

(Класс 11, модуль I, урок 1)
Урок 1. Показательные и логарифмические уравнения
План урока
 1.1. Логарифмы и их свойства
 1.2. Начальные уравнения
 1.3. Замена переменных
 1.4. Приведение уравнения к равенству логарифмов с одним основанием
 1.5. Способ логарифмирования
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
Рассмотреть способы решения показательных и логарифмических уравнений, обратить
внимание на то, что при решении таких уравнений могут возникать проблемы из-за
особенностей области определения частей уравнений.
1.1. Логарифмы и их свойства
В десятом классе было показано, как распространить понятие степени положительного числа
на случай произвольных действительных показателей, то есть как для каждого a  0 и
произвольного действительного x определить действительное число a x . Сделано это было
таким образом, чтобы сохранились основные свойства, которым удовлетворяли степени с
натуральными, с целыми и с рациональными показателями.
Задача о нахождении показателя степени, в которую нужно возвести данное число,
чтобы получилось другое данное число, приводит к понятию логарифма. Напомним, что
log a b определяется при a  0 , a  1 и b  0 , причем a loga b  b
Приведем основные свойства логарифмов, которые доказываются с использованием
соответствующих свойств степени. Отметим, что все эти формулы верны тогда, когда
соответствующие логарифмы определены.
log a x  log a y  log a xy
log a x  log a y  log a
x
y
log a x m  m  log a x
log c b

log c a
Нахождение степени с натуральным или
арифметическим операциям. Например,
log a b 
целым
показателем
сводится
к
3
1
3
   3  3  3  3  27
3
 
Для записи результата возведения числа в рациональную степень можно использовать
корни. Например,
2
2 3  3 22  3 4 
Иногда удается легко найти степень, показатель которой — логарифм. Например,
2
4log2 3  (22 )log 2 3   2log 2 3   32  9
В некоторых случаях выражение вида a x особо упростить не удается. Например, число
32 5 можно записать в виде 32  3 5 или 4  3 5 , но это не намного проще, чем начальное
выражение. Логарифм удается упростить чаще всего тогда, когда значение логарифма
рационально. Например,
log 2 32
 3  10
log 2 2 32 
 5   
log 2 2 2
2 3
1.2. Начальные уравнения
Логарифмы позволяют полностью разобраться с решением простейших показательных
уравнений вида a x  b , где a и b — заданные числа.
Пример 1. Решить уравнение 4 x  8 .
Решение. По определению логарифма число log 4 8 удовлетворяет равенству 4log 4 8  8 .
Поэтому x  log 4 8 является корнем данного уравнения. Так как показательная функция y  4 x
строго возрастает, то найденное число — единственный корень данного уравнения.
Пользуясь свойствами логарифма, найденный корень можно записать в более простом виде:
log 2 23 3
x  log 4 8 
 
log 2 22 2
Пример 2. Решить уравнение 3x  1  2
Решение. Аналогично предыдущему примеру удается доказать, что число x  log3 (1  2)
является единственным корнем. В данном случае запись корня log3 (1  2) упростить не
удается.
Пример 3. Решить уравнение
x
1
   3  0
2
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
показательной функции только положительны, то число
 12   3 .
x
 12  при
x
Но так как значения
любом x больше нуля.
Поэтому равенство  12   3 невозможно ни при каком действительном x . Следовательно,
данное уравнение не имеет действительных корней.
x
Пример 4. Решить уравнение 1x  1 .
Решение. Напомним, что число 1 в любой степени дает единицу, то есть 1x  1 при любом
x  R . Это означает, что ответом в данном примере является множество всех действительных
чисел.
Понятие степени с произвольным действительным показателем позволяет полностью
разобраться с решением простейших логарифмических уравнений вида log a x  b , где a и
b — заданные числа.
Пример 5. Решить уравнение log3 x   14 
1
x  3log3 x ,
Решение.
По
определению
логарифма
значит,
x3 4 
1
1


