Наименьшие и наибольшие значения тригонометрических

Наименьшие и наибольшие значения тригонометрических
выражений
Метод тождественных преобразований
Суть этого метода состоит в том, чтобы, пользуясь основными
тригонометрическими соотношениями, упростить заданное выражение, сведя
его исследованию одной тригонометрической функции.
Пример 1. Найти наибольшее целое значение из множества значений
𝑛
функции 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 + √2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − ).
4
Решение. Преобразуя данную функцию, получаем следующую цепочку
равенств:
𝑛
f(x)=cos 2𝑥 + √2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − )=
4
=
1+cos 2𝑥
2
1+cos 2𝑥
2
+ √2 (sin 2𝑥 ∗
√2
2
− cos 2𝑥 ∗
√2
)
2
=
1
+ sin 2𝑥 − cos 2𝑥 = (1 + 2 sin 2𝑥 − cos 2𝑥) =
2
1
= (1 + √5 (
2
2
√5
sin 2𝑥 −
1
√5
cos 2𝑥)) =
1
1
= (1 + √5(cos 𝜑 ∗ sin 2𝑥 − sin 𝜑 ∗ cos 2𝑥 )) = (1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑)),
2
2
2
где cos 𝜑 =
Итак,
, sin 𝜑 =
√5
1
1
1
, т.е. φ=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 .
√5
2
Поскольку
f(x)= (1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑)).
2
в
таком
случае
- 1≤sin(2x - φ)≤ 1, то 1 - √5 ≤ 1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑) ≤ 1 + √5 и, следовательно,
1−√5
2
≤ 𝑓(𝑥)
1+√5
2
.
Замечая теперь, что 1<
значением f(x) будет 1.
1+√5
2
< 2, приходим к выводу, что искомым
Ответ: 1
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения
sin x+cos4x.
4
Решение. Преобразуя данное выражение, получим:
sin4 𝑥 + cos 4 𝑥 = (sin2 𝑥 + cos 2 𝑥)2 - 2sin2 𝑥 ∙ cos 2 𝑥=
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
=1 - (4 sin2 𝑥 + cos 2 𝑥)=1 - sin2 𝑥=1 - (1 − cos 2 2𝑥) = cos 2 2𝑥 + .
Заметив, что 0≤ cos22x≤1, приходим к двойному неравенству
1
1
2
2
1
2
≤
cos22x+ ≤ 1.
1
Ответ: ; 2
2
Функциональный метод
Этот метод базируется на стандартном способе нахождения наименьших
и наибольших значений непрерывной на отрезке [𝑎; 𝑏] функции
f(x),
основанном на определении критических точек, лежащих внутри отрезка, и
вычислении затем значений функций f(x) как в найденных критических точках,
так и в точках, являющихся концами отрезка. При этом в качестве независимой
переменной обычно выбирают угол, а упомянутым отрезком является отрезок
длины периода функции.
Пример 3. Найти наименьшее значение выражения cos2x - x на отрезке
[−𝜋; 𝜋].
Решение. Для того чтобы найти наименьшее на отрезке [−𝜋; 𝜋] значение
данного выражения, достаточно вычислить значение функции 𝑓(𝑥) =
cos 2𝑥 − 𝑥 в критических точках, принадлежащих интервалу ( - ; ), а также
значения 𝑓(𝑥) в концевых точках данного промежутка и затем среди
полученных значений выбрать наименьшее.
Функция 𝑓(𝑥) определена и имеет поизводную при всех x∊ R:
f’(x)=2cosx( - sinx) - 1= - sin2x - 1. Критическими точками функции f(x)
𝑛
𝑛
3𝑛
являются все x= +n, n∊ Z, из которых только x1= и x2= принадлежат
4
4
4
промежутку ( - ; ).
π
Заметив, что f( - )=1+; f(− ) =
4
2+π
4
3π
2−3π
; f( ) =
4
4
к выводу: искомым значением является 1 - .
; f()=1 - , приходим
Ответ: 1 - .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения
5sin2α+3sinα+3cosα – 7.
Решение.
Преобразуя данное выражение, получим:
5sin2α+3sinα+3cosα – 7=52sinαcosα+3(sinα+cosα) – 7=
=5(2sinαcosα+sin2α+cos2α - sin2α - cos2α)+3(sin 𝛼 + cos α) – 7=
=5((sin 𝛼 + cos α)2 – 1)+3(sin 𝛼 + cos α) – 7=
=5(sin 𝛼 + cos α)2 +(sin α + cos α) − 12.
