1. Равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q (Н/м)
advertisement
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ» СТРУКТУРНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ (МОСКОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ) Методические рекомендации к выполнению практической работы № 8 «Расчет балки на прочность и жесткость при изгибе» по дисциплине «Техническая механика» для специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» 44.02.06 «Профессиональное обучение» Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории Москва 2014 ОДОБРЕНЫ предметной (цикловой) комиссией «Специальных дисциплин» Протокол №1 от 28 августа 2014 г. Председатель предметной (цикловой) комиссии ___________Сайманин А.С. Согласовано с методической службой колледжа ______________________ Составитель: Сайманин А.С. – к.т.н., преподаватель высшей категории Пояснительная записка Настоящие методические рекомендации предназначены для студентов специальностей 24.02.02 «Производство авиационных двигателей» и 44.02.06 «Профессиональное обучение» самостоятельных работ для выполнения практических и по разделу 2 «Сопротивление материалов» дисциплины «Техническая механика». В настоящих методических рекомендациях представлены варианты практической работы «Расчёт балки на прочность и жёсткость при изгибе» и образец её выполнения. Настоящие методические рекомендации содержат необходимый теоретический материал для выполнения практической работы. Рекомендуемая литература Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 2003. Ицкович Г.М., Минин М.С., Винокуров А.И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 2003. Олофинская В.П. Техническая механика. – М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. Эрдеди А.А. , Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, Академия, 2001. Обозначения F – сосредоточенная сила, (Н); М – внешний изгибающий момент, (Нм); q – интенсивность равномерно распределённой нагрузки, (Н/м); Wz – осевой момент сопротивления поперечного сечения, (м3); Iz – осевой момент инерции поперечного сечения, (м4); Мz – изгибающий момент в поперечном сечении, (Нм); Qy – поперечная сила в сечении, (Н); х – нормальные напряжения, (Мпа); [σ] – допускаемое нормальное напряжение (для стали [σ]=160 МПа); Е – модуль упругости (для стали Е=2∙105 МПа); – линейное перемещение поперечного сечения при изгибе, (м); – угловое перемещение поперечного сечения при изгибе, (рад); Содержание Основные понятия Чистый изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент Мz . Прямой поперечный изгиб - это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникают два внутренних силовых фактора – поперечная сила Qу и изгибающий момент Мz . Балка – брус, испытывающий деформацию изгиба. Типы опор балок: 1. Подвижная шарнирная опора (Рис.1а); 2. Неподвижная шарнирная опора (Рис.1б); 3. Жёсткая заделка (Рис. 1в). I а) б) в) Рис. 1 Подвижная шарнирная опора препятствует только вертикальному перемещению сечения балки. В ней возникает одна реакция (вертикальная). Неподвижная шарнирная опора препятствует вертикальному и горизонтальному перемещению сечения балки. В ней возникают две реакции (вертикальная и горизонтальная силы). Жёсткая заделка препятствует вертикальному, горизонтальному перемещению и повороту сечения балки. В ней возникают три реакции (вертикальная, горизонтальная силы и момент). Типы внешних нагрузок (Рис.2): 1. Равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q (Н/м); 2. Сосредоточенная сила F=qL (Н); 3. Сосредоточенный изгибающий момент М=FL=qL2 (Нм). q F Рис. 2 М Поперечная сила Qу в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсечённой части. Изгибающий момент Мz в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, приложенных к отсечённой части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение. Модуль и