 413 . Другими словами, 3log3 x  3 4  x  413 . Таким образом, число x  3 4 является корнем
данного уравнения. Так как логарифмическая функция y  log3 x строго возрастает в своей
области определения, то найденное число — единственный корень данного уравнения.
Полученное значение можно также записать и в другом виде:
1
1
1
x3 4  1  4 
3
34
Пример 6. Решить уравнение lg x  1  5 
Решение. По определению число 1  5 является десятичным логарифмом числа 101 5 , то есть
lg101
5
 1  5 . Следовательно, x  101
5
— единственный корень данного уравнения.
1.3. Замена переменных
Один из способов решения логарифмических и показательных уравнений связан с
составлением алгебраического уравнения относительно новой неизвестной вида log a x или
вида a x .
Пример 7. Решить уравнение log 2 x  log x 2  52 
Решение. Выразим log x 2 через логарифмы по основанию 2:
log 2 2
1


log 2 x log 2 x
Следовательно, данное уравнение равносильно уравнениям:
1
5
log 2 x 
 
log 2 x 2
log x 2 
5
1
log 2 x  
 0
2 log 2 x
 log 2 x 
 52 log 2 x  1
 0
log 2 x
2
Отсюда log 22 x  52 log 2 x  1  0 , причем log 2 x  0 . Решая относительно log 2 x получившееся
квадратное уравнение, имеем
5
25
5 3
 1    2
 log 2 x 1  
4
16
4 4
5 3 1
  
4 4 2
Так как оба найденных значения отличны от нуля, то далее нужно решить два уравнения:
log 2 x  2 x1  22  4
 log 2 x  2 
1
1
log 2 x   x2  2 2  2 
2
Оба найденных числа входят в область определения начального уравнения.
Ответ: 4 и 2 .
Приведенный способ записи решения можно значительно сократить, если обозначить
выражение log 2 x одной буквой, то есть ввести новую переменную. В этом случае обычно
говорят, что произведена замена переменной.
Пример 8. Решить уравнение
log 5 x x  log 5 x3 x  0
Решение. Пусть z  log5 x . Выразим все логарифмы через логарифмы по основанию 5:
log 5 x
log 5 x
z
log 5 x x 



log 5 (5 x) 1  log 5 x 1  z
log 5 x3 x 
log 5 x
log 5 x
z



3
log 5 (5 x ) 1  3log 5 x 1  3 z
Относительно неизвестной z получаем уравнение
z
z

 0
1  z 1  3z
Далее
z (1  3z )  z (1  z )
z (2  4 z )
 0
 0
(1  z )(1  3z )
(1  z )(1  3z )
Решая получившееся уравнение, имеем:
z1  0 log 5 x  0 x1  50  1
1
1
1
1
z2    log5 x    x2  5 2 

2
2
5
Оба найденных числа входят в область определения начального уравнения.
Ответ: 1 и 15 .
Пример 9. Решить уравнение
11  5  2 x 1
 3
4x  6  2x  5
Решение. Пусть z  2 x . Тогда
2 x 1  2 x  21  2  2 x  2 z
4 x  (22 ) x  22 x  (2 x )2  z 2 
Относительно z получаем уравнение
11  5  2 z
 3
z2  6z  5
Далее
11  10 z
3 2
 0
z  6z  5
3z 2  18 z  15  11  10 z 3z 2  8 z  4
 2
 0
z2  6z  5
z  6z  5
Отсюда 3z 2  8 z  4  0 , причем z 2  6 z  5  0 . Решая получившееся квадратное уравнение,
имеем
8  64  3  4  4 8  4
z1 

 2
6
6
84 2
 
6
3
знаменатель z 2  6 z  5 не равен нулю. После этого нужно решить
z2 
причем при z1  2 и z2 
два уравнения:
2
3
2 x  2 2 x  21  x1  1
2
2
2 x   x2  log 2  1  log 2 3
3
3
Ответ: 1 и 1  log 2 3 .
Пример 10. Решить уравнение
3 16 x  36 x  2  81x
16  42 ,
81  92 . Поэтому
Заметим, что
16x  42 x  (4x )2 ,
36  4  9 ,
36 x  (4  9) x  4 x  9 x , 81x  92 x  (9 x )2 . Это позволяет записать начальное уравнение в виде
3  (4x )2  4x  9 x  2  (9 x )2  0
Так как 9 x  0 , то при делении обеих частей уравнения на (9 x ) 2 получаем равносильное
уравнение
(4x )2 4 x  9 x
3  x 2  x 2  2  0
(9 )
(9 )
Далее,
Решение.
2
 4x  4x
3   x   x  2  0
9  9
2
  4 x   4 x
3          2  0
 9    9 


