Контрольная работа по дисциплине «Математические основы ЦОС»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа
по дисциплине
«Математические основы ЦОС»
Выполнил: Паньков Д.П.
Группа: СДЗ-02
Вариант: 07
Проверил: Дежина Е.В.
Новосибирск, 2013
Задана структурная схема рекурсивной цепи второго порядка.
1. В соответствии с заданными коэффициентами ai , i  0,2 ; b j , j  1,2
постройте схему дискретной цепи. Период дискретизации T  0,1 mc .
2. Определите передаточную функцию цепи H (z ) и проверьте устойчивость
цепи.
Если цепь окажется неустойчивой, измените коэффициенты b j , добившись
устойчивости.
3.
Рассчитайте амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи ( 8  10 точек), постройте графики АЧХ и
ФЧХ (предварительно определив f д ).
4. Определите разностное уравнение цепи по передаточной функции H (z )
5. Определите импульсную характеристику цепи:
а) по передаточной функции H (z ) (первые пять отсчетов);
б) по разностному уравнению;
в) по формуле обратного ДПФ в точке t=0.
6. Определите сигнал на выходе цепи:
а) по разностному уравнению;
б) по формуле свертки (линейной и круговой);
в) по Z-изображению выходного сигнала
7. Определите разрядность коэффициентов аi и b j , если допуск на
отклонение системных характеристик составляет 1%
8. Рассчитайте шумы квантования на выходе цепи, полагая разрядность
АЦП равной 8:
а) для исходной цепи;
б) для цепи в виде каскадного соединения простых звеньев.
9. Рассчитайте масштабный множитель  на выходе цепи:
а) по условию ограничения максимума сигнала;
б) по условию ограничения энергии сигнала;
в) по условию ограничения максимума усиления цепи.
a0
a1
a2
b1
b2
x(nT )
0
-0,7
0,5
0,5
0,2
0,8; 0,9; 1,0
Решение
1.
1
2. H ( z )  (
a0  a1 z 1  a 2 z 2  ) 


1  b1 z 1  b2 z 2  
нерекурсивная часть 
рекурсивная часть
H ( z )  H1 ( z ) H 2 ( z )
H1 ( z )  0, 7 z 1  0,5 z 2  передаточная функция нерекурсивной части цепи
H 2 ( z) 
H ( z) 
1
1
1  0,5 z  0, 2 z 2
 передаточная функция рекурсивной части цепи
0, 7 z 1  0,5 z 2
1  0,5 z 1  0, 2 z 2
Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя H (z ) приравнивают
к нулю и находят полюса функции z k . Для устойчивой цепи z k  1 .
1  0,5 z 1  0, 2 z 2  0
Избавимся от отрицательных степеней, умножив обе части уравнения на z 2 и
после этого определим корни.
z 2  0,5z  0, 2  0
0,5  0, 25  0,8
 0, 25  0,512; z1  0, 762; z2  0, 262
2
Условие z k  1 выполняется, значит цепь устойчива.
z1,2 
3. При нахождении частотной характеристики:
1)
0,7e jn  0,5e j 2n
n
jn
заменить z  e
. H ( jw) 
j n
j 2n
2)
j
разложить e  cos   j sin  .
1  0,5e
H ( jw) 
 0, 2e
0,7(cos   j sin  )  0,5(cos 2  j sin 2 )
1  0,5cos   j sin  )  0, 2(cos 2  j sin 2 )
сгруппировать вещественные и мнимые части.
3)
H ( jw) 
H ( ) 
(0, 65cos   0,5cos 2 )  j (0, 65sin   0,5sin 2 )
?????
(1  0,5cos   0, 2cos 2 )  j (0,5sin   0, 2sin 2 )
(0,7 cos   0,5cos 2 ) 2  (0,7sin   0,5sin 2 ) 2
- АЧХ
(1  0,5cos   0, 2cos 2 ) 2  (0,5sin   0, 2sin 2 ) 2
0,5sin   0, 2sin 2
 0, 7sin   0,5sin 2 
- ФЧХ
 arctg

1  0,5cos   0, 2cos 2
 0, 7 cos   0,5cos 2 
  arctg 
4)
Расчет необходимо вести подробно, оформляя таблицу.

