Document 990056

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифмов
Справочные сведения
Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают loga b), где а > 0, a  1,
называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Равенство
b
a loga  b , где а
> 0, a  1, b > 0, называют основным логарифмическим
тождеством.
x = logab – корень уравнения ax = b, где а > 0, a  1, b > 0.
Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log10 b = lg b.
Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом: logе b = ln b.
5) log a x p  p  log a x
1
6) log a n b   log a b
n
p
7) log a n x p  log a x
n
1
8) log a   log a b
b
1
9) log a b  log a b
2
1) log a 1  0
2) log a a  1
3) log a x  y  log a x  log a y
4) log a
x
 log a x  log a y
y
10) log a b 
log c b
log c a
11) log a b  log b a  1
12) log a b 
1
log b a
Примеры с решениями
1. Вычислить: 1) log 3 81; 2) log 1 16; 3) log 9 27;
4
Решение. 1) log 3 81  4 , так как 3 = 81.
4
x
x
1
1
2) Пусть log 1 16  x . Тогда по определению логарифма    16 , или    4 2 , откуда
4
4
4
2
x
1
1
     , x  2 .
4
4
 
x
2
3) Пусть log 9 27  x . Тогда по определению логарифма 9  27 , откуда 3
2x  3 , x  1,5 .
2. Найти: 1)
7
log7 5
;
2)
0,5
0 , 5 log0 , 5 12
;
3)
1
 
8
x
 33 , 3 2 x  3 3 ,
log8 3
.
Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству)
1)7
log7 5
1
3)  8 
 
 5;
log8 3
2) 0,5
 
 8 1
log8 3

0 , 5 log0 , 5 12
 8log8 3

1

 0,5
 31 

log0 , 5 12 0 , 5
1
.
3
 12
0,5
1
2
 12  12  2 3;
3. Вычислить:
1) log 9 45  log 9 1,8;
3) 2 log 0,3 3 
5
2) log 11 121;
1
log 0,3 10000.
2
Решение.
1) log 9 45  log 9 1,8  log 9 45  1,8  log 9 81  2;
1
5
2) log 11 121  log 11 121 
5
1
1
2
log 11 121   2  ;
5
5
5
1
1
9
2 log 0,3 3  log 0,3 10000  log 0,3 3 2  log 0,3 10000 2  log 0,3 9  log 0,3 100  log 0,3

2
100
3)
 log 0,3 0,09  2.
Дидактический материал
1. Вычислить:
1)
log 2 16;
2) log 0, 2 0,04;
4)
log 1 9;
5) log 23 1;
1
;
81
1
.
6) log 5
125
3) log 3
3
Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.
2. Вычислите десятичные логарифмы:
1) lg 10000;
2) lg 0,1;
3) lg 0,0001;
4) lg 10 .
Ответы: - 4; - 1; ½; 4.
3. Вычислите натуральные логарифмы:
1
3
1) ln e;
Ответы:
0;
1
;
3
4) ln lg 10.
3) ln e ;
2) ln e ;
1
; 1.
2
4. Вычислите:
1) log 1 9  2 log 1
5
5
5
;
3
2) log 7 196  2 log 7 2.
Ответы: - 2; 2.
5. Найдите значения выражений:
25log5 2  1
;
1)
49 log7 4
log4 10
160,5
;
2)
10lg 4  1
5
4
3) log 2 12  log 2 3  log 2 5 ;
Ответы: 4; 2;
5
.
16
4)
3
2  log3 5
1
 