Обозначив z   94  , приходим к квадратному уравнению 3 z 2  z  2  0 . Отсюда
x
z1 
1  1  4  3  2 1  5 2

 
6
6
3
x
1
1
 4  2  4 2
       x1  
2
9 3 9
1  5
4
z2 
 1    1
6
9
так как 1  0 , то последнее уравнение корней не имеет.
Ответ: 12 .
x
Это важно
Решая уравнения и выполняя некоторые преобразования, важно следить за сохранением
равносильности получающихся задач. В частности, нужно следить за возможными
изменениями области определения. Если этого не делать, то иногда можно совершить ошибку,
которую бывает трудно обнаружить.
Например, вернемся к уравнению log 5 x x  log 5 x3 x  0 из примера 8. Допустим, что мы
выразили все логарифмы через логарифмы по основанию x :
log x x
1
log 5 x x 


log x 5 x 1  z
log x x
1

,
3
log x 5 x 3  z
где z  log x 5 . Тогда уравнение можно представить в виде 11z  31 z  0 , откуда
4  2z
 0 , 4  2 z  0 , z  2 , log x 5  2 ,
(1  z )(3  z )
log 5 x3 x 
1
x 2  5 x  5 2 
1

5
Теперь вспомним, что раньше при решении данного уравнения в ответе получилось два
числа. Таким образом, приведенные в данном пункте рассуждения дают только часть
правильного ответа.
Вопрос. По какой причине рассуждения из данного пункта приводят к потере корня и
какие изменения следует внести в решение, чтобы получить правильный ответ?
(Указания к ответу на вопрос. Если сравнить области определения исходного
уравнения и того уравнения, которое получается при логарифмировании по основанию x , то
они различаются. А именно, в область определения второго уравнения не входит число x  1 ,
которое входит в область определения первого уравнения. Поэтому, после того как второе
уравнение полностью решено, нужно вернуться к числу x  1 и непосредственной
подстановкой в первое уравнение проверить, что это еще один корень исходного уравнения).
1.4. Приведение уравнения к равенству логарифмов с одним основанием
Один из способов решения логарифмических уравнений связан с приведением
уравнения к виду
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)
Это позволяет составить новое уравнение
f ( x)  g ( x)
решить его и учесть условия области определения частей начального уравнения.
Важно заметить, что в процессе преобразований, приводящих уравнение к этому виду,
можно незаметно для решающего изменить область определения. Учет условий области
определения — один из главных элементов правильного решения логарифмических
уравнений.
Пример 11. Решить уравнение log 2 ( x 2  9)  log 2
x 1
x 3
 3
Решение.
Область
определения
уравнения
задается
2
x 1
x  9  0 и x 3  0 .
В области определения можно выполнить следующие преобразования:
условиями
log 2 ( x  3)( x  3)  log 2
log 2 ( x  3)( x  3) 
x 1
 log 2 8
x3
x 1
 log 2 8
x3
log 2 ( x  3)( x  1)  log 2 8
( x  3)( x  1)  8 x 2  4 x  5  0
Решая полученное квадратное уравнение, имеем
x1  2  4  5  5 x2  2  3  1
Так как x12  9  0 и
x1 1
x1  3
 0 , то число x1  5 входит в область определения начального
уравнения, а поэтому является его корнем. Так как x22  9  0 , то число x1  1 не входит в
область определения начального уравнения и не является его корнем.
Ответ: 5.
Заметим, что при преобразованиях получалось промежуточное уравнение
log 2 ( x  3)( x  1)  log 2 8
в область определения которого входит число 1 . В отличие от начального уравнения
промежуточное уравнение имеет два корня: 5 и 1 .
Пример 12. Решить уравнение
