3-7. На шелковых нитях длиной 50 см каждая, прикрепленных к... два одинаково заряженных шарика массой по 0,2 г каждый. Определить...

3-7. На шелковых нитях длиной 50 см каждая, прикрепленных к одной точке, висят
два одинаково заряженных шарика массой по 0,2 г каждый. Определить заряд
каждого шарика, если они отошли друг от друга на 8 см.
Дано:
𝑚 = 0,2г
𝑙 = 50 см
𝑟 = 8 см
𝑞−?
СИ
= 2 ∙ 10−3 кг
= 0,5м
= 8 ∙ 10−2 м
Решение:
α
T
Fк
mg
Так как шарики находятся в покое, векторная сумма этих сил равна
⃗⃗ = 0. Это возможно только в том случае, если
нулю: 𝑚𝑔⃗ + 𝐹⃗𝑘 + 𝑇
равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити
уравновешивается силой отталкивания: 𝐹𝑘 = 𝑚𝑔 ∙ tan 𝛼. По закону
Кулона 𝐹𝑘
𝑘
𝑞2
𝜀𝑟 2
=
=𝑘
𝑞2
𝜀𝑟 2
. Приравниваем правые части
𝑚𝑔 ∙ tan 𝛼 и 𝑞
=√
𝑚𝑔𝜀∙tan 𝛼
𝑘
𝑟⁄
∙𝑟
𝑟
𝑟
Угол 𝛼 найдем, зная, что sin 𝛼 = 2 =
и тогда 𝛼 = arcsin .
𝑙
2𝑙
2𝑙
Проведем проверку размерности:
м
кг ∙ 2
Н ∙ Кл2
с
√
[𝑞] = √
∙
м
=
∙ м = Кл
Н ∙ м2
Н ∙ м2
Кл2
Произведем вычисления:
𝛼 = arcsin
8 ∙ 10−2
= 0,08°
2 ∙ 0,5
2 ∙ 10−3 ∙ 9,8 ∙ 1 ∙ tan 0,08
∙ 8 ∙ 10−2 Кл = 4,41 ∙ 10−6 Кл
9
9 ∙ 10
Ответ: 𝑞 = 4,41 ∙ 10−6 Кл
𝑞=√
3-17. Металлическому шару радиусом 10 см сообщен заряд равный 4·10 -9 Кл.
Определить напряженность и потенциал поля в центре шара и на расстоянии 10 см
от его поверхности.
Дано:
𝑅 = 10см
𝑑 = 10 см
𝑄 = 4 ∙ 10−9 Кл
𝐸𝑜 , 𝐸−?
𝜑𝑜 , 𝜑−?
СИ
= 0,1м
= 0,1м
Решение:
Внутри сплошного шара напряженность равна 0, а потенциал постоянен и
равен потенциалу на поверхности шара.
Напряженность поля вне шара равна напряженности, которую создал бы
точечный заряд той же величины Q, находящейся в центре шара:
𝑘𝑄
𝐸=
(𝑅 + 𝑑)2
Получим:
9 ∙ 109 Н ∙ м/Кл2 ∙ 4 ∙ 10−9 Кл
𝐸=
= 18 ∙ 104 В/м
(0,1м + 0,1м)2
Подставим значения:
𝜌𝑅 2 𝜌𝑅 2 𝜌𝑅 2
𝜑0 =
+
=
3𝜀0 6𝜀0
2𝜀0
Аналогично, представляя шар точечным зарядом, вычислим потенциал
поля:
𝑄
4𝜋𝜀𝜀0 (𝑅 + 𝑑)
Вычислим в центре шара, подставив значения:
4 ∙ 10−9 Кл
Кл
𝜑0 =
= 0,9 ∙ 107
= 0,9 ∙ 107 В
−12
4 ∙ 3,14 ∙ 1 ∙ 8,85 ∙ 10 Ф/м(0,1м + 0м)
Ф
Вычислим на расстоянии d, подставив значения:
4 ∙ 10−9 Кл
Кл
𝜑=
= 1,8 ∙ 107
= 1,8 ∙ 107 В
−12
4 ∙ 3,14 ∙ 1 ∙ 8,85 ∙ 10 Ф/м(0,1м + 0,1м)
Ф
𝜑=
Ответ:
𝐸𝑜 = 0
𝐸 = 18 ∙ 104 В/м
𝜑0 = 0,9 ∙ 107 В
𝜑 = 1,8 ∙ 107 В
3-27. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 30 см2 получил заряд
10-9 Кл. Определить ускорение электрона, пролетающего через такой конденсатор.
