Лекция 03

6
Лекция 3 (17 сентября 2002 года).
Теорема. Следующие условия эквивалентны:
 f n nw1 - замкнута.
w
2.)  f n n1 - полна.
1.)
3.) f  H :
w
c
2
n
n 1
w
n n1 - ОНС,
f 
(Здесь
2
 f - равенство Парсеваля.
но 1)2) справедливо и для любых, не обязательно ортонормированных систем).
Доказательство. 3)=>2) Пусть,
 y, f n   0, f n , но если есть равенство Парсеваля, то
2
w
y    y, f n   0  y  0. Т.е.  f n  полна.
2
n1
2) => 1) Пусть f  H . Покажем, что f  S k ( f )  0, k  , S k ( f ) 
s
c
nm1
2
n
f n  Sm ( f )  Ss ( f ) 
s
c
nm1
2
n
k
c
n1
n
f n . Заметим, что
 0, Sm ( f )  g  H . Т.к. ряд  cn . сходится из неравенства
Бесселя. Отсюда Sm(f) – фундаментальная последовательность в Н. Следовательно существует вектор

~
~
~
f  lim S k ( f ). f :  ck f k - ряд Фурье функции f. Нужно доказать, что если  f n  полная система, то f  f .
k
k 1
 f  Sk ( f ), f n    ~f , f n  cn  c~n  cn , n  k.  c~n  cn   f  Sk ( f ), f n  
1
f  Sk ( f ) f n  0, k  .
~
~
 с~т  ст  0, k  ,  c~n  cn  f  f , f n  0, f n , но дано, что система  f n  полна  f  f .  f
приближается S k ( f ). Т.е.  f n  замкнута.


k
1) => 3)
 f n  - замкнута    0 k ( f )   an f n
т.ч.
n 1
приближение даёт отрезок ряда Фурье  f  S k ( f )
f
2

2
 f
f   k ( f )   по определению. Наилучшее
2
k
  cn  f   k ( f )    ряд сходится и
2
2
n1
  cn . 
2
n 1
fn 
Замечание. Конечно, если  f n  не ОНС, то равенство Парсеваля не выполняется, но  f n  замкнута

полна – это утверждение остаётся верным.
 f n nw1 - линейно независимая система, то ортогонализацией Грамма-Шмидта
~ w
~ w
w
можно перейти к ОНС f n n 1 т.ч.  in  f n n1   in f n n1 , k  1,2...
Определение. Если
~
f

f1  f1 

f

~
~ ~
f 2  f 2  c1 f1  c2 f 2 , f 2  1, f 2  f1
выбор константы всегда возможен, т.к. матрица

~
~
n
n
f  ~
f n  c1 f1  ...  cn f n , f n  1, f n  f k , k  1...n  1
 n

~ w
w
треугольная.  f n n1  f n n1 - ОНС  утверждение об эквивалентности 1) и 2) очевидно, т.к. этот переход
 
сохраняет свойства замкнутости.
7
 f n nw1
Теорема. 1.) Гильбертово пространство Н сепарабельно  
- полная ОНС.
2.) Сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны, если их размерности совпадают.
(Все бесконечномерные гильбертовы сепарабельные пространства изоморфны).
Доказательство: 1.)
 Пусть Н – сепарабельно   счётное плотное множество: n n1 перейдём к ~n nw1 -
~~ 
w
линейно независимой системе (отбрасываем линейно зависимые элементы). Далее перейдём к
методом Грамма-Шмидта. Т.к.
n n1
 
~
~
была замкнута (всюду полна), то 
n


m
 Пусть  f n nw1 - полная ОНС в Н, тогда возьмём   k f n  , где  k

n1
- ОНС
- полная ОНС.
- рациональные точки в С. Точки с

k ,n1
w
n n1
рациональными координатами – это счётное множество, очевидно, является плотным.
2.) Пусть w   Н1 и Н2 сепарабельные. Выберем
n n1 и  n n1 - полные ОНС в Н1 и Н2. Пусть u : H1  H2
k
т.ч.
k
u ( n )   n , n  1,2... продолжим по линейности u ( cn n )   cn n , далее по непрерывности на всё Н1.
n 1
U – изоморфизм т.к. если f 

 cn n  H1 , то uf
2

n 1
n 1

 cn n
2
n1

  cn  f
2
2
т.е. u сохраняет норму,
n1
кроме того, u – сюрьективно, следовательно, изоморфизм. 

В частности, все бесконечные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны l2 , {en }n1  ПОНС (полная),


en  0...01 0...0 , L2(a,b) – изоморфно l2 .
n
Пусть B1 и B2 – банаховы пространства. Множество линейных ограниченных отображений B1
l ( B1 , B2 ) , т.е. A  l ( B1 , B2 ) если:
A(x)  A( x),   C; A( x  y )  A( x)  A( y ), x, y  B1 ; A( x)
 c x B ; inf{ c} : A . Т.к. отображение
1
A  sup Ax
линейно, то это определение эквивалентно следующему:
x
Теорема.
B2
B1
1
 B2 обозначим
B2
(1) .
l ( B1 , B2 ) - банахово пространство с нормой A .
Доказательство. Если
что A  l ( B1 , B2 ) ,
A1 , A2  l ( B1 , B2 ) , то A1  A2  A1  A2 , что следует из (1). Ясно,
  C, A1  A2  l ( B1 , B2 ) , тогда l ( B1 , B2 )
- ЛНП.
Докажем полноту: Пусть { An } фундаментальная последовательность в
l ( B1 , B2 ) т.е.
An  Am  0, n, m    x  B1 : An x  Am x  An  Am x  0, n, m    {An x} 
фундаментальная последовательность в B2 – банахово.
 g  B2 : An x  g . Определим оператор
A  l ( B1 , B2 ) Ax  g  lim Ak x . Ясно, что А линейный. An x   An ( x)  g  A(x)  A( x) .
k 
Аналогично A( x  y )  A( x)  A( y ) .
x  B1 , x  fix  :  An  Ax   Am  Ax ,   0n0 : An  Am 
операторов. Т.к. х – фиксированный m : Am x  Ax 

2

2
, n, m  n0 в силу фундаментальности
x  An  A   (2) т.е.
An  A  L( B1 , B2 ) , An  A - ограниченный  А – ограниченный, т.е. A  l ( B1 , B2 ) . Кроме того (2) говорит о
том, что A  lim An в
n 
y
.
 H , B2  C - гильбертовы. Пространство l ( H , C ) - пространство сопряжённое к Н.
l ( H , C )  H . Линейные операторы H  C - линейные непрерывные функционалы на Н.
Теперь возьмём B1
*
Непрерывность и ограниченность для линейных операторов – эквивалентные свойства.