log x  4 ( x  2)  log 7 ( x  4) 2  log 7 (8  x) 2  2
Решение.
Область
определения
уравнения
задается
условиями:
2
2
x  2  0 , x  4  0 , x  4  1, ( x  4)  0 , (8  x)  0 . Учитывая все эти условия, получаем
область определения уравнения в виде объединения промежутков:
(4 5)  (5 8)  (8)
В области определения можно выполнить следующие преобразования:
log 7 ( x  2)
 2 log 7 ( x  4)  2 log 7  8  x  2
log 7 ( x  4)
2log 7 ( x  2)  2log 7  8  x  2
log7 ( x  2)  8  x  1
log7 ( x  2)  8  x  log 7 7
( x  2)  8  x  7
Далее нужно решить полученное уравнение и выбрать корни, входящие в область
определения.
I. Пусть 8  x  0 , или x  8 . Тогда уравнение запишется в виде
( x  2)(8  x)  7
Отсюда
 x2  10 x  16  7 x 2  10 x  23  0
x1  5  2 x2  5  2
Число x1  5  2 удовлетворяет условию x1  8 и входит в область определения, поэтому
является корнем начального уравнения. Число x2  5  2 также удовлетворяет условию
x2  8 , но не входит в область определения.
II. Пусть 8  x  0 , или x  8 . Тогда уравнение запишется в виде ( x  2)( x  8)  7 . Отсюда
x3  5  25  9  5  4  9 , x4  5  4  1 . Число x3  9
удовлетворяет условию x3  8 и входит в область определения, поэтому является корнем
начального уравнения. Число x4  1 не удовлетворяет условию x4  8 , значит, не является
корнем уравнения ( x  2)  8  x  7 , а поэтому не может быть корнем начального уравнения.
x 2  10 x  16  7 ,
x 2  10 x  9  0 ,
Ответ: 5  2 и 9.
1.5. Способ логарифмирования
Один из способов решения показательных уравнений связан с логарифмированием
правой и левой части и приравниванием полученных выражений. Важно заметить, что это
возможно только в том случае, когда обе части исходного уравнения положительны, а
логарифмирование производится по положительному и отличному от единицы основанию.
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, следует искать другие способы решения.
Пример 13. Решить уравнение 01 xlg x 1  10
Решение. Уравнение определено при x  0 . При этом обе части уравнения положительны.
Прологарифмировав по основанию 10, отличному от 1, получаем
lg 01 xlg x 1  lg10
lg 01  (lg x  1)  lg x  1
1  lg 2 x  lg x  1
lg 2 x  lg x  2  0
В результате приходим к квадратному уравнению относительно выражения lg x . Отсюда
(lg x)1  1 1242  123  2 , x1  102  100 , (lg x)2  123  1 , x2  101  101 .
Ответ: 100 и 101 .
x1
Пример 14. Решить уравнение 2 x 2  3 x1  18
Решение. Уравнение определено при x  1 . При этом обе части положительны. Логарифмируя
по основанию 2, отличному от 1, получаем
x1
log 2 2 x 2  3 x1  log 2 2  32 
x1
log 2 2 x 2  log 2 3 x1  log 2 2  log 2 32 
x2
x 1
log 2 3  1  2 log 2 3
x 1
x 2  x(3  log 2 3  1  2 log 2 3)  2  log 2 3  1  2 log 2 3  0
x 2  (4  log 2 3) x  (3  3log 2 3)  0
В результате приходим к квадратному уравнению относительно x . Его дискриминант
D  (4  log 2 3) 2  4(3  3log 2 3)  log 22 3  4 log 2 3  4  (log 2 3  2) 2 
Поэтому
4  log 2 3  log 2 3  2
x1 
 1  log 2 3  log 2 6
2
x2 
4  log 2 3  log 2 3  2
 3
2
Ответ: log 2 6 и 3.
Заметим, что рассмотренное в этом примере уравнение иногда записывают в виде
x1
2 x 2  3 x1  21  32
После этого приравнивают показатели соответственно при степенях чисел 2 и 3 и получают
равенства x  2  1, xx11  2 . Оба эти равенства верны, когда x  3 , откуда делается вывод, что
получен ответ. Такой способ рассуждений похож на метод подбора корней путем проверки и,
