Федеральное агентство связи

Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и
Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа по курсу:
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ»
Вариант №12
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Новосибирск, 2012г.
Исходные данные:
Задана структурная схема рекурсивной цепи второго порядка(рис.1).
Рис.1
1.
В соответствии со своим вариантом начертите схему цепи с учетом
____
____
реальных коэффициентов ai , i= 0,2 ; b j , j=1,2 . Период дискретизации
Т=0,1мс.
2.
Определите передаточную функцию цепи H(z) и проверьте устойчивость
цепи. Если цепь окажется неустойчивой, измените коэффициенты bi,
добившись устойчивости.
3.
Рассчитайте амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи (8÷10 точек), постройте графики
АЧХ и ФЧХ (предварительно определив f d ).
4.
Определите разностное уравнение цепи по передаточной функции H(z)
5.
Определите импульсную характеристику цепи:
а) по передаточной функции H(z);
б) по разностному уравнению;
в) по формуле обратного ДПФ в точке t = 0.
6.
Определите сигнал на выходе цепи:
а) по разностному уравнению;
б) по формуле свертки (линейной и круговой);
в) по Z-изображению выходного сигнала.
7.
Определите разрядность коэффициентов ai, bi, если допуск на
отклонение системных характеристик составляет 1%
8.
Рассчитайте шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность
АЦП равной 8:
а) для исходной цепи;
б) для цепи в виде каскадного соединения простых звеньев.
9.
Рассчитайте масштабный множитель λ на выходе цепи:
а) по условию ограничения максимума сигнала;
б) по условию ограничения энергии сигнала;
в) по условию ограничения максимума усиления цепи.
Данные для расчета приведены в таблице 1:
а0
0
0.9
a1
0,7
-0.3
a2
0,5
0
b1
b2
0,35
0,135
0.25
0.36
Таблица 1.
{x(nT)}
0,6;0,5;0,4
0,7; 0,8; 0,6
1. В соответствии со своим вариантом начертим схему цепи с учетом
____
____
реальных коэффициентов ai , i= 0,2 ; b j , j=1,2 . Период дискретизации
Т=0,1мс. (рис.2):
x(nT)
+
Т
0.35
0.7
+
Т
0.135
0.5
Рис.2
2. Определим передаточную функцию цепи H(z) и проверим
устойчивость цепи.
Передаточная функция цепи:
a  a1 z 1  a2 z 2
H ( z)  0
1  b1 z 1  b2 z 2
0  z 0  0,7 z 1  0,5 z 2
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  

1  0,35 z 1  0,135 z 2
1  0,35 z 1  0,135 z 2
(1)
y(nT)
Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя передаточной
функции приравняем к нулю и найдём корни уравнения
1  0,35 z 1  0,135 z 2  0
Избавимся от отрицательных степеней, умножив обе части уравнения на z2 и
после этого определим корни:
z 2  0,35 z  0,135  0
z1, 2  0,175  0,03  0,135  0,175  0,4
z1  0,58
z 2  0,23
Условие |zk| < 1 выполняется, значит, цепь устойчива.
3. Частотную характеристику цепи получим из передаточной функции
H(z), выполнив замену zk→ejωkT:
0,7e  jT  0,5e  j 2T