Как изменится напряженность поля, если заполнить конденсатор парафином?
Дано:
СИ
Решение:
𝑆 = 30см2
𝑄 = 10−9 Кл
𝑒 = 1,6 ∙ 10−19 Кл
𝑚 = 9,11 ∙ 10−31 кг
𝐸воздух
−?
𝐸парафин
𝑎−?
= 30 ∙ 10−4 м2
Поле конденсатора является однородным 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
В электрическом поле на электрон действует сила:
𝐹 = 𝑒𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
где 𝑒 - заряд электрона.
По второму закону Ньютона сила F сообщает постоянное
ускорение:
𝐹
𝑎=
𝑚
Для однородного поля:
𝑈
𝐸= ,
𝑑
где d – расстояние между пластинами.
Напряжение на конденсаторе:
𝑄
𝑄
𝑄𝑑
𝑈= =
=
𝜀
𝜀𝑆
𝐶
𝜀0 𝜀𝑆
0 ⁄
𝑑
В плоском конденсаторе в промежутке между плоскостями
напряженность равна
𝑄
𝐸=
2𝜀0 𝜀𝑆
Тогда
𝑄𝑒
𝐹=
𝜀0 𝜀𝑆
и
𝑄𝑒
𝑎=
𝜀0 𝜀𝑆𝑚
Кл ∙ Кл
Дж
м
=
= 2
Ф 2
м ∙ кг с
м ∙ м ∙ кг
Подставим значения:
10−9 ∙ 1,6 ∙ 10−19
м
м
𝑎=
= 6,62 ∙ 1015 2
−12
−3
−31
2
8,85 ∙ 10
∙ 1 ∙ 3 ∙ 10 ∙ 9,11 ∙ 10
с
с
[𝑎] =
Диэлектрические проницаемости воздуха и парафина:
𝜀воздух = 1
𝜀парафин = 2,3
Сравним напряженности:
𝑄
𝐸воздух =
2𝜀0 𝜀воздух 𝑆
𝑄
𝐸парафин =
2𝜀0 𝜀парафин 𝑆
Отсюда:
𝐸воздух
2𝜀0 𝜀парафин 𝑆 𝜀парафин
𝑄
=
∙
=
= 2,3
𝐸парафин 2𝜀0 𝜀воздух 𝑆
𝑄
𝜀воздух
Ответ:
м
𝑎 = 6,62 ∙ 1015 2
с
𝐸воздух
= 2,3
𝐸парафин
3-37. Сколько времени потребуется для нагревания воды объемом 2 л до кипения
при начальной температуре 100С в электрическом чайнике с электронагревателем
мощностью 1 кВт, если его КПД равен 90%? Какова сила тока в спирали
нагревателя, если напряжение равно 220 В?
Дано:
СИ
Решение:
Количество теплоты, необходимое для нагревания воды в
𝑉 = 2л
чайнике, определяется по формуле:
103 Дж
𝑄 = 𝑐𝑚∆𝑇,
с = 4,2 ∙
кг ∙ К
где: 𝑚 = 𝜌𝑉, ∆𝑇 = 𝑇2 − 𝑇1 , т.е.:
= 283.15𝐾
𝑇1 = 10℃
𝑄 = 𝑐𝜌𝑉(𝑇2 − 𝑇1 ).
Оно
связано
с
мощностью
𝑃 нагревателя, его КПД и
=
373.15𝐾
𝑇2 = 100℃
временем
𝑡
выражением
𝜂 = 0,9
𝑄 = 𝜂𝑃𝑡
= 103 Вт
P=1кВт
Отсюда
𝑄
𝑐𝜌𝑉(𝑇2 − 𝑇1 )
𝑈 = 220В
𝑡=
=
𝜂𝑃
𝜂𝑃
𝑡, 𝐼−?
Проведем проверку размерности
Дж кг ∙ л
(К − К)
кг
∙К∙ л
[𝑡] =
=с
Дж
с
4,2 ∙ 103 ∙ 1 ∙ 2 ∙ (373,15 − 283,15)
𝑡=
𝑐 = 840 с.
0,9 ∙ 1000
Для нахождения силы тока выразим электрическую
мощность через силу тока и напряжение:
𝑃 = 𝐼𝑈
Тогда
𝑃
𝐼=
𝑈
𝐼=
Ответ:
𝑡 = 840 с
𝐼 = 4,5 А
1000 А ∙ В
= 4,5 А
220 В
3-47. Какую силу тока показывает миллиамперметр (см.рис.4), если Е1 = 2,5 В, Е2=
8,5 В, R3 = 500 Ом, сопротивление миллиамперметра 200 Ом, а падение
напряжения на сопротивлении R2 равно 1 В? Внутренним сопротивлением
источников тока пренебречь.
