Зачёт по курсу «Дифференциальные уравнения и дискретная

Зачёт по курсу
«Дифференциальные уравнения и дискретная математика»
2012-2013 уч. год,
группы ТБ-О-11/1 (ЗЧС), ТБ-О-11/2 (ПБ), НТС-О-11/1, УК-О-11/1, НД-О-11/1, СВ-О-11/1.
Общие замечания. 1. На зачёте проверяются умения и навыки решения задач. Ниже приведён
список тем задач, которых мы касались на семинарах и лекциях. Там же приведены примерные
задачи, которые могут быть предложены на зачёте. В общем-то, это задачи из семестровых
домашних (задачник Филиппова) и контрольных работ.
2. Сколько задач достанется студенту на зачёте? Первоначально 3 (три) задачи из разных
разделов курса. Далее всё зависит от того, какой силы навык решения задач покажет студент. Если
студент имеет сильную или слабую подготовку, тут всё достаточно ясно – он получает зачёт или
незачёт. В спорной же ситуации студенту могут быть предложены дополнительные задачи и
вопросы (в том числе и нерешённые им на контрольных работах). Их решения склонят чашу весов
в сторону той или иной отметки.
3. Во всех задачах с дифференциальными уравнениями необходимо определить и назвать тип
уравнения.
4. Так как групп много, то зачёт каждая группа сдаёт отдельно. По этой же причине
студент сдаёт со своей группой, то есть вовремя. Ориентируемся сдавать зачёт в дни
семинарских занятий (как если бы зачётная неделя была обычной).
Темы задач к зачёту по курсу
«Дифференциальные уравнения и дискретная математика»
1. Текстовые задачи на составление дифференциальных уравнений по темам «Уравнения с
разделяющимися переменными», «Однородные уравнения», «Линейные уравнения 1-го и 2-го
порядков».
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Построение интегральных кривых методом изоклин.
4. Исследование геометрических свойств решений.
5. Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
6. Однородные уравнения.
7. Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям.
8. Уравнения в полных дифференциалах.
9. Интегрирующий множитель.
10. Метод вариации произвольной постоянной для НЛДУ 1-го порядка и уравнения
Бернулли.
11. Метод Бернулли для НЛДУ 1-го порядка и уравнения Бернулли.
12. Уравнение Риккати.
13. Уравнения, неразрешённые относительно производной – случаи, описанные в лекции.
14. Нахождение C-дискриминантной кривой.
15. Нахождение особых решений, в том числе с помощью C-дискриминантной кривой.
16. Понижение порядка уравнения – случаи, описанные в лекции.
17. Решение ЛДУ n-го порядка с помощью известного частного решения.
18. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
19. Решение НЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой
частью.
20. Исследование линейной зависимости/независимости функций. Определитель
Вронского.
21. Формула Остроградского-Лиувилля.
22. Решение рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами по аналогии с
дифференциальными уравнениями.
23. Комбинаторные принципы сложения-умножения.
24. Формула включений-исключений. Диаграммы Эйлера-Венна.
1
25. Эйлеров маршрут (цикл). Уникурсальные графы.
26. Нахождение минимального остовного дерева графа.
27. Нахождение кратчайшего пути в графе. Алгоритм Флойда.
Примеры задач к зачёту по курсу
«Дифференциальные уравнения и дискретная математика»
1. Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельных лучей в одну точку.
Определить тип возникающего дифференциального уравнения.
2. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через
сколько времени останется 1% от первоначального количества?
3. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подаётся
вода (5 литров в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той
же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?
4. Электрическая цепь состоит из последовательно включённых источника постоянного
тока, дающего напряжение V , сопротивления R , конденсатора ёмкости C и выключателя,
который включается при t  0 . Найти зависимость силы тока от времени (при t  0 ). Конденсатор
до замыкания цепи не заряжен.
5. Найти период свободных колебаний массы m , подвешенной к пружине, если движение
происходит без сопротивления. При отклонении груза от положения равновесия на расстояние x
пружина действует на него с силой kx , направленной к положению равновесия.
6. Разделить переменные в уравнении и решить его: 1  y 2 dx  1  x 2 dy .
y
7. Разделить переменные в уравнении и решить его: y  .
x
8. Разделить переменные в уравнении и решить его: z   10 x  z .
y
9. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения y  .
x
10. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения y  y 2  x 2 .
11. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений
уравнения y   x  e y .