1  0,35e  jT  0,135e  j 2T
0,7 cosT  j 0,7 sin T  0,5 cos 2T  j 0,5 sin 2T

1  0,35 cosT  j 0,35 sin T  0,135 cos 2T  j 0,135 sin 2T
H  j  

H  j 
0,7 cosT  0,5 cos 2T   j 0,7 sin T  0,5 sin 2T 
 1
1  0,35 cosT  0,135 cos 2   j 0,35 sin TT  0,135 sin 2T  H 2  j 
Амплитудно частотная характеристика:
H   
0,7 cosT  0,5 cos 2T 2  0,7 sin T  0,5 sin 2T 2
1  0,35 cosT  0,135 cos 2 2  0,35 sin TT  0,135 sin 2T 2
  arctg
0,35 sin T  0,135 sin 2T 
 0,7 sin T  0,5 sin 2T 
 arctg
0,7 cosT  0,5 cos 2T 
1  0,35 cosT  0,135 cos 2T 
Частота дискретизации:
fd 
1
T
fd 
1
 10000 Hz  10kHz
0,1  10 3
(2)
Данные расчетов занесем в таблицу 2,затем по полученным данным
построим графики АЧХ (рис.3)и ФЧХ(рис.4).
0
ωT
0
8
0,25π
0
2ωT
sinωT
Sin2ωT
cosωT
cos2ωT
H1(jω)
H2(jω)
H(ω)
φ(ω)0
д
4
д

0, 5π
0
0
0
0
1
1
1,2
0,52
2,33
00
90
0,707
1
0,707
0
0,5-j1
0,8+j0,4
1,32
-370
0
180
1
0
0
-1
-0,5-j0,7
1,1+j0,4
0,72
-1050
3 д
8
0,75π
5 д
8
1,25π
д
2
π
0
0
270
0,707
-1
-0,707
0
-0,5
1,2+j0,1
0,40
-1750
360
0
0
-1
1
-0,2
1,2
0,16
-1800
3 д
4
1,5π
0
90
-0,707
1
-0,707
0
-0,5
1,2-j0,1
0,40
-1850
7 д
8
1,75π
0
180
-1
0
0
-1
-0,5+j0,7
1,1-j0,4
0,72
-2550
Таблица 2.
H(w)
2,5
2,33
.
.
2
1,5
.
1,32
.
1,0
.
0,72
.
.
0,5
0,46
0
0,125
0,25
0,375
.
0,5
.
w/wd
0,625
0,75
0,875
1
Рис.3 Амплитудно-частотная характеристика.
0
270
-0,707
-1
0,707
0
0,5+j1
0,8-j0,4
1,32
-3230
д
2π
3600
0
0
1
1
1,2
0,52
2,33
-3600
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
.
-45
1
w/wd
.
-90
-135
.
-180
.
.
.
-225
-270
.
-315
-360
ф(ф)
Рис.4 Фазо-частотная характеристика.
4. Определим разностное уравнение цепи по передаточной функции H(z)
Передаточная функция системы:
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  
1  0,35 z 1  0,135 z 2
Перейдем к разностному уравнению:
0,7 z 1  0,5 z 2
Y z 
H z  

1  0,35 z 1  0,135 z  2 X  z 



Y  z  1  0,35 z 1  0,135 z  2  X  z  0,7 z 1  0,5 z  2

Y  z   0,7 z 1 X  z   0,5 z 2 X  z   0,35 z 1Y  z   0,135 z 2Y  z 
Разностное уравнение:
y n   0,7 xn  1  0,5 xn  2  0,35 y n  1  0,135 y n  2
5. Определим импульсную характеристику цепи:
а) по передаточной функции H(z):
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  
1  0,35 z 1  0,135 z 2
0,7 z 1  0,5 z 2
1  0,35 z 1  0,135 z 2
0,7 z 1  0,245 z 2  0,0945 z 3
0,7 z 1
- 0,245 z 2  0,0945 z 3
- 0,245 z 2  0,26 z 3  0,1z 4
1  0,35 z 1  0,135 z 2
- 0,745 z 2
0,355 z 3  0,1z 4
0,355 z 3  0,12 z 4  0,0479 z 5
1  0,35 z 1  0,135 z 2
0,355 z 3
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  
 0,7 z 1  0,745 z 2  0,355 z 3  .....
1
2
1  0,35 z  0,135 z
hn   0;0,7;0,745;0,355;......
б) по разностному уравнению
y n   0,7 xn  1  0,5 xn  2  0,35 y n  1  0,135 y n  2
δ(n)={1; 0; 0; 0;…}
h(n)=y(n) при x(n)=δ(n)
n  0; h 0  0
n  1; h 1  0,7   0   0,5    1  0,35h0  0,135  h 1  0,7  1  0  0  0  0,7
n  2; h 2  0,7   1  0,5   0   0,35h1  0,135  h0  
 0,7  0  0,5  1  0,35  0,7  0  0,745
n  3; h 3  0,7   2  0,5   1  0,35h2   0,135  h1 
 0,7  0  0,5  0  0,35  0,745  0,135  0,7  0,355
n  4; h 4  0,7   3  0,5   2   0,35h3  0,135  h2  
 0,7  0  0,5  0  0,35  0,35  0,135  0,745  0,223
hn   0;0,7;0,745;0,355;0,223;.....
в) по формуле обратного ДПФ в точке t = 0.
Импульсную характеристику получим использованием обратного
преобразования от H(jω).
1
h(nT ) 
N
N 1
 H ( jk )  e
j
2nk
N
k 0
j
1 7
  H ( jk )  e
8 k 0
j
2nk
N
2nk
8
Так как n=0, то сомножитель e
 1 при всех k.
Рассчитаем h(0), используя найденные ранее АЧХ и ФЧХ цепи:
0