0
Т
0
H ( )
 ( )
0,667
0 -180
4. H ( z ) 
д
д
8

4
0,582
-0,698
4

2
0,662
-1,345
3д
8
3
4
0,816
0,996
д
2

0,923
0
5 д
8
5
4
0,816
-0,996
0, 7 z 1  0,5 z 2
- передаточная функция системы
1  0,5 z 1  0, 2 z 2
Перейдем от нее к разностному уравнению:
0, 7 z 1  0,5 z 2
Y ( z)

1
2
1  0,5 z  0, 2 z
Х ( z)
Y ( z )(1  0,5 z 1  0, 2 z 2 )  (0, 7 z 1  0,5 z 2 ) Х ( z)
H ( z) 
Y ( z )  0, 7 z 1 Х ( z )  0,5 z 2 Х ( z )  0,5 z 1Y ( z )  0, 2 z 2Y ( z )
Этому уравнению соответствует разностное уравнение:
у (n)  0, 7 x(n  1)  0,5 x(n  2)  0,5 у( n  1)  0, 2 у( n  2)
3 д
4
3
2
0,662
1,345
7д
8
7
4
0,582
0,698
д
2
0,667
0 180
5. а)Импульсную характеристику можно получить по передаточной функции
H (z ) путем деления полинома числителя на знаменатель.
H ( z) 
0, 7 z 1  0,5 z 2
 0, 7 z 1  0,15 z 2  0, 065 z 3 0, 0025 z 4  0, 01435
1
2
1  0,5 z  0, 2 z
h(n)  0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; ..
б) Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме
как реакцию цепи на  - функцию, или решением разностного уравнения цепи,
полагая, x(nT) =  (t).
Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что
x(nT)=(t).
n=0; y(0) = - 0,7 x(-1)+0,5x(-2)+0,5y(-1)+0,2у(-2)= 0;
n=1; y(1T)=- 0,7 x(0)+0,5x(-1)+0,5y(0)+0,2у(-1)=-0,7;
n=2; y(2T) = - 0,7 x(1)+0,5x(0)+0,5y(1)+0,2у(0)= 0,5+ 0,5*(-0,7)= 0,15;
n=3; y(3T) = - 0,7 x(2)+0,5x(1)+0,5y(2)+0,2у(1)=-0,065;
n=4; y(4T) = - 0,7 x(3)+0,5x(2)+0,5y(3)+0,2у(2)=-0,0025;
n=5; y(5T) = - 0,7 x(4)+0,5x(3)+0,5y(4)+0,2у(3)=-0,0143; и т.д. ...
Отсюда h(n)  0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; ..
в) по формуле обратного ДПФ в точке t=0.
Импульсную характеристику получим использованием обратного
преобразования от H(jω).
1
h(nT ) 
N
N 1
 H ( jk )  e
k 0
j
2nk
N
j
1 7
  H ( jk )  e
8 k 0
j
2nk
N
2nk
8
Так как n=0, то сомножитель e
 1 при всех k.
Рассчитаем h(0), используя найденные ранее АЧХ и ФЧХ цепи:
h  0 
(3)

 

