Подготовка к ЕГЭ-4

Подготовка к ЕГЭ - 3
Задачи по геометрии.
№ 1. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне
основания равен 45 градусов. Найдите площадь поверхности пирамиды.
DO=h, угол DKO=45º,
3-к DOK -прямоугольный и равнобедренный, т.к.
угол ODK = 180-90-45 = 45° -->
OK=OD=h. DK2= h2+h2; DK = h√2.
OK - радиус вписанной окружности правильного
3-ка, значит стороны 3-ка равны a= 2r√3, т.е. AB
= a = 2h√3.
S осн = SABC = a2√3/4 = (2h√3)2√3/4 = 3h2 √3.
SADB = AB*DK/2 = 2h√3*h√2 /2 = h2√6
Sполн = 3*SADB + Sосн = 3h2√6 +3 h2√3 =3 h2√3(√2+1)
№ 2. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5 см, 8 см, 4√5см.
Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Пусть а=8, b=4√5, c=5.
d2= 8*8+(4√5)2 = 144 --> d=12.
Искомый угол - / KOM - угол между диагональю ОК и ее
проекцией ОМ.
В 3-ке КОМ:
КМ / ОМ = c / d = tg / KOM = 5/12.
/ KOM = arctg 5/12
Можно ответ выразить через синус. Найдем m. m2= d2 + c2 = 144 + 25 =169; d=13;
c/m = 5/13 = sin / KOM
/ KOM = arcsin 5/13.
Ответ: arcsin 5/13
№ 3. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите
отношение объёма конуса к объёму шара.
Пусть АВ=а, тогда АС=BС=а, R = a/2.
Высота конуса = ОВ = √(BC2-OC2) = √(a2 - a2/4) = a√3/2
Vконуса = пR2*OB/3 = п a2/4*a√3/2 /3 = п a3√3/24
r - радиус шара. r=a√3 /6.
Vшара = 4/3 *пr3 = 4/3* пa3 3√3 / 216 = пa3√3/54
Vконуса / Vшара = 54/24 = 2.25
Ответ: 2,25.
№ 4. Объем цилиндра 96π см3, площадь его осевого сечения 48 см². Найти площадь
сферы, описанной около цилиндра. Ответ : S/π
xy=48, y = 48/x.
D - диагональ осевого сечения является диаметром шара.
D2 = x2 + (48/x)2 ;
S сферы =πD2.
По условию V цил = 96π.
V цил = πx2/4 *y = πx2/4*(48/x) = 12πх = 96π; x=96/12 = 6.
D2=62 +(48/6)2 = 62+82 = 100. S сферы = πD2 = 100π.
Ответ: 100.
№ 5. Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба.
Если куб вписан в шар, то его наибольшая диагональ D2 = 3a2 ;
D2 = (2R)2 = 3a2 ; a2 = 4R2/3.
S=6a2 = 6*4R2/3 = 8R2 Ответ: 8R2
№ 6. Шар объёмом 6м3 вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра (в м3), описанного около
шара.
Диаметр шара D=2R, равен диаметру основания цилиндра и равен высоте цилиндра H.
R - радиус шара и основания цилиндра.
Vшара= 4/3 ∏R3 = 6. R3 = 4,5/∏
V цилиндра = ∏R2 ·H =∏R2 ·2R = 2∏R3 = 2∏·4,5 / ∏ = 9.
Ответ: 9.
№ 7. В сферу вписан конус, образующая которого равна 1, а угол при вершине осевого
сечения равен 60º. Найдите площадь сферы.
S=4ПR2, где R - радиус сферы.
Рассмотрим осевое сечение сферы. Оно представляет собой окружность, в которую
вписан равнобедренный треугольник АВС с углом при вершине 60 градусов, углы при
основании равны 60, значит этот треугольник равносторонний со стороной а. Радиус
окружности, описанной около треугольника - это радиус сферы. По теореме синусов
а/sin60=2R, где R - радиус окружности, описанной около треугольника , откуда R=a/√3
Тогда S=4ПR2=4Пa2/3 = 4П/3
Ответ: 4П/3
№ 8. Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как
1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите объем параллелепипеда.
k - коэффициент пропорциональности, тогда а = k, b = 2k , d = 3k
По формуле d2 = а2 + b2 + с2 находим стороны (3k)2 = k2 + (2k)2 + 42
d- диагональ,
а, b, с - стороны параллелепипеда.
9k 2 = k2 + 4k2 + 16; 4k2=16; k=2; k=-2 не удовлетворяет условию: а=2,
с=4.
b=2*2=4,
V= аbс = 2*4*4 = 32.
Ответ: 32.
№ 9. Каким должен быть радиус основания цилиндра с квадратным осевым сечением, для
того чтобы его объем был такой же, как и у шара радиуса 3м?