вообще говоря, является ошибочным, так как не дает множества всех корней данного
уравнения.
Пример 15. Решить уравнение
(3x) x 2 x1  (3x)2 
Решение. Уравнение определено при x  0 .
Рассмотрим способ решения этого уравнения, связанный с логарифмированием по основанию
3x . Это возможно, если 3x  0 и 3x  1 . Тогда
2
log3 x (3x) x 2 x 1  log3 x (3x)2 
2
x2  2 x  1  2
x 2  2 x  3  0
Отсюда x1  1  1  3  1  2  3 , x2  1 . Число x1 входит в область определения и является
корнем начального уравнения; число x2 не входит в область определения.
Проведенные рассуждения возможны только при x  0 и x  13 . Такие значения не
исчерпывают всю область определения исходного уравнения, так как остается не
рассмотренным число x  13 . Это число можно проверить непосредственной подстановкой:
1  2 1
2
 1 9 3
 1
  3  
 3 
 3
 3
1
Равенство выполняется, поэтому x3  3 также корень начального
уравнения.
Ответ: 3 и 13 .
Особо следует отметить, что способ сведения уравнения вида
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)
(1)
к уравнению вида
f ( x)  g ( x)
(2)
основан на том, что эти два уравнения равносильны на общей части их областей определения.
Докажем это.
Обозначим через D общую часть областей определения уравнений (1) и (2).
I. Пусть a  D и выполняется равенство log h ( a ) f (a)  log h ( a ) g (a) Тогда числа f (a ) , g ( a )
определены, причем в силу монотонности логарифмической функции из равенства их
логарифмов следует равенство f (a)  g (a) . Это означает, что число a является корнем
уравнения (2).
II. Пусть b  D и f (b)  g (b) . По определению множества D выполняются условия f (b)  0 ,
g (b)  0 , h(b)  0 и h(b)  1 . Поэтому числа log h (b ) f (b) и log h (b ) g (b) определены и равны как
логарифмы равных чисел по одному основанию, то есть
log h (b ) f (b)  log h (b ) g (b)
Таким образом, из первой части доказательства следует, что каждый корень уравнения (1) из
множества D является корнем уравнения (2), а из второй части –что каждый корень уравнения
(2) из множества D является корнем уравнения (1). Тем самым равносильность уравнений (1)
и (2) на множестве D доказана.
Домашнее задание
1. Решите уравнение:
а)
2 x  32 ;
б) 9 x  27 ;
в)
 52   254 
x
2 x1
 125
8 ;
г) 3x  24 7 ;
д) 2  3x  2  4  3x 1  300 ; е) ( x 2  x  1)4 x 1  1 .
2.
Решите
уравнение:
x 1
x2
г) 2  3  5  9  81 .
а) 4 x 3  22 x  2  51 ;
2 x  7 y  112
3. Решите систему уравнений: а) 
; б)
2 x  7 y  1
x1
б) 5x  4  5 2 ;
2x
2 y 1
 85
7  4
.
 x
y
7  4  5
в) 32 x 1  5  3x  2 ;
4. Решите уравнение: а) log5 x  12 ; б) log 06 x  2 ; в) log5 x  log5 9 ; г) log 2 ( x 2  2 x  2)  1 .
Решите
5.
уравнение:
а) log 2 (log5 x)  0 ;
б) log 32 x  3log 3 x  4 ;
в) log6 x x  2 ;
г) log 2 (2 x  3)  log 2 ( x  6)  3 д) 2 log5 x  3  0
6. Решите уравнение: а) 22 x 1  5  6 x  3  9 x  0 ; б) 4 x  52 x 1  6 10 x .
7. Решите уравнение: а) 81 2 x ( x 1)  4  32 x ; б) 25  4 x (3 x )  16  52 x .
8. Решите уравнение: а) log x 2  log 2 x 4  log8 x 16 ; б) log x 9  log3 x 27  log9 x 81
Решите
9.
уравнение:
1
а) lg 2xx11  lg 3xx10
0;
б) log x  4 log 3log x 3 ( x 2  7 x  12)  0 ;
2
в) log 2 (2 x  2)  log 4 ( x  1) 2  2  log 2 ( x 2  x  3) ; г) log x (3x 2  5 x  3)  2 .
Решите
10.
уравнение:
а) 10  5logx2 (2 x3)  29 10logx2 (2 x3)  10  2logx2 (2 x3)  0
2
б) log x (3  x)  log 2 x  log 2 ( x  6)2  4
11. Решите систему уравнений:
1