 3
log3 5
.
Логарифмические уравнения и их системы
Справочные сведения
Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
logax = b,
(1)
где a и b – данные числа, а х – переменная величина.
Если а > 0 и a  1 , то такое уравнение имеет единственный корень x = ab.
Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению
алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).
Способы решения логарифмических уравнений
1. Способ непосредственного применения определения логарифма.
Пример 1. Решим уравнение logx( х3 – 5х + 10 ) = 3.
Решение. По определению логарифма можно написать: х3 – 5х + 10 = х3, откуда: х = 2.
Проверка: log2(23 - 5  2 + 10) = log28 = 3.
Ответ: 2.
Известно, что областью определения логарифмической функции является множество
положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений
вначале определяется
область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные
значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.
2. Способ приведения уравнения к виду loga f(x) = loga g(x) c последующим применением
потенцирования.
Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x2 – 25 ) = 0.
Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:
 x  5  0,
 x  5  0,
èëè 
 2
Отсюда имеем: x  5; .
( x  5)( x  5)  0.
 x  25  0
Преобразуем данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x2 – 25 ).
Потенцируя, имеем: х + 5 = х2 – 25 или х2 – х – 30 = 0, откуда х1 = 6, х2 = - 5. Но
 5  5; .
Ответ: 6.
3. Способ введения новой переменной.
2
Пример 3. Решим уравнение : log 2 x  log 2 x  2  0.
Решение. Пусть log2 х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у2 – у – 2 = 0.
Решив полученное квадратное уравнение, имеем: у1 = 2, у2 = - 1.
Теперь найдем искомые значения х:
1
log2 х = 2, х1 = 4;
log2 х = -1, х2 =
2 .
1
ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ.
Ответ: 4; .
2
4. Способ почленного логарифмирования.
log2 x  2
 8.
Пример 4. Решим уравнение: x
log x
log x
2
2
Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде: x 2  x  8 или x 2  8 x .
Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:
log 2 x log2 x  log 2 (8 x 2 ) . Применяем свойства логарифмов: log 2 x  log 2 x  log 2 8  log 2 x 2 ,
log 22 x  3  2 log 2 x, log 22 x  2 log 2 x  3  0.
Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:
1
1) log2 х = 3, х1 = 8; 2) log2 х = -1, х2 =
2 .
Выполняем проверку:
1) 8
log2 8 2
 8, 832  8, 8  8;
1
2)  
2
5.
1
log2    2
2
1
 8,  
2
1 2
 8, 8  8.
Ответ: 8;
1
.
2
В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными
основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:
log a b 
log c b
log c a
Пример 5. Решим уравнение: log 2 x 
Решение. ОДЗ: x  0 : 1  1;.
4
 5.
log x 2
Используем формулу перехода к новому основанию: log x 2 
уравнение имеет вид:
log 2 x 
log 2 2
, тогда данное
log 2 x
4
 5, или log 2 x  4 log 2 x  5.
log 2 2
log 2 x
Тогда: 5 log 2 x  5, log 2 x  1, откуда получаем, что х = 2.
2  0 : 1  1;.
Ответ: 2.
6. Показательно-логарифмические уравнения.
Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения
и приведением к логарифмическим уравнениям.
log32 x
 x log3 x  162.
Пример 6. Решим уравнение: 3
 
Решение. Перепишем это уравнение в виде: 3log3 x
log3 x
 x log3 x  162. Воспользуемся
b
loga
 b , имеем:
основным логарифмическим тождеством a
x log3 x  x log3 x  162,
2 x log3 x  162, x log3 x  81.
log3 x
 log 3 81. Тогда
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log 3 x
1
log 3 x  log 3 x  4, log 32 x  4, откуда: log 3 x  2 и log 3 x  2 или х1 =
и х2 = 9.
9
Проверка: 1)3
log32
1
9
2
1
 
9
log3
1
9
 log3 19 

  3



log3
   3 
2)3log3 9  9 log3 9  32
2
2 2
1
9
3
 2 log3
1
9
1
 
9
 81  81  162.
2
 322   34  34  81  81  162;
Ответ:
1
; 9.
9
При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы,
что и при решении систем алгебраических уравнений ( способы подстановки, алгебраического
сложения, введения новых переменных и др.)
2 x y

 81,
3
Пример 6. Решим систему уравнений: 

lg xy  1  lg 3.
Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе
2 x y
2 x y


2 x  y  4,
 34 ,
 34 ,
3
3
уравнение потенцируем: 




lg xy  lg 10  lg 3;
lg xy  lg 30;  xy  30.
Введем новые переменные:
2a  b  4,
a  x è b  y , получим систему рациональных уравнений: 
a  b  30.
Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:
или х = 25 и у = 36.
3 2 25  36  81,
34  81,
81  81,


Проверка: 
lg 25  36  1  lg 3; lg 30  1  lg 3; lg 30  lg 30.
Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.
x 5 è
y 6
Ответ: (25;36).
Дидактический материал
1. Решите логарифмические уравнения:
a) log 7 4  x   1;
Îòâåò : 3.
á) lg x  1  lg x  1  lg 3;
Îòâåò : 2.
â) ln 6  x  ln x  ln 5;
Îòâåò : 1; 5.
ã)2 log 32 x  7 log 3 x  3  0;
Îòâåò : 3; 27.
ä) log 1 3 2 x  2  2;
Îòâåò : 33.
2
å) log 3
5
2x  3
 1;
x2

Îòâåò : 3.



