Механика. Разделы: Статика и Сопротивление

НИТУ «Московский институт стали и сплавов»
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов
А.А.Фролов
А.В.Шляков
Механика. Раздел: (разделы «Теоретическая
механика/Статика» и «Сопротивление материалов»)
Курс лекций
для студентов вечернего факультета
(гр. МО, МЦМ, ЭТ, ЭО)
МОСКВА
2010
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………………. 4
Лекция 1. Основные понятия статики ……………………………………………….... 5
1.1. Основные определения……………………………………………………… 5
1.2. Аксиома об абсолютно твердом теле. Перенос силы вдоль
линии действия. Параллельный перенос силы…………………………… 7
1.3. Линейная система сил……………………………………………………….. 8
1.4. Плоская система сил ………………………………………………………… 8
1.4.1. Система сходящихся сил……………………………………………... 8
1.4.2. Пара сил………………………………………………………………… 9
1.4.3.Произвольная система сил……………………………………………. 9
Лекция 2. Определение опорных реакций (плоский случай)…………………………. 11
2.1. Общие понятия……………………………………………………………….. 11
2.2 Виды опор в плоском случае и их реакции…………………………………. 13
2.3. Алгоритм решения задач по определению опорных реакций…………….. 14
2.4. Примеры……………………………………………………………………….. 14
Лекция 3. Основные определения и понятия сопротивления материалов…………… 17
3.1. Основные определения………………………………………………………. 17
3.2. Понятие о нагрузках. Внешние и внутренние нагрузки. Активные
и реактивные нагрузки………………………………………………………. 18
3.3 Метод сечений………………………………………………………………. .. 19
3.4. Основные гипотезы и допущения…………………………………………. 20
Лекция 4. Центральное растяжение/сжатие прямого бруса…………………………. 22
4.1. Определение. Примеры…………………………………………………….. 22
4.2. Правило знаков продольной силы…………………………………………. 24
4.3. Понятие механических напряжений……………………………………….. 25
4.4. Напряжения в наклонных сечениях. Понятие опасного сечения.
Напряжения в опасном сечении……………………………………………. 26
4.5.Построение эпюр продольных сил N(z). Пример………………………….. 27
Лекция 5. Механические свойства материалов. Часть 1……………………………… 29
5.1.1. Измерение деформаций при растяжении/сжатии………………………. 29
5.1.2. Упругие свойства материалов, коэффициент Пуассона μ……………… 30
5.1.3.Упругие свойства материалов, модуль упругости Е…………………….. 31
Лекция 5. Механические свойства материалов. Часть 2……………………………… 33
5.2.1. Виды испытаний и испытательных машин, виды образцов для
испытаний …………………………………………………………………. 33
5.2.2. Машинные диаграммы растяжения пластичного образца ……………… 33
5.2.3. Диаграммы условных и истинных напряжений…………………………. 35
5.2.4. Упругая и пластическая (остаточная) составляющие полного
удлинения…………………………………………………………………… 36
5.2.5. Механические характеристики материалов………………………………. 36
5.2.6. Пластичные и хрупки материалы…………………………………………. 37
5.2.7. Механические свойства материалов при сжатии………………………… 40
Лекция 6. Понятие допускаемого напряжения. Расчеты на прочность при
растяжении/сжатии…………………………………………………………… 41
Лекция 7. Кручение …………………………………………………………………………………….. 44
7.1. Определение. Примеры……………………………………………………… 44
7.2. Правило знаков. Построение эпюр крутящих моментов………………….. 44
7.3. Деформации при кручении………………………………………………….. 45
7.4. Напряжения при кручении…………………………………………………... 46
2
7.5. Связь между напряжениями и деформациями при кручении.
Закон Гука при сдвиге. Условие жесткости……………………………… 48
7.6. Условие прочности при кручении. Виды расчетов
на прочность при кручении………………………………………………. 49
Лекция 8. Прямой изгиб………………………………………………………………. 51
8.1. Основные определения…………………………………………………… 51
8.2. Правило знаков Qy, Mx …………………………………………………… 52
8.3. Дифференциальные зависимости
между Qy, Mx и q при изгибе……………………………………………… 53
8.4. Пример построения эпюр внутренних силовых факторов
при изгибе………………………………………………………………….. 53
Лекция 9. Напряжения при изгибе и расчет на прочность…………………………. 55
9.1.Нормальные напряжения при изгибе……………………………………… 55
9.2. Касательные напряжения при изгибе……………………………………. 58
9.3. Понятие опасного сечения и опасных точек, условие
прочности при изгибе……………………………………………………… 59
9.4. Расчет на прочность при изгибе……………………………………………. 60
Лекция 10. Сложное сопротивление…………………………………………………. 62
10.1. Основные понятия…………………………………………………………. 62
10.2. Изгиб в двух плоскостях с кручением……………………………………. 62
10.3. Условие прочности для изгиба с кручением. 4 типа задач
на прочность……………………………………………………………….. 63
10.4. Пример расчета ступенчатого вала при действии
изгиба с кручением……………………………………………………….. 64
Лекция 11. Циклические напряжения и их влияние на прочность
Материалов……………………………………………………………….. 68
11.1. Понятия о циклических напряжениях…………………………………… 68
11.2. Виды циклов, их основные параметры………………………………….. 70
11.3. Явление усталости материалов…………………………………………… 71
11.4. Понятие предела выносливости, его экспериментальное
определение………………………………………………………………. 72
11.5. Факторы, влияющие на предел выносливости…………………………. 73
Библиографический список…………………………………………………………… 75
3
Введение.
Реалии учебного процесса для групп МО, МЦМ, ЭО и ЭТ вечернего факультета по курсу
«Механика» заключаются в уменьшении количества аудиторных часов при сохранении
объемов знаний, которые должны усвоить студенты.
Так, в настоящее время общий часовой объем на весь курс составляет всего 72 часа и
распределяется по двум семестрам следующим образом:
I –й семестр (36 часов) – изучение курсов «Теоретическая механика» (раздел «Статика»
и «Сопротивление материалов»);
II-ой семестр (36 часов) – изучение курса «Детали машин» и выполнение курсовой
работы.
Очевидно, что при таких небольших объемах аудиторных занятий (2 часа в неделю)
студенты нуждаются в учебных пособиях, в которых достаточно кратко, последовательно и
логически взаимосвязано излагались бы основные вопросы перечисленных курсов. При этом
необходимо учитывать, что изучение разделов «Статика», «Сопротивления материалов» и
«Деталей машин» логически завершается выполнением курсовой работы, где на практике
используются полученные теоретические знания.
Представляется, что цикл из трех учетных пособий:
1. Избранные лекции по курсу «Механика» (разделы «Статика» и «Сопротивление
материалов»);
2. Избранные лекции по курсу «Механика» (раздел «Детали машин») – готовится к
изданию;
3. Учебное пособие по выполнению курсовой работы
отвечают этим требованиям и окажут помощь в усвоении учебного материала, а также
будут полезны при выполнении домашних заданий.
4
Лекция 1. Основные понятия статики
1.1. Основные определения.
Материальная точка – тело, пренебрежимо малых размеров.
Система материальных точек – совокупность материальных точек, положение
которых взаимосвязано, т.е. изменение положения одной из точек приводит к изменению
положения остальных точек.
Абсолютно твердое тело – система материальных точек, в которой расстояние
между двумя произвольными точками не изменяется при действии внешних нагрузок.
Мерой механического действия тел друг на друга является сила, которая
изображается вектором и характеризуется (рис.1.1):
точкой приложения (т.О на рис.1.1),
направлением (линией действия),
абсолютной величиной (модулем)
Рис.1.1
Система сил – совокупность сил, действующих на тело.
Равнодействующая сила – сила, эквивалентная по своему воздействию системе сил,
действующих на тело. Определяется по правилу параллелограмма (рис.1.2).
Рис.1.2
Равновесие – состояние тела, при котором оно покоится или движется равномерно и
прямолинейно.
Уравновешенная система сил – совокупность сил, при действии которых тело
находится в равновесии. Для состояния равновесия выполняется соотношение R = 0.
Уравновешивающая сила – сила, которая будучи добавленной к заданной системе
сил делает ее уравновешенной (рис.1.3). Равнодействующая сила и уравновешивающая
имеют одну линию действия, равны по модулю, но направлены в противоположные
стороны.
5
Рис.1.3
На рис.1.3 R – равнодействующая сила, а R′ - уравновешивающая сила.
Момент силы относительно точки (например, т.О) – это векторное произведение
радиуса вектора r и силы F (рис.1.4).
α
Рис.1.4
Таким образом момент силы F относительно т.О является вектором,
перпендикулярным плоскости, которую образуют r и F. Этот вектор направлен так, что
образует с ними правую тройку векторов. Модуль этого вектора определяется
следующим соотношением: |М(F)т.О| = |r| |F| Sin(α), но |r| Sin(α) = h, где h –
кратчайшее расстояние от линии действия силы F до т.О. Иначе величину h называют
плечом силы F относительно т.О. Таким образом, окончательно для величины модуля
момента получим:
|М(F)т.О| =|F| h
В дальнейшем мы будем пользоваться в основном понятием модуля момента силы.
Пара сил – система из двух параллельных сил, равных по величине, но
направленных в противоположные стороны (рис.1.5).
Рис.1.5
Момент пары сил определяется следующим соотношением:
M(F1,F2)= |F1| h
6
1.2. Аксиома об абсолютно твердом теле. Перенос силы вдоль
линии действия. Параллельный перенос силы
Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, взаимно уравновешиваются
тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные
стороны и действуют по одной прямой.
Результат действия силы на абсолютно твердое тело не изменится, если ее перенести
вдоль линии ее действия в любую точку тела
Пусть в т.А к телу приложена сила F1. На линии ее действия выберем т.В и приложим
в ней силы F2 и F3, причем |F1|=|F2|=|F3| (рис1.6).
Рис.1.6
Но силы F1 и F3 уравновешены по аксиоме, а силу F2 можно рассматривать как
перенесенную в т. В силу F1. Таким образом, силу можно переносить вдоль линии
действия.
Пусть необходимо перенести силу F1 параллельно из т. А в т.В. Приложим в т. В две
силы F2 и F3, которые параллельны силе F1, но направлены в противоположные стороны
(рис.1.7):
Рис.1.7
Между этими силами выполняется соотношение:|F1|=|F2|=|F3|. Отметим, что если т. В
не находится на перпендикуляре между параллельными линиями действия сил, то
вследствие возможности перемещения сил вдоль линии действия всегда можно
расположить т.В на перпендикуляре между ними ( рис.1.7). Полученную схему можно
рассматривать следующим образом (рис.1.8):
Рис.1.8
7
Силу F2 можно рассматривать как перенесенную в т. В параллельно силу F1, но при
этом добавочно появляется пара сил F1 и F2.
1.3. Линейная система сил
Линейной называется такая система сил, в которой все силы действуют по одной
прямой, т.е. имеют одну линию действия (рис1.9).
Рис.1.9
Тогда равнодействующая всех этих сил будет равна R=ΣFi, а условие равновесия
R=0 или окончательно ΣFi=0
1.4. Плоская система сил
Плоской называется такая система сил, в которой все силы, а следовательно, и их
линии действия лежат в одной плоскости.
1.4.1. Система сходящихся сил
Система сходящихся сил - это такая система сил, в которой линии действия всех
сил пересекаются в одной точке – т.е. «сходятся». Так как силы можно переносить вдоль
линии действия, то в этом случае все силы имеют одну точку приложения (рис.1.10).
Рис.1.10
Равнодействующая R{Rx,Ry} определяется по правилу параллелограмма (рис.1.11)
8
Рис.1.11
Тогда, Rx=Σ(Fx)I, Ry=Σ(Fy)i Условие равновесия примет вид R=0, отсюда следует
Rx=0, Ry=0 или в проекциях на оси Σ(Fx)i=0, Σ(Fy)i=0.
1.4.2. Система пар сил
Это такая система, которая состоит только из пар сил (рис.1.12)
Рис.1.12
Равнодействующий момент M состоит из алгебраической суммы всех моментов
составляющих эту систему с учетом их знаков. Знак момента определяется направлением
вращения конкретного момента.
Не задавая определенного знака какому либо направлению вращения укажем, что
все моменты, вращающие в одну сторону имеют одинаковый знак, а в противоположную
сторону- обратный знак.
Итак, M = ΣMi = Σ|Fi|hi, где hi – плечо пары сил. Отсюда условие равновесия для
системы пар сил будет выглядеть следующим образом:
M = 0 или ΣMi = Σ|Fi|hi = 0.
1.4.3. Произвольная система сил.
Приведение произвольной плоской системы сил к единому центру
В произвольной системе сил часть сил образуют систему сходящихся сил, а другие
силы могут к этой системе не принадлежать (рис.1.13.).
На рис.1.13 cилы F1, F2, F3 сходятся в т. О, а силы F4 , F5 в этой точке не сходятся.
Однако эти силы можно «параллельным образом» перенести в т.О. При этом, как
указывалось выше, появятся дополнительные моменты пар сил, равные произведению
модуля силы, которую переносят параллельно, на плечо – расстояние от точки О до линии
действия рассматриваемой силы. Описанная процедура называется приведением
произвольной системы сил к единому центру
9
Рис.1.13
. Действительно, теперь все силы будут исходить из одной точки О, но при этом
добавится некоторое количество пар сил. Равнодействующая сил R{Rx,Ry} определится
как и ранее, но к ней добавится равнодействующий момент М от пар сил Rx=Σ(Fx)I,
Ry=Σ(Fy)i , M = ΣMi = Σ|Fi|hi.
Условия равновесия для произвольной системы сил будут выглядеть следующим
образом: R=0, М=0 или окончательно Σ(Fx)i=0, Σ(Fy)i=0, Σ|Fi|hi = 0.
Контрольные вопросы
1.Назовите основные параметры силы.
2.Укажите, в чем сходство и различие между равнодействующей и
уравновешивающей силами.
3.Сформулируйте – чему равен модуль момента силы относительно точки?
4.В чем различие при переносе силы вдоль линии действия и параллельно линии
действия?
5.В чем различие систем уравнений равновесия для систем сходящихся сил и
произвольной системы сил?
10
Лекция 2. Определение опорных реакций (плоский случай)
2.1. Общие понятия.
Если тело находится на плоскости и не закреплено (рис.1.1),то оно может свободно
перемещаться влево - вправо, вверх - вниз и совершать вращательное движение «по» или
«против» часовой стрелке.
