у одного
конденсатора уменьшили расстояние между пластинами в два раза.
Решение: С=2С к
 S
Электроемкость плоского конденсатора С к = 0 . Т.к система конденсаторов была
d
отключена от источника, то после изменения емкости одного конденсатора неизменным
 S  S
2 0 S
2 0 S
остался заряд системы СU=q=
U 0 =( 0 + 0 )U 

d
0. 5d
d
d
2
U= U 0 =4В
3
Ответ: U=4В.
№9.17. Определить объёмную плотность тепловой мощности w в металлическом
А
проводнике, если плотность протекающего по нему тока j=10 7 2 при
м
В
напряженности электрического поля E=10 3 .
м
Решение: Закон Ома в дифференциальной форме j=  E,  - удельная проводимость.
Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: w=  E 2 
Вт
w=jE=10 4 3
м
Вт
Ответ: w=10 4 3
м
№9.18. Исходя из модели свободных электронов, определить число соударений N,
которое испытывает электрон за одну секунду, находясь в металле, имеющем
удельную проводимость  =10 7 (Ом*м) 1 . Концентрацию электронов проводимости
принять равной n=10 29 м 3 .
u
Решение: число столкновений в единицу времени N= , l -средняя длина свободного
l
пробега электрона. Удельная проводимость  
движения электронов 
ne 2 1
*  0.142*10 15 c 1
N=
2me 
Ответ: N=0.142*10 15 c 1
ne 2 l
*
, u – средняя скорость теплового
2me u