0.582 ei 0.698  0.582 e i 0.698  0.667  0.923  0.662 ei 1.345  0.662 e i 1.345  0.816 ei 0.996  0.816 e i 0.996 
 0.458
8
6.
а) по разностному уравнению у(n)  0, 7 x(n  1)  0,5 x(n  2)  0,5 у(n  1)  0, 2 у( n  2)
x(n)= 0,8; 0,9; 1,0
n=0 : y(0) =0;
n=1 : y(1) =-0,7 x(0)+0,5у(0)=-0,7*0,8=-0,56;
n=2 : y(2) =-0,7 x(1)+0,5х(0)+0,5у(1)+ 0,2у(0)=-0,51;
n=3 : y(3)= …….-0,7 x(2)+0,5х(1)+0,5у(2) +0,2у(1)=-0,0617;
n=4 : y(4)= …….+0,5х(2)+0,5у(3) +0,2у(2)=0,0895;
Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }.
б) по формуле линейной свертки
Свертка входного сигнала с импульсной характеристикой дает сигнал на
n
n
k 0
k 0
выходе цепи y(nT) =  x(kT)h(nT - kT) =  h(kT)x(nT - kT).
Здесь h(n)  0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; ..
x(kT)= 0,8; 0,9; 1,0
n=0 : y(0T) =h(0T)x(0T)= 0;
n=1 : y(1T) =h(0T)x(1T)+h(1T) x(0T)= 0-0,7*0,8=-0,56;
n=2 : y(2T)=h(0T)x(2T)+h(1T)x(1T)+h(2T)x(0T)=-0,51;
n=3 : y(3T)=h(0T)x(3T)+h(1T)x(2T)+h(2T)x(1T)+h(3T)x(0T)=-0,617;
n=4 : y(4T)=h(0T)x(4T)+h(1T)x(3T)+h(2T)x(2T)+h(3T)x(1T)+h(4T)x(0T)=0,0895;
Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }.
по формуле круговой свертки
n=0: y(0T) = x(0T)h(0T) + x(1T)h(-1T) + x(2T)h(-2T) + x(3T)h(-3T) + x(4T)h(-4T) + x(5T)h(5T) + x(6T)h(-6T) + x(7T)h(-7T) = 0;
n=1: y(1T) = x(0T)h(1T) + x(1T)h(0T) + x(2T)h(-1T) + x(3T)h(-2T) + x(4T)h(-3T) + x(5T)h(4T) + x(6T)h(-5T) + x(7T)h(-6T) = -0,56;
n=2: y(2T) = x(0T)h(2T) + x(1T)h(1T) + x(2T)h(0T) + x(3T)h(-1T) + x(4T)h(-2T) + x(5T)h(3T) + x(6T)h(-4T) + x(7T)h(-5T) = -0,51;
n=3: y(3T) = x(0T)h(3T) + x(1T)h(2T) + x(2T)h(1T) + x(3T)h(0T) + x(4T)h(-1T) + x(5T)h(-2T)
+ x(6T)h(-3T) + x(7T)h(-4T) = -0,617;
n=4 : y(4T)= x(0T)h(4T) + x(1T)h(3T) + x(2T)h(2T) + x(3T)h(1T) + x(4T)h(0T) + x(5T)h(-1T)
+ x(6T)h(-2T) + x(7T)h(-3T) =0,0895;
Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }.
в) по Z-изображению выходного сигнала
Запишем z-преобразование последовательности x(n)= 0,7; 0,8; 0,9
X ( z )  0,8  0,9 z 1  1,0 z 2
Y ( z)  X ( z)H ( z) ,
Y ( z) 
0, 7 z 1  0,5 z 2
(0,8  0,9 z 1  1, 0 z 2 ) 
1  0,5 z 1  0, 2 z 2
 0,56 z 1  0,51z 2  0, 617 z 3  0, 0895 z 4 .......
Таким образом y(nT) = {0; -0,56; -0,51; -0,617; 0,0895... }.
7. Существуют различные способы расчета разрядности коэффициентов по
допускам на системные характеристики. Самый простой способ - метод проб.
Расчет по методу проб начинается с выбора разрядности коэффициентов
ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системных характеристик с
новыми - приближенными - значениями коэффициентов, оценка искажений
характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов в ту
или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется для
удовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов.
Выберем разрядность 12.
0,2
0,4
0
0,8
0
1,6
1
1,2
1
0,4
0
0,8
0
1,6
1
1,2
1
0,4
0
0,8
0
1,6
1
1,2
1
0,4
0
Запишем b2  0, 2 в двоичном коде и выполним операцию округления. Для
этого к полученному числу прибавим единицу в дополнительном разряде, а
затем дополнительный разряд отбросим.
0,0011001100110
0,0011001100111 – после округления
0,001100110011 – отбросили дополнительный разряд.
Восстановление этого коэффициента в десятичной системе
b2  1 23  1 24  1 27  1 28  1 211  1 212  0,19995
Для остальных коэффициентов:
b1(2)  0,1
b1  0,5
a0(2)  0
a0  0
a1(2)  1,101100110011
a1  0, 69995
a2(2)  0,1
a2  0,5
Относительная погрешность при записи в 12-и разрядном двоичном коде
составит:
 a0  0%
0, 69995  0, 7
100%  0, 0071%  1%
0, 7
0,5  0,5
 a2 
100%  0%
0,5
0,5  0,5
 b1 
100%  0%
0,5
0,19995  0, 2
 b2 
100%  0, 025%  1%
0, 2
 a1 
Оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи.
Для функции, реализованной 12-ти разрядным кодом
H ( z) 
0, 69995 z 1  0,5 z 2
 0, 69995 z 1  0,150025 z 2  0, 06494 z 3 
1
2
1  0,5 z  0,19995 z
0, 00248 z 4 0, 01422 z 5
h(n)  0; 0, 69995; 0,150025; 0, 06494; 0, 00248; 0, 01422;..
Сравнивая отсчеты импульсных характеристик, устанавливаем величины
погрешности для каждого из отсчетов.
 0  0%,
1 
0, 69995  0, 7
100%  0, 0071%
0, 7
 2  0, 0167%,  3  0, 092%,  4  0,8%,  5  0,56%
Погрешность отсчетов импульсной характеристики не превысила допуск в
1% .
Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи.
Относительная величина чувствительности H (z ) к каждому из
коэффициентов определяется по формуле
S акH ( z ) 
a
d ln H ( z ) dH ( z ) / H ( z )
H ( z )