1  2,33e  j 0  1,32e  j 37  0,72e  j105  0,4e  j175 

h0 
8   0,16e  j180  0,4e  j185  0,72e  j 255  1,32e  j 323  2,33e  j 360 
1
2,33  1,05  0,19  0,4  0,16  0,4  0,19  1,05  0,7.
8
6. Определим сигнал на выходе цепи:
а) по разностному уравнению:
Разностное уравнение:
y n   0,7 xn  1  0,5 xn  2  0,35 y n  1  0,135 y n  2
Входной сигнал:
x(nT )  {0,6;0,5;0,4; }
y(0)  0
y(1)  0,7  0,6  0  0,35  0  0,42
y(2)  0,7·0,5  0,5·0,6  0,35·0,42  0,135  0  0,797
y(3)  0,7·0,4  0,5·0,5  0,35·0,797  0,135  0,42  0,86
y(4)  0,7·0  0,5·0,4  0,35·0,865  0,135  0,797  0,6
y(5)  0,7·0  0,5·0  0,35·0,61  0,135  0,865  0,33
y(6)  0,7·0  0,5·0  0,35·0,33  0,135  0,61  0,197
y(nT )  {0;0,42;0,797;0,86;0,6;0,33;0,197.....}
б) по формуле свертки:
- линейной:
Импульсная характеристика:
hn  0;0,7;0,745;0,355;.....
Входной сигнал:
(3)
x(nT )  {0,6;0,5;0,4; }
Определим длину выходной последовательности:
N y  N x  Nh  1
где:
N x  3 - длина входной последовательности,
N h  4 - длина импульсной характеристики,
N y  N x  Nh 1  3  4 1  6
(4)
m
Найдем: y (m)   x(n)h(m  n)
(5)
n 0
m = 0,1,2,3,4
y 0  x0   h0  0,6  0  0
y 1  x0   h1  x1  h0  0,6  0,7  0,5  0  0,42
y 2  x0   h2   x1  h1  x2 h0   0,6  0,745  0,5  0,7  0,4  0  0,797
y 3  x0   h3  x1  h2   x2  h1  x3h0  
0,6  0,355  0,5  0,745  0,4  0,7  0  0,86
y 4  x0   h4   x1  h3  x2  h2  x3h1  x4  h0 
 0,6  0,22  0,5  0,355  0,4  0,745  0,6
y(nT )  {0;0,42;0,797;0,86;0,6}
- круговой:
Круговая свёртка определяется на интервале, равном одному периоду:
N 1
y (nT )   x(kT )  h(nT  kT )
(6)
k 0
где: N=N1+N2-1,
N1 – длина последовательности x(nT),
N2 – длина последовательности h(nT),(представим импульсную
характеристику в виде конечной числовой последовательности
hn  0;0,7;0,745)
В нашем случае N1=3, N2=3.
N = 3+3 -1=5, и исходные числовые последовательности запишутся:
x(nT )  {0,6;0,5;0,4;0;0 } , hn  0;0,7;0,745;0,355;0,223
отсюда:
y 0T   x0T   h0T   x1T   h 1T   x2T   h 2T   x3T   h 3T   0
y 1T   x0T   h1T   x1T   h0T   x2T   h 1T   x3T   h 2T   0,42
y 2T   x0T   h2T   x1T   h1T   x2T   h0T   x3T   h 1T   0,797
y 3T   x0T   h3T   x1T   h2T   x2T   h1T   x3T   h0T   0,86
y 4T   x0T   h4T   x1T   h3T   x2T   h2T   x3T   h1T   0,6
y(nT )  {0;0,42;0,797;0,86;0,6 } - совпадает со значением линейной свертки.
в) по Z-изображению выходного сигнала
Сигнал на входе: x(nT )  {0,6;0,5;0,4; }
Запишем z-преобразование последовательности x(n): X z   0,6  05z 1  0,4 z 2
Z-изображение сигнала на выходе Y(z)=X(z)H(z), т.к. по определению:
0,7 z 1  0,5 z 2
Y z 
H z  