Объем цилиндра равен Vц = πr2*h , где h-высота цилиндра, в нашем случае она равна h= 2r
=> Vц= 2πr3
Объем шара равен Vш = 4/3 πR3 , находим объем шара: Vш= 4/3 π*33 = 36π.
Приравняем Vц = Vш и найдем r цилиндра 2πr3 = 36π;
r3=18;
r = 3√18
№ 10. Чему равна полная поверхность конуса, описанного около правильного тетраэдра с
ребрами длины а?
Т.к. тетраэдр правильный, то в основание конуса вписан равносторонний треугольник
со стороной a. R=a/√3.
S боковой поверхности конуса Sбок.= πRL, где L=a, => Sбок.= πa2/√3
S полной поверхности конуса S= πa2/√3 + πa2/3 = πa2(1/√3+1/3)
№ 11. Чему равна площадь сферы, описанной около куба с ребром 1?
По теореме Пифагора находим диагональ основания куба. Обозначим ее AD.
AD2 = 12+12 = 2;
Находим диагональ всего куба, она же - диаметр сферы.
AD=√2
AC2 = AD2+DC 2= 2+12 = 3;
AC = √3;
Sсферы = 4πR2 = 4π*(3/4) = 3π.
№ 12. Найдите объем прямоугольной призмы, вписанной в цилиндр, если основание
призмы служит прямоугольник, одна из сторон которого равна 6, радиус основания
цилиндра 5 , высота призмы 10.
Т.к. прямоугольник вписан в окружность, то его диагональ будет диаметром этой
окружности, а также является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов
которого равен 6. По теореме Пифагора найдем второй катет:
x2 = (2*5)2 - 62 ; x=8
Найдем объем призмы:
V=6*8*10=480
№ 13
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра,
радиус основания и высота которого равны 1. Найдите
объем параллелепипеда.
Решение. В основании параллелепипеда - квадрат. Его
стороны равны диаметру основания цилиндра, т.е.
а=d=2.
V= Sосн·H = a2· H = 22·1=4.
Ответ: 4.
№ 14.
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы
радиуса 7,5. Найдите его объем.
Решение.
Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы,
то он - куб. Его ребра равны диаметру сферы, т.е. a =
7,5·2=15.
V= a3 =153 = 3375. Ответ: 3375.
№ 15. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём
цилиндра, если объём конуса равен 27.
Vцилиндра = Sосн H,
Vконуса = Sосн H/3 =27. Видим, что объем конуса в 3 раза
меньше объема цилиндра, значит Vцилиндра = Vконуса*3 = 27*3 =81.
Ответ: 81.
№ 16.
Шар объёмом 6 метров кубических вписан в
цилиндр. Найдите объём цилиндра (в метрах
кубических).
V шара = (4/3)пR3 =6
--> R3 =6*3/(4п) = 4,5/п
Vцил = пR2H = пR2*2R= 2пR3 = 2п* 4,5/п = 9 (м3)
Ответ: 9.
Замечание. Высота цилиндра, в который вписан шар, равна диаметру шара, а радиус
основания цилиндра равен радиусу шара.
№ 17. В цилиндрический сосуд налили 200 cм3 воды. Уровень воды при этом достигает
высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в
сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Выразить ответ в см3.
Решение. Найдем площадь основания цилиндра. S=200/12=50/3.
Если уровень воды поднялся на 9см, то объем воды с опущенной деталью увеличился на
S*9=50/3*9=150 см куб. Это и есть объем детали.
Ответ: 150.
№ 18. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19.
Найдите ребро куба.
Решение. Пусть ребро куба равно А, тогда V1=A·A·A, a V2=(A+1)(A+1)(A+1)=(A+1)3 =
A3+3A2+3+1.
Уравнение: V2–V1=19, (A3+3A2+3A+1) – A3 = 19, 3A2+3A-18=0, A2+A-6=0, A1=2,
A2=-3 - не подходит. Чтобы решить, надо знать формулу (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ответ: А=2
№ 19. Закрытый сосуд в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами 30, 40, и 45 см
стоит на горизонтальной поверхности таким образом, что наименьшая грань является
дном. В сосуд налили воду до уровня 36 см. На каком уровне окажется вода, если сосуд
поставить на наибольшую грань? (ответ дайте в см).
Решение. V=30*40*36 - объем воды
h – уровень воды
30*40*36 = 40*45*h
V= 40*45* h,
--> h=30*36/45 = 24
40*45 – наибольшая грань,
Ответ: 24.
№ 20. С1. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна L и наклонена с
плоскости боковой грани под углом a, найти
площадь боковой поверхности призмы.
AB=L, угол BAC=a,
угол BCA=90°,
Sбок = 4x∙H
Из 3-ка BAC: x=L sina, d=L cosa.
Из 3-ка ACO:
H=AO=√ (d2 - x2) = L√(cos2a - sin2a) =
L√(cos2a).
S = 4L2sina√ (cos2a)
Ответ: 4L2sina√(cos2a)