направление (знак) поперечной силы и изгибающего момента определяются из уравнений равновесия, составленных для отсечённой (оставленной после проведения сечения) части бруса. ∑Y=0 Мz = ∑ Мiz ост. части Правило знаков части (Рис. 3). ост. Поперечная сила Qу считается положительной, если она стремится повернуть элемент бруса по часовой стрелке. Изгибающий момент Мz считается положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз. Мz>0 Qу>0 Рис. 3 Эпюра поперечных сил – это график функции Qy = f (х). Для построения эпюры Qy проводим ось, параллельную оси бруса. Это база эпюры. Если брус нагружен только сосредоточенными силами, то в пределах каждого из участков поперечная сила постоянна, то есть эпюра параллельна оси бруса. Если на каком-либо участке бруса действует равномерно распределённая нагрузка q , то на этом участке поперечная сила линейно зависит от координаты Х, то есть эпюра представляет собой наклонную линию. Значения поперечных сил откладываем в выбранном масштабе по оси эпюры. При этом положительные значения отрицательные - вниз от оси. Qy откладываем вверх, а В местах приложения сосредоточенных внешних сил на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат – «скачки». Размер «скачка» равен приложенной в этом сечении бруса внешней сосредоточенной силе. Эпюру принято штриховать. При этом штриховка перпендикулярна оси эпюры – каждая линия штриховки даёт в принятом масштабе значение поперечной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Эпюра изгибающих моментов – это график функции Мz = f (х). Для построения эпюры Мz проводим ось, параллельную оси бруса. Это база эпюры. Если жёстко заделанный брус нагружен только сосредоточенными моментами, то в пределах каждого из участков изгибающий момент постоянен, т.е. эпюра параллельна оси бруса. Если жёстко заделанный брус нагружен только сосредоточенными силами, то в пределах каждого из участков изгибающий момент линейно зависит от координаты Х, т.е. эпюра представляет собой наклонную линию. Если на каком-либо участке бруса действует равномерно распределённая нагрузка q, то на этом участке изгибающий момент нелинейно зависит от координаты Х, то есть эпюра представляет собой параболу, выпуклую навстречу распределённой нагрузке. Значения изгибающих моментов откладываем в выбранном масштабе по оси эпюры. При этом положительные значения Мz откладываем вверх, а отрицательные - вниз от оси. В местах приложения сосредоточенных внешних моментов на эпюре получаются скачкообразные изменения ординат – «скачки». Размер «скачка» равен приложенному в этом сечении бруса внешнему сосредоточенному моменту. Эпюру принято штриховать. При этом штриховка перпендикулярна оси эпюры – каждая линия штриховки даёт в принятом масштабе значение изгибающего момента в соответствующем поперечном сечении бруса. По эпюре Мz определяют поперечное сечение, в котором возникают наибольший изгибающий момент. Такое сечение называется опасным. При изгибе в поперечных сечениях бруса от изгибающих моментов Мz возникают нормальные напряжения. Они распределяются по сечению неравномерно. Мz Мz max + h _ b Z D Рис. 4 При расчёте на прочность рассматриваются максимальные нормальные напряжения. max = Мz max/Wz , где Мz max – изгибающий момент в сечении бруса. Wz - осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса. Для прямоугольного поперечного сечения: Wz = bh2/6 ; Для круглого поперечного сечения Wz = πD3/32 ≈ 0,1D3 ; Для прокатных профилей значения Wz находятся в справочниках. Условие прочности изгибе: max ≤ [], где [] – допускаемое напряжение. Расчёт на прочность бывает: проверочным (проверка выполнения условия прочности), проектировочным (определение размеров поперечного сечения бруса, удовлетворяющим условию прочности), расчёт допускаемой нагрузки по условию прочности. Для расчёта на жёсткость при изгибе определяются наибольшие перемещения (линейные и (или) угловые) поперечных сечений бруса, которые сравниваются с допускаемыми перемещениями. Перемещения при изгибе определяются с помощью интеграла Мора или способа (правила) Верещагина. Способ Верещагина состоит в следующем: 1. Эпюра изгибающих моментов Мz (эпюра грузовых моментов) разбивается на элементарные фигуры (прямоугольник, треугольник, параболический треугольник, сегмент) площадь и центр тяжести которых можно определить. 