Рис.1.1.
Если незакрепленное тело на плоскости требуется переместить из положения А в
положение Б, то это можно сделать с помощью 3-х движений: вначале перемещаем тело
вправо по оси z (1), затем вверх по оси y (2), а затем поворачиваем вокруг оси по часовой
стрелке (3), чтобы занять требуемое положение (рис.1.1).
Если тело, находящееся на плоскости закреплено в опоре и не имеет возможности
свободно перемещаться в каком-либо из вышеуказанных направлений, то в том
направлении, в каком оно не может перемещаться, со стороны опоры действует сила,
которая называется «опорной реакцией».
2.1 Виды опор в плоском случае и их реакции.
а) шарнирно-подвижная опора.
Эта опора представляет из себя два шарнира, соединенных стержнем., причем один
шарнир закреплен в основании (рис.1.2).
Рис.1.2
Наиболее простым и наглядным представлением шарнира является сустав человека,
например, коленный сустав ноги. Совершенно ясно, что брус может свободно
перемещаться влево - вправо и поворачиваться «по» и «против» часовой стрелки на
11
шарнирах в этой опоре (рис.1.3.). Следовательно, в этих направлениях со стороны опоры
не возникает опорных реакций.
Рис.1.3
Таким образом, данная опора не создает противодействия перемещению вдоль оси z
и повороту вокруг верхнего шарнира.
В тоже время данная опора не дает возможности свободно перемещаться брусу
вдоль оси y. Следовательно, со стороны опоры на брус действует опорная реакция именно
в направлении оси у (заранее не известно в какую сторону она направлена, её
действительное направление будет находиться из решения конкретной задачи).
Схематически это в дальнейшем будет изображаться следующим образом (рис.1.3.)
.Рис.1.3
Отметим, что левая часть рис.1.3 (с опорой) – исходная схема, а правая часть –
расчетная схема. При решении задачи нельзя на исходной схеме изображать опорную
реакцию, а на расчетной схеме рисовать опору. Отметим, что исходная и расчетная схемы
эквивалентны.
б) шарнирно-неподвижная опора.
Эта опора представляет один шарнир, соединенный двумя стержнями с основанием
(рис.1.4). Данная опора уже не позволяет брусу свободно перемещаться влево - вправо
вдоль оси z и вверх-вниз вдоль оси у. Однако повороту вокруг шарнира она не
противодействует и следовательно в такой опоре возникают только две опорные реакции:
вдоль оси z и вдоль оси у.
12
Рис.1.4
Рис.1.6
в) жесткая заделка (жесткое защемление).
Эта опора представляет жесткое защемление в опоре бруса, которое не позволяет ему
перемещаться ни в одном из вышеуказанных направлений (рис.1.7).
Следовательно, в данной опоре возникают все три опорных реакции.
Рис.1.7
13
Первоначально направление опорных реакций выбирается произвольно.
Правильное направление устанавливается после нахождения решения. Если оно
получится со знаком « - », то первоначальное направление надо изменить на
противоположное.
Статически определимые задачи в плоском случае включают в себя брусья,
закрепленные на двух опорах (шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная) или в
жесткой заделке. Поэтому, при решении задач надо определять три силовых фактора: 3
силы - опорные реакции или 2 силы - опорные реакции и 1 реактивный момент.
2.3. Алгоритм решения задач по определению опорных реакций
Последовательность решения задач по определению опорных реакций заключается
в выполнении следующих 5 этапов:
1.Изображение исходной схемы с заданными нагрузками.
2.Составление расчетной схемы. ( 3.выполняется по исходной схеме путем замены
опор на возможные опорные реакции и изображением заданных нагрузок). Расчетная
схема изображается под исходной схемой.
3.Запись системы уравнений равновесия и ее решение. Система уравнений
равновесия в общем случае имеет следующий вид:
Σ(Fz)i=0
Σ(Fy)i=0
ΣMi=0
Данная система содержит 2 уравнения в проекциях сил по осям и бесчисленное
количество уравнений в моментах, так как произвольных точек на оси бруса бесконечно
много. Так как всего неизвестных в рассматриваемых случаях – 3 (три силы – опорные
реакции или две силы – опорные реакции и реактивный момент), то из этой системы
всегда можно найти решение.
4.Нанесение найденного решения на расчетную схему. Если какое-то решение
получено со знаком «минус», то на расчетной схеме направление соответствующего
силового фактора необходимо изменить на противоположное.
На окончательной расчетной схеме все силовые факторы должны иметь
положительные значения.
5.Проверка. В качестве проверочного уравнения используется любое уравнение из
исходной системы, которое не участвовало при нахождении решения. Для подтверждения
правильности решения необходимо, но не достаточно, чтобы проверочное уравнение
после подстановки в него найденных при решении значений опорных реакций и заданных
нагрузок обратилось в «0».
2.4. Примеры.
Пример 1. Определить опорные реакции для двухопорного бруса с нагрузками,
изображенными на рис.1.7.
14
Рис.1.7
Выполним все 5 этапов решения задачи:
1. На рис.1.7 а изображена исходная схема.
2. Под исходной схемой изображаем расчетную схему, на которой вместо опор
указаны возможные опорные реакции.
3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем
неизвестные опорные реакции:
Σ(Fz)i = 0 Za = 0
ΣMт.а=0 -30 кн . 1 м + 90 кнм + 20 кн . 6 м + Yb . 5 м =0 Yb =-36 кн
ΣMт.b=0 30 кн . 4 м + 90 кнм + 20 кн . 1 м – Ya . 5 м =0 Ya = 46 кн
4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление опорной
реакции Yb на противоположное, так как она получилась со знаком «- ».
5. В качестве проверочного уравнения удобно использовать уравнение:
Σ(Fy)i = 0 46 кн – 30 кн – 36 кн + 20 кн = 0
Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных значений
опорных реакции обратилось в 0.
Ответ: Za = 0 Ya = 46 кн Yb = 36 кн,
Замечание: При решении данной задачи было использовано:
- правило знаков – момент, вращающий против часовой стрелки – положителен, по
часовой стрелке – отрицателен.
- равномерно распределенную нагрузку заменили эквивалентной сосредоточенной
силой приложенной в середине отрезка и равной интенсивности распределенной нагрузки,
умноженной на длину, по которой действует распределенная нагрузка.
15
Пример 2. Определить опорные реакции для бруса, закрепленного в жесткой
заделке.
Рис.1.8
Выполним все 5 этапов решения задачи:
1. На рис.1.8 а изображена исходная схема.
2. Под исходной схемой изображена расчетная схема, на которой вместо опор
указаны возможные опорные реакции.
3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем
неизвестные опорные реакции:
Σ(Fz)i = 0 Za = 0
Σ(Fy)i = 0 Ya – 20 кн + 50 кн = 0 Ya = -30 кн
ΣMт.а=0 Ma – 20 кн . 2 м + 50 кн . 3 м – 70 кнм = 0 Ma = - 40 кнм
4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление
опорной реакции Ya и Ma на противоположные, так как они получились со знаком «- ».
5. В качестве проверочного уравнения будем использовать уравнение для суммы
моментов относительно любой точки кроме a. Удобно взять точку, где приложена
сосредоточенная сила, чтобы она не вошла в уравнение, например, точка С.
ΣMт.С =0 - 40 кнм + 30 кн . 3 м + 20 кн . 1 м – 70 кнм = 0
Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных опорных
реакций обратилось в 0.
Направления действия найденных опорных реакций указаны на рис.1.8.
Ответ: Za = 0 Ya = 30 кн Ma = 40 кнм .
16
Лекция 3. Основные определения и понятия сопротивления материалов
3.1. Основные определения.
Сопротивление материалов как наука является разделом механики твердого
деформируемого тела, в которую кроме того входят теория упругости, теории
пластичности и ползучести, теория сооружений, строительная механика, механика
разрушения и др.
Задачей сопротивления материалов является изучение методов расчета элементов
конструкций и деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость.
Прочность - это способность элементов конструкции сопротивляться воздействию
приложенных к нему нагрузок, не разрушаясь.
Жесткость – это способность элементов конструкции сопротивляться воздействию
приложенных к нему нагрузок, получая лишь малые упругие деформации.
Устойчивость – это способность элементов конструкции сохранять первоначальную
форму равновесия под действием приложенных к нему нагрузок.
Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием приложенных к
ним нагрузок изменяют свою первоначальную форму и размеры, то есть деформируются.
Деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил, называются упругими, а не
исчезающие – пластическими (остаточными) деформациями.
Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается
возможность разрушения деталей является целью расчета на прочность, а исключение
появления недопустимых для нормальной работы конструкции деформаций - цель
расчета на жесткость.
Рассмотрим виды тел, изучаемые в курсе сопротивления материалов.
Брусом называется тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим
размером (рис 3.1)
Рис.3.1
Оболочкой называется тело, одно измерение которого мало по сравнению с двумя
другими (рис.3.2).
Рис.3.2
17
Массивом называется тело, все три измерения которого мало отличаются друг от
друга (рис.3.3).
Рис.3.3
3.2. Понятие о нагрузках. Внешние и внутренние нагрузки.
Активные и реактивные нагрузки.
Все нагрузки, действующие на тело с внешней стороны границы тела, называются
внешними. Сила Р (рис.3.4) – внешняя по отношению к телу. Но при ее приложении со
стороны опоры на тело будет действовать сила R. Она также внешняя, т.к. расположена с
внешней стороны тела. Силы P и R различны по своей природе. Сила P – первична, она
начала действовать на тело и поэтому она является внешней активной, а сила R возникла
как реакция опоры на силу Р. Поэтому она называется внешней реактивной. Опору
иногда называют «связью».
Рис.3.4
Внешние силы Р и R уравновешиваются силами N – внутренними. Внутренние силы
начинают действовать только в ответ на действия внешних сил. Они друг друга
уравновешивают в каждый момент времени и с течением времени могут изменяться.
Внешние нагрузки подразделяются на собственно силы и моменты сил и бывают
сосредоточенным (т.е. приложенным в точке) и распределенными по длине,
поверхности (напр., снег на крыше) или объему (например, вес тела).
Нагрузки бывают статическими (т.е. практически не изменяющимися во времени) и
динамическими (т.е. переменными во времени).
18
Замечание:
Статические силы если и изменяются, то столь медленно и плавно, что возникающими при
этом ускорениями движущихся масс можно пренебречь. При статическом нагружении можно
считать, что нагрузки во всех точках тела воспринимаются одновременно. При динамическом
нагружении возникают значительные инерционные силы, которые нужно учитывать наряду с
другими нагрузками
В сопротивлении материалов изучают действие только уравновешенных систем
внешних и внутренних сил.
Сосредоточенные силы P измеряются в [Н], [кН], а сосредоточенные моменты M
имеют размерность [Нм], [кНм], интенсивность распределенной по линии нагрузки q
измеряется в [Н/м], [кН/м], по площади -в [н/м2], [кн/м2], по объему -в [н/м3], [кн/м3].
3.3 Метод сечений.
Одной из основных задач сопротивления материалов является нахождение
внутренних силовых факторов по заданным внешним нагрузкам. Тогда можно судить о
прочности, жесткости и устойчивости конструкции. Для этого применяется «метод
сечений», который состоит из 4-х этапов.
Пусть имеем тело, на которое действуют уравновешенные внешние нагрузки
(рис.3.5). Необходимо определить, какие внутренние силы возникают в произвольном
поперечном сечении.
Рис.3.5
1. Рассекаем тело в интересующем нас сечении (рис.3.6)
Рис.3.6
2. Отбрасываем одну из частей тела (рис.3.7)
19
Рис.3.7
3. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть неизвестными
внутренними силовыми факторами (рис3.8).
При этом неизвестные внутренние силовые факторы переводятся во внешние.
R–равнодействующая всех неизвестных внутренних сил с двумя проекциями Ry и Rz,
а М – суммарный момент всех неизвестных внутренних моментов.
Рис.3.8
4.Составляем уравнения равновесия статики. Получаем систему линейных
уравнений с тремя неизвестными Ry, Rz и M, решая которую, находим искомые
внутренние силы в поперечном сечении.
Начальные буквы этих этапов образуют аббревиатуру «РОЗУ», которая помогает
запомнить основные этапы метода сечений.
3.4. Основные гипотезы и допущения.
Реальные материалы обладают разнообразными физическими свойствами и
характерной для каждого из них структурой. С целью упрощения расчетов в
сопротивлении материалов используют гипотезы и допущения о свойствах материала.
Основные гипотезы и допущения:
1. Материал считается однородным, то есть его свойства во всех точках одинаковы
по какому-то направлению. При изменении направления свойства могут измениться, но
все равно будут одинаковы во всех точках.
2. Материал считается изотропным, то есть его свойства в произвольной точке
одинаковы по всем направлениям. При переходе к другой точке свойства могут
измениться, но все равно будут одинаковыми по всем направлениям.
3. Материал считается сплошным, то есть без пустот заполняет пространство,
ограниченное поверхностью тела. Таким образом, материал – непрерывен, что позволяет
использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.
20
4. Материал считается идеально упругим, то есть полностью восстанавливает свои
форму и размеры после снятия нагрузки.
5. Деформации материала прямо пропорциональны прикладываемым нагрузкам, то
есть справедлив закон Гука.
Кроме того, также с целью упрощения расчетов вводятся гипотезы и допущения о
схемах нагружения, действии прикладываемых нагрузок и т.д.
6. Принцип независимости действия сил. При действии на тело нескольких сил,
результат действия одной части этих сил не зависит от результата действия остальных сил
Следствие: Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов от
действия каждой силы в отдельности и не зависит от последовательности приложения
этих сил. Таким образом, одну сложную задачу можно разбить на ряд простых, а
результаты «сложить».
7. Принцип начальных размеров. При составлении условий равновесия реального
тела оно может считаться абсолютно твердым. То есть деформации тела под нагрузками
настолько малы, что можно не учитывать изменение местоположения точек приложения
нагрузок и взаиморасположения нагрузок и их линий действия между собой.
8. Гипотеза плоских сечений (Бернулли) Поперечные сечения тела, бывшие
плоскими до нагружения, остаются плоскими и после нагружения.
