1. Случайные события

Лекция 1
1. Случайные события
1.1. Основные понятия
Теория вероятностей изучает закономерности в случайных явлениях. Она
служит основой для анализа тех явлений окружающего мира, которым
свойственна «изменчивость», и проявление которых не определяется
однозначно условиями проводимых наблюдений. Предметом теории
вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых
однородных случайных событий. Закономерности случайных событий
проявляются при многократном повторении эксперимента.
Случайный эксперимент ________________________________________
____________________________________________________________________
Например, __________________________________________________________
Случайное явление ______________________________________________
____________________________________________________________________
Элементарный исход ___________________________________________
Пространство элементарных исходов обозначается   1 , 2 , .
Например, __________________________________________________________
____________________________________________________________________
Различают:
конечное пространство________________________________________________
бесконечное___________________________________________________________________
счетное_____________________________________________________________
Случайным событием ___________________________________________
____________________________________________________________________
Событие обозначается заглавной буквой латинского алфавита: А, В, С, …
Например, A   4   _________________________________________________
Aчет   2 ,  4 , 6   _________________________________________
Случайное событие называется достоверным, _______________________
____________________________________________________________________
Достоверное событие происходит при каждом испытании, оно обозначается  .
Например,___________________________________________________________
Случайное событие называется невозможным, ______________________
____________________________________________________________________
Невозможное событие никогда не происходит, оно обозначается  .
Например,___________________________________________________________
Событие А влечет за собой событие В  А  В  , если__________________
____________________________________________________________________
Для любого события А:   А   .
Например,___________________________________________________________
События А и В называются эквивалентными  А  В , если ____________
____________________________________________________________________
Например,___________________________________________________________
1
Лекция 1
Объединением
(суммой)
событий
называется
событие
n
 Ai  A1  A2    An _________________
i 1
______________________________________
______________________________________
Например, опыт состоит в пяти выстрелах по мишени. Рассмотрим события:
A0 - ни одного попадания,
A1 - ровно одно попадание,
A2 - ровно два попадания,
A3 - ровно три попадания,
A4 - ровно четыре попадания,
A5 - ровно пять попаданий.
A  A0  A1  A2 _______________________________________
Тогда событие
B  A4  A5 ___________________________________________
Их определения следует, что   А  А,   А  ,      .
Произведением
(пересечением)
событий
называется
событие
n
 Ai  A1  A2    An ,____________________
i 1
______________________________________
______________________________________
Например, опыт состоит в трех выстрелах по мишени. Рассмотрим события:
B2 - промах при втором выстреле,
B1 - промах при первом выстреле,
B3 - промах при третьем выстреле.
Тогда событие A  B1 B2 B3 _________________________________________
Из определения следует, что   А  ,   А  А,      .
События называются несовместными,______________________________
_________________________________
_________________________________
Например,___________________________________________________________
События называются противоположными, _________________________
_________________________________
_________________________________
Например,___________________________________________________________
Из определения следует, что A  A   , а A  A   .
Говорят, что события A1 ,, An , образуют полную группу событий,___
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Например,___________________________________________________________
2
Лекция 1
1.2. Классическое определение вероятности
____________________________________________________________________
Пусть пространство элементарных исходов конечно, т.е.   i in1 , и
исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в
сумме они дают единицу. Если событию А соответствует m частных случаев из
полной группы в n равновозможных событий, то вероятностью события А
m
называют величину РА  , т.е._______________________________________
n
____________________________________________________________________
Пример. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что
среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Общее число возможных
элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6
деталей из 10:________________________________________________________
Определим число исходов, благоприятствующих событию
А = «______________________________________________________________».
4 стандартные детали из 7 можно взять _________________ способами. При
этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные
детали из 3 можно ________________ способами. Число благоприятных
исходов равно _____________________. Искомая вероятность:
PA  ______________________________________________________________
Условия классического определения вероятности не всегда применимы к
реальным событиям. Наряду с классическим используют и другие определения
вероятности.
Если пространство элементарных исходов несчетно, то иногда может
быть применен принцип, основанный на геометрической трактовке
пространства элементарных исходов и событий. В двумерном случае каждое
элементарное событие отмечается на плоскости точкой. Тогда все пространство
 изображается на плоскости некоторой областью, площадь которой
обозначим S  . Событие А отмечается на плоскости областью с площадью
S A .Тогда геометрическая вероятность определяется как отношение
S
соответствующих площадей: РА  A .
S
Статистической вероятностью называют относительную частоту
событий. Пусть существует возможность неоднократного осуществления
эксперимента – n раз. Наблюдаем появление события А. Обозначим m A – число
m
появления события А. Отношение A называется относительной частотой
n
события А в данной серии экспериментов.