R1
E1
R2
mA
R3
E2
Рис.4
Дано:
Решение:
Е1 = 2,5В
Е2= 8,5В
R3 = 500 Ом
RА = 200 Ом
U2=1В
I3-?
Применим правило Кирхгофа для контура через R2, миллиамперметр, Е2, R3:
𝐼2 𝑅2 + 𝐼3 𝑅𝐴 + 𝐼3 𝑅3 = 𝐸2
Подставим исходные данные:
1 + 200𝐼3 + 500𝐼3 = 8,5
700𝐼3 = 7,5
7,5
Тогда 𝐼3 = 700 А = 10мА
Ответ: 10 мА
3-57. По двум тонким длинным параллельным проводам, расстояние между
которыми 10 см, текут в одном направлении токи силой
3 А и 2 А. Определить
индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной на расстояние 6
см от первого провода и на расстояние 8 см от второго провода, если провода
находятся в воздухе.
Дано:
СИ
𝑑 = 10см
𝐼1 = 3А
𝐼2 = 2А
𝑟1 = 6см
𝑟2 = 8см
𝐵, Н−?
Решение:
−1
= 10 м
= 6 ∙ 10−2 м
= 8 ∙ 10−2 м
Согласно принципа суперпозиции, результирующее поле определим с
помощью теоремы косинусов
𝐵 = √𝐵12 + 𝐵22 − 2𝐵1 𝐵2 cos 𝛼
где
𝑟12 + 𝑟22 − 𝑑2
2𝑟1 𝑟2
Определим магнитное поле каждого тока по закону Био-Савара-Лапласа:
𝜇0 𝐼1
𝐵1 =
2𝜋𝑟1
𝜇0 𝐼2
𝐵2 =
2𝜋𝑟2
cos 𝛼 =
𝜇0
𝐼1 2
𝐼2 2 𝐼1 𝐼2 2
√
𝐵=
( ) + ( ) − 2 2 (𝑟1 + 𝑟22 − 𝑑2 )
2𝜋 𝑟1
𝑟2
𝑟1 𝑟2
Подставим значения:
𝐵=
1,26 ∙ 10−6
2 ∙ 3,14
× √(
Гн
м ×
2
2
3А
2А
3А
2А
((6 ∙ 10−2 м)2 + (8 ∙ 10−2 м)2 − (10−1 м)2 ) =
)
+
(
)
−
(6 ∙ 10−2 м)2 (8 ∙ 10−2 м)2
6 ∙ 10−2 м
8 ∙ 10−2 м
= 1,12 ∙ 10−3 Тл
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником, равно
𝐼
𝐻 = 2𝜋𝑟 . Аналогично, по принципу суперпозиции:
𝐻 = √𝐻12 + 𝐻22 − 2𝐻1 𝐻2 cos 𝛼 = 𝐵 =
Н=
1
𝐼 2
𝐼 2 𝐼 𝐼
√( 1 ) + ( 2 ) − 12 22 (𝑟12 + 𝑟22 − 𝑑2 )
2𝜋 𝑟1
𝑟2
𝑟1 𝑟2
1
×
2 ∙ 3,14
× √(
2
2
3А
2А
3А
2А
((6 ∙ 10−2 м)2 + (8 ∙ 10−2 м)2 − (10−1 м)2 ) =
)
+
(
)
−
−2
−2
−2
2
(6 ∙ 10 м) (8 ∙ 10−2 м)2
6 ∙ 10 м
8 ∙ 10 м
= 890А/м
Ответ: 𝐵 = 1,12 ∙ 10−3 Тл, Н= 890А/м
3-67. При индукции магнитного поля 1 Тл на каждый кубический сантиметр железа
приходится энергия поля 2·10-4Дж. Определить магнитную проницаемость железа.
Дано:
СИ
Решение:
𝐵2
𝐵 = 1Тл
𝑤=
2𝜇0 𝜇
Дж
Дж
𝑤 = 2 ∙ 10−4 3 = 200 3
Отсюда:
м
см
𝐵2
𝜇
=
𝜇−?