9. Принцип Сен-Венана. Замена совокупности некоторых сил, приложенных на
небольшой части поверхности тела, статически эквивалентной системой других сил не
вызовет существенных изменений в условиях нагружения достаточно удаленных частей
тела
Рассмотренные выше гипотезы и допущения вносят определенные погрешности в
расчеты. Так как «сопротивление материалов» - инженерная наука, то в большинстве
случаев этими погрешностями можно пренебречь. Также надо учитывать, что целиком как
совокупность указанные предположения используются достаточно редко.
Контрольные вопросы
1. Может ли тело быть «прочным», но не «жестким»? Приведите пример.
2. Приведите пример внешней активной силы и внешней реактивной силы.
3. Приведите пример динамической внешней силы.
4. Из скольких этапов состоит «метод сечений»?
5. Сформулируйте, какими свойствами обладает однородный изотропный
материал.
6. Являются ли обычные металлы и сплавы (железо, чугун, сталь и т.д.)
«сплошными» материалами?
21
Лекция 4. Центральное растяжение/сжатие прямого бруса
4.1. Определение. Примеры.
Центральным растяжением/сжатием называется такой вид нагружения бруса, при
котором в любом его поперечном сечении возникают только продольные внутренние
усилия.
Пример I. Какая сила действует в поперечном сечении бруса (рис.4.1)?
Рис.4.1
Для решения этой задачи применим метод сечений (РОЗУ), состоящий из
нескольких этапов.
«Р»- Рассекаем брус в интересующем нас сечении (рис.4.2)
«О»- Отбрасываем одну из частей бруса
«З»- Для сохранения равновесия заменяем действие отброшенной части на
оставшуюся часть бруса неизвестной пока внутренней силой
«У»- Уравновешиваем неизвестную внутреннюю силу и внешнюю
нагрузку
-N+500 Н = 0
N = 500 Н
Вывод: Внутренняя сила N равна приложенной внешней нагрузке 500 Н.
22
Пример II. А какая сила теперь действует в сечении бруса?
Для решения снова применим метод сечений РОЗУ
«Р» -рассекаем брус в интересующем сечении.
«О» - отбрасываем одну из частей бруса.
«З» - для сохранения равновесия заменяем действие отброшенной части бруса на
оставшуюся часть бруса неизвестной пока внутренней силой N.
«У» - уравновешиваем неизвестную внутреннюю силу и внешнюю
нагрузку. В итоге
получим:
Вывод: внутренняя сила N равна приложенной внешней нагрузке 500 Н
Итак: внутренняя продольная сила в рассматриваемом поперечном сечении
равна сумме внешних нагрузок в оставшейся после отсечения части бруса.
23
4.2. Правило знаков продольной силы
Возьмем два одинаковых по форме и размерам цилиндрических образца,
изготовленных из одного и того же материала. Будем постепенно нагружать образцы
до их разрушения: первый образец растягивающей силой, а второй - сжимающей.
Зафиксируем силы, при которых разрушились тот и другой образцы (рис.4.3).
Рис. 4.3.
Опыт показывает, что Р1разр.<Р2разр.. Таким образом, механические свойства
материалов при растяжении и сжатии, как правило, различны.
Поэтому важно различать внутри тела зоны растяжения и зоны сжатия.
Правило знаков: внутренняя растягивающая сила положительна, а
внутренняя сжимающая сила отрицательна.
24
4.3. Понятие механических напряжений.
Будем растягивать два образца из одинакового материала, одинаковые по длине,
но с разными поперечными размерами А и 2А (рис.4.4).
Зафиксируем силу, при которой разрушился образец N1 – Р1разр.. Нагрузим
образец N2 до силы – Р1разр. и увидим, что образец N2 при этой нагрузке не
разрушился. Будем продолжать нагружение и зафиксируем силу, при которой он
разрушился – Р2разр. . Получим соотношение между силами- Р2разр. = 2 Р1разр..
Рис.4.4
Вывод: разрушение материала является следствием действия не силы, а другого
фактора механического воздействия, а именно – механического напряжения
(отношения внутренней продольной силы к площади поперечного сечения).
Механическое напряжение обозначается буквой σ и вычисляется по формуле:
25
σ = N/A
где N – внутренняя продольная сила, А – площадь поперечного сечения.
Напряжение измеряется в системе «СИ» обычно в Н/м2 [Па] или 106 х Н/м2
[мПа].
В опытах N2, N3 напряжение при разрушении одинаковое и равно:
σ = Nразр./A = P1разр./A
4.4. Напряжения в наклонных сечениях. Понятие опасного сечения.
Напряжения в опасном сечении.
Рассмотрим элемент с единичной площадью, находящийся под действием
растягивающих напряжений (рис.4.5):
α
σ
Pα
Рис.4.5
Элемент находится в равновесии, тогда силы слева и справа равны, т.е. σх1=Рαх1/Соs
α. Отсюда получаем Рα = σ х Соs α . Разложим напряжение Рα на две составляющие:
нормальную – σαи касательную – τα (рис.4.6). При этом σα = Рα х Соs α , а τα = Рα х Sin α .
σα
Pα
α
τα
Рис.4.6.
С учетом полученных ранее соотношений окончательно получим:
σα = σ х Соs2α
τα = σ х Sin 2α/2
Эти формулы связывают напряжения в поперечных сечениях с нормальными и
касательными напряжениями в наклонных сечениях.
Исследуем влияние угла α на величины этих напряжений. При изменении α от 0 до
π/2 σα уменьшается от своего максимального значения, равного σ до 0.
Таким образом, напряжение σα принимает наибольшее значение в поперечных
сечениях бруса (при α = 0). При изменении α от 0 до π/4 касательное напряжение τα
возрастает от 0 до своего максимального значения, при дальнейшем изменении α от π/4 до
π/2 τα уменьшается до 0. Таким образом, касательное напряжение τα принимает
наибольшее значение в наклонных поперечных сечениях при α=π/4. и равно: τα =σ/2.
26
Как правило, при расчете на прочность принимают во внимание только нормальные
напряжения, поэтому расчет на прочность проводят для поперечных сечений (при α = 0).
Эти сечения называются «опасными», так как в них возникают наибольшие напряжения.
4.5.Построение эпюр продольных сил N(z).
Из вышесказанного следует, что для определения значений напряжений в
произвольном поперечном сечении бруса необходимо знать значение внутренней силы N.
Графическое изображение зависимости внутренней силы N от координаты z (точки
продольной оси бруса) называется эпюрой продольной силы N (z).
Построение эпюры N(z) рассмотрим на конкретном примере. Пусть задан брус, на
который действуют две сосредоточенные силы (одна вызывает растяжение бруса, а другая
сжатие) и распределенная нагрузка, растягивающая брус (рис. 4.7).
Брус разделим на два участка. Расположим начало координат в заделке, тогда на
первом участке z будет изменяться от 0 до 2 м, а на втором - от 2 м до 6 м.
Для определения внутренней силы N используем метод сечений (РОЗУ).
Рис.4.7
Мысленно рассечем брус в произвольном сечении на первом участке (рис.4.8).
рис.4.8
Отбросим левую часть бруса (О) и будем рассматривать правую часть (рис.4.9).
Заменим действие отброшенной части на оставшуюся часть бруса неизвестной
внутренней силой N, направленной вдоль оси бруса z (З).
Рис.4.9
Запишем уравнение внутренней силы исходя из того, что она равна сумме всех
внешних сил, действующих на оставшуюся часть бруса (с учетом введенного правила
знаков):
27
NI = 11кН – 31кН + 17кН/м . 4 м - (для всех поперечных сечений: 0 ≤ z ≤ 2 м)
Выполним аналогичные вычисления для произвольного поперечного сечения на
втором участке (рис.4.10).
Рис.4.10
Продольная сила равна NII = - 31кН + 17кН/м (6м – z) для всех поперечных сечений
2м≤z≤6м.
Для облегчения построения эпюры вычислим значения силы N в крайних точках
второго участка: при z = 2м NII = 37 кН; при z = 6 м NII = -31 кН.
Закон изменения внутренней силы N на втором участке – линейный.
На рис.4.11 под исходной схемой построена эпюра N(z) с учетом полученных выше
результатов вычисления.
Рис.4.11
Контрольные вопросы
.
1. Чему равна продольная сила при растяжении – сжатии бруса?
2. Почему необходимо разделять зоны растяжения и сжатия в деформируемом теле?
3. Как называется внутренний силовой фактор, определяющий прочность
деформируемого тела?
4. Какое сечение называется опасным при растяжении-сжатии?
5. Почему расчет на прочность при растяжении-сжатии проводят для поперечных
сечений бруса?
28
Лекция 5. Механические свойства материалов Часть 1.
5.1.1. Измерение деформаций при растяжении/сжатии.
Рассмотрим плоский образец (брус) с формой и размерами, указанными на рисунке
(5.1).
Рис.5.1
Подвергнем этот образец растяжению и сжатию силой Р.
Тогда первоначальные размеры после нагружения (рис.5.2) примут другие
(конечные) значения:
Рис.5.2
Введем следующие обозначения:
Δl=lk - l0 – абсолютное удлинение (абсолютная продольная деформация),
Δb=bk - b0 – абсолютное сужение (абсолютная поперечная деформация).
Однако, абсолютные деформации не описывают полностью деформации растяжения
и сжатия. Напр., растяжение на 1 мм образца исходной длиной 1 мм и 10 мм оказывают на
образец совершенно разные воздействия.
Поэтому используют и другие показателей деформаций:
ε=Δl/l0 – относительное удлинение (относительная продольная деформация)
έ=Δb/b0 – относительное сужение (относительная поперечная деформация)
В заключении отметим, что продольная и поперечная деформации всегда имеют
противоположные знаки.
29
5.1.2. Упругие свойства материалов, коэффициент Пуассона μ.
Исследуем изменение продольных и поперечных деформаций при постепенном
нагружении бруса (образца). Нагружение при растяжении, и сжатии будем проводить до
силы Р, не выводящей материал образца за границы упругой деформации.
Это означает, что при снятии нагрузки в любой момент нагружения образец
вернется к первоначальным размерам.
Опыт №1. Будем, растягивать образец и вычислять соотношение έ/ε; а затем сжимать образец и также вычислять это соотношение.
Результаты вычислений показывают, что соотношение έ/ε остается постоянным.
Эта константа имеет отрицательное значение, а ее абсолютная величина называется
коэффициентом Пуассона1 и обозначается греческой буквой μ.
μ=|έ/ε|
Отсюда следует, что относительные продольная и поперечная деформации пропорциональны между собой.
Опыт №2. Будем нагружать аналогичным образом образец из другого материала и
увидим, что коэффициент Пуассона μ изменил свое значение, но остался постоянным и
для данного образца (материала).
Опыт №3. Опыты с различными материалами показывают, что, чем материал
образца более порист, тем у него коэффициент Пуассона μ меньше. Уменьшение
пористости материала образца приводит к росту величины μ. Можно показать, что
значения коэффициента Пуассона μ лежат в следующих пределах:
0≤μ≤0,5
Исследуем граничные значения коэффициента Пуассона. Если при нагружении
образца происходит рост продольной деформации, а поперечные размеры не изменяются,
т.е. поперечная деформация равна 0, то и коэффициент Пуассона равен 0
Это можно представить себе как нагружение образца из «абсолютно пористого»
материала. Образец будет значительно изменять свой объем при нагружении.
С другой стороны, если при нагружении образца вся продольная деформация
«переходит» в поперечную, то такой образец совсем не имеет пор. Он «абсолютно
сплошной» и не изменяет свой объем при нагружении.
К первым близки материалы, полученные, например, методами порошковой
металлургии. Они характеризуются наличием значительного количества пор внутри.
Вторые - это материалы, близкие к резинам. Они характеризуются практически
отсутствием внутренней пористости.
Металлы и их сплавы, не смотря на их кажущуюся сплошность, занимают
промежуточное положение. Для них, как правило, коэффициент Пуассона μ лежит в
пределах 0,25 – 0,35. Это означает, что образцы из них довольно существенно
изменяют свой объем при деформировании.
Французский ученый Пуассон (Poisson) Сименон Дени (1781-1840) известен своими трудами в математике, механике и
физике. В 1926 г. был избран иностранным почетным членом Петербургской Академии наук.
1
30
5.1.3.Упругие свойства материалов, модуль упругости Е.
Подвергнем растяжению или сжатию образец, зафиксировав текущую нагрузку Р и
соответствующее ей абсолютное удлинение Δl. Результаты опыта позволяют сделать
следующие вывод, что увеличение нагрузки Р приводит к росту абсолютного удлинения
Δl. Эта зависимость является прямо пропорциональной.
Опыт №5. Возьмем несколько образцов с одинаковой исходной длиной l0 и
различной исходной площадью поперечного сечения А0.
Нагрузим все образцы до некоторой одинаковой силы Р и будем измерять
получаемую каждым образцом величину абсолютного удлинения Δl.
Результаты этого опыта позволяют сделать вывод, что увеличение исходной
площади поперечного сечения А0 приводит к уменьшению конечной величины
абсолютного удлинения Δl и, следовательно, относительного удлинения Δl/l0. Эта
зависимость является обратно пропорциональной.
Суммируя результаты опытов №4 и №5 получим, что Δl/ l0 ~ Р/А0 ,а заменяя
внешнюю силу Р на равную ей внутреннюю силу N , получим Δl/l0 ~ N/А0.
Знак «~» означает пропорциональность.
Коэффициент пропорциональности представляют в виде –1/Е, а величина «Е» носит
название модуля Юнга2.
Этот коэффициент характеризует «упругость» материала. Чем величина Е больше,
тем образец более упругий, т.е. для его деформирования до определенных величин
необходимо приложить бóльшую нагрузку.
Опыты показывают, что для разных материалов значения модуля упругости
различны.
Окончательно результаты опытов можно свести к виду:
Δl/l0=1/Е . N/А0
5.4.Закон Гука.
Преобразуем полученное выражение следующим образом:
Δl=Nl0/ЕА
Эту зависимость принято называть первой формулировкой закона Гука3.
Произведение ЕА называют «жесткостью» материала при растяжении или сжатии,
увеличение которой приводит к уменьшению «податливости» материала при нагрузке, т.е.
к уменьшению деформаций при прочих равных условиях. Формула закона Гука легко
приводится к виду:
σ=Е ε
Юнг (Young) Томас (1773-1829) английский ученый , один из основоположников волновой теории света.
Ввел модуль упругости, названный его именем. Труды по акустике, астрономии, расшифровке египетских
иероглифов.