.
1  0,35 z 1  0,135 z 2 X  z 
0,7 z 1  0,5 z 2
Y z  
 0,6  0,5 z 1  0,4 z 2 
1
2
1  0,35 z  0,135 z



0,42 z 1  0,65 z 2  0,5 z 3  0,2 z 4
 0,42 z 1  0,797 z 2  0,86 z 3  0,6 z 4
1
2
1  0,35 z  0,135 z
y(nT )  {0;0,42;0,797;0,86;0,6}
7. Определим разрядность коэффициентов ai, bi, если допуск на
отклонение системных характеристик составляет 1%
Представим коэффициенты в виде 8-разрядного двоичного кода. В этом
случае разрядная сетка содержит один знаковый разряд и восемь числовых.
Запятая зафиксирована между знаковым и числовыми разрядами. Значение
знакового разряда равно нулю, если коэффициент положителен, и единице в
противном случае.
Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в
двоичную необходимо последовательно умножать данную дробь на 2
(перемножая только дробные части), и выписать последовательно все целые
части полученных произведений, начиная с первого. Нам при расчете
необходимо получить восемь числовых разрядов плюс один дополнительный
для выполнения операции округления.
Занесем коэффициенты в двоичном коде в таблицу 3.
a1  0,7
1,4
0,8
1,6
1,2
0,4
0,8
1
0
1
1
0
0
1,0
0
0
0
0
0
a 2  0,5
1
0
0
0
0
0
b1  0,35
0,7
1,4
0,8
1,6
1,2
0,4
0
1
0
1
1
0
b2  0,135 0,27
0,54 1,08 0,16 0,32 0,64
0
0
1
0
0
0
Таблица 3.
Коэффициент
Коэффициент
Коэффициент
Коэффициент
a1  0,7
a2  0,5
b1  0,35
b2  0,135
в двоичном коде
в двоичном коде
в двоичном коде
в двоичном коде
1,6
1
0
0
0,8
0
1,28
1
1,2
1
0
0
1,6
1
0,56
0
0,4
0
0
0
1,2
1
1,12
1
0,101100110
0,100000000
0,010110011
0,001000101
Выполним операцию округления. Для этого к полученному числу прибавим
единицу в дополнительном разряде, а затем дополнительный разряд
отбросим.
Окончательный результат после округления:
a1  0,10110011
b1  0,01011010
b2  0,00100011
Восстановление этих коэффициентов в десятичной системе:

