ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»
В Г. ОБНИНСКЕ КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА-1»
для студентов 1 курса заочной формы обучения
Обнинск 2013
1
Программа по высшей математике для заочного
факультета (1, 2 семестры)
1. Векторная алгебра
Координаты, модуль, направляющие косинусы вектора. Скалярное,
векторное и смешанное произведение: определение и вычисление. Угол между
векторами. Признаки параллельности и перпендикулярности векторов.
Площадь параллелограмма и треугольника. Объем пирамиды, построенной на
векторах. Признак компланарности векторов.
2. Аналитическая геометрия на плоскости
Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми.
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых.
Уравнение окружности. Эллипс, гипербола, парабола (определение,
канонические уравнения). Параллельный перенос системы координат.
Полярные координаты и их связь с декартовыми.
3. Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору. Общее уравнение плоскости. Канонические и общие
уравнения прямой. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью.
Признаки параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой
и плоскости.
4. Элементы линейной алгебры
Матрицы, определители, системы. Действия над матрицами. Обратная
матрица. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, по формулам
Крамера и матричным способом.
Линейные преобразования векторов в пространстве и на плоскости.
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы.
5. Введение в математический анализ
Предел последовательности. Предел функции. 1-й и 2-й замечательные
пределы. Раскрытие неопределенностей вида
0 
, 0   , 1 , 0 0 ,    .
,
0 
Непрерывность функции. Точка разрыва. Односторонние пределы.
2
6. Производная функции и ее приложения
Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический
смысл. Связь дифференциала с производной. Правила вычисления
производных: производная суммы, произведения, частного, производная
обратной функции, производная параметрически заданной функции. Таблица
производных. Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа. Условия монотонности функции. Точки
экстремума. Необходимое условие экстремума, достаточные условия
экстремума функции. Исследование функции с помощью производной второго
порядка. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования и построения графика функции.
7. Неопределенный и определенный интегралы
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование.
Интегрирование по частям и подстановкой. Интегрирование рациональных
функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Определение и геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по
верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в
определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические
приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры,
площади криволинейного сектора, объем тела вращения и длины дуги плоской
кривой. Несобственные интегралы.
3
Контрольная работа №1
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
1 – 10. Даны векторы a , b и c . Найдите :
а) скалярное произведение векторов a  b ;
б) векторное произведение векторов a  b ;
в) смешанное произведение векторов a  b  c ;
г) проекцию вектора b на вектор a ;
д) площадь треугольника, построенного на векторах a , b ;
е) объем пирамиды, построенной на векторах a , b , c .
1. a  AB ,
А(1; 2; 1),
В(1; 0; 1),
b  2i  j  k ,
b  BC ,
В(0; 1; 2),
С(2; 1; 0),
2. a  (1; 1; 1) ,
3. a  i  2 j ,