3
Гук (Hooke) Роберт (1635-1703) английский естествоиспытатель, разносторонний ученый и экспериментатор. В 1660 году открыл закон, названный его именем. Усовершенствовал микроскоп и установил клеточное
строение некоторых растительных тканей, ввел термин «клетка», совместно Х.Гюйгенсом установил
постоянные точки термометра.
2
31
Из формулы закона Гука следует, что размерность модуля Юнга совпадает с
размерностью напряжений (т.е. в системе «Си» - [н/м2 =Па].
Формула закона Гука получена при условии постоянства силы N. Если же сила N
является переменной (зависит от координаты Z), то указанная формула принимает более
сложную «интегральную» форму:
Δl=∫(N(z)/EA)dz
Контрольные вопросы
1. Поясните, почему абсолютные деформации менее информативны, чем
относительные.
2. Чему равен коэффициент Пуассона для материала, не изменяющего свой объем
при деформации? У какого материала µ меньше – у пробки или резины?
3. Что характеризует модуль Юнга Е?
4. Сформулируйте закон Гука.
32
Лекция 5. Механические свойства материалов. Часть 2.
5.2.1. Виды испытаний и испытательных машин.
Виды образцов для испытаний.
Как отмечалось ранее при расчетах конструкций и их деталей необходимо знать
механические свойства используемых материалов. Выше были рассмотрены два важных
показателя упругих свойств материалов – коэффициент Пуассона μ и модуль Юнга Е.
Известны другие показателей упругих и пластических свойств материалов, которые
в своей совокупности описывают поведение материалов под нагрузкой.
Механические свойства, как правило, определяют экспериментальным путем на
специальных испытательных машинах с помощью специальных образцов. Различают
испытания на растяжение/сжатие (наиболее распространенный вид испытаний),
кручение, изгиб, удар и др.
Соответственно и испытательные машины подразделяются на растяжные (они же
позволяют проводить опыты на сжатие), крутильные, маятниковые копры (удар), а также
универсальные машины, на которых можно проводить опыты со сложным законом
нагружения, где моделируются условия нагружения при эксплуатации реальных
конструкций.
Такие машины являются дорогими устройствами и, как правило, снабжены,
нагревательными устройствами для проведения опытов при различных температурах и
компьютерами для обработки результатов испытаний и задания условий нагружения
В опытах применяются круглые и плоские образцы. Их размеры и конфигурация
являются стандартными, так как экспериментально установленным фактом является то,
что результаты испытаний зависят от формы и размеров образцов(масштабный фактор).
Характерной особенностью формы образцов является наличие на концах усиленных
частей - головок под захват машины и плавного перехода к более тонкой рабочей части
постоянного сечения. Такая форма образца позволяет обеспечить однородное
напряженное состояние в его рабочей части.
Как правило, при испытаниях на растяжение используют пятикратный образец- l0 =
5 d0 (обычно d0 = 5 мм, а l0 = 25 мм).
Образец на сжатие является обычным цилиндром с высотой h0 и диаметром d0.
В целях уменьшения влияния трения на результаты опытов соотношение между
высотой и диаметром составляет h/d=1,5(обычно h = 12–15 мм, а d = 8–10 мм).
5.2.2. Машинные диаграммы растяжения пластичного образца.
Принципиальная схема испытательной машины на растяжение/сжатие представлена
на рис.5.3.
При растяжении образца датчики усилий и удлинений передают сигналы в
«суммирующее» устройство, в котором через общий параметр «время» - t выдается
окончательная «машинная диаграмма» растяжения образца – P=P(Δl).
Характерная машинная диаграмма, получаемая при растяжении пластичного
образца, представлена на рис.5.4.
33
Рис.5.3
Данная диаграмма называется диаграммой растяжения с площадкой текучести. Ее
основными участками являются: ОА1 А (т. А1 на рис. не показана); АВ; ВС; СD.
Участок ОА, соответствует стадии упругости образца, т.е. при снятии нагрузки из
любой точки этого участка образец полностью возвращается к своим исходным размерам.
На участке ОА1 (А1 расположена чуть ниже т. А) деформация материала
подчиняется закону Гука, т.е.между силой и абсолютным удлинением существует прямо
пропорциональная (линейная) зависимость теряется.
На участке А1А прямо пропорциональная зависимость теряется , закон Гука не
выполняется и появляется нелинейная связь между силой и удлинением с сохранением
упругих деформаций..
На участке АВ рост нагрузки замедляется, а затем почти прекращается при
одновременном росте удлинений. Явление значительного роста удлинений без заметного
увеличения нагрузки называется текучестью, а горизонтальный(или почти
горизонтальный) участок диаграммы растяжения называется площадкой текучести.
Рис.5.4
На стадии текучести полированная поверхность образца покрывается сеткой тонких
линий, называемых линиями сдвига, или линиями Чернова, названными так по фамилии
русского металлурга, впервые заметившего их.
Эти линии являются следами плоскостей скольжения (сдвига) частиц материала друг
относительно друга. Они наклонены к оси бруса под углом, близким к 45° и практически
совпадают с плоскостями действия максимальных касательных напряжений.
На участке ВС, называемом зоной упрочнения, материал вновь приобретает
свойство оказывать сопротивление нагрузке, но с ростом удлинения образца нагрузка
34
возрастает значительно медленнее, чем на упругом участке. В конце зоны упрочнения
(т.С) равномерное до этого уменьшение поперечных размеров рабочей части образца
нарушается появлением местного утоньшения — шейки.
На участке СD деформация образца приобретает местный характер, сосредоточена в
области шейки и в связи с быстрым уменьшением площади сечения образца для развитии
деформации требуется меньшая нагрузка. Этим и объясняется падение нагрузки за точкой
Сна диаграмме растяжения. Участок диаграммы за точкой С называется зоной
разупрочнения. Точка D диаграммы соответствует разрушению образца.
Многие материалы, например легированные стали, дюралюминий, обнаруживают
пластические свойства, но площадки текучести на диаграмме растяжения не имеют.
Характер диаграмм растяжения для дюралюминия и легированной стали представлен на
рис.5.5.
Рис.5.5
5.2.3. Диаграммы условных и истинных напряжений.
Диаграмма растяжения в осях P – Δl является по существу характеристикой образца
из данного материала, так как при одном и том же значении силы P величина удлинения
зависит от поперечных и продольных размеров образца. Чтобы исключить влияние
размеров образца и получить характеристику именно материала, диаграмму растяжения
перестраивают в координатах σ – ε, где σ - напряжение, ε – относительное удлинение.
При переходе от нагрузок P к напряжениям σ и от абсолютных удлинений Δl к
относительным ε можно поступить двояко:
1) пренебречь изменением площади поперечного сечения образца в процессе
растяжения, а также неравномерностью распределения деформаций по длине его рабочей
части после образования шейки.
В этом случае. подсчитывают напряжение σ делением текущей нагрузки P на
начальную площадь А0 сечения образца, а относительную деформацию ε - делением
абсолютного удлинения рабочей части образца на его первоначальную длину l0.
Уравнение линейного участка этой диаграммы на начальной стадии нагружения σ =
Eε представляет собой уже известную математическую запись закона Гука при одноосном
растяжении. Следовательно, численно модуль упругости Юнга Е равен тангенсу угла
наклона к оси абсцисс прямолинейного участка диаграммы растяжения.
2) в процессе растяжения образца в действительности его площадь поперечного
сечения постоянно уменьшается. Поэтому диаграмма растяжения, по оси ординат которой
откладывается напряжение σи, полученное делением текущей силы Р на текущую
наименьшую площадь сечения образца Атек., а по оси абсцисс – текущее относительное
удлинение ε в данный момент нагружения, называется диаграммой истинных
напряжений. Эта диаграмма показана на рис.5.6.
35
Рис.5.6
. Падения напряжений за точкой C не наблюдается, так как площадь сечения в шейке
уменьшается быстрее, чем падает нагрузка, поэтому напряжения возрастают.
Вследствие образования шейки распределение напряжений по сечению становится
неравномерным, а частицы материала испытывают растяжение не только в продольном ,
но также в радиальном и окружном направлениях.
Это приводит к образованию внутри шейки поперечной трещины. Различие характера
диаграмм условных и истинных напряжений становится значительным только после
образования шейки.
5.2.5. Механические характеристики материалов
К механическим характеристикам кроме уже рассмотренных коэффициента Пуассона
μ и модуля Юнга Е относят также значения напряжений и деформаций, соответствующие
определенным точкам на диаграммах условных и истинных напряжений:
-предел пропорциональности σпц - наибольшее напряжение, до которого
деформации прямо пропорциональны напряжениям;
-предел упругости σу - наибольшее напряжение, до которого материал не получает
остаточных деформаций, т.е. после снятия нагрузки полностью восстанавливает свои
форму и размеры;
-предел текучести σт - напряжение, при котором деформации растут без заметного
увеличения нагрузки.
Пределом прочности σпч или временным сопротивлением σв называют
максимальное напряжение (подсчитанное по первоначальной площади сечения образца),
выдерживаемое материалом при растяжении. Его величина определяется ординатой точки
C условной диаграммы.
Точное определении из эксперимента значений пределов пропорциональности и
упругости достаточно затруднительно.
Поэтому на практике под пределом пропорциональности σпц понимается
напряжение, при котором отклонение от линейной зависимости достигает определенной
величины, устанавливаемой техническими условиями.
Под пределом упругости понимается напряжение, при котором остаточные
деформации достигают заранее установленной величины в пределах 0.001-0.005%.
Для материалов, не имеющих площадки текучести, в качестве предела текучести
условно принимается напряжение, при котором остаточные деформации составляют 0.2
или 0.3% от первоначальной длины образца. Условный или, иначе, технический предел
текучести в соответствии с допуском на остаточную деформацию обозначается σ0,2 или
σ0,3.
В теоретических исследованиях индексы 0.2 и 0.3 обычно опускаются и условный
предел текучести обозначается символом σт. Предел текучести является одной из
основных характеристик материала.
36
Пластические свойства материала, то есть способность к образованию остаточных
деформаций,
характеризуются величиной относительного удлинения образца при разрыве
Δ={(lk – l0)/l0} 100%
а также относительным уменьшением площади сечения образца в шейке:
Ψ={(Ак – А0)/А0} 100%
где lк, Ак - длина рабочей части образца и площадь наименьшего сечения шейки
разорванного образца, соответственно; lo, Аo - их начальные значения.
5.2.6. Пластичные и хрупки материалы
По результатам испытаний на одноосное растяжение материалы принято делить на
пластичные и хрупкие. К пластичным относятся материалы, разрушению которых
предшествуют большие остаточные деформации, достигающие 20...25% и более.
Хрупкими называют материалы, разрушающиеся при малых остаточных
деформациях, не превышающих 2...5%.
Характерными представителями пластичных материалов являются малоуглеродистая
сталь и алюминий, а хрупких - чугун, инструментальная сталь и стекло. Пластичные и
хрупкие материалы отличаются также и характером разрушения при растяжении.
Пластичные материалы проявляют большее сопротивление отрыву частиц, чем
сдвигу их друг относительно друга, и разрушение происходит главным образом от сдвига
частиц в плоскостях действия наибольших касательных напряжений.
Именно вследствие сдвига частиц увеличивается длина образца из пластичного
материала при его растяжении, а место разрушения в шейке имеет вид кратера, стенки
которого наклонены к оси образца под углом 45°.
Дном этого кратера является поверхность первоначальной внутренней трещины,
возникающей после образования шейки.
Хрупкие материалы, наоборот, обладают большим сопротивлением сдвигу, чем
отрыву, и разрушаются при растяжении внезапно из-за отрыва частиц материала по
плоскости поперечного сечения.
Явления текучести, упрочнения и образования шейки на образцах из таких
материалов перед разрывом не наблюдаются. Единственной прочностной
характеристикой хрупких материалов является предел прочности σв.
Диаграмма растяжения хрупких материалов представлена на рис.5.7.
Рис.5.7
Деление материалов на хрупкие и пластичные является условным, так как свойства
материалов зависят от температуры, скорости и вида нагружения.
37
Один и тот же материал в одних условиях ведет себя как хрупкий, в других - как
пластичный. Напр., мрамор при одноосном растяжении разрушается как хрупкий
материал, а при обьемном сжатии проявляет пластические свойства.
Поэтому правильнее говорить о пластичном и хруком характере разрушения
материала (первое происходит при больших, а второе при сравнительно малых
остаточных деформациях).
5.2.6. Механические свойства при сжатии
При сжатии образца из пластичного материала, как и при растяжении, сначала имеет
место линейная зависимость ε от σ, затем площадка текучести и зона упрочнения. Но в
отличие от растяжения площадка текучести едва намечается, и в дальнейшем нагрузка все
время возрастает. Возрастание происходит потому, что при сжатии образец из
пластичного материала не разрушается, а постепенно сплющивается в тонкий диск при
одновременном увеличении площади сечения (рис 5.8).
Рис.5.8
Определить предел прочности пластичного материала при сжатии очевидно
невозможно, так как он просто не существует (образец невозможно разрушить).
Для испытаний на сжатие применяются короткие цилиндрические образцы.
Бочкообразная форма, которую они приобретают в процессе испытания, объясняется
наличием сил трения между плитами пресса и торцами образца
Для пластичных материалов характерно малое отличие пределов текучести при
растяжении σтр и сжатии σтсж.
Различие в работе материала на растяжение и сжатие характеризуется
коэффициентом υт=σтр/σтсж. Материалы, у которых υт=1, называются одинаково
работающими на растяжение и сжатие.
Иные свойства при сжатии проявляют хрупкие материалы. Образцы из таких
материалов при сжатии разрушаются внезапно, раскалываясь по наклонным (под углом
450) плоскостям, как показано ниже на рис.5.9.
приведена на рис. Качественные особенности диаграмм растяжения и сжатия
хрупкого материала одинаковы, но сравнение пределов прочности при растяжении и
сжатии показывает, что хрупкие материалы, как правило, значительно лучше работают на
сжатие, чем на растяжение.
Например, у чугуна предел прочности при сжатии в среднем в три раза больше, чем
при растяжении.
38
Рис.5.9
5.2.7. Закон разгрузки и повторного нагружения.
Если образец нагрузить до точки диаграммы, соответствующей пределу упругости
σу, ( точкана K диаграммы рис.5.10), а затем начать разгружать его, то разгрузка будет
происходить по прямой KL, параллельной начальному линейному участку диаграммы
.