a1  1  2 1  0  2  2  1  2 3  1  2 4  0  2 2  0  2 6  1  2 7  1  2 8  0,6992

a 2  1  2 1  0  2 2  0  2 3  0  2  4  0  2 2  0  2 6  0  2 7  0  2 8  0,5

b1  0  2 1  1  2 2  0  2 3  1  2 4  1  2  2  0  2 6  1  2 7  0  2 8  0,3516

b2  0  2 1  0  2 2  1  2 3  0  2 4  0  2  2  0  2 6  1  2 7  1  2 8  0,1367








Относительная погрешность при записи коэффициентов масштабирующих
усилителей в 8-и разрядном двоичном коде составит:
a0  0%
0,7  0,6992
 100 %  0,11%
0,7
0,5  0,5
a2 
 100 %  0%
0,5
0,35  0,3516
b1 
 100 %  0,45%
0,35
0,135  0,1367
b2 
 100 %  1,2%
0,135
Отклонение импульсной характеристики в результате округления при 8
разрядах превышает 1% - ( b2  1,2% ).
a1 
- оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику
цепи.
Импульсная характеристика для заданной функции.
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  
 0,7 z 1  0,745 z  2  0,355 z 3  0,223 z  4  .....
1
2
1  0,35 z  0,135 z
hn   0;0,7;0,745;0,355;0,223 ......
Для функции, реализованной 8-ми разрядным кодом
0,6992 z 1  0,5 z 2
H  z  
 0,6992 z 1  0,745839 z 2 
1
2
1  0,3516 z  0,1367 z
 0,357818 z 3  0,227765 z 4  .....
hn   0;0,6992;0,745839 ;0,357818 ;0,227765 ......
Сравнивая отсчеты импульсных характеристик, устанавливаем величины
погрешности для каждого из отсчетов.
 0  0%
0,7  0,6992
 100%  0,11%
0,7
0,745  0,745839
2 
 100%  0,112%
0,0745
0,355  0,3578
3 
 100%  0,79%
0,355
0,223  0,2277
4 
 100%  2,1%
0,223
1 
Погрешность отсчетов импульсной характеристики превысила допуск в 1% и
поэтому следует увеличить на 1-2 разряда длину двоичного кода и
выполнить все вычисления заново.
- оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику
цепи.
Относительная величина чувствительности H(z) к каждому из
коэффициентов определяется по формуле:
ak H ( z )
(7)

H ( z ) ak
и показывает во сколько раз относительное уменьшение передаточной
функции цепи больше относительного изменения параметра (коэффициента).
a
H ( z )
S aH0 ( z )  0 
0
H ( z ) a0
a
a1 z
H ( z )
0,7   1
S aH1 ( z )  1 

=
 3,5
2
H ( z ) a1
a0 z  a1 z  a2 0  0,7 1  0,5
a
a2
H ( z )
0,5
S aH2 ( z )  2 

=
 2,5
2
H ( z ) a2
a0 z  a1 z  a2 0  0,7 1  0,5
b
bz
H ( z )
0,35   1
S bH1 ( z )  1 
 2 1
=
 0,28
H ( z ) b1
z  b1 z  b2 1  0,35 1  0,135
b
b2
H ( z )
0,135
S bH2 ( z )  2 
 2
=
=0,11
H ( z ) b2
z  b1 z  b2 1  0,35 1  0,135
Наибольшее влияние на АЧХ цепи изменяющийся параметр (коэффициент)
оказывает на частоте, равной собственной частоте полюса функции
H(z),имеющего максимальную добротность. Найдем полюса функции и
определим их добротность.
Если значение полюса – вещественное число (z=a), то добротность
Q = |a|
(8)
j
Если значение полюса –комплексное число ( z  a  jb  re )
то добротность
S aHk ( z ) 
  
Q  0.5 1  
(9)