4. a  LN ,
L(1; 2; 3),
5. a  (2; 0; 3) ,
6. a  3i  2 j  k ,
7. a  AB ,
A(2; 2; 2),
8. a  i  2 j  4k ,
c  CD ,
M(3; 1; 2),
B(1; 2; 1).
B(1; 0; 3),
M(2; 3; 4),
N(0; 2; 3),
b  2i  3 j ,
D(2; 1; 1).
c  (1; 1;  1) .
N(0; 1; 2),
A(2; 1; 3),
4
c  (2; 3;  1) .
C(0; 2; 3),
b  2 j  3k ,
B(1; 0; 1),
b  MN ,
A(0; 2; 1),
b  AB ,
9. a  (1; 3; 4) ,
10. a  MN ,
c  AB ,
b  (2;  1; 0) ,
D(1; 2; 1).
b  i  2 j  k ,
N(1; 2; 0),
b  j  2k ,
c  2jk .
С(0; 2; 1),
c  CD ,
b  (1; 2;  1) ,
c  (1; 2; 0) .
c  (0;  1;  3) .
c  i  j  2k .
c  (2; 3;  4) .
11 – 20. Заданы координаты вершин пирамиды ABCD.
1. Составьте:
а) уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С;
б) уравнение прямой, проходящей через точки А, В;
в) уравнение прямой, проходящей через точку D,
перпендикулярно плоскости (АВС).
2. Найдите:
а) длину ребра АВ;
б) угол между ребрами АВ и АD;
в) угол между ребром AD и гранью ABC.
11. A(3; 5; 4),
B(8; 7; 4),
C(5; 10; 4),
D(4; 7; 8).
12. A(2; 0; 0),
B(1; 0; 1),
C(0; 1; 0),
D(1; 1; 1).
13. A(7; 7; 3),
B(6; 5; 8),
C(3; 5; 8),
D(8; 4; 1).
14. A(0; 1; 0),
B(1; 0; 0),
C(1; 1; 1),
D(2; 2; 1).
15. A(10; 6; 6),
B(2; 8; 2),
C(6; 8; 9),
D(7; 10; 3).
16. A(4; 2; 5),
B(0; 7; 2),
C(0; 2; 7),
D(1; 5; 0).
17. A(4; 4; 10),
B(4; 10; 2),
C(2; 8; 4),
D(9; 6; 4).
18. A(1; 1; 0),
B(0; 1; 2),
C(1; 0; 1),
D(1; 2; 1).
19. A(1; 2; 1),
B(1; 1; 2),
C(0; 2; 1),
D(2; 1; 2).
20. A(1; 8; 2),
B(5; 2; 6),
C(5; 7; 4),
D(4; 10; 9).
5
21 – 30. Задачи по аналитической геометрии на плоскости.
21. Точка С(1; 3) – вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного
треугольника, гипотенуза которого задана уравнением 3x  4 y  12  0 .
Найдите уравнения катетов этого треугольника.
22. Заданы уравнение стороны прямоугольника 3x  4 y  5  0 и две его
вершины А(1; 3) и С(1; 2). Найдите уравнения остальных сторон
прямоугольника.
23. Заданы А(1; 3) вершина треугольника АВС и уравнения двух медиан
x  2 y  1  0 и y  1  0 . Найдите уравнения сторон треугольника.
24. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку М(2; 3) и
образующих угол 45° с прямой 2 x  3 y  6  0 .
25. Точки А(3; 2), В(4; 1), С(1; 3) – вершины трапеции ABCD (AD||BC).
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите координаты
вершины D этой трапеции.
26. Точки А(3; 4), В(1; 2), С(2; 1) – вершины треугольника. Найдите
уравнение медианы, проведенной из вершины А, и уравнение средней
линии, параллельной стороне ВС.
27. Заданы уравнения двух сторон параллелограмма x  2 y  0 , x  y  1  0
и точка пересечения диагоналей А(3; 1). Найдите уравнения двух других
сторон.
28. Найдите координаты центра и радиус окружности, проходящей через
точки А(1; 5), B(4; 0), C(4; 4).
29. В треугольнике АВС заданы уравнения стороны АВ x  7 y  6  0 и
биссектрис AD x  y  2  0 и ВЕ x  3 y  6  0 . Найдите координаты
вершин.
30. Найдите
координаты
точки
относительно прямой 2 x  y  1  0 .
6
А,
симметричной точке В(3; 1)
31 – 40. Постройте кривые второго порядка:
31.
а) x 2  4 x  5  y ,
б) 2 x 2  y 2  2  0 .
32.
а) y 2  xy  0 ,
б) x 2  y 2  10 x  0 .
33.
а) x  2 y 2  12 y  14 ,
б) x 2  y 2  6 y  0 .
34.
а) x 2  2  y ,
б) 2 x 2  2 y 2  4 x  y  0 .
35.
а) y 2  6 x  12 ,
б) 8 x 2  4 y 2  32 .
36.
а) y   x 2  4 x ,
б) 16 x 2  9 y 2  144 .
37.
а) y 2  4 y  2 x  2  0 ,
б) x 2  y 2  0 .
38.
а) x 2  6 xy  9 y 2  16 ,
б) x 2  y  2 x .
39.
а) x 2  y 2  4 x  2 y  5  0 ,
б) 3x 2  4 y 2  12  0 .
40.
а) x 2  y 2  8 x  0 ,
б) x  4 y 2  y .
7
41 – 50. Постройте линию по уравнению в полярных координатах, задавая
угол φ от 0 до 2π с шагом