1.3. Простейшие свойства вероятностей
Пусть А и В – некоторые события.
1. 0  PA  1, P  0, P  1 .
3
Лекция 1
2. для несовместных событий
a. A  B   : PA  B  PA  B  PA  PB;
n  n
b. P   Ai    PAi .
i 1  i 1
3. в общем случае
a. A, B : PA  B  PA  PB  PA  B;
n 
P   Ai    PAi    PAi  A j   PAi  A j  Ak 
b. i 1  i
i, j
i, j, k
 ...   1n PA1  A2  ...  An .
4. Если события A1 ,..., An образуют полную группу, то
n
 PAi   1.
i 1
5. Сумма вероятностей противоположных событий PA  PA   1 .
1.4. Условные вероятности
Нередко возникает необходимость оценить «шансы» события А в
ситуации, когда известно, что произошло событие В.
Вероятность события А при условии, что осуществилось событие В,
называется условной вероятностью и обозначается PB A. Если РВ  0 , то:
РA  В
.
Р А В 
РВ
Если известна условная вероятность, то можно вычислить вероятность
произведения событий:
________________________________________________
Это так называемая формула произведения. Можно обобщить эту
формулу на случай произвольного числа событий:
n 
P  Ai   PA1 PA1 A2  PA1 A2 A3  ...  PA1... An 1 An .
i 1 
1.5. Независимость случайных событий
События А и В называются независимыми, __________________________
____________________________________________________________________
Для независимых событий ________________________________________
Вероятность пересечения двух независимых событий:
____________________________________________________________________
Пример. Из полной колоды (52 карты) вынимается одна карта. Рассмотрим
события:
А – «появление туза»,
В – «появление карты красной масти»,
С – «появление бубнового туза»,
D – «появление десятки».
4
Лекция 1
PA  _____________ PB A  _______________, т.е.______________________
PA  _____________ PC A  _______________, т.е.______________________
PB  _____________ PC B  _______________, т.е.______________________
PB  _____________ PD B  _______________, т.е.______________________
Система событий A1 ,..., An называется системой попарно независимых
событий, если _______________________________________________________
Система событий называется независимой в совокупности, если _______
________________________________________________
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых
в совокупности равна _________________________________________________
Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в
совокупности равна ___________________________________________________
Если противоположное событие распадается на меньшее число
вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей
переходить к противоположному событию.
Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:
PA1  0.8 , PA2   0.7 , PA3   0.9 .
1) Найти вероятность события А = «хотя бы одно попадание при
одновременном залпе из всех орудий»;
2) Найти вероятность события В = «ровно одно попадание при одновременном
залпе из всех орудий».
Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от
результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события
A1 , A2 , A3
независимы
в
совокупности.
Вероятности
промахов
(противоположных событий) соответственно равны: PA1  _________,
PA2   _________, PA3  __________.
1) Искомая вероятность PA  ____________________________________
____________________________________________________________________
2) Событие В может осуществиться несколькими способами, т.е.
распадается на несколько несовместных вариантов:
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Тогда PВ  _________________________________________________________
____________________________________________________________________
1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если об эксперименте можно сделать n исключающих друг друга
предположений (гипотез) H1 ,..., H n и если событие А может появиться только
при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле
полной вероятности:
________________________________________________
5
Лекция 1
Пример. Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне 2 белых и 1
черный шар, во второй – 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных.
Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность
того, что этот шар белый.
Событие А = «_______________________________________________________»
Выдвигаем три гипотезы:
H1  «_____________________________________________________________»
H 2  «_____________________________________________________________»
H 3  «_____________________________________________________________»
По условию, вероятности гипотез равны:
PH1  ______________; PH 2   _______________; PH 3   _______________.
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:
PH1 A  _____________; PH 2 A  ______________; PH 3 A  _______________.
По формуле полной вероятности:
PA  ______________________________________________________________
Если до эксперимента вероятности гипотез были PH1,..., PH n , а в
результате эксперимента появилось событие А, то с учетом этого условные
вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
________________________________________________
Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени,
делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого
стрелка равна 0.8, для второго – 0.4. После стрельбы в мишени обнаружена
одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
До опыта возможны следующие гипотезы:
H1  «_____________________________________________________________»
H 2  «_____________________________________________________________»
H 3  «_____________________________________________________________»
H 4  «_____________________________________________________________»
Вероятности этих гипотез:
PH1  ___________________; PH 2   ____________________;
PH 3   ___________________; PH 4   ____________________.
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны:
PH1 A  ________; PH 2 A  _________; PH 3 A  ________; PH 4 A  ________.
После опыта гипотезы H1 и H 2 становятся невозможными, а вероятности
гипотез H 3 и H 4 вычисляются по формуле Байеса:
PА H 3   _______________________; PА H 4   ____________________________
6