2. В сечении, перемещение которого необходимо определить, прикладывается единичная сила F=1 (для определения линейного перемещения ) или единичный момент М=1 (для определения углового перемещения ) и строится эпюра единичных моментов (М1). 3. Затем находится алгебраическая сумма произведений площади каждой из элементарных фигур эпюры грузовых моментов на соответствующую ординату эпюры единичных моментов, находящуюся под центром тяжести элементарной фигуры эпюры грузовых моментов, которая делится на величину ЕIz , называемую жёсткостью при изгибе. = «МzМ1»/ЕIz , = «МzМ2»/ЕIz где «МzМ1» - условное обозначение «произведения» грузовой эпюры изгибающих моментов на эпюру единичных моментов способом Верещагина; Е – модуль упругости (модуль Юнга), (МПа); Эта физическая величина (Е) постоянна для каждого материала и характеризует его жёсткость. Чем жёстче материал, тем меньше он деформируется при данном напряжении. Iz – осевой момент инерции поперечного сечения, (м4). Для прямоугольного поперечного сечения: Iz = bh3/12 ; Для круглого поперечного сечения Iz = πD4/64 ; Для прокатных профилей значения Iz находятся в справочных таблицах. Примечание. Если эпюры грузовых и единичных моментов расположены по одну сторону от базы (обе эпюры сверху или обе эпюры снизу), то их «произведение» имеет знак «плюс», если по разные стороны – «минус». Площади эпюр и расстояния до их центров тяжести Вид эпюры Площадь эпюры Расстояние до центра тяжести хс h∙L L/2 h∙L/2 L/3 hL/3 L/4 2h∙L/3 5L/8 q∙L3/12 L/2 хс h L h хс L h хс L h хс L хс L Практическая работа №8 «Расчет балки на прочность и жесткость при изгибе» Раздел 2: «Сопротивление материалов». Тема: «Изгиб» Количество часов: 4 Цель работы: овладение студентами навыками расчёта на прочность и жёсткость балки при изгибе. Форма контроля: ответы на вопросы, решение задач. Критерии оценки: «5» - 91-100% правильных ответов; «4» - 81-90% правильных ответов; «3» - 70-80% правильных ответов; «2» - менее 70% правильных ответов; Оснащение занятия: ПК, проектор, методические рекомендации. М1 q1 М2 q2 Х A2 F1 L1 F2 L2 Рис. 5 Для заданной балки требуется: 1. Определить опорные реакции. 2. Определить величины поперечных сил Qу на участках балки и построить эпюры. 3. Определить величины изгибающих моментов Мz на участках балки и построить эпюры. 4. Выполнить проектировочный расчёт балки на прочность. 5. Определить величины линейного и углового премещений сечения свободного конца балки. Исходные данные для пунктов 4 и 5: q=20 кН/м; L=0,2 м; Е=2,0∙105 МПа; []=160 МПа. Задания Варианты практической работы №8 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 q1 1q 0q 2q 0q 3q 0q 4q 0q 5q 0q -1q 0q -2q 0q -3q 0q -4q 0q -5q 0q 1q 0q 2q 0q 3q 0q 4q 0q 5q 0q q2 0q 1q 0q 2q 0q 3q 0q 4q 0q 5q 0q -1q 0q -2q 0q -3q 0q -4q 0q -5q 0q 1q 0q 2q 0q 3q 0 4q 0q 5q F1 0F 2F 0F 3F 0F 4F 0F 5F 0F 1F 0F 2F 0F 3F 0F 4F 0F 5F 0F 1F 0F -2F 0F -3F 0F -4F 0F -5F 0F -1F F2 2F 0F 3F 0F 4F 0F 5F 0F 1F 0F 2F 0F 3F 0F 4F 0F 5F 0F 1F 0F -2F 0F -3F 0F -4F 0F -5F 0F -1F -1F M1 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M 0M 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M 0M 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M 0M M2 0M 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M 0M 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M 0M 3M 0M 4M 0M 5M 0M 1M 0M 2M L1 4L 4L 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L 4L 4L 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L 4L 4L 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L L2 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L 4L 4L 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L 4L 4L 5L 5L 1L 1L 2L 2L 3L 3L 4L 4L Примечания. 