 ln r 
Для рассматриваемой цепи полином знаменателя
z 2  0,35 z  0,135  0 ,имеет корни: z1k = 0,582, z 2 k  -0,232
Максимальная чувствительность АЧХ имеет в точке:
2
z e
e
Поскольку:
jwT
jw
2
wR
 e j 2 0.5  1
S aH ( z ) z  e jwT  S aH ( jw)  Re S aH ( jw )  jlm S aH ( jw )
где: Re S aH ( jw)  S aH
(10)
то подстановкой z  e j 2  1 , получаем комплексное число, где
вещественная часть - чувствительная АЧХ.
H z 
Sa0  0
S aH1  z   3,5  j 0; S aH1    3,5
S aH2 z   2,5  j 0; S aH2   2,5
S bH1  z   0,28  j 0; S bH1    0,28
S bH2 z   0,11  j 0; S bH2   0,11
Погрешности в записи коэффициентов мы получили выше:
a0  0%; a1  0,11%; a 2  0%; b1  0,45%; b2  1,2%.
Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов
составит:
S a0   a0  0
S a1   a1  3,5  0,11%  0,385 %
S a 2   a 2  2,5  0  0%
S b1   b1  0,28  0,45%  0,12%
S b 2   b 2  0,11  1,2%  0,13%
Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит:
 À×Õ  0 2  0,385 2  0 2  0,12 2  0,13 2   0,4275  1% .
8. Рассчитаем шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность
АЦП равной 8:
а) для исходной цепи;
Разрядность АЦП (т.е. разрядность сигнала на входе дискретной
цепи)равна 8. Разрядность умножителей примем равной 8.
Изобразим шумовую модель цепи(рис.5). Источниками шума в данной цепи
будут АЦП и четыре масштабных умножителя. Импульсная характеристика
цепи (от входа до выхода).
hn  0;0,7;0,745;0,355;......
x(nT)
е0
+
+
е1
0.35
+
Т
е3
0.7
+
+
Т
е2
+
y(nT)
е4
0.135
0.5
+
Рис.5
Дисперсия шума АЦП (8 разрядов):
(2 8 ) 2 2 16
2
 

 1,27  10 6
(11)
12
12
Дисперсия шума на выходе 8-разрядных умножителей:
(2 8 ) 2 2 16
2
 

 1,27  10 6
(12)
12
12
Шумы АЦП е0,а так же е1 и е2 проходят на вход через всю цепь, поэтому для
вычисления дисперсии шума от них необходимо найти

 hnT 
2
 0 2  0,7 2  0,745 2  0,355 2  0,223 2  1,22
h 0
Сигнал от источника шума е3,е4 попадает на выход через сумматор, а
импульсная характеристика этой части h(n) = 1. Поэтому “шумовое
уравнение” - формула, описывающая алгоритм формирования шума на
выходе, имеет вид:
 2  1,27  10 6  1,22  2  1,27  10 6  1,22  2  1,27  10 6  7,188  10 6
В этом результате 1,549  10 6 - шум от АЦП и 5,638  10 6 - шум
умножителей.
б) для цепи в виде каскадного соединения простых звеньев.
0,7 z 1  0,5 z 2
H z  
1  0,35 z 1  0,135 z 2
Корень полинома числителя: 0,7 z  0,5  0 ;
Это нуль функции z 01  0,714
z  0,714
Полином числителя: 0,7 z  0,5  ( z  0174)
Для знаменателя z 2  0,35 z  0,135  0 z1  0,58; z 2  0,23
Полином знаменателя: z 2  0,35 z  0,135  ( z  0,58)( z  0,23)
Это полюсы функции z1  0,58; z 2  0,23
При составлении передаточной функции 1-го порядка следует
объединять в дроби ближайшие друг к другу нули и полюсы.
2.
Передаточные функции следует располагать в порядки возрастания
добротности полюсов.
0,7 z 1  0,5 z 2
z  0,714
z
1  0,714 z 1
0,7 z 1
H z  




z  0,23 z  0,58 1  0,23 z 1 1  0,58 z 1
1  0,35 z 1  0,135 z 2
1.
Схема при каскадном соединении звеньев(рис.6):
x(nT) е0
+
+
е1
+
-0.23
+
Т
+
+
y(nT)
Т
-0.714 е2
+
0.58
е3 +
Рис.6
В этой схеме 2 разных пути прохождения шумов на выход цепи:
0,7 z 1  0,5 z 2
1. Через всю цепь с H z  
для источников АЦП е0.
1  0,35 z 1  0,135 z 2
0,7 z 1
2. Через 2-е звено с H z  
для источников е2,е3 импульсная
1  0,58 z 1
характеристика для этого звена: h1 n   0;0,406;0,235;0,136;0,079...