. Запишите уравнение кривой в
6
декартовой прямоугольной системе координат и определите вид
кривой.
41.
r  2 cos 2 .
42.
r
43.
r  21  cos  .
44.
r
45.
r  2 sin 2 .
46.
r
1
.
1  sin 
47.
r
1
.
2  cos
48.
r
1
.
sin 
49.
r
1
.
1  cos
50.
r
1
.
2  2 cos
2
.
cos
3
.
1  cos
8
Элементы линейной алгебры.
Введение в математический анализ
51 – 60. Решите систему линейных уравнений:
a) методом Гаусса,
б) средствами матричного исчисления,
в) по формулам Крамера.
2 x  3 y  z  7 ,

51.  x  2 y  3 z  0 ,
3 x  y  4 z  1.

x  2 y  4z  8,

52.  2 x  y  3z  6 ,
5 x  3 y  z  14 .

x  y  2z  2,

53. 2 x  y  3z  2 ,
4 x  y  4 z  9 .

3x  y  5 z  5 ,

54.  x  2 y  4 z  3,
3x  y  z  5.

6 x  2 y  z  13 ,

55. 2 x  y  3z  4 ,
 x  2 y  5 z  15 .

4 x  3 y  z  11,

56. 2 x  y  3z  3 ,
 x  3 y  2 z  9 .

3x  5 y  6 z  13 ,

57. 2 x  3 y  4 z  4 ,
 x  9 y  z  19 .

2 x  3 y  3z  12 ,

58.  x  y  5 z  3 ,
3 x  2 y  3 z  8.

2 x  4 y  3 z  1,

59. 3 x  y  4 z  10 ,
 x  5 y  z  7 .

2 x  y  3 z  4 ,

60.  x  4 y  2 z  6 ,
3 x  2 y  z  9 .

9
61 – 70. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного матрицей A.
 0 7 4


61. А=  0 1 0  .
 1 13 0 


5 6 3


62. A=   1 0 1  .
 1 2  1


0
0
7


63. A= 10  19 10  .
12  24 13 


1
0 
 3


64. A=   4  1 0  .
 4  8  2


1  3 4


65. A=  4  7 8  .
6  7 7


 4  5 2


66. A=  5  7 3  .
 6  9 4


 4  5 7


67. A=  1  4 9  .
  4 0 5


 0 1 0


68. A=   3 4 0  .
  2 1 2


 2 1 2 


69. A=  5  3 3  .
 1 0  2


 1 3 3 


70. A=   2  6 13  .
 1  4 8 


10
71 – 80. Построить графики функций y  A sin (ax  b) , y  A cos(ax  b)
преобразованием графиков функций y  sin x , y  cos x .

π
71. y  2 sin( x ) .
3
72. y   2cos(x  ) .
4
π
73. y   sin( x  ) .
4
74. y  3cos(x 
75. y  2 cos
x
.
2

4
).
76. y   2sin2 x .

77. y  2 cos 2 x  1 .
78. y  sin(2 x ) .
3
79. y   sin( 4 x  2) .
80. y   cos(x 

4
).
81 – 90. Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
81. a)
5x  1
,
lim
x  x  1
б) lim
x0
1 x  1 x
,
x
 x
г) lim 
x  x 1
sin 4 x
в) lim
,
2 x  25
x 0 5 
x

 .


82. a)
2x2  x  3
,
lim
3
x x  8 x  5
в)
lim
x 3
sin( x  3)
,
9  x2
 3x  4 
г) lim 

x  3 x  1 
83. а )
lim
x 
x 2  6x  1
,
2x  7
б)
lim
x 8
в)
lim
x(1  tgx)
,
2 cos 2 x
г)
x
1 sin x .
lim
x0
x
б)
4
11
x(
lim
x 
x 2  1  x) ,
x2
1 x  3
,
23 x
.
84. а )
lim
x 
x 3  90 x 2  10
,
25 x 3  13 x
в)
lim
x 0
2 4 x
,
sin 4 x
85. а )
lim
x 
в)
lim
x
86. а )
3x 2  x
,
x2  5
cos 2 x
,
sin x  cos x
x
3
x3  9
ctgx
.
2 x
,
3  2x  1
б)
lim
x 4
г)
x
1 5x .
lim
x0
lim ( x
5
4
x 1
б)
x0
г)
89. а )
lim
x 
в)
lim
x 0  0
lim
x 
1 cos x
cos x 
lim
x 0
1
x2
.
4x
 3x 
г) lim 