Рис.5.10
После разгрузки полная деформация образца (абсцисса, соответствующая т.К)
уменьшится, но полностью не исчезнет.
Отрезок LM определяет величину исчезнувшей, т.е. упругой деформации εу, а
отрезок OL - величину остаточной (пластической) деформации εпл.
Таким образом, полная деформации состоит из двух составляющих:εполн. = εпл + εу .
Из рис.5.10 также следует, что по мере нагружения образца пластическая
составляющая εпл постепенно возрастает и достигает наибольшего значения в точке
диаграммы, соответствующей разрыву образца.
Упругая деформация растет по мере нагружения лишь до точки диаграммы,
соответствующей максимальным напряжениям - σпч (σв), этой точке соответствует
наибольшее значение εу, а затем она уменьшается.
Повторное нагружение образца уже не повторяет полностью прежнюю диаграмму, а
происходит сначала по прямой разгрузки KL, и затем по кривой КС, которую имел бы этот
образец без промежуточной разгрузки.
Следовательно, после промежуточной разгрузки материал образца приобрел новые
свойства – у него вырос предел пропорциональности σпц, но уменьшилась пластичность.
Явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного
пластического деформирования называется наклепом или нагартовкой.
Наклеп возникает при вытяжке, холодной прокатке металла, в процессе штамповки и
т. д. Часто наклеп играет положительную роль и применяется для упрочнения
поверхностного слоя детали, повышения упругих свойств проволоки, канатов и т. п.
В тех случаях, когда наклеп вреден, его устраняют отжигом.
39
Рассмотренные выше механические характеристики материалов широко
используются в расчетах.
Их конкретные значения для различных материалов, применяемых в технике,
приводятся в справочной литературе.
Контрольные вопросы.
1. Почему для исследования механических свойств материалов используются как
правило стандартные образцы?
2. Какая диаграмма испытаний называется «машинной диаграммой»? Как ее
получают?
3. Назовите основные участки «машинной диаграммы» для пластичного образца при
растяжении.
4. Почему для описания механических свойств материалов используют не
«машинные диаграммы», а диаграммы «условных или истинных напряжений»?
5. Назовите основные механические характеристики материалов.
6. Какой точке «машинной диаграммы» или диаграммы «напряжений» соответствует
наибольшая упругая деформация?
7.Какой точке «машинной диаграммы» или диаграммы «напряжений» соответствует
наибольшая пластическая (остаточная) деформация?
8. Как по диаграмме «напряжений» графически определить значение модуля Юнга
Е?
40
Лекция 6. Понятие допускаемого напряжения. Расчеты на прочность
при растяжении/сжатии
Основная идея, которая положена в основу расчетов конструктивных элементов
машин, заключается в том, что напряжения в них не должны превышать некоторых
предельных значений, которые являются «опасными» для них. С этой точки зрения
конструкция должна работать в наиболее благоприятных условиях, что и обеспечивает её
долговечность и надежность работы.
Возникает вопрос – что такое «опасное» напряжение? Ответом может служить
следующее положение – «опасным» считается такое напряжение, превышение которого
может привести (но не обязательно приводит) к разрушению или нежелательному
поведению конструкции. Очевидно, что для пластичных материалов опасным
напряжением является предел текучести σт. Превышение действующими в конструкции
напряжениями предела текучести может привести к необратимым деформациям (хотя и
не к разрушению) и конструкция не сможет существовать в заданных размерах.
Для хрупких материалов предел текучести не является опасным напряжением, т.к. не
сопровождается сколько-нибудь значительными изменениями размеров. В то же время
превышение предела прочности (временного сопротивления) может привести к
разрушению. Следовательно, в этом случае опасным напряжением является предел
прочности σв.
Почему выше употребляется словосочетание «может привести»? Здесь мы близко
подходим к вероятностному характеру явлений в природе. Действительно, большинство
явлений в природе носит недетерминированный характер. Например, применительно к
механическим свойствам материалов можно сказать, что, если мы измерим значение
предела текучести какого либо материала на конкретном образце, то не обязательно
получим то значение, которое указано в справочнике для этого материала и даже не то
значение, которое было получено в предыдущем опыте на этом же материале. Иными
словами, значения любых механических свойств имеют некоторый разброс, который
зависит от многих причин. Наша задача учесть это явление и не допустить появление в
конструкции напряжений, превышающих даже самое низкое из «разбросанных» значений
рассматриваемой характеристики механических свойств.
Для этого необходимо гарантированно «отгородиться» от нежелательных
значений напряжений. Поэтому вводится некоторый коэффициент запаса,
обеспечивающий требуемый барьер. Его обозначают для пластичных материалов – nпл., а
для хрупких материалов – nхр.. Тогда максимально действующие напряжения в
конструкциях можно назвать допускаемыми (их принято обозначать в квадратных
скобках) и определять по следующим соотношениям:
[σ]пл.= σт/nпл.
[σ]хр.= σв/nхр.
По своей сути коэффициенты запаса должны удовлетворять следующему
неравенству nпл.,nхр.≥1. Конкретные значения коэффициентов запаса выбираются исходя
из условий работы и ответственности той или иной конструкции, ее стоимости и затрат по
замене в случае выхода из строя. Чем деталь более ответственна, тем коэффициент запаса
для нее выше. Данные по их значениям приведены в справочных пособиях, а также
берутся из опыта работы подобных конструкций.
Завышенное значение коэффициента запаса по напряжениям - это всегда ненужный
расход материала, дополнительные затраты на изготовление детали и ее эксплуатацию.
41
С учетом вышесказанного получаем следующее условие прочности по напряжениям
– действующие нормальные напряжения в конструкции не должны превышать
допускаемых напряжений, т.е.
σ≤[σ]пл.,[σ]хр.
где σ - действующие в конструкции нормальные напряжения.
Условие прочности. Виды расчетов на прочность
при растяжении/сжатии.
Из вышесказанного следует, что условие прочности при растяжении/сжатии
выглядит следующим образом:
σ ≤ [σ
где: σ – действующие напряжения в конструкции;
[σ] – допускаемые напряжения в конструкции.
При условии, что σ=N/А, из формулы (1) вытекает основное соотношение для
условия прочности при растяжении/сжатии:
N/А ≤ [σ]
С помощью этой формулы можно выполнить четыре различных вида расчетов на
прочность при растяжении/сжатии:
1.Проверочный расчет.
Задано: внешние нагрузки (т.е. тем самым определена внутренняя сила N), площадь
поперечного сечения А, допускаемое напряжение [σ].
Требуется: проверить выполнимость формулы (2).
Решение: Если формула (2) выполняется, то говорят, что прочность обеспечена.
Если формула (2) не выполняется, то необходимо уменьшать внешнюю нагрузку
(следовательно и внутреннюю силу N) или увеличить площадь поперечного сечения А.а
также переходить к более прочным материалам с большими значениями [σ].
2. Проектный расчет.
Задано: внешние нагрузки (т.е. внутренняя сила N) и допускаемое напряжение [σ].
Требуется: рассчитать минимально возможную площадь поперечного сечения А.
Решение: Из формулы (2) следует, что минимально возможная площадь поперечного
сечения может быть определена как: А≥N/[σ].
3.Расчет на несущую способность.
Задано: площадь поперечного сечения А и допускаемое напряжение [σ].
Требуется: рассчитать максимально возможную внешнюю нагрузку (а,
следовательно, и внутреннюю силу N, которая определяется внешними нагрузками).
Решение: Из формулы (2) следует, что максимально возможная внутренняя сила N
может быть определена по формуле:
N≤А[σ]
С помощью этой зависимости можно определить и максимально возможную
внешнюю нагрузку (несущую способность).
42
4.Подбор материала конструкции.
Задано: внешние нагрузки (внутренняя сила N) и площадь поперечного сечения А.
Требуется: подобрать материал, из которого возможно изготовить заданную
конструкцию.
Решение: на первом этапе по формуле (2) определяем допускаемое напряжение для
материала конструкции
[σ]≥ N/А
.На втором этапе выбираем коэффициент запаса исходя из условий, указанных
выше и находим опасное напряжение (для пластичного или хрупкого материала):
σоп.=σт,σв=[σ]пл.nпл., [σ]хр.nхр.
Далее по справочникам по механическим свойствам находим пределы текучести или
прочности, близкие к найденным и выбираем конкретный материал.
Если найденным условиям отвечает несколько материалов, то необходимо
учитывать условия эксплуатации конструкции, стоимость и другие параметры.
Отметим, что эта задача требует наиболее творческого подхода среди указанных
выше видов задач.
43
Лекция 7. Кручение
7.I. Определение. Примеры.
Кручением называется такой вид нагружения бруса, при котором в каждом
поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – момент,
действующий вокруг продольной оси бруса. Так как мы приняли, что продольная ось
бруса – это ось z, то этот момент можно обозначить – Mz . Так - как по сути такое
нагружение вызывает скручивание вокруг оси z (рис.7.1), то и момент чаще всего
называют «крутящим моментом» и обозначают - Мк
.
Рис.7.1.
Как правило, кручению подвергаются брусья круглого поперечного сечения. Если
внешний момент обозначить через Мz , то внутренний момент обозначим как Мк . Он
определяется как и ранее по методу сечений и равен алгебраической сумме всех внешних
нагрузок (заданных моментов) в рассматриваемой после рассечения части бруса.
Выделим в брусе три разных поперечных сечения: первое в заделке, а второе и
третье на некотором расстоянии от первого по длине бруса (рис.7.7).
Опыт показывает, если на конце бруса приложить момент вокруг оси z, то:
1) сечение I остается на месте (неподвижно);
2) сечение II повернется на некоторый угол вокруг оси z относительно сечения I, а
сечение III повернется на некоторый угол вокруг оси z относительно сечения II;
3) расстояние, между сечениями до и после нагружения и полная длина бруса в
процессе нагружения не изменяются;
4)если расстояние между сечениями I , II и III одинаковое, то угол, на который
сечение II повернется относительно сечения I и угол, на который сечение III повернется
относительно сечения II, будут равны между собой.
7.2. Правило знаков. Построение эпюр.
Ранее отмечалось, что при растяжении/сжатии важно различать зоны растяжения и
зоны сжатия, так как свойства материалов в них, как правило, различны.
При кручении свойства изотропных материалов не зависят от того в какую сторону
скручивается брус – по часовой стрелке или против относительно оси z. Поэтому вводить
правило знаков не имеет смысла. Важно только, чтобы при построении эпюр внутренних
44
крутящих моментов разнонаправленные моменты откладывались в разные стороны
относительно оси эпюры.
При построении эпюр как и ранее используется метод сечений. Построение эпюр
внутренних крутящих моментов полностью аналогично построению эпюр внутренних
продольных сил при растяжении сжатии с заменой N(z) на Mк(z).
На рис.7.3 приведен пример построения эпюры внутренних крутящих моментов для
бруса, находящегося в опорах, называемых подшипниками.
Такой брус круглого поперечного сечения называется валом.
Подшипники – это опоры, которые не создают противодействия кручению (потери на
трение малы и ими можно принебречь). Следовательно, в опорах не возникают опорные
реакции – моменты относительно г оси z.
I
II
III
IV
V
VI
VII
Рисю7.3
Запишем уравнения крутящих моментов по участкам:
МкI = 0;
МкII = 200 нм;
МкIII = 200 нм + 300 нм = 500 нм;
МкIV = 200 нм + 300 нм - 600 нм = -100 нм;
МкV = 200 нм + 300 нм - 600 нм + 400 нм = 300 нм;
МкVI = 200 нм + 300 нм - 600 нм + 400 нм - 500 нм = -200 нм;
МкVII = 200 нм + 300 нм - 600 нм + 400 нм - 500 нм + 200 нм = 0
При записи уравнений здесь было условно принято, что моменты, вращающие за
плоскость чертежа, записываются со знаком «минус», но при построении эпюры эти знаки
в поле эпюры не указываются.
7.3. Деформации при кручении.
Рассмотрим деформации при кручении.
Выделим прямую линию ОА, параллельную продольной оси бруса.
Пусть на свободном конце бруса приложен крутящий момент вокруг оси z – Мz . Так
как левая точка прямой ОА находится в заделке, то она остается неподвижной, а правая
точка А переместится в некоторое новое положение по торцевому поперечному сечению.
45
При этом угол, который образуется новым и старым положением т.А при
соединении этих точек с центром сечения ( угол φ ) называется абсолютным углом
закручивания.
Рис.7.4
Абсолютный угол закручивания измеряется в радианах.
Введем в рассмотрение и относительный угол закручивания θ из соотношения
θ = φ/L. Этот угол измеряется в радианах, отнесенных к единице длины.
Рассмотрим искажение первоначально прямоугольного элемента боковой
поверхности вала при кручении (рис.7.5).
Рис.7.5
Первоначально прямоугольный элемент искажается в параллелограмм. Такое
искажение называется «чистым сдвигом», а угол γ – носит название «угол сдвига».
7.4 Напряжения при кручении.
Рассмотренный выше характер деформированного состояния является следствием
действия напряжений, называемых касательными, так как они направлены по касательной
к боковой поверхности бруса. Их обычно обозначают τ, и они показаны на следующем
рис.7.6.
46
Рис.7.6
Как отмечалось ранее, расстояния между поперечными сечениями не изменяются,
следовательно, можно сделать вывод об отсутствии нормальных напряжений вдоль
продольной оси Z.
Учитывая, что касательные напряжения подчиняются «закону парности»
(касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных гранях равны по
величине и направлены в противоположные стороны), окончательно получим, что
напряженное состояние при «чистом сдвиге» будет выглядеть следующим образом
(рис.7.7):
Рис.7.7
Можно показать, что распределение касательных напряжений по поперечному
сечению носит линейный характер (рис.7.8) и они определяются по формуле
τ = (Mk ρ)/Iρ
где: Mk – внутренний крутящий момент в рассматриваемом поперечном сечении;
ρ – расстояние от центра поперечного сечения до произвольной его точки;
Iρ – полярный момент инерции поперечного сечения.
Рис.7.8
47
Из этого соотношения можно сделать следующие выводы:
1.
касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по
линейному закону в зависимости от расстояния от центра ρ.
2.
в центре тяжести поперечного сечения при ρ=0 касательные
напряжения равны 0
3.
на боковой поверхности (наиболее удаленные точки
поперечного сечения, ρ=D/2) касательные напряжения достигают
максимального значения.