 k 
d ln a
H ( z ) ak
dak / ak
и показывает во сколько раз
относительное уменьшение передаточной функции цепи больше
относительного изменения параметра (коэффициента).
SaH0( z ) 
а0 H ( z ) a0 ( z 2  b1 z  b2 ) z 2  ( z 2  b1 z  b2 )
a 0 z2
0





0
2
2
2
2
H ( z ) a0
a0 z  a1 z  a2
( z  b1 z  b2 )
a0 z  a1 z  a2 0,19995
SaH1 ( z ) 
a1 H ( z ) a1 ( z 2  b1 z  b2 ) z ( z 2  b1 z  b2 )
a1z
0, 69995


 2


 3,5
2
2
2
H ( z ) a1
a0 z  a1 z  a2 ( z  b1 z  b2 )
a0 z  a1 z  a2 0,19995
SaH2( z ) 
a2 H ( z )
a2
0,5



 2,5
2
H ( z ) a2
a0 z  a1 z  a2 0,19995
b1 H ( z ) b1 ( z 2  b1 z  b2 ) z (a0 z 2  a1 z  a2 )
b z
0,5



 2 1

 1, 666
2
2
2
H ( z ) b1
a0 z  a1 z  a2 ( z  b1 z  b2 )
z  b1 z  b2 0,30005
b
b2
H ( z )
0,19995
 2 
 2

 0, 666
H ( z ) b2
z  b1 z  b2 0,30005
SbH1 ( z ) 
SbH2( z )
j
Максимальная чувствительность АЧХ имеет в точке z  е  е
Погрешности в записи коэффициентов мы получили выше:
j
2
g
 е j 2 0  1
 a 0  0%,  a1  0,0071%,  a 2  0%,  b1  0%,  b 2  0,025%
Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов составит
Sa 0   а 0  0%
Sa1   а1  0, 0071 3,5  0, 02485%
Sa 2   a 2  0%
Sb1   b1  0%
Sb 2   b 2  0, 025  0, 666  0, 01665%
Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит
 АЧХ  0, 024852  0, 016652  0, 0299  1%
8.
а)
Импульсная
характеристика
цепи
h(n)  0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; ..
Дисперсия шума АЦП (8 разрядов)
2 
(от
входа
(28 )2 216

 1, 27 106
12
12
до
выхода)
Дисперсия
 i2 
шума
на
выходе
12-разрядных
умножителей
12 2
(2 )
 0, 497 108
12
Шумы АЦП e0 , а также e1 , e2 проходят на вход через всю цепь (как и
входной сигнал), поэтому для вычисления дисперсии шума от них
необходимо найти