.
x  3 x  5 
,
(1  cos x) 2
1  3x 2
,
x 1
x
x
,
3 x 9
1  2x2  1
б) lim
,
x
x  
 3) ,
tgx
3
lim
x 0
x  1
lim
1 1 x
,
lim
sin 3x
x 0
x2
x 3  10 x  1
,
lim
x  10 5
x 
tgx  sin x
в) lim
,
sin 3 x
x 0
в)
1  2tgx 
lim
x
 x2 1 
 .
г) lim  2
x  x  3 
87. а )
90. а )
г)
б)
,
sin 2 x
,
в) lim
1  tgx
x 0 1 
в)
lim
x 1
4
lim
x 
88. a)
1 x
,
1 3 x
б)
,
( x  x 2  4 x) ,
б)
lim
x 
г)
lim xln x  ln( x  1).
x  
1  2x  2x 2
,
3  x3
б)
lim x  ctg 2 x ,
г)
x 0
12
(
lim
x 
x2  x  x2  x ) ,
(4 x  11)
lim
x3
1
x 3
.
91 − 110. Найдите пределы функций при x→ + ∞ и при x→ − ∞ , односторонние
пределы в точках разрыва и постройте график функции.
1
x2
91. y  e
y
92.
.
x
.
x2  9
93. y  4
1
2 x
95.
y
1
.
x  16
2
x
.
5 x
y
x
.
4  x2
96.
97.
y 8
.
x2  x  2
.
y
x2
94.
y
1
4 x
98.
99.
y
x
.
x3
y
100.
13
1
.
x 4
2
.
101 − 110. Постройте график функции y=f(x). Укажите точки разрыва функции,
если они существуют.
2 x , 0  x  1,

101. f ( x)  4  2 x , 1  x  2.5,
2 x  7 , x  2.5 .

1  x 2 , x  0,

102. f ( x)  ( x  1) 2 , 0  x  2,
4  x , x  2.

 2 x , x  0,

103. f ( x)   x , 0  x  4,
3 , x  4.

 x  2 , x  1,

104. f ( x)  1  x 2 ,  1  x  1,
2 x , x  1.

sin x , x  0,

105. f ( x)  2  x 2 , 0  x  1,
 4  x , x  1.

 x , x  2,

106. f ( x)   x 2 ,  2  x  2,
6  x , x  2.

( x  2) 2 , x  0,

107. f ( x)  cos x , 0  x   ,
5  x , x   .



x

2
,
x


,

4




108. f ( x)  tgx ,   x  ,
4
4



1 , x  4 .

cos x , x  0,

109. f ( x)   x 2 , 0  x  2,
x  6 , x  2.

 4  x , x  4,

110. f ( x)   ( x  2) 2 ,  4  x  0,
 x  4 , x  0.

14
Методические указания к выполнению контрольных работ
Контрольная работа №1
Запишем формулы для вычисления определителей второго и третьего
порядка:
a b
 ad  cb ,
c d
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a
a23  a11 22
a32
a33
a23
a
a
a
a
 a12 21 23  a13 21 22 
a33
a31 a33
a31 a32
 a11 a22a33  a32a23   a12 a21a33  a31a23   a13 a21a32  a31a22  .
Примеры.
2 3
1 2
 4  ( 3)  4  3  1 .
2 3 1
1 2 2  2( 2  10 )  3( 1  2)  1(5  2)  16  9  7  0 .
1 5 1
1. Некоторые формулы векторной алгебры (1-10)
1) Если Ax1 ; y1 ; z1 , Bx2 ; y 2 ; z 2 , то
AB  x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 .
2) Если a  ( x; y; z ) , то a  xi  y j  z k и
a  x2  y2  z 2 .
3) Скалярным произведением векторов a и b называется число a  b ,
равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла  между этими
векторами:
a  b  a  b  cos  .
15
Если известны координаты векторов
a  x1 ; y1 ; z1 , b  x2 ; y 2 ; z 2  ,
то
a  b  x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 ,
угол  между векторами определяется формулой
cos 
a b
ab