1  log y x  2 log y ( x  y)  log y 10  log y 10  log10 18
а) 

1  log y  x (29  2 x  xy)

log x (11  y)  2  2 log x (1  y)
б) 

log10 y  log10 y  log y ( x  y)  log10 3  log10 x  1
12. Решите уравнение:
а) log 2 x 1 (5  8 x  4 x 2 )  log 52 x (4 x 2  4 x  1)  4
б) 2  4 x  2  3  9 x  2  7  6 x 2 .
Проверь себя. Показательные и логарифмические уравнения
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какое из указанных чисел является корнем уравнения log x 2  2 ?
 1. 2
2
1
2
 2. 2
 3. 2
1
2
(Правильный вариант: 2)
 4.
Какое из указанных чисел является корнем уравнения (4  2 3) 2 x  1  3 ?
1
 1.
4
1
 2.
2
 3. 1
 4. 2
2
(Правильный вариант: 1)
x
К какому из указанных уравнений сводится уравнение 9
x 1
 1.
 2.
 3.
 4.
4
x2
3
 25  6 при замене z    ?
2
x
z 2  25 z  1  0
9 z 2  25 z  1  0
9 z 2  25 z  16  0
z 2  25 z  16  0
(Правильный вариант: 3)
К какому из указанных уравнений сводится уравнение log3 x 3  log9 x x  1 при замене z  log3 x ?
z
 1.
1
(1  z )(2  z )
3  2z
 2.
1
(1  z )(2  z )
z
 3.
1
( z  1)(2 z  1)
3
 4.
1
(1  z )(2  z )
(Правильный вариант: 1)
Проверь себя. Показательные и логарифмические уравнения
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Каким из перечисленных уравнений равносильно уравнение вида log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x) ?
 1. log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)  0
f ( x)
0
g ( x)
 3. 2  log h ( x ) f ( x)  2  log h ( x ) g ( x)
 2. log h ( x )
 4. logh( x) f 2 ( x)  log h( x) g 2 ( x)
(Правильные варианты: 1, 3)
Пусть функции f ( x) и g ( x ) определены на всей числовой прямой. При каких из указанных
условий уравнение вида x f ( x )  x g ( x ) равносильно уравнению f ( x)  g ( x) ?
 1. Всегда
 2. Когда уравнение f ( x)  g ( x) не имеет отрицательных корней
 3. Когда уравнение f ( x)  g ( x) имеет только положительные корни
 4. Когда все корни уравнения f ( x)  g ( x) положительны и один из корней равен единице
(Правильные варианты: 4)
При каких из указанных условий уравнение вида log x f ( x)  log x g ( x) равносильно уравнению
f ( x)  g ( x) ?
 1. Когда уравнение f ( x)  g ( x) имеет только корни, большие единицы
 2. Когда уравнение f ( x)  g ( x) не имеет отрицательных корней
 3. Когда уравнение f ( x)  g ( x) имеет только положительные корни
 4. Когда уравнение f ( x)  g ( x) имеет только положительные корни, отличные от единицы
(Правильные варианты: 1, 4)
Какой из систем равносильно уравнение log ( x 1)2 ( x 2  x  6)  2 ?
 x2  x  6  x  1

 1.  x  1  0
( x  1) 2  1

( x 2  x  6) 2  ( x  1) 2

x  2
 2. 
 x  1
 x  0
 x2  x  6  x  1

 3.  x  1  0
x 1  1

( x 2  x  6) 2  ( x  1) 2

 4.  x  1  0
x  0

(Правильные варианты: 2)
Рисунки (названия файлов)
Нет