Если теперь сделать замену (sin 𝛼 + cos α)=t, |t| ≤ √2, то исходная задача
сведется к нахождению наименьшего и наибольшего значений квадратного
трехчлена 5t 2 +3t–12, определенного на отрезке [−√2; √2].
Заметив, что графиком функции y(t)=5𝑡 2 +3t–12 является парабола,
3
абсциссой вершины которой будет точка 𝑡0 = (принадлежащая отрезку
10
абсциссой вершины которой будет точка [−√2; √2]), приходим к выводу:
искомое наименьшее значение – это значение y( −
3
)=
10
5∙9
100
-
9
10
- 12 = - 11,64.
Что же касается наибольшего значения, то оно достигается на одном из
концов промежутка [−√2; √2]. Вычисляя значения y(t) в точках - √2 и √2,
имеем: y( - √2) = 10 - 3√2 - 12 = - 2 - 3√2; y(√2) = 10 +3√2 - 12 = - 2 + 3√2.
Таким образом, искомым наибольшим значениям является значение,
равное - 2 + 3√2.
Ответ: - 11,64; - 2+3√2.
Метод введения параметра
Применяя этот метод, заданное тригонометрическое выражение
обозначают какой-либо буквой (вводят параметр). Тогда исходная задача
сводится к задаче нахождения тех значений (наименьшего и наибольшего)
параметра, при которых полученное уравнение имеет решение.
Пример 5. Найти наибольшее целое значение из множества значений
𝜋
функции 𝑓(x) = cos 2 x + √2 ∙ sin(2х − ).
4
𝜋
Решение. Обозначим cos2 х + √2 ∙ sin (2х − ) = a. Тогда исходная задача
4
сводится к следующей: при каком наибольшем целом значении а полученное
уравнение имеет решение?
Чтобы решить эту переформулированную
полученное уравнение с параметром. Имеем:
задачу,
преобразуем
𝜋
cos2 х + √2 ∙ sin (2х − ) = cos2 х + sin 2x – cos 2x = cos2 х + 2sin x ∙ cos x 4
cos2 х + sin2 x = sin2 x + 2sin x ∙ cos x = a (cos2 х + sin2 x).
Отсюда следует, что (а - 1) sin2 x - 2sin x ∙ cos x + а cos2 х = 0.
Очевидно, что при а=1 последнее уравнение имеет решения.
Предположим, а≠1. Поскольку преобразованное уравнение является
однородным относительно синуса и косинуса, то, разделив это уравнение
почленно на cos2 х (деление на cosx всегда допустимо в однородном уравнении,
так как если cos x = 0, то из уравнения следует, что и sin x = 0, а cos x и sin x не
могут быть равны нулю одновременно), придем к уравнению (a – 1) tg2x – 2 tg x
+ a = 0.
Это квадратное относительно tgx уравнение имеет решения, если его
дискриминант неотрицателен, что, как нетрудно видеть, равносильно
1− √5
1+ √5
неравенству а2 - а – 1 ≤ 0, решая которое, находим
≤ а≤
, где, по
2
2
предложению, а≠1. Но при а=1 рассматриваемое однородное уравнение, как
уже отмечалось, имеет решения. Таким образом, всеми значениями параметра
а, при котором исследуемое уравнение имеет решения, являются значения а 𝜖
[
1− √5 1+√5
2
;
2
], наибольшее целое из них – это 1.
Ответ: 1
Геометрический метод
Этот метод основан на применении формулы скалярного произведения
двух векторов а
⃗ и 𝑏⃗: а
⃗ ∙ 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗
|а| ∙ |𝑏⃗| ∙ cos x,
где а – угол между данными векторами. Следствием формулы является
тот факт, что поскольку – 1 ≤ cos x ≤ 1, то имеет место двойное неравенство
- ⃗⃗⃗⃗
|а| ∙ |𝑏⃗| ≤ а
⃗ ∙ 𝑏⃗ ≤ ⃗⃗⃗⃗
|а| ∙ ⃗⃗⃗
|𝑏|.
Пример 6. Найти наибольшее значение суммы S=cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾, где
α, β, γ – углы треугольника.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC.
Отложим на сторонах треугольника единичные векторы 𝑙 1, 𝑙 2, 𝑙 3: 𝑙 1 от
точки A на стороне AB, 𝑙 2 от точки B на стороне BC и 𝑙 3 от точки C на стороне
CA. Тогда угол между векторами 𝑙 1 и 𝑙 2 равен 180 - β, угол меду векторами 𝑙 2 и
𝑙 3 равен 180 - γ, а угол между векторами 𝑙 1 и 𝑙 3 равен 180 - α.