x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
x12  y12  z12 x22  y 22  z 22
.
4) Векторным произведением векторов a и b называется вектор
a  b , перпендикулярный векторам a и b , модуль которого равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b , и направленный так, что из
его конца кратчайший поворот от вектора a к вектору b наблюдается
происходящим против часовой стрелки.
ab
b
S  ab
S
a
Рис. 1
Если известны координаты векторов a и b
a  x1 ; y1 ; z1 , b  x2 ; y 2 ; z 2  ,
то векторное произведение выражается через определитель третьего порядка:
i
j k
a  b  x1 y1 z1 .
x2 y 2 z 2
Площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах
a и b:
1
S  a  b , S  a  b .
2
16
5) Смешанным произведением векторов a , b , c называется число
ab c .


Если известны координаты векторов
a  x1 ; y1 ; z1 ,
то
b  x2 ; y 2 ; z 2 , c  x3 ; y3 ; z 3 ,
x1
y1
z1
2
y2
x3
y3
z2 .
z3
a  b c  x
Смешанное произведение, взятое по абсолютной величине, равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c . Объем пирамиды,
построенной на этих векторах, составляет шестую часть объема
параллелепипеда.


Vпараллелепипеда  a  b  c ,
Vпирамиды 
Примеры.


1
ab c .
6
a  AB , A(2; 3;  1), B (1; 1; 0);
b  2i  j  k ; c  (1; 2; 1) .
Тогда
a  (1  2; 1  3; 0  1)  (1;  2; 1) ,
b  (2;  1; 1) ,
c  (1; 2; 1) .
a  b  2  2  1  1; a  1  4  1  6 ,
cos 
a b
ab

npa b  b  cos  6 
17
1
1
 ,
6 6 6
1
6
1


;
6 6
6
i
j k
a  b   1  2 1  i (2  1)  j (1  2)  k (1  4)  i  3 j  5k  (1; 3; 5) ;
2 1 1
S 
a  b c 
1
1
35
ab 
1  9  25 
;
2
2
2
1  2 1
2
 1 1  1(1  2)  2(2  1)  1(4  1)  10 ;
1
2
Vnup. 
1


1
1
5
a  b  c  10  .
6
6
3
2. Плоскость и прямая в пространстве (11-20)
1) Плоскость в пространстве задается одним уравнением первой степени
относительно текущих координат x, y, z:
Ax  By  Cz  D  0 – общее уравнение плоскости.
n  ( A; B; C ) – нормальный вектор плоскости, т.е. вектор,
Здесь
перпендикулярный плоскости.
K  x0 ; y 0 ; z 0 
2) Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору n  ( A; B; C ) , имеет вид
A x  x0   B y  y 0   C  z  z 0   0 .
3) Прямая в пространстве задается системой двух уравнений первой
степени относительно текущих координат:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 .
Это общее уравнение прямой в пространстве.
Направляющий вектор прямой, т.е. вектор, параллельный прямой,
находится по формуле
18
i
l  n1  n2  A1
A2
j
B1
B2
k
C1 .
C2
n1   A1 ; B1 ; C1  ,
n2   A2 ; B2 ; C 2  – нормальные векторы
Здесь
плоскостей, пересекающихся по данной прямой.
4) Канонические уравнения прямой в пространстве
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
– это уравнения прямой, проходящей через точку
K  x0 ; y 0 ; z 0  параллельно
вектору l  (m; n; p ) ; l – направляющий вектор прямой.
Если, в частности, l  (0;0; p ) , то уравнения прямой запишутся так:
 x  x0  0,
x  x0 y  y 0 z  z 0
или 


0
0
p
 y  y 0  0.
5) Угол между прямыми в пространстве находится как угол между
направляющими векторами этих прямых l1  (m1 ; n1 ; p1 ) , l 2  (m2 ; n2 ; p 2 ) :
cos 
l1  l 2
l1  l 2

m1m2  n1n2  p1 p 2
m12  n12  p12 m22  n22  p 22
.
6) Угол между прямой и плоскостью определяется формулой
sin  
nl
nl

