Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля М А

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 4(23)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
Разрешимость периодической краевой
задачи для уравнения типа Ван дер Поля
А. Р. Абдуллаев, А. А. Савочкина
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Россия, 614990, Пермь, пр. Комсомольский, 29
mc@pstu.ru; 8(342) 239-15-70
Рассмотрена периодическая задача для уравнения вида xt   f xt xt   kxt   ht  . Для
случая ограниченной функции f xt  и k  0 получены достаточные условия существования решения.
Ключевые слова: уравнение Ван дер Поля; периодическая задача; существование решения.

В настоящей работе рассматривается
периодическая краевая задача для уравнения
xt   f xt xt   kxt   ht  ,
x0  x , x0  x ,
1
x
(1)
L2

 2
2
  xt  dt  ; W2  W2 0,   – про0

странство абсолютно непрерывных вместе с
первой производной функций x : 0,    R1
(2)
t  0, , x : 0,    R1 – искомая
функция, f : R1  R1 непрерывная функция
и h : 0,    R1 .
где
с
нормой
x  L2 ,
 x0  x 0  x  L . Символом W20
таких,
xW
2
что
2
обозначим подпространство
Уравнение (1) является уравнением
"типа Ван дер Поля", так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения
Льенара, когда g x   kx , а с другой стороны,
является уравнением Ван дер Поля при k  1 .
Уравнение (1) с k  1 возникает в современных математических моделях, в частности
при моделировании микроэлектромеханических (MEMS) систем [1].
Определим следующие функциональные банаховы пространства: L2  L2 0,   –
пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке 0,   , с нормой
W20  x  W2 / x0  x , x0  x  .
Пространство W20 будем рассматривать
и как гильбертово пространство H  W20 со
скалярным произведением

x, y
H
 x0 y0  x 0 y 0   xt yt dt .
0
Согласованная со скалярным произведением норма  H является эквивалентной
норме  W 0 , причем справедливо неравенство
2
x W0  3 x
2
© Абдуллаев А. Р., Савочкина А. А., 2013
5
H
.
А. Р. Абдуллаев, А. А. Савочкина
ратор K P : RL  X обобщенно обратным к
L оператором [3].
Сформулируем теорему существования
[2] решения квазилинейного операторного
уравнения (3).
Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:
1) существует такая константа с  0 , что
неравенство
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию x  W 2 , которая по-
чти всюду на 0,   удовлетворяет уравнению
(1) и периодическим краевым условиям (2).
Отметим, что периодическая задача (1), (2) на
пространстве W20 становится эквивалентной
только уравнению (1).
Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости
квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения,
приведем здесь формулировку этой теоремы.
Пусть X , Y – действительные банаховы пространства, L : X  Y – линейный
ограниченный оператор с ядром ker L и образом RL  .
Рассмотрим квазилинейное операторное
уравнение
(3)
Lx  Fx ,
где оператор L : X  Y является фредгольмовым, F : X  Y – непрерывным, вообще
говоря, нелинейным оператором.
В силу фредгольмовости оператора L
справедливы разложения X  ker L  X 0 ,
JQ0c F x  u   F x  v , u  v
c u v
2
H0
справедливо для всех x X и произвольных
u, v  H 0 ;
2) существуют константы a  0, b  0 такие,
что
выполнено
неравенство
Fx  a  b x для всех x X ;
 b JQ0c 
 1.
3) b K P 1 

c 


Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно
решение.
Периодическую задачу (1)–(2) будем
записывать в виде операторного уравнения (3)
с
оператором
полагая
L : X Y ,
0
X  W2 0,  , Y  L2 0,   ,
Y  RL   Y0 , причем ker L изоморфно Y0
Lxt   xt ,
Fxt   ht   f xt xt   kxt  .
как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством
Y0 и ядром обозначим через J : Y0  ker L .
Будем
предполагать,
что
ядро
(4)
(5)
Оператор L : W20  L2 , определенный
равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром
и образом
ker L  x W 02 / xt   const ,
def
ker L  H 0 оператора L является гильбертовым пространством со скалярным произведением , H , причем x H  x X , x  ker L .
0
H0