Рассмотрим очевидное неравенство (𝑙 1+𝑙 2+𝑙 3)2≥0, которое подробнее
можно переписать в виде 𝑙 12+𝑙 22+𝑙 32+2𝑙 1𝑙 2+2𝑙 1𝑙 3≥0
Если теперь воспользоваться определением скалярного произведения
двух
векторов,
то
полученное
равенство
примет
вид
3-2
3
(cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾)≥0, откуда находим, что cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾 ≤ , где знак
2
равенства достигается при α=β=γ=60.
Ответ:
3
2
Комбинированные методы
При решении ряда задач
рассмотренных выше методов.
приходиться
сочетать
некоторые
из
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения sin2 x+
π π
𝑝sinx+𝑞 (при - 2< 𝑝 <2) на промежутке [− ; ].
2 2
Решение. Обозначим sinx=t, t≤1. Тогда задача сводится к нахождению
наименьшего и наибольшего значения квадратно трехчлена t2+pt+q,
определенного на промежутке [−1; 1]. Как известно, этот трехчлен имеет на
всей числовой оси наименьшее значение при t= p
p
2
и это значение равно
–p+4q
p
.
4
При этом на интервале (−∞; − ) трехчлен убывает, а на интервале (− + ∞)
2
2
он возрастает.
p
Наименьшее значение данное выражение принимает в точке x= - arcsin ,
4𝑞−𝑝2
и оно равно
4
2
. Наибольшим значением здесь является большее из
π
π
2
2
граничных значений (при х= - или х= ) т.е. 1+|p|+q.
Ответ:
4𝑞−𝑝2
4
, 1+|p|+q
Пример 8. Найти минимум наибольшего значения выражения x4 –
π
π
2x2sin2α – 2(1+cosα)3 (при α ) на промежутке [ - (1+cosα)4 1+cosα].
4
2
Решение. Рассмотрим функцию f(x)=x4 – 2x2sin2α – 2(1+cosα)3
Эта функция является четной по х, и, следовательно, чтобы решить
задачу, достаточно найти искомый минимум на промежутке [0; 1+cosα].
Далее рассуждаем следующим образом. Так как
x4 – 2x2sin2α – 2(1+cosα)3=(x2- sin2α)2 – sin4α – 2(1+cosα)3,
то наибольшее значение функция f(x) будет принимать при наибольшем
значении х, т.е. при х=1+cosα. Обозначив наибольшее значение функции f(x)
через M(α), имеет:
M(α)=((1+cos α)2 – sin2 α)2 – sin4α - 2(1+cosα)3 = 3(cos4α+2cos3α - 2cosα - 1).
Если же обозначить cos α = t , то исходная задача сводится к следующей:
требуется найти наименьшее значение функции y(t) = 3(t4 + 2r3 – 2t - 1) на
отрезке [ 0;
√2
].
2
Решая эту переформулированную задачу, найдем сначала производную
функции y(t): y’ (t) = 3(4t 3+ 6t2 - 2) = 6(2t3 + 3t 2- 1).
Здесь критической точкой функции y(t), принадлежащей отрезку [0;
1
1
2
2
81
является t*= .А так как y(t*) = y( )= искомым значением будет y(t*)= -
81
√2
√2
],
2
3 3
, y(0)= - 3, y( )= - ( + √2), то
16
2
2 2
.
16
Ответ: -
81
.
16
Упражнения
1. Найдите наибольшее значение функции:
1) 𝑦 =
√2
(sin 𝑥
4
− cos 𝑥)
4) 𝑦 = sin4 𝑥 + cos 4 𝑥
7) 𝑦 =
1
2+𝑠𝑖𝑛𝑥
2) 𝑦 = 1 + √sin2 𝑥 + 2 cos 2 𝑥
3)
5) 𝑦 = sin2 𝑥 cos 4 𝑥(2 − sin2 𝑥)
6)
8)
9)
10)
2. Найдите наименьшее значение функции:
1) 𝑦 =
3√2
(sin 𝑥
5
+ cos 𝑥)
4) 𝑦 = 12 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥
7) 𝑦 =
4
2−𝑠𝑖𝑛𝑥
2) 𝑦 = 4sin2 𝑥 + 5 cos 2 𝑥
3)
5) 𝑦 = 1 − 2√cos 2 𝑥 − 4 sin2 𝑥
6)
8) 𝑦 = sin 𝑥 cos 3 𝑥 − sin3 𝑥 cos 𝑥 9)
10)
3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:
1) 𝑦 = 3 cos 𝑥 − 15𝑥 + 3, [−
3𝜋
2
𝜋
; 0]
2)
3) 𝑦 = 17𝑥 − 7 sin 𝑥 + 4, [0; ]
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2