Am  Bn  Cp
A2  B 2  C 2 m 2  n 2  p 2
,
где n  ( A; B; C ) – нормальный вектор плоскости,
l  (m; n; p ) – направляющий вектор прямой.
Пример. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
А(1; 2; 1), В(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости x  y  3z  1  0 .
Решение. Пусть n1  нормальный вектор данной плоскости. Поскольку
искомая плоскость проходит через точки А и В и перпендикулярна данной
плоскости, то векторы AB и n1 параллельны искомой плоскости. Значит,
19
нормальный вектор n искомой плоскости можно найти как векторное
произведение векторов AB и n1 .
n1  (1; 1;  3) ,
AB  (2  1; 1  2; 1  1)  (1;  1; 2) ,
i
j
k
n  AB  n1  1  1 2  i (3  2)  j (3  2)  k (1  1)  i  5 j  2k  (1; 5; 2) .
1 1 3
Уравнение искомой плоскости запишется таким образом в виде
1( x  1)  5( y  2)  2( z  1)  0 ,
или
x  5 y  2z  9  0 .
3. Прямая на плоскости (21-30)
1)
Ax  By  C  0 – общее уравнение прямой на плоскости.
2) y  kx  b – уравнение прямой с угловым коэффициентом,
k – угловой коэффициент прямой.
3)
y  y0  k ( x  x0 ) – уравнение прямой, проходящей через точку
4)
y  y1
x  x1
– уравнение прямой, проходящей через две

y 2  y1 x2  x1
Ax0 ; y0  с угловым коэффициентом k .
точки: Ax1 ; y1 , Bx2 ; y 2 .
y  k1 x  b1 ,
5)
Угол между прямыми, заданными уравнениями
y  k 2 x  b2 в направлении от первой прямой ко второй определяется формулой
tg  
k1  k 2
k 2  k1
.
1  k 2 k1
– признак параллельности прямых,
k1k 2  1 – признак перпендикулярности прямых.
20
6)
Если даны точки Ax1 ; y1  и Bx2 ; y 2 , то координаты середины
отрезка [AB] вычисляются по формулам
x  x2
y  y2
, y 1
.
x 1
2
2
4. Кривые второго порядка (31-40)
1) Уравнение вида
Ax 2  Ay 2  Bx  Cy  D  0 ( A  0) ,
которое характеризуется равенством коэффициентов при x 2 и y 2 и
отсутствием произведения xy , определяет на плоскости окружность, точку или
пустое множество.
Разделив обе части уравнения на А и выделив из квадратных трехчленов
полные квадраты, получим
( x  ) 2  ( y  ) 2  a .
Если a  0 , то это уравнение окружности с центром в точке O(; ) и радиусом
r  a.
2) Уравнение
Ax 2  By 2  Cx  Dy  E  0
( A  B, A  B  0) ,
в котором коэффициенты A и B при x 2 и y 2 не равны, но имеют одинаковые
знаки, и отсутствует произведение координат, задает на плоскости эллипс, оси
которого параллельны осям координат, точку или пустое множество. Для
эллипса после выделения полных квадратов данное уравнение приводится к
виду
(x   )2 ( y   )2

 1,
a2
b2
где точка O(; )  центр, a и b  полуоси эллипса.
y  ax 2  bx  c (a  0) – уравнение параболы, ось которой
3)
параллельна оси Oy ;
x  ay 2  by  c (a  0) – уравнение параболы, ось которой
параллельна оси Ox .
После выделения полного квадрата первое уравнение запишется в виде
y  a(x   ) 2   ,
второе –
x  a( y  ) 2   .
21
Точки B1 (; ) и B2 (; ) – вершины первой и второй парабол
соответственно.
4) Уравнение
Ax 2  By 2  Cx  Dy  E  0 , ( A  B  0)
определяет на плоскости гиперболу или две пересекающиеся прямые. Выделяя
полные квадраты, для гиперболы данное уравнение приводится к виду:
(x   )2 ( y   )2