Соответствующие им импульсные характеристики

 h0 nT 
h 0

 h1 nT 
2
 0 2  0,7 2  0,745 2  0,355 2  0,223 2  1,22
2
 0 2  0,406 2  0,235 2  0,1365 2  0,079 2  0,85
h 0
Сейчас, как и ранее, разрядность АЦП равна 8 -  2  1,27  10 6 , и
разрядность всех умножителей равна 8 -  2  1,27  10 6
Запишем шумовые уравнения


n 0
n 0
2
 âûõ
 2 82  h 02  2 82  h 12  2  1,27  10 6  1,22  2  1,27  10 6  0,85  5,25  10 6
Можно показать, что дисперсия, обусловленная шумами умножителей самой
цепи, составляет 2,15  10 6 , что меньше, чем для предыдущей схемы.
9. Рассчитаем масштабный множитель λ на выходе цепи:
а) по условию ограничения максимума сигнала;
Расчет ведется на наихудший случай x(n) ={1;1;1;1;1;1}– ни при каких
условиях (наиболее неблагоприятный сигнал ) не должно произойти
переполнение сумматоров.
1
(13)
 
 h( n )
0
В схеме два сумматора. На 1-й сумматор подается сигнал,
сформированный рекурсивной частью цепи, имеющей:
1
H z  
1  0,35 z 1  0,135 z 2
Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика
h1(n)={1;0,35;0,1225;0,042;0,15;0,02}
Рассчитаем коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты
выхода 1-го сумматора:
1
1
= 0,59
1  

1  0,35  0,1225  0,042  0,15  0,02
 h( n )
0
На вход 2-го сумматора поступает сигнал, проходящий через всю цепь,
импульсная характеристика которой:
h2(n)={1;0,7;0,745;0,355;0,223}
1
1
= 0,33
2  

1  0,7  0,745  0,355  0,223
 h( n)
0
Из 2-х вариантов выбираем наименьшее значение 2  0,33 , чтобы
обеспечить защиту сразу обоих сумматоров.
б) по условию ограничения энергии сигнала;
Мы можем сделать переполнение маловероятным, ограничив уровень
мощности сигнала на выходе сумматора:
1
(14)


 h 2 ( n)
n 0
Для 1-го сумматора:
1
1
=0,878



1

0
,
1225

0
,
15

0
,
002

0
,
022

0
,
0004
 h12 (n)
n 0
Для 2-го сумматора:
1
1
= 0,613
2 


1

0
,
49

0
,
555

0
,
126

0
,
49
 h22 (n)
n 0
Из 2-х значений выбираем наименьший 2 = 0,61, а реализовать можно
либо его, либо, как и ранее, взять 2 = 0,33
в) по условию ограничения максимума усиления цепи.
Мы можем уменьшить вероятность частных искажений (за счет
резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с
учетом масштабного усилителя не превышало 1.
1
(15)

H max ( )
Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая
1
сигнал на выходе 1-го сумматора: H ( z ) 
1
1  0,35 z  0,135 z 2
Полюсы функции H(z) zk1=0,582,zk2=-0,232.
Так как полюсы вещественные, то собственная частота полюса с
максимальной добротностью ωТ=-180, и максимальная
чувствительность АЧХ в точке z=-1.
На этой частоте
1
H1 ( ) 
 1,9418
1  0,35  (1)  0,135
1
1 
 0,52
1,9418
Для 2-го сумматора:
0,7 z 2  0,5
1,2
H 2 z   2

 0,99
z  0,35 z  0,135 1,215
Принимаем значение λ меньше наименьшего и обеспечивающее
целочисленное смещение числового кода на входе цепи на два разряда
вправо: λ=0,5.
Литература:
1.Методические указания по выполнению контрольной работы.
2.Конспект лекций по курсу МОЦОС ДО СибГУТИ.
а0
0.9
a1
-0.3
a2
0
b1
0.25
b2
0.36
{x(nT)}
0,7; 0,8; 0,6