1. Общую расчётную схему (Рис. 5) следует преобразовать в заданную расчётную схему в соответствии с исходными данными из таблицы. 2. Знак «минус» перед значением нагрузки означает, что она должна быть направлена в сторону, противоположную указанному направлению. 3. Коэффициент 0 перед значением нагрузки означает её отсутствие на расчётной схеме. 4. Числовой расчет (п.п 4 и 5) производится в размерностях международной системы единиц СИ после выполнения работы в общем виде. Алгоритм выполнения задания Расчетная схема бруса, представленная на рис. 6 составлена из общей расчётной схемы (Рис. 5) для следующих исходных данных: q1 4q q2 0q F1 0F F2 -2F M1 4M M2 0M L1 2L L2 2L 4М=4qL2 4q 2F=2qL Х A2 2L Рис. 6 Вначале проведём подготовительную работу (рис.7). 1. Направляем оси координат Х – вдоль оси бруса, Y – вертикально вверх. 2. Разбиваем брус на участки. Признаками границ участка являются сечения бруса, где: - расположены опоры; - приложены сосредоточенные силы; - приложены сосредоточенные моменты; - границы действия равномерно распределённой нагрузки; - свободный конец бруса. Таким образом, в данном случае получаем два участка. Обозначим их 1 и 2 соответственно. 3. Так как определять внутренние силовые факторы будем методом сечений, наметим эти произвольные сечения на участках 1 , 2 с текущими координатами Х1 и Х2 соответственно. 4. Произвольно направляем вертикальную реакцию R и реактивный момент МR. Если в результате решения уравнения равновесия мы получим положительные значения R и МR, значит, направление реакции было выбрано верно. В противном случае следует изменить направление реакции на противоположное, и в дальнейших расчетах считать её положительной. 1. Определение опорных реакций Реакции в заделке определяем из уравнений равновесия: Условимся считать проекцию силы на ось Y положительной, если её направление совпадает с положительным направлением оси. 1) ΣY = 0; R-4q2L-2qL=0; R=10qL ; Условимся считать момент положительным, если он направлен против часовой стрелки, в противном случае – отрицательным. 2) ΣМА= 0; МR-4q2LL-4qL2-2qL4L=0; МR = 20qL2 ; Y R=10qL 4М=4qL2 1 2 4q 2F=2qL Х А МR=20qL2 1 х1 A2 х2 2L 2L Рис. 7 2. Определение величин поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мx на участках бруса и построение эпюр Для этого применяем метод сечений: 1. Мысленно разрезаем брус в произвольном сечении; 2. Отбрасываем любую часть бруса (в данном случае, на первом участке отбросим правую часть, а на втором – левую); 3. Заменяем отброшенную часть неизвестными поперечной силой Qy и изгибающим моментом Мz , направив их в соответствии с правилом знаков (Рис. 3); 3. Уравновешиваем оставшуюся часть: ΣY = 0; определяем Qy ; ΣМк = 0; определяем Мz . Участок 1 Y R=10qL 4q Qy Мz Х к МR=20qL2 х1 Рис. 8 Уравнения равновесия для оставшейся части: 1) ΣY = 0; R - 4qx1 - Qy = 0; Qy=R-4qх1 ; При х1=0 Qy=R=10qL ; При х1=2L Qy=R-4q2L=10qL-8qL=2qL ; 2) ΣМк = 0; МR-Rх1+Мz+4qx12/2= 0; Мz= -МR +Rх1- 4qx12/2; При х1=0 Мz= -20qL2+10qL0- 4q02/2 = -20qL2 ; При х1=2L Мz= -20qL2 +10qL2L- 4q2L2/2 = -8qL2 ; Участок 2 2F=2qL Qy к Х Мz 2L – х2 Рис. 9 Уравнения равновесия для оставшейся части: 1) ΣY = 0; -2F + Qy = 0; Qy= 2F = 2qL; 2) ΣМк = 0; -Мz - 2F(2L – х2) = 0; Мz= - 2qL(2L – х2); При х2=0 Мz= -4qL2 ; При х2=2L Мz= 0 ; По результатам расчетов строим эпюры Qy и Мz. (рис.10). Y R=10qL 4М=4qL2 1 2 4q 2F=2qL Х А МR=20qL2 1 х1 х2 A2 2L 2L 10qL + 2qL Qy Mz 4qL2 8qL2 Рис. 10 20qL2 Примечания к эпюрам. 