 1 ,
a2
b2
где O(; ) – центр, a и b – полуоси гиперболы.
Пример. Построить кривую x 2  2 y 2  x  y  0 .
Решение. Это эллипс. Выделяем полные квадраты.
1 

x 2  x  2 y 2  y   0 ,
2 

2
2

1 1
1
1

 x     2 y      0 ,
2 4
4  16 


2
2
1 1 
1 1

 x     2 y     0 ,
2 4 
4 8

2
2
1
1
3


 x    2 y    ,
2
4
8


x  12   2y  14   1,
2
2
3
8
3
8
x  12   y  14   1.
2
3
8
2
3
16
3
3
 1 1
C  ;  ; a 
 0,6 , b 
 0,4 .
8
16
 2 4
5. Уравнение кривой в полярных координатах (41-50)
Чтобы в уравнении кривой перейти от полярных координат  , r
22
к декартовым x, y , используйте формулы:
x
y
cos  , sin   , r  x 2  y 2 , которые
r
r
получаются из рассмотрения прямоугольного треугольника ОАМ, изображенного на
рис. 2.
y
M
r
О
y

А
x
x
Рис. 2
Пример. Пусть задана кривая уравнением в полярных координатах
r
2
.
3  cos
Решение.
r
3r  2  x ,
2
x
3
r
,
r
2r
,
3r  x
9r 2  4  4 x  x 2 ,
3r  x  2 ,
9x 2  y 2   4  4 x  x 2 .
8 x 2  9 y 2  4 x  4  0 – уравнение кривой в декартовых координатах
(эллипс).
6. Решение системы линейных уравнений (51-60)
А. Метод Гаусса.
Пример. Решить методом Гаусса систему уравнений
2 x  3 y  z  2  1  2

 x  5 y  4 z  5 2
4 x  y  3z  4
1 .

Используя первое уравнение, исключим вначале x из второго и
третьего уравнений. Для этого сложим первое уравнение, умноженное на -1,
со вторым, умноженным на 2. Затем первое уравнение, умноженное на -2,
сложим с третьим уравнением.
Получим
23
2 x  3 y  z  2

 13 y  9 z  12  7

7 y  5 z  8 13 .

Исключим из третьего уравнения y , складывая второе уравнение,
умноженное на 7, с третьим, умноженным на 13:
2 x  3 y  z  2 ,

 13 y  9 z  12 ,

 2 z  20 .

Теперь последовательно находим z, y и x :
z  10; 13 y  90  12 , 13 y  78 ,
2 x  18  10  2 , 2 x  10 , x  5 .
Ответ:
y  6;
x  5 , y  6 , z  10 .
Б. Матричный способ.
Рассмотрим вначале действия над матрицами.
Матрицей размером m  n называется таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов.
Если m  n , то получаем квадратную матрицу n  го порядка.
При умножении матриц каждая строка первой матрицы умножается на
каждый столбец второй.
При умножении строки на столбец перемножаются их первые
элементы, вторые и т.д. и результаты складываются. Поэтому можно умножать
только такие матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу
строк второй.
Примеры.
1  1  1  1  2  2  1  2  3  1  3
2
2
 


 
 
3   1  2  2  1  3  2     3  2  ,
 1 1  2   2
0
7 
2  1  1  1  0  4  1 0  6  1   3

Матрица
матрице A , если
A 1
1  x   2 x  3 y  z 
2  3

   

3  4   y    x  3y  4z  .
1
4
1  3   z   4 x  y  3z 

называется обратной по отношению к квадратной
24
 1 0 0


A 1  A  A  A 1  E   0 1 0  .
 0 0 1


Покажем, как найти обратную матрицу A1 .
Пусть
1
2  3


A1
5  4 .
4
1  3 

а)
2 3
det A  1
4
1
5  4  2(15  4)  3(3  16)  1(1  20)  22  39  19  2  0 .
1 3
Так как det A  0 , то A1 существует.
б)
Пусть aij - элемент матрицы A , расположенной в i -й строке и j -м
столбце. Если в определителе   det A вычеркнуть строку и столбец с
элементом aij , то получим дополнительный минор  ij элемента aij . Это
определитель 2-го порядка.
Составим матрицу
матрицы A :
A1 из дополнительных миноров  ij элементов
13  19 
  15  4  3  16 1  20    11

 

A1   9  1
 6  4 2  12    8  10
14  .
 12  5
 8  1 10  3   7  9
13 

в) Составим матрицу A2 из алгебраических дополнений Aij элементов A .

  ij , если i  j  четное число,
Aij  (1) i  j  ij  

  ij , если i  j  нечетное число .
  11  13  19 


A2    8  10  14  .
 7
9
13 

25
г) Транспонируем матрицу A2 , т.е. строки поменяем местами со столбцами:
  11  8 7 


A3  A2T    13  10 9  .
  19  14 13 


Обратная матрица A1 определяется формулой
1
A 1 
 A3 ,
det A
  11  8 7 
 11 8  7 




1
1
A 1 
  13  10 9    13 10  9  .
2
 2 19 14  13 

19

14
13




Покажем, как решается система уравнений матричным способом.
2 x  3 y  z  2,

Пример. Решить систему  x  5 y  4 z   5,
4 x  y  3 z   4.