2𝜇 𝑤
Проведем проверку размерности
0
кг 2
(
)
Тл
с2 А
[𝜇] =
=
=1
Гн Дж кг ∙ м2 кг ∙ м2
∙
м м3
с2 А2 ∙ с2
м
м3
2
Подставим значения и вычислим результат:
12
𝜇=
= 2 ∙ 103
2 ∙ 1,26 ∙ 10−6 ∙ 200
Ответ: 𝜇 = 2 ∙ 103
3-77. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов 1000 В,
влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Во
сколько раз радиус траектории движения протона больше радиуса траектории
электрона?
Дано:
𝑈1 = 𝑈2 = 1000В
𝑝, 𝑒
𝑅1
−?
𝑅2
Решение:
v1
Fл1
v2
Fл2
R1
B
R2
На частицы действует сила Лоренца
Fл1=Bev1; Fл2=Bev2
По второму закону Ньютона
Fл1=ma1=mv12/R1; Fл2=ma2=mv22/R2
Bev1=m1v12/R1
Be=m1v1/R1
2
Bev2=mv2 /R2
Be=m2v2/R2
v1=BeR1/m1
v2=BeR2/m2
Частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U,
приобретает кинетическую энергию Т = еU. По условию U1 = U2.
Так как заряды частиц равны по абсолютному значению, то Т1=Т2
m1v12/2=m2v22/2; m1v12=m2v22
m1(BeR1/m1)2=m2(BeR2/m2)2
(BeR1)2/m1=(BeR2)2/m2
R12/m1=R22/m2
R1/R2=√m1/m2,
где m1=1,672·10−27 кг — масса протона;
m2=9,11·10−31 кг — масса электрона.
R1
1,672  10 27

 42,8.
R2
9,11  10 31
Ответ: R1/R2 = 42,8
3-87. Однородное магнитной поле перпендикулярно плоскости кольца радиусом 1
см, изготовленного из медной проволоки диаметром 2 мм. С какой скоростью
должно изменяться во времени магнитной поле, чтобы сила индукционного тока в
кольце составила 10 А? Удельное сопротивление меди 17 нОм·м.
Дано:
СИ:
Решение:
𝑟 = 1см
𝑑 = 2 мм
𝐼 = 10𝐴
𝜌 = 17 нОм м
·
𝜕𝐵
−?
𝜕𝑡
= 10−2 м
= 2 ∙ 10−3 м
= 1,7 ∙ 10−8 Ом ∙ м
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея
𝜕Ф
𝜀=
𝜕𝑡
Магнитный поток Ф равен:
Ф = 𝐵𝑆кольцо
Тогда
𝜕𝐵
𝜕𝐵
𝜀 = 𝑆кольцо
= 𝜋𝑟 2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Сопротивление равно:
𝜌𝑙
8𝜌𝑟
𝑅=
= 2
𝑆сеч
𝑑
Индуцированный ток в кольце:
𝜀 𝜋𝑟𝑑2 𝜕𝐵
𝐼= =
𝑅
8𝜌 𝜕𝑡
Отсюда
𝜕𝐵 𝜋𝑟𝑑2 𝐼
=
𝜕𝑡
8𝜌
Подставим значения:
𝜕𝐵 3,14 ∙ 10−2 м ∙ (2 ∙ 10−3 м)2 ∙ 10А
м2 А
=
=
9,2
= 9,2 Тл/с
𝜕𝑡
8 ∙ 1,7 ∙ 10−8 Ом ∙ м
Ом
𝜕𝐵
Ответ: 𝜕𝑡 = 9,2 Тл/с
3-97. Закрытый колебательный контур состоит из катушки индуктивности и
конденсатора. Определить собственную частоту колебаний, возникающих в
контуре, если максимальная сила тока в катушке индуктивности 1,2 А,
максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора 1200 В, полная
энергия контура 1,1 мДж.
Дано:
Решение:
𝐼 = 1,2А
Выразим через 𝑊 =
𝐿𝐼2
2
и𝑊=
𝐶𝑈 2
:
2
𝑈 = 1200В
𝑊 = 1,1 ∙ 10−3 Дж
2𝑊
𝐼2
2𝑊
𝐶= 2
𝑈
𝐿=
𝜈−?
Период колебаний:
𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶
Тогда
𝜈=
1
1
=
=
𝑇 2𝜋√𝐿𝐶
Подставим значения:
1
2𝜋√
2𝑊 2𝑊
∙
𝐼2 𝑈2
=
𝐼𝑈
4𝜋𝑊
1,2А ∙ 1200В
= 1,04 ∙ 105 Гц
4 ∙ 3,14 ∙ 1,1 ∙ 10−3 Дж
Ответ: 𝜈 = 1,04 ∙ 105 Гц
𝜈=