1. Эпюра Qy линейно зависит от координаты Х на первом участке, поэтому имеет вид трапеции в пределах участка. В тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы (активные и реактивные), на эпюре Qy наблюдаются скачки, равные величинам этих сил. 2. Эпюра Мz нелинейно зависит от координаты Х на первом участке, поэтому имеет вид параболы в пределах участка. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты (активные и реактивные), на эпюре Мz наблюдаются скачки, равные величинам этих моментов. 3. Необходимо соблюдать пропорции в ординатах эпюры на разных участках, в зависимости от значений соответствующих величин. 4. Положительные значения величин Qy и Mz откладываются выше нулевой линии, отрицательные – ниже. 4. Проектировочный расчёт на прочность Условие прочности при изгибе max ≤ [], где max - максимальные нормальные напряжения, действующие в сечениях бруса; [] – допускаемое напряжение. В данном случае максимальные напряжения возникают в заделке, где действует максимальный изгибающий момент. max = 20qL2/Wz ≤ [] Решив неравенство относительно Wz , получим: Wz20qL2/[] Для двутавра: Wz20qL2/[] = 20200000,22/160106=110-4м3=100 см3 По справочнику выбираем двутавр №16 Wz=109 см3 , Iz=873 см4 Для прямоугольника b/h=0,5: Wz=bh2/6=2b3/3 Wz=2b3/320qL2/[] , откуда b ≥ 330200000,22/160106 =5,3110-2 м=5,31см Принимаем b=6 см, h=12см . Iz= bh3/12= 864 см4 Для круга: Wz = πD3/32 ≈ 0,1D3 ≥ 20qL2/[] , откуда 3 3 2 D≥√ 20qL /0,1[] = √ 20∙21040,22/0,1∙160·106 = 0,1 м Принимаем D = 10 см. Iz = πD4/64 = 490 см4 5. Определение линейного и углового перемещений сечения свободного конца балки Для определения линейного и углового перемещений сечения свободного конца балки применяем способ Верещагина: Расслаиваем эпюру грузовых моментов Мz по принципу суперпозиции (принцип независимости действия сил), прикладываем единичную силу F=1 (для определения линейного перемещения), единичный момент М=1(для определения углового перемещения) и строим эпюры единичных моментов М1 (от F=1) и М2 (от М=1). (Рис.11). Y 4М=4qL2 1 2 4q 2F=2qL Х 1 2L A2 Мz (от 4q) 2L 8qL2 Mz (от 4М) 4qL2 Мz (от 2F) 8qL2 F=1 М1 7L/2 3L 8L/3 2L 4L М=1 M2 1 Рис. 11 Находим алгебраическую сумму произведений площади каждой из элементарных фигур расслоенной эпюры грузовых моментов (Мz) на соответствующую ординату эпюры единичных моментов (М1) – для определения линейного перемещения или (М2) – для определения углового перемещения, находящуюся под центром тяжести элементарной фигуры эпюры грузовых моментов, которая делится на величину ЕIz , называемую жёсткостью при изгибе. = «МzМ1»/ЕIz , = «МzМ2»/ЕIz где - линейное перемещение поперечного сечения балки; - угловое перемещение поперечного сечения балки; «МzМ1» - условное обозначение «произведения» грузовой эпюры изгибающих моментов на эпюру единичных моментов способом Верещагина; Е – модуль упругости (модуль Юнга), (МПа); Iz – осевой момент инерции поперечного сечения, (м4). Линейное перемещение поперечного сечения свободного конца балки: = [(8qL22L/3)7L/2 + (4qL22L)3L + (8qL24L/2)8L/3]/EIz = 72 qL4/ EIz Для двутавра: = 72 qL4/ EIz= 72200000,24/(2101187310-8 ) =1,3210-3 м. Для прямоугольника b/h=0,5: = 72 qL4/ EIz= 72200000,24/(2101186410-8 ) =1,3310-3 м. = 72 qL4/ EIz= 72200000,24/(2101149010-8)=2,3510-3 м. Для круга: Угловое перемещение поперечного сечения свободного конца балки: = [(8qL22L/3)1 + (4qL22L)1 + (8qL24L/2)1]/EIz = 32,7qL3/ EIz Для двутавра: = 32,7 qL3/ EIz= 32,7200000,23/(2101187310-8 ) =310-3 рад. Для прямоугольника b/h=0,5: = 32,7 qL3/ EIz= 32,7200000,23/(2101186410-8) =3,0310-3 рад. Для круга: = 32,7 qL3/ EIz= 32,7200000,23/(2101149010-8) =5,3410-3 рад. Контрольные вопросы и задания к защите практической работы №8 Построить эпюры внутренних силовых факторов. Выполнить в общем виде расчёт на прочность и жёсткость балок (Рис. 12,13,14,15,16,17,18). F L Рис. 12 q L Рис. 13 FL L Рис. 14 2F L L Рис. 15 2FL L L Рис. 16 q 2L Рис. 17 4F L 3L 4L Рис. 18