Решение. Обозначим:
1
2  3


A1
5  4 ,
4
1  3 

 x
 
X   y,
z
 
 2
 
B    5 .
  4
 
Получаем матричное уравнение A  X  B .
Его решение X  A1  B , т.е.
 11 8  7   2 
 22  40  28 
10   5   x 
   1
 1     
1
X   13 10  9     5    26  50  36   12    6    y  .
2
   2  38  70  52  2  20  10   z 
19 14  13    4 


     
Ответ: x  5, y  6, z  10.
7. Собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования (61-70)
Пусть
26
 1  1 0


A  2
1  1 ,
 1  1 0


m
 
e  n  .
p
 
Ненулевой вектор e называется собственным вектором линейного
преобразования, заданного матрицей А, если
Ae  e ,
где  – собственное значение, находящееся из характеристического уравнения
det( A    E )  0 ,
или
1  1
0
2
1  1  0.
1
1  
Раскрываем определитель по элементам первой строки:
(1   )   2  1  1(2  1)  0  0 ,
 3  22  2  0 ,   2  2  2  0.
2  2  2  0 , т.к. D  b 2  4ac  4  8  4  0 ;   0 .
Составим систему уравнений для координат
m, n, p собственного
вектора e . Коэффициентами при неизвестных будут элементы определителя
при   0 :
 0  p  0,
(1  0)m  1  n

 2  m  (1  0)n  1  p  0,
 m n
 0  p  0,

Полагаем n  1, тогда m  1 ,
m  n  0,

2m  n  p  0,
m  n  0,

m  n,

 p  3n.
p  3.
e  (1; 1; 3)T  собственный вектор с собственным значением   0 .
7. Вычисление предела функции (81-90)
27
Для решения предложенных задач необходимо ознакомиться с
определениями и свойствами пределов, бесконечно малых и бесконечно
больших величин. Условные выражения
0   
 ,   ,
0   
0  ,   ,
1 , 0 

0
характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения
переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять
общие свойства пределов. Укажем некоторые примеры раскрытия
неопределенностей.
При вычислении пределов используются следующие простейшие
пределы, основанные на свойствах пределов:
A
1) lim A  x   .
2) lim   .
A  const ,
x 0 x
x 
x
A
A  0.
3) lim   .
4) lim  0 .
x  A
x  x
0 
В некоторых примерах для раскрытия неопределенности вида  
0 
можно попытаться числитель и знаменатель разложить на множители и дробь
сократить или применить первый замечательный предел
lim
sin 
 0

 lim
 0

sin 
 1.
 
Для раскрытия неопределенности вида   числитель и знаменатель
 
(если они являются многочленами относительно независимой переменной x )
делят на x с наибольшим показателем.
В случае неопределенности вида 1  используют второй замечательный
предел
1
lim (1   )  e  2,7...

 0
или получающуюся из него формулу
lim ( u 1) v
v
lim
u
e
u 1
v
Примеры.
28
u 1
v
.


x3  1
( x  1) x 2  x  1
x2  x  1 3
0
    lim
 lim
  1.
1) lim 2
x1 2 x  x  1
x1 2 x  1
3
 0  x1 2( x  1) x  12
2) lim (2 x  3)
x 2
1
x 2
 

 1 e
lim ( 2 x 31)
x 2

1
x 2

e
lim
x 2
2 x 4
x2
lim 2
 e x 2  e 2 .
8. Односторонние пределы функции (91-100)
Пример.
lim 2
x30
1
3 x
 lim 2
x3
( x 3)
1
3 x
 0.
1
x  3
1
3x
3  x  0
  2 0.
т.к. x  3  0  
x

3
3

x

29
Библиографический список
30