Максимальное значение касательных напряжений равно
τmax=(Mk D/2)/Iρ=Mk/Wρ,
где Wρ – полярный момент сопротивления сечения (для круглого поперечного
сечения Wρ = 0,2 D3).
7.5. Связь между напряжениями и деформациями при кручении.
Закон Гука при сдвиге. Условие жесткости.
Между напряжениями и деформациями при нагрузках ниже предела
пропорциональности существует зависимость, выражаемая следующим соотношением:
τ=Gγ
Это означает, что угловые деформации, выражаемые углом сдвига γ,
пропорциональны прикладываемым касательным напряжениям τ.
Коэффициентом пропорциональности является величина G, называемая модулем
сдвига. Указанное соотношение называется законом Гука при сдвиге. Здесь имеется
полная аналогия с законом Гука при растяжении/сжатии.
Модуль сдвига G является аналогом модуля Юнга Е.
Между этими константами существует зависимость, выражаемая формулой:
G = E/2(1+µ),
где µ - коэффициент Пуассона.
Размерность модуля сдвига такая - же как и модуля Юнга – Па, МПа.
Аналогично растяжению/сжатию вторая форма закона Гука при кручении (в случае
постоянства крутящего момента на рассматриваемом участке Mk=Const):имеет вид:
φ = Mk l/GIp
где φ – абсолютный угол закручивания.
Если крутящий момент Mk ≠ Const на рассматриваемом участке, то получим:
φ = ∫ (Mk(z)/GIp)dz
При этом, интегрирование проводится по координате z в пределах от начала до конца
рассматриваемого участка.
Условие жесткости при кручении:
θ≤ [θ]
где [θ] – допустимый относительный угол закручивания.
48
Если условие жесткости выполняется, то говорят, что жесткость обеспечена. В
случае невыполнения этого условия говорят, что жесткость не обеспечена.
7.6. Условие прочности при кручении.
Виды расчетов на прочность при
кручении.
По аналогии с растяжением/сжатием условие прочности выглядит следующим
образом:
τmax ≤ [τ],
где [τ] – допускаемое касательное напряжение.
Допускаемое напряжение для пластичных и хрупких материалов определяется как и
ранее по соотношениям:
[τ]пл. = τт/nпл.
[τ]хр. = τв/nхр
.
Здесь обозначено: τт ,τв – предел текучести для пластичных материалов и предел
прочности для хрупких материалов при сдвиге соответственно; nпл., nхр. – коэффициенты
запаса прочности для пластичных и хрупких материалов при сдвиге соответственно.
Отметим, что здесь предполагается, что механические свойства материалов
определяются в опытах на кручение.
Заменяя в условии прочности полученное ранее выражение для τmax получим
окончательное соотношение для условия прочности при кручении:
Mk/Wρ ≤ [τ]
или для брусьев с круглым поперечным сечением
Mk/0,2D3 ≤ [τ]
Отметим, что данное условие прочности должно применяться для поперечного
сечения с наибольшим внутренним крутящим моментом. Такое сечение называется
опасным.
Из приведенных формул вытекает четыре различных вида расчетов на прочность
при кручении:
1.Проверочный расчет.
Задано: внешние нагрузки (т.е. тем самым определен внутренний крутящий момент
вдоль оси бруса Mk), диаметр поперечного сечения D, допускаемое напряжение [τ].
Требуется: проверить выполнимость условия прочности.
Решение: Если условие прочности выполняется, то говорят, что прочность
обеспечена. В противном случае необходимо уменьшать внешнюю. нагрузку,
(следовательно и внутренний крутящий момент), увеличивать площадь поперечного
сечения D или переходить к более прочным материалам с большими значениями [τ].
2. Проектный расчет.
Задано: внешние нагрузки (внутренний крутящий момент Mk) и допускаемое
напряжение [τ].
Требуется: рассчитать минимально возможный диаметр поперечного сечения D.
Решение: Из условия прочности следует, что минимально возможный диаметр
поперечного сечения может быть определен по формуле:
D ≥ 3√Mk/0,2[τ].
49
3.Расчет на несущую способность.
Задано: диаметр поперечного сечения D и допускаемое напряжение [τ].
Требуется: рассчитать максимально возможную внешнюю нагрузку (а
следовательно и внутренний крутящий момент Mk).
Решение: Из условия жесткости следует, что максимально возможная нагрузка
(несущая способность) может быть определена по формуле:
Mk ≤ 0,2D3[τ]
4.Подбор материала конструкции.
Задано: внешние нагрузки (внутренний крутящий момент Mk), и диаметр
поперечного сечения D.
Требуется: подобрать материал, из которого возможно сделать заданную
конструкцию.
Решение. Исходя из условия прочности, определяем допускаемое напряжение для
материала конструкции:
[τ]≥ Mk/0,2D3.
Далее выбираем коэффициент запаса исходя из условий, указанных выше, и находим
опасное напряжение (для пластичного или хрупкого материала):
τоп.=τт,
τв=[τ]пл.nпл., [τ]хр.nхр.
По справочникам механическиx свойств находим пределы текучести или прочности
искомого материала и подбираем конкретный материал.
Если найденным условиям отвечает несколько материалов, то необходимо
учитывать условия эксплуатации конструкции, стоимость и другие параметры.
Еще раз отметим, что задача №4 является наиболее творческой среди задач на
прочность.
Контрольные вопросы
1. Какой метод используется для нахождения внутренних силовых факторов при
кручении?
2. Как изменяется длина бруса после нагружения кручением вокруг продольной оси?
3. Что называют абсолютным и относительным углом закручивания?
4. Сформулируйте закон парности касательных напряжений при «чистом сдвиге».
5. Сформулируйте две формы закона Гука при кручении («чистом сдвиге»).
50
Лекция 8. Прямой изгиб
8.1. Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором ось бруса
(и, собственно брус) под действием внешних нагрузок только искривляется,
оставаясь в одной плоскости.
Рассмотрим закрепленный в опорах брус, у которого продольная ось совпадает с
координатной осью Z. При этом необходимо ответить на следующие вопросы:
-какие внешние нагрузки могут привести к такой деформации бруса?
-какие внутренние силовые факторы при этих внешних нагрузках будут действовать
в поперечных сечениях?
Ответ на первый вопрос представлен на рис.8.1(слева), а на второй - справа (при
этом использован метод сечений).
Рис.8.1
Первая схема ( действие сосредоточенной силы P, параллельной оси Y) приводит к
возникновению в поперечных сечениях двух внутренних силовых факторов- внутренней
силы Qy (она называется «поперечной» или «перерезывающей») и внутреннего
изгибающего момента Mx (индекс «x» указывает на то, что изгиб происходит вокруг оси
X).
51
Эти внутренние силовые факторы определяются по следующим зависимостям
Qy = P,
Mx = P L
Вторая схема ( действие распределенной нагрузки q, параллельной оси Y, приводит к
возникновению в поперечных сечениях тех же двух внутренних силовых факторов
внутренней силы Qy и внутреннего изгибающего момента Mx)
В этом случае они определяются по соотношениям:
Qy = qL, Mx = qL L/2 = qL2/2
Третья схема ( действие сосредоточенного момента M в плоскости YZ приводит к
возникновению в поперечных сечениях только одного внутреннего силового фактора –
изгибающего момента Mx) который определяется по соотношению:
Mx = M
Изгиб, при котором брус деформируется в плоскостях YZ или XZ, называется
прямым изгибом.
Если изгиб происходит в плоскостях, наклоненных к указанным плоскостям YZ и XZ
под некоторым углом, то такой изгиб называется косым.
Если в поперечных сечениях бруса возникают поперечная (перерезывающая) сила и
изгибающий момент,., то такой изгиб называют «поперечным», а если только один
изгибающий момент-., «чистым» изгибом.
8.2. Правило знаков Qy, Mx
Одним из основных моментов при рассмотрении деформации изгиба является
построение эпюр внутренних силовых факторов – поперечной силы и изгибающего
момента. Для правильного построения указанных эпюр ведем следующее правило знаков
внутренних силовых факторов:
для Qy - будем считать поперечную силу положительной, если она вращает
рассматриваемую часть бруса (при использовании метода сечений) по часовой
стрелке и отрицательной, если она вращает рассматриваемую часть бруса против
часовой стрелки;
для Mx - будем считать момент положительным, если он изгибает
рассматриваемую часть бруса (при использовании метода сечений) выпуклостью
вниз и отрицательным, если он изгибает рассматриваемую часть бруса
выпуклостью вверх.
Указанные правила знаков на практике сводятся к следующему:
а) для составления уравнение поперечной силы на каком-либо участке, необходимо в
правой части равенства записать внешние сосредоточенные силы (заданные и
эквивалентные от заданных распределенных нагрузок),приложенные к рассматриваемой
после рассечения части бруса в соответствии с правилом знаков для поперечных сил Qy;
б) для составления уравнения изгибающего момента на каком-либо участке
необходимо в правой части равенства записать сумму моментов внешних нагрузок,
действующих на рассматриваемую после рассечения часть бруса, в соответствии с
правилом знаков для изгибающих моментов Mx.
52
8.3. Дифференциальные зависимости между Qy, Mx и q при изгибе
Можно показать, что при прямом изгибе, например в плоскости YZ между Qy (z),
Mx (z) и q (z) справедливы следующие дифференциальные соотношения (формулы
Журавского):
dMx(z)/dz = Qy(z) dQy(z)/dz = q(z)
При построении эпюр внутренних силовых факторов при изгибе пользуются
<<Правилами>>, вытекающими из этих соотношений:
 если q(z) ≡ 0, то Qy(z) ≡ Const, а Mx(z) – линейная функция.

если q(z) ≡ Const, то Qy(z) – линейная функция, Mx(z) – квадратичная парабола.

если на каком-либо участке Qy(z)>0, то Mx(z) на этом участке –
возрастающая функция.

если на каком-либо участке Qy(z)<0, то Mx(z) на этом участке – убывающая
функция.

если на каком-либо участке Qy(z) обращается в какой-либо точке в 0, то в
этой точке функция Mx(z) достигает экстремума.

тангенс угла функции Mx(z) в какой-либо точке равен значению функции Qy(z) в
этой точке. Таким образом, чем больше по модулю значение Qy(z) в какой-либо
точке, тем круче изменяется на эпюре функция Mx(z) в этой точке.
Таким образом ,эпюры Qy и Mx взаимосвязаны между собой. Применение этих
правил помогает при построении эпюр и контроле их правильности
8.4. Построения эпюр внутренних силовых факторов
при изгибе
Рассмотрим брус, лежащий на двух опорах – шарнирно-подвижной и шарнирнонеподвижной и нагруженный внешними нагрузками (рис.8.2).
Решение задачи начинается с определения опорных реакций.
На рис.8.2 (справа) приведены уравнения поперечной силы Qy и изгибающего
момента Mx для I-ого и II-ого участков. и вычислены значения этих силовых факторов на
границах участков для облегчения построения эпюр. Отметим, что на первом и втором
участках перерезывающая сила Qy изменяется по линейному закону, а изгибающий
момент Mx - по закону квадратичной параболы (см.<<Правила>> ).
Определение экстремального значения для Мx приведено после уравнений для обоих
участков и состоит из двух шагов:
1. Определение координаты z сечения для экстремального момента Mx. - z(экстр.).
2. Определение собственно значения экстремального момента. – Mx (экстр.).
Проверку правильности построения эпюр рекомендуется проводить следующим
образом:
1. По <<скачкам >>. В той точке оси Z, где на исходной схеме приложен
сосредоточенный силовой фактор, на соответствующей эпюре будет <<скачок>> на
величину модуля этого силового фактора.
53
2. Убывание и возрастание. Если эпюра Qy > 0 (положительна), эпюра Mx –
возрастает слева направо, а в том случае, когда эпюра Qy < 0 (отрицательна), эпюра Mx –
убывает слева направо.
3. Соотношение между Qy и Mx. Показатель степенной зависимости эпюры Mx
равен показателю степенной зависимости эпюры Qy + 1,
Это означает, что:
если эпюра Qy является постоянной и равной 0, то эпюра Mx является постоянной;
если эпюра Qy является постоянной и не равной 0, то эпюра Mx изменяется по
линейному закону;
если эпюра Qy является линейной, то эпюра Mx изменяется по закону квадратичной
параболы.
Рис. 8.2
Контрольные вопросы
1. Какие внешние нагрузки приводят к возникновению перерезывающей силы
и изгибающему моменту.
2. Дайте определение «прямого изгиба», «косого изгиба».
3. Дайте определение «чистого изгиба», «поперечного изгиба».
4. Приведите алгоритм определения экстремального значения внутреннего
изгибающего момента.
5. Какими зависимостями связаны между собой изгибающий момент и
перерезывающая сила?
54
Лекция 9. Напряжения при изгибе и расчет на прочность
9.1.Нормальные напряжения при изгибе
Рассмотрим случай чистого изгиба в плоскости YZ, если внутренний изгибающий
момент Mx постоянен, а поперечная сила Qy тождественно равна нулю
Возможная исходная схема, расчетная схема и эпюры Qy и Mx приведены на рис.9.1.
Рис.9.1
Изготовим брус из упругого материала по форме представляющий прямоугольный
параллелепипед , нанесем на его фронтальную поверхность риски (координатную сетку с
размерами ячейки b x c) и нагрузим его согласно приведенной схеме (рис.9.2).
Рис.9.2
Будем рассматривать только фронтальную поверхность (ближнюю к нам) в
плоскости чертежа YZ. Еще раз изобразим эту поверхность «до» и «после» нагружения
друг под другом (рис.9.3).
55
Рис.9.3
По результатам данного опыта можно сделать следующие выводы:
1. Линии/слои бруса, параллельные его оси (горизонтальные до нагружения),
искривляются, сохраняя расстояние «с» между собой. Это свидетельствует о том, что
нормальные напряжения вдоль оси Y (в продольных сечениях) не возникают.
2. Линии/слои бруса, перпендикулярные его оси (вертикальные до нагружения),
остаются плоскими и после нагружения, но поворачиваются по отношению к оси
симметрии и друг относительно друга. Шаг ячейки «b» становится переменным.( выполняется гипотеза «плоских сечений» - гипотеза Бернулли).