12. Свести уравнение y  3 x  5 y  3 к уравнению с разделяющимися переменными и
проинтегрировать его.
13. Свести уравнение y   sin x  y  к уравнению с разделяющимися переменными и
проинтегрировать его.
14. Построить несколько интегральных кривых уравнения x  2 y dx  xdy  0 . Определить
тип уравнения.
x  2y 3
15. Найти общий интеграл дифференциального уравнения y 
.
2x  2
16. Проинтегрировать уравнение: x  y  2dx  x  y  4dy  0 .
17. Проинтегрировать уравнение с помощью интегрирующего множителя    x или
2
x

x

    y  :   1dx    1dy  0 .
y
y




18. Решить методом вариации постоянной: y   2 y  y 2 e x . Определить тип уравнения.
19. Решить методом вариации постоянной: y  2 y  e x . Определить тип уравнения.
20. Решить методом Бернулли: xy   2 x 2 y  4 y . Определить тип уравнения.
21. Решить методом Бернулли: xy  2 y  2 x 4 . Определить тип уравнения.
22. Решить уравнение Риккати: y    y 2  1  x 2 (применить подстановку y  p  x , где
p  px  – новая неизвестная функция).
2
23. Решить уравнение: y2  y 2  0 .
24. Решить уравнение: ln  y  sin  y  x  0 .
25. Решить методом введения параметра: y  y2  2y3 .
26. Решить уравнение: 2 y3  y 2  xyy .
27. Решить уравнение Лагранжа y  xy  4 y .
28. Решить уравнение Клеро y  xy  y2 .
4
является решением дифференциального
C
2
уравнения  y   yy   4e x  0 . Найти особые решения этого уравнения.
30. Найти C-дискриминантную кривую уравнения, общее решение которого есть
4
y  Ce x  .
C
31. По виду общего интеграла найти кривые, подозрительные на особые решения, и
2
проверить, будут ли они особыми решениями:  y   4 y  0 , y  x  C y  x  C  0 .
32. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство
решений этого уравнения: xy  Cy  C 2 .
33. Понизить порядок уравнения и решить его: x 2 y  y2 .
34. Решить уравнение: xy   1 .
35. Понизить порядок уравнения xyy  xy2  yy , пользуясь его однородностью, и решить
его.
36. Решить уравнение yy  3 yy  0 , преобразовав к виду с полными производными.
37. Найти общее решение уравнения 2x  1y  4xy  4 y  0 , если известно, что оно имеет
частное решение y1  x .
38. Решить ОЛДУ y  4 y  0 .
39. Решить ОЛДУ y  y  6 y  0 .
40. Решить ОЛДУ y  2 y  5 y  0 .
41. Решить ОЛДУ y  y  0 .
42. Определить тип уравнения y  3 y  3 y  y  0 и проинтегрировать его.
43. Решить ОЛДУ y IV  2 y  y  0 .
29. Каждая из функций семейства y  Ce x 