 h(n)
2
 (0, 7) 2  (0,15) 2  (0, 065) 2  ( 0, 0025) 2  ( 0, 0143) 2  0,532
n 0
Сигнал от источников шума e3 , e4 попадает на выход через сумматор, а
импульсная характеристика этой части h(n)  1 . Поэтому «шумовое
уравнение» - формула, описывающая алгоритм формирования шума на
выходе, имеет вид:
2
 вых
 1, 27 106 1, 223  2  0, 08 106 1, 223  3  0, 08 106  1,989 106
ошибка в
шумовом уравнениии
В этом результате 0, 6756 106 - шум от АЦП и 0,153 106 - шум умножителей.
б)
H ( z) 
0, 7 z 1  0,5 z 2
1  0,5 z 1  0, 2 z 2
Корни полинома числителя 0,7 z 1  0,5z 2  0
Нули функции z1  0, 714
Полином числителя: 0, 7 z  0,5  0, 7( z  0, 714)
Для знаменателя
z1  0, 762; z2  0, 262
 При составлении передаточной функции 1-го порядка следует
объединять в дроби ближайшие друг к другу нули и полюсы.
 Передаточные функции следует располагать в порядки возрастания
добротности полюсов.
Условие не выполнено!
Исправьте и
рассчитайте заново.
H ( z) 
z  0, 714
0, 7

z  0, 762 z  0, 262
Схема при каскадном соединении звеньев:
В этой схеме 3 разных пути прохождения шумов на выход цепи:
0, 7 z 1  0,5 z 2
для источников е0, е1.
1  0,5 z 1  0, 2 z 2
0, 7
 через 2-е звено с H ( z ) 
для источников е2, е3.
z  0, 262
 через всю цепь с H ( z ) 
 напрямую через сумматор для источника е4.
Соответствующие им импульсные характеристики

h0 (n)  0; 0, 7; 0,15; 0, 065; 0, 0025; 0, 0143; ..
h1 (n)  0, 7; 0,1834; 0, 481; 0, 0126; 0, 0033;...
 h ( n)  0,532
n0
2
0

 h ( n)  0, 755
n 0
2
1

h2 (n)  1; 0; 0; 0; ..
 h ( n)  1
n 0
2
2
Сейчас, как и ранее, разрядность АЦП равна 8,  82  1, 27 106 , а разрядность
всех умножителей равна 12,  122  0, 497 108 .
Запишем шумовые уравнения


n 0
n 0


n 0
n 0
2
 вых
  82  h02 (n)   122  h02 (n)  2 122  h12 (n)   122  h22 (n) 
6
8
 1, 27 10  0,532  0, 497 10  0,532  2  0, 497 10 8  0, 755  0, 497 108 1  6,839 107
9.
а) Расчет ведется на наихудший случай – ни при каких условиях (наиболее
неблагоприятный сигнал x(n)  1;1;1;1;... ) не должно произойти переполнение
сумматоров.
 
1

 h( n)
n 0
На сумматор подается сигнал, сформированный рекурсивной частью цепи,
У Вас в схеме 2 сумматора. Где расчет для второго?
имеющей H ( z ) 
1
1
1  0,5 z  0, 2 z 2
Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика
h1 (n)  1; 0,5; 0, 45; 0,325; 0, 2525; 0,19125;...
Рассчитаем коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты
выхода сумматора:
1 
1

 h ( n)
n 0

1
1

 0,368
1  0,5  0, 45  0,325  0, 2525  0,19125... 2, 719
1
Целесообразно принять   0.5 ,что реализуется как смещение числового кода
на входе цепи на 1 разряд вправо.
б) Мы можем сделать переполнение маловероятным, ограничив уровень
мощности сигнала на выходе сумматора.

1

h
2
( n)
n 0

 h (n)  1, 658,
n 0
2
1
1 
1
 0, 777
1, 658
Реализуем   0.5 , как более простой вариант.
в) Мы можем уменьшить вероятность частных искажений (за счет
резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с учетом
масштабного усилителя не превышало 1.

1
H mах ( )
Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая сигнал на
выходе сумматора:
H1 ( z ) 
z2
z 2  0,5 z1  0, 2
e j 2n
, получим H1 ( j )  j 2n
e
 0,5e jn  0, 2
Полюсы функций H1 ( z) : z1  0, 762; z2  0, 262
n
Заменим z  e
jn
Максимум АЧХ определяется частотой полюса, имеющего мах добротность
z1  0, 762 и соответствует частоте   0 .
На этой частоте H1 ( j 0, д ) 
e j 2n
1
1


 3,333
j 2 n
jn
e
 0,5e
 0, 2 1  0,5  0, 2 0,3
1
 0,3
3,333
Реализуем   0.3 или   0.5 , как более простой вариант.
Следовательно 1 