3. Верхние продольные волокна/слои бруса становятся короче, следовательно они
сжимаются. Нижние продольные волокна/слои бруса становятся длиннее, т.е. они
растягиваются. Таким образом вдоль оси Z (в поперечном сечении) озникают
нормальные напряжения σz.
4. В соответствии с гипотезой сплошности обязательно существует (между верхними
и нижними волокнами) продольное волокно, которое не изменяет своих размеров, а
только искривляется. Это волокно называется «нейтральным». Аналогично существует и
«нейтральный» слой, следом которого на фронтальной поверхности и является
нейтральное волокно.
5. Чем дальше от нейтрального волокна по оси Y расположено какое-либо
волокно/слой, тем сильнее оно/он изменяет свои размеры, т.е. укорачивается или
удлиняется.
Рассмотрим распределение в поперечном сечении нормальных продольных
напряжений σz. Для этого применим метод сечений, отбросив правую часть, а в левой
части бруса изобразим эпюру нормальных напряжений.
Очевидно, что на нейтральном волокне эти напряжения равны нулю, так как это
волокно не изменяет своих размеров. Закрепим точку начала координат по оси Y на
нейтральном волокне (рис.9.4).
По мере возрастания значения координаты Y вверх и вниз от нулевой точки значение
нормальных напряжений будет возрастать по модулю. Наибольшего значения нормальные
56
напряжения достигают на поверхности, где наблюдаются и набольшие удлинения
волокон..
Можно показать, что изменение нормальных напряжений по высоте сечения носит
линейный характер и определяется с помощью по формуле
:
σz = Mx y/Ix
где: Mx – внутренний изгибающий момент в рассматриваемом сечении;
Ix – момент инерции поперечного сечения относительно оси X (геометрическая
характеристика поперечного сечения);
y – координата точки сечения ( расстояние от нейтрального волокна до
рассматриваемой точки)
Рис.9.4
Форма бруса, при которой верхние волокна укорачиваются (сжимаются), а нижние
удлиняются (растягиваются) приводит к тому, что выше нейтрального волокна будет зона
сжатия, а ниже - зона растяжения с соответствующими знаками на эпюре. Если форма
бруса будет выпуклой вверх, то волокна, расположенные выше нейтрального слоя, будут
растягиваться, а нижние - сжиматься. Соответственно и знаки на эпюре напряжений
изменятся на противоположные.
Анализ закона изменения нормальных напряжений по высоте сечения позволяет
сделать выводы:
1. Нормальные напряжения изменяются по линейному закону в зависимости от
координаты y.
2. Нормальные напряжения равны нулю при y=0, т.е. на нейтральном волокне.
3. Нормальные напряжения достигают максимальных значений при значениях y=ymax,
т.е. в поверхностных волокнах.
При y=ymax получим:
σzmax = Mx ymax/Ix
Известно, что Ix/ymax = Wx – момент сопротивления поперечного сечения
относительно оси X (геометрическая характеристика поперечного сечения).
57
Окончательно получим выражение для вычисления максимальных значений
нормальных напряжений (на поверхностных волокнах)
:
σzmax = Mx /Wx
В заключении отметим, что в любом другом сечении, параллельном плоскости YZ,
распределение нормальных напряжений будет аналогично рассмотренному ранее, т.е.
пространственная эпюра нормальный напряжений будет иметь вид, представленный на
рис.9.5.
Рис.9.5
9.2.Касательные напряжения при изгибе
Рассмотрим случай (рис.9.6) поперечного изгиба ( т.е действует сосредоточенная
сила, параллельная оси Y). На рис.9.6 справа показана схема сдвигом и действия
напряжений в плоскости сдвига, так называемых «касательных напряжений».
Рис.9.6
Касательные напряжения вызываются действием внешней нагрузки( силы P) и, как ее
следствие, возникновением в сечении внутренней поперечной силы Qy.
58
Можно показать, что касательные напряжения в произвольном сечении вычисляются
по формуле:
τy = Qy Sx / Ix b
где: Qy – внутренняя поперечная сила, действующая в данном сечении;
Sx – статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно оси X;
Ix – момент инерции поперечного сечения относительно оси X;
b – ширина поперечного сечения.
Из приведенной зависимости следует, что касательные напряжения в поперечном
сечении изменяются по закону квадратичной параболы (рис.9.7)
Таким образом, при изгибе касательные напряжения τy зависят только от координаты
сечения y и не зависят от координаты x (по ширине сечения постоянны).
На поверхности бруса касательные напряжения равны нулю, а в центре тяжести
сечения. τy = τmax
Рис.9.7
9.3.Понятие опасного сечения и опасных точек.
Условие прочности при изгибе
Из сопоставления эпюр нормальных и касательных напряжений следует, что для
точек, где σz достигает максимальных значений (на поверхности), τy равно нулю. В тех
же точках, где σz обращается в ноль, τy - максимально (на нейтральном слое).
Известно, что при обычных нагрузках касательные напряжения существенно меньше
нормальных напряжений.
Поэтому в практических расчетах с инженерной точностью касательными
напряжениями можно пренебречь. Таким образом, в дальнейшем будем учитывать только
нормальные напряжения.
Будем считать опасным такое поперечное сечение, в котором возникает наибольший
по абсолютной величине внутренний изгибающий момент. В таком сечении будут
возникать наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения.
В тоже время в этом опасном сечении нормальные напряжения будут изменяться по
высоте по линейному закону и достигать своего максимума на поверхности.
Таким образом, самыми опасными точками будут являться поверхностные точки
опасного сечения. Именно в них должно выполняться условие прочности при изгибе:
σzmax ≤ [σ]и,
max
где σz - наибольшие нормальные напряжения в брусе;
[σ]и- допускаемые нормальные напряжения .
59
Приведенная зависимость носит название условия прочности при изгибе.
9.4.Расчет на прочность при изгибе
Для опасных точек опасного сечения нормальные напряжения можно вычислить
по формуле:
σzmax = Mxmax /Wx ≤ [σ]и
С помощью приведенной зависимости можно выполнить четыре типа расчетов на
прочность при изгибе:
1. Проверочный расчет.
По заданным внешним нагрузкам (. определен максимальный внутренний
изгибающий момент Mxmax) , форме и размерам поперечного сечения (определен момент
сопротивления сечения Wx) и допускаемым напряжениям [σ]и.требуется: проверить
выполнимость приведенной зависимости.
Если условие прочности выполняется, то говорят, что прочность обеспечена.
В противном случае говорят, что прочность не обеспечена и необходимо уменьшать
внешнюю нагрузку (а следовательно и внутренний изгибающий момент Mxmax),
увеличивать размеры поперечного сечения или переходить к с большими значениями
[σ]и.
2. Проектный расчет.
По заданным внешним нагрузкам (максимальный внутренний изгибающий момент
max
Mx ) и допускаемым напряжениям [σ]и.требуется: рассчитать минимально возможные
размеры и площадь поперечного сечения.
Из условия прочности при изгибе вычисляем минимальное значение момента
сопротивления поперечного сечения по формуле
Wx ≥ Mx max/ [σ]и.
Далее, по известным формулам находим размеры поперечного сечения (Wx зависит
только от формы и размеров поперечного сечения) и его площадь А.
3. Расчет на несущую способность.
По заданной форме и размерам поперечного сечения (можно вычислить момент
сопротивления поперечного сечения Wx ) а также известным допускаемым напряжениям
при изгибе [σ]и можно вычислить максимальную внешнюю нагрузку (максимальный
внутренний изгибающий момент Mxmax ) по формуле:.
Mxmax ≤Wx [σ]и
4. Выбор материала конструкции.
При заданных внешних нагрузках (известен внутренний изгибающий момент Mxmax),
известной форме и размерах поперечного сечения (момент сопротивления поперечного
сечения Wx) можно определить допускаемое напряжение материала конструкции по
формуле:
[σ]и ≥ Mxmax / Wx.
Далее, определяем коэффициент запаса прочности, находим опасное напряжение
(для пластичного или хрупкого материала) и по справочникам механических свойств
находим пределы текучести или прочности искомого материала, затем выбираем
конкретный материал. Если найденным условиям отвечает несколько материалов, то
необходимо учитывать условия эксплуатации конструкции, стоимость и другие
60
параметры. Отметим, что данная задача является наиболее творческой среди задач
расчетов на прочность.
Контрольные вопросы
1. Что называется нейтральным слоем при изгибе?
2. Из какой гипотезы о свойствах материала вытекает наличие нейтрального слоя
(нейтральной линии).
3. Почему можно предположить отсутствие нормальных напряжений вдоль оси y и
наличие их вдоль оси z.
4. В каких точках бруса возникают наибольшие нормальные напряжения?
5. В каких точках бруса возникают наибольшие касательные напряжения?
6. Почему расчет на прочность при изгибе, как правило, проводится по нормальным
напряжениям?
7. Какое сечение и какие точки в нем называются «опасными»?
8. Как выглядит условие прочности при изгибе и виды расчетов на прочность.
61
Лекция 10. Сложное сопротивление
10.1. Основные понятия
Ранее были рассмотрены три вида простого нагружения стержня - центральное
растяжение/сжатие, кручение и плоский изгиб.
На практике часто встречаются случаи нагружения, когда одновременно действуют
два и более вида простого нагружения. Такой вид нагружения называется сложным
нагружением.
К сложным видам нагружения относятся:
растяжение + кручение;
растяжение + изгиб;
изгиб + кручение
растяжение + изгиб + кручение и др.
Следует учесть, что изгиб может происходить в разных плоскостях .Поэтому,
поперечный изгиб в двух плоскостях одновременно можно рассматривать как случай
сложного нагружения.
Методика решения задач на сложное нагружения основана на использовании
принципа независимости действия сил:
Результат воздействия на тело системы сил равен «сумме» результатов
воздействия этих сил по отдельности:
Rez (ΣFi) = Σ (Rez Fi)
В этой «не строгой» формуле термины Rez – результат и Σ – сумма следует понимать
в зависимости от конкретных условий задачи. Основная идея применения этой гипотезы
состоит в том, что решение сложной задачи можно разбить на ряд простых, а результаты
этих решений определенным образом сложить. Рассмотрим случай сложного нагружения
на примере изгиба с кручением.
10.2. Изгиб в двух плоскостях с кручением
Этому виду нагружения подвергаются, как правило, стержни круглого поперечного
сечения.
Рассмотрим стержень (рис.10.1), на который действуют сосредоточенная сила,
параллельная оси y – Py, сосредоточенная сила, параллельная оси х – Px, крутящий
момент относительно оси z – Mz.
Рис.10.1
62
Таким образом, данный стержень подвергается следующим простым видам
нагружения:
- изгиб в плоскости YZ от действия силы Py,которая вызывает изгиб стержня вокруг
оси X (внутренний изгибающий момент от ее воздействия Mx).
- изгиб в плоскости XZ от действия силы Px,которая вызывает изгиб стержня вокруг
оси Y( внутренний изгибающий момент от ее воздействия My_.
- кручение относительно оси Z от действия момента Mк (который вызывает
скручивание стержня вокруг оси Z ( внутренний крутящий момент Mz).
Введем понятие эквивалентного момента Mэкв, учитывающего «суммарное» действие
всех рассматриваемых видов нагружения – изгиба в двух плоскостях и кручения:
Mэкв = Mx «+» My «+» Mz
Основной проблемой является способ сложения простых видов нагружения.
Различные способы вытекают из различных, так называемых теорий прочности, которые
в свою очередь соответствуют тому или иному виду материалов (хрупкий или
пластичный). В настоящее время наибольшее распространение получило соотношение
следующего вида:
Mэкв = √ α (Mx)2 + β (My)2 + γ (Mz)2
где: α,β,γ – весовые коэффициенты, с помощью которых можно учесть вклад
конкретного вида нагружения в конечный результат. На весовые коэффициенты
накладываются следующие соотношения: 0 ≤α,β,γ ≤ 1.
Из курса сопротивления материалов известны III и IV теории прочности,
применение которых дает следующие результаты:
III теория прочности: α=β=γ=1, Mэкв = √ (Mx)2 + (My)2 + (Mz)2
Данная теория хорошо описывает поведение под нагрузкой пластичных материалов
одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
IV теория прочности: α=β= 1 γ=0,75, Mэкв = √ (Mx)2 + (My)2 + 0,75 (Mz)2
Данная теория хорошо описывает поведение под нагрузкой вязких материалов,
обладающих одинаковым сопротивлением при растяжении и сжатии.
10.3. Условие прочности для изгиба с кручением.
4 типа задач на прочность.
Понятие эквивалентного момента, введенное ранее, приводит к понятию
эквивалентного механического напряжения σэкв, т.е. такого напряжения, которое
«суммирует» все напряжения от изгиба и кручения.
Тогда естественно записать условие прочности в следующем виде:
σэкв ≤ [σ],
где [σ]– допускаемое напряжение, т.е. напряжение, определяемое свойствами
материала и схемой нагружения.
Можно показать, что для максимальных эквивалентных напряжений в случае
совместного действия кручения и изгиба справедлива формула, аналогичная
максимальным напряжениям при простом изгибе:
σэквmax = Mэкв/0,1 D3
где D – диаметр вала в рассматриваемом сечении.
63
Тогда окончательно условие прочности для рассматриваемого случая сложного
нагружения (кручение с изгибом) примет вид:
Mэкв/0,1 D3≤[σ]
Из последнего соотношения вытекают формулировки 4 типов задач расчетов на
прочность для сложного нагружения при одновременном действии кручения и изгиба.
1.Проверочный расчет.
Дано: Внешние нагрузки (Mэкв); размеры поперечного сечения (D); допускаемое
напряжение [σ]
Требуется: Проверить выполнимость формулы условия прочности.
Если приведенное соотношение выполняется, то говорят, что прочность бруса
обеспечена, в противном случае - прочность не обеспечена.
В этом случае необходимо увеличивать D, либо уменьшать внешние нагрузки (Mэкв )
или использовать более прочные материалы ( увеличить [σ]).
2.Проектный расчет.
Дано: Внешние нагрузки (Mэкв); допускаемое напряжение [σ].
Требуется: Определить минимально возможные размеры поперечного сечения
стержня.
Решение: Из формулы условия прочности следует: D≥3√ Mэкв/0,1 [σ]
3.Расчет на несущую способность.
Дано: Размеры поперечного сечения (D); допускаемое напряжение [σ]
Требуется: Определить максимально возможную нагрузку, которую можно
приложить к стержню.
Решение: Из формулы условия прочности следует Mэкв ≤ 0,1 D3 [σ].