44. Исследовать, являются ли функции x 2  x  3 , 2 x 2  x , 2x  4 линейно зависимыми. В
случае линейной зависимости выявить её коэффициенты.
45. Исследовать, являются ли функции 2 x , 3 x , 6 x линейно зависимыми. В случае линейной
зависимости выявить её коэффициенты.
46. Найти общее решение уравнения y  3 y  e 2 x .
47. Решить НЛДУ y  y  2 x 2  x .
48. Решить НЛДУ y  y  x 2 .
49. Решить НЛДУ y  y  e x .
50. Решить НЛДУ y  4 y  x 2e x .
51. Решить НЛДУ y  y  xex .
52. Решить НЛДУ y  y  2 y  2 cos x .
53. Решить НЛДУ y  2 y  2 y  xe x sin x .
25
54. Проинтегрировать уравнение: y 4   2 y  2 y  2 y  y  cos2 x   8e x .
4
7
55. Выписать выражение для бинома Ньютона a  b  с помощью треугольника Паскаля.
3
56. Решить рекуррентное уравнение для чисел Фибоначчи f n  f n2  f n1 с начальными
условиями f 0  f1  1 .
57. Решить рекуррентное уравнение xn 2  3xn1  2 xn  n с начальными условиями x0  1 ,
x1  2 .
58. Решить рекуррентное уравнение an  2  2an 1  8an  27  5n , a1  9 , a2  45 .
59. Найти общее решение рекуррентного соотношения an 2  3an  0 .
60. Найти a n по рекуррентному соотношению и начальным условиям: an 2  4an1  3an  0 ,
a1  10 , a2  16 .
61. Решить рекуррентное соотношение: an 3  6an  2  11an 1  6an  6n 2  4n  17 , a1  3 ,
a2  15 , a3  41 .
62. Решить рекуррентное уравнение an  2an 1  2 n , a0  1 .
63. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их
можно было приложить друг к другу (то есть некоторое число очков встретилось на обеих
костях)?
64. Бросают 3 игральных кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они
могут упасть так, что либо все оказавшиеся вверху грани одинаковы, либо все попарно различны?
65. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать
ребёнка, если ему дают не более трёх различных имён, а общее число имён равно 250? Два
способа, различающиеся лишь порядком имён, считаются различными.
66. На одной из кафедр университета работают 13 человек, причём каждый из них знает
хотя бы один иностранный язык. 10 человек знают английский, 7 – немецкий, 6 – французский. 5
знают английский и немецкий, 4 – английский и французский, 3 – немецкий и французский.
а) Сколько человек знают все три языка?
б) Сколько человек ровно два языка?
в) Сколько человек знают только английский язык?
67. При каких n правильный n-угольник со всеми проведёнными диагоналями можно
вычертить, не отрывая пера от бумаги?
68.
На
рис.
показана
15
транспортная сеть из пяти городов
2
4
100
50
(расстояния между городами, в км,
20
приведены возле соответствующих дуг
10
30
60
сети). Необходимо найти кратчайшие
1
3
75
расстояния от города 1 до всех
остальных четырёх городов.
69. Телефонная компания обслу-
400
2
живает шесть удалённых друг от друга
700
районов, связанных сетью. Расстояния
на схеме сети указаны в километрах.
Компании
необходимо
определить
наиболее
эффективные
маршруты
6
200
300
1
100
4
300
700
200
3
пересылки сообщений между любыми
600
двумя районами.
4
500
75
70. На
рис.
показана
5
транспортная сеть из семи городов
(расстояния между городами, в км,
5
приведены возле соответствующих дуг
сети). Необходимо найти кратчайшие
7
2
1
расстояния от города 1 до всех
3
8
остальных городов.
8
10
10
9
6
4
3
1
7
4
5
3
4
71. На рис. показаны расстояния
Приёмный пункт
между платформами, добывающими
газ в открытом море, и приёмным
пунктом, расположенным на берегу.
Поскольку
платформа
1
ближе
остальных к берегу, она оснащена
необходимым
оборудованием
для
1
5
2
9
6
2
длины,
пункт
со
всеми
приёмный
добывающими
5
4
3
10
1
3
5
минимальной
соединяющую
6
0
к приёмному пункту. Спроектируйте
трубопроводов
9
14
перекачки газа от остальных платформ
сеть
5
1
20
8
5
1
3
7
5
платформами.
12
4
7
7
6
Примеры дополнительных вопросов к зачёту по курсу
«Дифференциальные уравнения и дискретная математика»
Вопросы первой группы:
Что такое разделение переменных?
В чем состоит задача Коши?
Какое решение ДУ называется общим, частным, особым?
Уравнение Бернулли и методы его решения.
Уравнение Риккати и методы его решения.
ДУ в полных дифференциалах и методы его решения.
Что такое интегрирующий множитель?
В чем состоит метод вариации произвольных постоянных?
Записать линейное ДУ n-го порядка.
5
Характеристическое уравнение для ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Как с помощью треугольника Паскаля найти биномиальные коэффициенты?
Что такое орграф?
Вопросы второй группы:
Сформулировать теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ.
Уравнение Лагранжа и методы его решения.
Записать тождество Эйлера для ДУ в полных дифференциалах.
Записать вронскиан для ДУ n-го порядка.
Записать вронскиан для системы ДУ n-го порядка.
Условия линейной независимости частных решений ДУ n-го порядка.
Что такое фундаментальная система решений?
Как в рекуррентных уравнениях выглядит дискретная производная?
Сформулировать теорему о графе, вычерчиваемом одним росчерком пера.
Литература.
1.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука,
1969. – 424 с.
2.
Пономарёв К. К. Составление дифференциальных уравнений. – Минск: Вышэйшая
школа, 1973. – 560 с.
3.
Еругин Н. П. Книга по чтению по общему курсу дифференциальных уравнений. –
Минск: Наука и техника, 1979. – 744 с.
4.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. –
М.: Изд-во МГУ, 1984.
5.
Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения:
примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.
6.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: РХД,
2000. – 176 с.
7.
Тишин В. В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ-Петербург,
2008. – 352 с.
8.
Спирина М. С., Спирин П. А. Дискретная математика. – М.: Издательский центр
«Академия», 2006. – 368 с.
9.
Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Издательский дом
«Вильямс», 2004. – 960 с.
10. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике. – М.:
Физматлит, 2006. – 416 с.
11. Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2001. – 912 с.
12. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2009. –
384 с.
13. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. –
М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 703 с.
Составил доцент
В. В. Самойлов
6