0




RL    y  L2 /  y s ds  0 .
0


Проекторы на ядро и образ оператора L
обозначим P : X  X и Q : Y  Y соответственно, и пусть Q c : Y  Y – дополнитель-
Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора L определим равенствами:
P : W20  W20 , Pxt   x0 ,
ный проектор, т.е. Q c  I  Q .
Определим оператор (сужение Q c на
подпространство Y0 ) Q0c : Y  Y0 равенством
Q : L2  L2 , Qy t   yt  
Q0c y  y  Qy , y  Y .
Оператор L0 : X  RL  определим
как сужение оператора L на подпространство
RL  . Этот оператор имеет правый обратный
1

 0
ys ds .
Изоморфизм J : Y0  ker L определим равенством
Jy  y ,
Q0c : L2  Y0
K P : RL  X . Далее будем называть опе-
Q y  y  Qy , y  L2 .
c
0
6
y  Y0 ,
а
оператор
равенством
Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
Лемма 1 [4]. Оператор K P : RL  X
имеет вид

t
0
0
K P y t    sys ds   t  s ys ds, y  L2 ,

t
и справедлива оценка K P  1 

3

.

Fx
2


ht   xt   u dt.
евых условий (2).
Для произвольных x  X 0 , u, v  ker L
оценим скалярное произведение



1
ht   k xt   u  ht   k xt   v  
 0

1
2
 u  v dt   k v  u   u  v dt  k u  v  .
0
Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой  k .
Так как для любого xt W20 справедливы неравенства
xt    1 xt  W 0 , x t    2 xt  W 0 ,
2
2
1. Абдуллаев А.Р., Жиганкова П.О. Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего
микроэлектромеханические
системы (MEMS) // Вестник Пермского
национального исследовательского политехнического университета. Прикладная
математика и механика. 2012. № 10. C. 3–5.
2. Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В., Савочкина
А.А. О разрешимости квазилинейного
уравнения с монотонным оператором //
Научно-технические ведомости СПбГПУ.
2010. № 2 (98). С. 80–85.
3. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов: моногр. Челябинск, 1994. 93 с.
4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной
схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14–22.
0
H0
2
Список литературы

 f x  u x  u  dt  0 в силу кра-
JQ0c F x  u   F  x  v , u  v
 3 a 2  k 1  x W 0 .
2
Справедливость условия 3) теоремы
обеспечивает выполнение условия 3) теоремы
1. Если учесть, что оператор F : X  Y ,
определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены.
Это означает, что операторное уравнение (3)
имеет решение, а следовательно задача (1)–(2)
разрешима. Теорема доказана.
1 

 ht   f x  u x  u  


0

Интеграл

1
2
b  3 a 2  k 1  .
где x  X 0 , u  ker L имеет вид
 0
2
Следовательно, условие 2) теоремы 1
a hL ,
выполнено
с
константами
F0 x  u   JQ0c F x  u  ,
  x  u dt 
1
2
Тогда задача (1)–(2) имеет хотя бы одно
решение.
Доказательство. Оператор

L2


2
   ht   f xt x t   kxt  dt 
0

1


где  1  max 1,  , 
 ,  2  max 1,  .
3

1

 2
 2 
 2
2
2



 h L    a x t  dt     kxt  dt  
2
0

0

 h L  a 2 3 x W 0   1k 3 x W 0  h L 



,
3
то
 a 2  k 1  3   1  3 a 2  k 1  k  1 ,
F0 x  u  


 2  max 1,  ,
Теорема 2. Пусть k  0 и выполнены
условия:
1) существует такая константа a  0 ,
что f u   a для любого u  R 1 ;
2)

 1  max 1,  , 
где
2
7
А. Р. Абдуллаев, А. А. Савочкина
The solvability periodic boundary value
problem for equation of type of Van der Pol
A. R. Abdullaev, A. A. Savochkina
State National Research Politechnical University of Perm, Russia, 614990, Perm, Komsomolskyi pr., 29
mc@pstu.ru; 8(342) 239-15-70
Periodic problem for equation of type xt   f xt xt   kxt   ht  is considered. For case, when
f xt  is bounded and k  0 sufficient conditions of existence of solution are given.
Key words: equation of Van der Pol; periodic boundary value problem; existence of solution.
8