1.Подбор материала.
Дано: Внешние нагрузки (Mэкв); размеры поперечного сечения (D)
Требуется: Подобрать материал с минимально возможными прочностными
свойствами, из которого можно изготовить брус.
Решение: 1-й шаг – определение допускаемого напряжения. Из формулы условия
прочности определяем:
[σ]≥ Mэкв/0,1 D3
2-й шаг – подбираем материала по заранее выбранному коэффициенту запаса [n] и
найденному на предыдущем шаге допускаемому напряжению [σ]:
σпч, σт = [n] [σ]
Далее, по справочникам подбирается материал, удовлетворяющий последнему
соотношению. Если таких материалов несколько, то на первый план выходит
экономическая целесообразность, а далее условия эксплуатации конкретной детали.
10.4. Пример расчета ступенчатого вала
при действии изгиба с кручением.
Дано: Схема нагружения вала круглого поперечного сечения (рис.10.2).Допускаемое
напряжение [σ] = 100 Мпа.
Требуется: Определить диаметр вала на каждом из участков бруса по III теории
прочности.
64
Рис.10.2
Сила 4 кн вызывает изгиб в пл. YZ, сила 5 кн вызывает изгиб в плоскости XZ и
крутящие моменты 3 кнм, 10 кнм и 7 кнм вызывают скручивание в плоскости YX
относительно оси Z.
Рассмотрим по отдельности указанные выше виды нагружения.
1. Кручение в плоскости YX относительно оси Z.
Схема нагружения и эпюра внутренних крутящих моментов представлены на
рис.10.3.
Рис.10.3
2. Изгиб в плоскости YZ.
Схема нагружения и эпюра внутренних изгибающих моментов Mx представлена на
рис.10.4.
65
Рис.10.4
3. Изгиб в плоскости XZ.
Схема нагружения и эпюра внутренних изгибающих моментов My представлена на
рис.10.5.
Рис.10.5
Согласно сказанному выше «просуммируем» полученные результаты по III теории
прочности. Для наглядности изобразим все эпюры на одном рисунке(рис.10.6).
Для удобства сведем все полученные результаты расчетов в таблицу.
N
уч.
Mк
,[м]
[кнм]
I
0
0
1
0
Мx,[
z
кнм]
Мy,[
кнм]
0,0
3,2
Мэкв,[
кнм]
0,0
-4,5
0,0
5,5
Мэкв,max
[кнм]
Di,
[мм]
5,5
81,
9
I
I
1
2
3
3
3,2
2,4
-4,5
-9,0
6,3
9,8
2
4
4
5
7
7
0
0
2,4
0,8
0,8
0,0
-9,0
-3,0
-3,0
0,0
11,7
7,7
3,1
0,0
9,8
99,
3
I
II
I
V
11,7
10
5,4
3,1
67,
7
66
Рис.10.6
Отметим, что диаметр вала рассчитывался по окончательной формуле:
D=3√ Mэквmax/0,1 100 МПа,
где Мэквmax – максимальное значение эквивалентного момента на рассматриваемом
участке.
67
Лекция 11. Циклические напряжения
и их влияние на прочность материалов.
Ранее были рассмотрены случаи нагружения конструкций, когда напряжения,
возрастая постепенно, достигали максимальной величины, а затем оставались
постоянными во все время ее эксплуатации.
Однако часто напряжения в конструкциях в течение ее эксплуатации изменяют по
определенному закону не только значение, но и знак.
Рассмотрим один из примеров такого вида нагружения – работу вагонной оси
(рис.11.1).
Рис.11.1
Знаком «+» отмечена зона растяжения, знаком «-»- зона сжатия. Максимальные
напряжения возникают в поверхностных слоях. Рассмотрим, например, т. М, лежащую на
поверхности. При движении вагона вагонная ось будет вращаться и т. М будет вместе с
ней совершать вращательное движение. Напряжения в ней будут изменяться как по
величине, так и по знаку, так как т. М постепенно переходит из зоны максимальных
растягивающих напряжений на нейтральную ось (в ней напряжения равны нулю), а затем
в зону сжимающих напряжений, достигая на ее поверхности максимальных сжимающих
значений.
68
На рис11.2 представлена диаграмма изменения нормальных напряжений в т. М при
вращении оси.
Напряжения в т.М
постепенно
возрастают достигая максимума.
Напряжения в т.М
постепенно умень
шаются по мере
вращения оси
т.М перемещается на нейтральную линию и напряжения в ней
обращаются в
ноль.
т.М перемещается
на нейтральную
линию и напряжения в ней обращаются в ноль.
Напряжения в т.М
постепенно умень
шаются по мере
вращения оси.
Напряжения в т.М
постепенно возрастают, достигая
максимума
Рис.11.2
Изменение напряжений в т. М можно представить и графически следующим образом
(рис.11.3):
σ
Рис.11.3
69
Такое изменение напряжений называется циклическим. На рис.11.3 изображен
симметричный цикл изменения напряжений. На практике напряжения могут изменяться и
по другим циклам.
II. Виды циклов, их основные параметры.
На рис.11.4 изображен общий произвольный цикл изменения напряжений
σ
σa
σm
σmax
σmin
Рич.11.4
Расстояние между двумя одноименными точками цикла, измеренное по временной
оси называется периодом цикла. Введем следующие обозначения:
σmax – максимальное напряжение цикла;
σmin – минимальное напряжение цикла;
σm – среднее напряжение цикла;
σa – амплитудное напряжение цикла;
R = σmin / σmax – коэффициент асимметрии цикла.
Приведенные выше пять величин называют основными параметрами цикла.
Из рис. 11.4 следуют соотношения:
σm = ( σmax + σmin) / 2
σa = ( σmax - σmin) / 2
σmax – максимальное напряжение цикла;
σmin – минимальное напряжение цикла;
σm – среднее напряжение цикла;
σa – амплитудное напряжение цикла;
R = σmin / σmax – коэффициент асимметрии цикла.
Приведенные выше пять величин называют основными параметрами цикла.
Из рис. 11.4 следуют соотношения:
70
σm = ( σmax + σmin) / 2
σa = ( σmax - σmin) / 2
Разрешая эти уравнения относительно σmax и σmin и добавляя значение
коэффициента асимметрии цикла, получим пять параметров цикла, связанные тремя
соотношениями:
σmax = σm + σa
σmin = σm - σa
R = σmin / σmax
Рассмотрим основные виды циклов (рис11.5).
σ
Рис.11.5
Представленные на рис.11.5 циклы изменения напряжений носят названия:
а) – симметричный цикл (R= -1)
б) – знакопеременный цикл (-1<R<0)
в) – знакопеременный цикл (R< -1)
г) – знакопостоянный цикл (cверху 0<R<1)
(снизу R>1)
д) – отнулевой цикл (сверху R=0)
(снизу R= - ∞)
11.3. Явление усталости материалов.
Практика использования деталей, в которых возникают переменные циклические
напряжения, показала, что они разрушаются при напряжениях, значительно меньших
предела прочности для обычного однократного нагружения. Причиной этого является
наличие в металле неоднородной структуры, т.е. зон с различного рода дефектами,
микротрещинами и т.д.
В этих зонах действие переменных напряжений приводит к образованию
микротрещин макротрещин, их объединению (слиянию) и разрушению.
Процесс постепенного накопления повреждений материала при действии
повторно-переменных (циклических) напряжений, приводящих к образованию
трещин и разрушению, называется усталостью материала.
71
11.4. Понятие предела выносливости
и его экспериментальное определение.
Способность материала воспринимать многократные действия переменных
напряжений не разрушаясь называется выносливостью. Проверка на прочность при
действии циклических напряжений называется расчетом на выносливость или
усталостную прочность.
Экспериментальное исследование выносливости материалов выполняется по
следующей схеме.
. Возьмем серию образцов и будем проводить их циклическое нагружение, напр., при
симметричном цикле «растяжение – сжатие».
1-ый образец растянем до значений напряжений, равных пределу прочности – σпч и
зафиксируем число полных циклов до разрушения N1. Естественно для σ1= σпч N1 = 0.
2-ой образец нагрузим до максимальных значений напряжений, немного меньших,
чем напряжение для первого образца. В результате получим, что для σ2 < σ1 N2> N1=0.
3-ий образец циклически нагрузим до максимальных напряжений, меньших, чем
максимальные напряжения во втором опыте, и получим, что для σ3 < σ2 N3> N2.
Указанную процедуру будем повторять и для последующих образцов, а результаты
представим графически(рис11.5).
Из приведенных выше экспериментальных данных следует, что с некоторого уровня
напряжений образцы выдерживают сколько угодно циклов, не разрушаясь. Кривая,
представленная на рисунке имеет асимптоту, которая и определяет предельное
напряжение. Сама диаграмма называется диаграммой Веллера.
Наибольшее напряжение цикла, при котором не происходит усталостного
разрушения образца после произвольного числа циклов, называется пределом
выносливости. Его обозначают σR, где R – коэффициент асимметрии цикла. Так, если
предел выносливости определяется для симметричного цикла, то его обозначают σ-1, а для
отнулевого цикла – σ0. и т.д.
На практике невозможно проводить испытания бесконечно долго, поэтому
принимают базовое число циклов – 107 и считают, что если образец не разрушился при
этом числе циклов, то он не разрушится и далее. Эксперименты показывают, что предел
выносливости значительно меньше предела прочности. Так для углеродистых сталей σ-1=
(0,4-0,5) σпч .
Для некоторых материалов, (например цветные металлы и сплавы) асимптота на
диаграмме Веллера отсутствует. Для таких материалов назначают предельное напряжение
(предел ограниченной выносливости) и указывают соответствующее число циклов,
которое может выдержать деталь. Отметим также, что результаты испытаний зависят от
вида испытаний.
Так σ-1раст.-сжат. = 0,7-0,9 σ-1изгиб. Поэтому при эксплуатации конкретной детали надо
внимательно исследовать способ ее нагружения. Для касательных напряжений предел
выносливости меньше, чем для нормальных напряжений. Так τ-1 = 0,58 σ-1 (сталь).
В заключении отметим, что предел выносливости является одной из механических
характеристик материала, которая зависит как от способа, так и от вида цикла
нагружения.
72
σ-1
Предел выносливости σR
Рис.11.5
11.5. Факторы, влияющие на предел выносливости .
Практика использования деталей, работающих при переменных напряжениях,
показала, что основными факторами, влияющими на их предел выносливости, являются:
а) форма детали;
б) размер детали;
в) состояние поверхности детали и характер термообработки.
Стандартный цилиндрический образец диаметром 7-10 мм с полированной
поверхностью назовем эталоном. Будем считать, что предел выносливости эталона для
какого-либо вида нагружения и цикла изменения напряжений характеризует именно тот
материал, из которого он изготовлен. Для конкретной детали предел выносливости
отличается от предела выносливости эталона. Это учитывается введением поправочных
коэффициентов.
Учет формы детали. Общая тенденция – чем сильнее деталь отличается по форме от
эталона, тем ниже ее предел выносливости. Это учитывается с помощью специального
коэффициента kσ, называемого коэффициентом концентрации напряжений. Он снижает
предел выносливости конкретной детали. Основной причиной этого является наличие
концентраторов напряжений в сложных по форме деталях, например в местах резкого
изменения диаметров, различного вида проточек, буртиков и т.д.
В аналитическом виде это описывается следующей зависимостью:
σRк = σR/ kσ
где: σR–предел выносливости эталона,
kσ–коэффициент концентрации напряжений (kσ>1);
σRк–предел выносливости детали;
R–коэффициент асимметрии цикла (для симметричного цикла R= -1; отнулевого
R=0).
Учет размеров детали. Чем деталь больше по размеру, тем ее предел выносливости
меньше. Это влияние учитывается с помощью специального масштабного коэффициента
βм, который снижает предел выносливости конкретной детали по сравнению с эталоном.
73
Основная причина этого явления - наличие в большей по размерам детали большего
количества дефектов. В аналитическом виде это описывается следующей формулой:
σRм = σR/ βм
где: βм–масштабный коэффициент (βм>1),
σRм–предел выносливости детали.
Учет состояния поверхности детали. Чем поверхность детали более грубая, тем
предел выносливости ее меньше. Это влияние учитывается с помощью специального
коэффициента состояния поверхности βп, который уменьшает предел выносливости
конкретной детали, если чистота обработки ее поверхности ниже, чем у эталона. Такая
зависимость связана с тем , что усталостные трещины, как правило, начинаются от
поверхности детали. Следовательно, ее состояние оказывает существенное влияние на
развитие явления усталости при действии переменных напряжений. Риски от грубой
механической обработки делают форму детали более сложной, они являются
концентраторами напряжений и, следовательно, уменьшают предел выносливости.
В аналитическом виде это влияние описывается следующей формулой
:
σRп = σR/ βп
где: βп–коэффициент состояния поверхности (βп>1,
σRп–предел выносливости детали с данным качеством поверхности.
Совместное влияние всех перечисленных факторов может быть представлено
соотношением:
Кσ д = kσ βм βп
где: Кσ д коэффициент снижения предела выносливости детали, учитывающий
влияние всех рассмотренных факторов.
Окончательно для вычисления предела выносливости детали получим следующее
выражение:
σRдет. = σR / Кσ д
74
Библиографический список
Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов.  М.:
Высшая школа, 1995.
Аркуша А.И. Техническая механика.  М.: Высшая школа, 1989.
Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов.  М.: БИНОМ, 2005.
Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с
основами теории упругости и пластичности.  М.: АСВ, 1995.
Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов.  М.: Высшая школа, 1989.
Иосилевич Г.Б., Лебедев П.А., Стреляев B.C. Прикладная механика.  М.:
Машиностроение, 1985.
Ицкович Г.М. Сопротивление материалов.  М.: Высшая школа, 1998.
Ицкович Г.М., Минин Л.С., Винокуров А.И. Руководство к решению задач по
сопротивлению материалов.  М.: Высшая школа, 1999.
Осоцкий В.М. (ред.) Прикладная механика.  М.: Машиностроение, 1997.
Степин П.А. Сопротивление материалов.  М.: Высшая школа, 2000.
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.  М.: Изд-во МГТУ, 2000.
Шинкин В.Н. Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций. – М.:
МИСиС, 2008.
Эрдеди А.А., Медведев Ю.А., Эрдеди Н.А. Техническая механика.  М.: Высшая школа,
1991.
75