æ ) x 2  x  2 log 2 x 2  4 x  4  0;


ç) log 3 5 2 x  2  5 x  2  log 9 15;
è ) x log3 x 2  27;
ê ) log
x 6
3  2  0.
Îòâåò : 1; 1; 3.
Îòâåò : 1.
1
Îòâåò : ;27.
3
Îòâåò : 9.
2. Решите системы логарифмических уравнений:
log 3 xy  2  log 3 2,
à)
log 3 x  y   2;
Îòâåò : 6;3; 3;6
3log3  x  y   1,
á )
log 3 2 x  1  log 3 y  1;
Îòâåò : 2;1.
3 x  2 y  576,
â)
log 2  y  x   4;
Îòâåò : 2;6
101lg x  y   50,
ã)
lg x  y   lg x  y   2  lg 5.
Îòâåò : 4,5;0,5
Логарифмические неравенства
Справочные сведения
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим неравенством.
Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в
верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их
нет.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида
log a f x   log a g x  или log a f x   log a g x .
Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее
свойства, применяют следующие утверждения:
1) при а > 1 неравенство log a f x   log a g x  равносильно системе неравенств:
 f ( x)  0,

 g ( x)  0,
 f ( x)  g ( x);

(1)
2) при 0 < а < 1 1 неравенство log a f x   log a g x  равносильно системе неравенств:
 f ( x)  0,

 g ( x)  0,
(2)
 f ( x)  g ( x);

Примеры с решениями
Пример 1. Решим неравенство log 1 2 x  5  2.
3
Решение. Преобразуем правую часть неравенства: log 1 2 x  5  log 1 9. Здесь а =
3
используем систему неравенств вида (2):
2 x  5  0,

2 x  5  9;
Решением последней системы будет промежуток
2;.
3
или
5

x   ,
2

 x  2.
1
, поэтому
3
Ответ: 2;.
Пример 2. Решим неравенство lg x  1  1  lg( 2x  6).
Решение. Используем свойства логарифмов: lg x  1  lg( 2 x  6)  1, lg x  1(2 x  6)  lg 10.
В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):
 x  1  0,

2 x  6  0,
отсюда:
( x  1)( 2 x  6)  10;

 x  1,

 x  3,
2 x 2  4 x  16  0;

 x  1,

 x  3,
 x 2  2 x  8  0;

 x  1,

 x  3,
( x  4)( x  2)  0.

Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой,
находим общую часть – промежуток 3;4.
Ответ: 3;4.
Дидактический материал
1. Решите логарифмические неравенства:
a ) log 1 7  x   2;
Îòâåò :  2;7 .
3
Îòâåò : 0,25;2,75.
á) lg 4x  1  1;
â) log 5 3x  2  log 5 ( x  6);
Îòâåò : 4;.
ã) log 1. (4 x  3)  log 1 ( x  3);
3 
Îòâåò :  ;2.
4 
9
9
ä) log 22 x  log 2 x  2  0;
1 
Îòâåò :  ;2.
4 
å) log 02,1 x  3 log 0,1 x  4;
Îòâåò : 0;0,1  10 4 ; .


Îòâåò :  4;2.

Îòâåò :  2;1  2;3.
æ ) lg x 2  2 x  2  1;


ç) log 1 x 2  x  2  2;
2
log3
x 1
3 x 3
log2
x 1
x 1
è )2
ê )3

1
;
4
1
 ;
9
Îòâåò : 1;2.
 2
Îòâåò : 1;1 .
 3

Тест № 1
1.
log 3
Вычислите: 5 5  100
 log0 ,1
6
A)9. Â)8 6 . Ñ )18. D)3 6 . Å )27.
2.

2
log2 3
Найти значение выражения: 5 log 3 81  16
A)5.
3.
Ñ )20.
D)25.
log8 5 25
Å )10.
Решите уравнение: 2  log 2 (4  3x)  log 2 3  log 2 (2  3x)
A)2.
4.
Â)15.

2
Â)  1 .
3
1
D)  1 .
3
Ñ )  1.
1
Å )1 .
3
x

Решите неравенство: log 0,3 12    1.
2

A) ;24. Â)0;23,4. Ñ)23,4;. D)25;. Å)23,4;24.
5.
lg x  lg y  7
Решить систему уравнений 
.
lg x  lg y  5


D)1.
Å )2.
A) Íåò ðåøåíèÿ . Â)(10 6 ;10 1 ). Ñ )10;100. D) 10 2 ;10 4 . Å )10;10.
6.

A)  4;1.
7.
Â)  0,8.
Â)18.
D)6.
Å )9.
Â)0;8.
Ñ)5;.
D)5;8
Å)0;5.
9  2x
Решите неравенство: log 4 x  2  0
 1 1
A) 2 ;4 .
 3 2
10.
Ñ )0.
Решите неравенство: log 15 x  3  log 15 x  5  1.
A) 5;.
9.
Ñ ) Íåò ðåøåíèÿ .
Найдите произведение корней уравнения 6 log 32 x  12 log 3 x  0
A)  6.
8.

lg x 2  5x  4
1
Решите уравнение:
2 lg x
 1 1
Â) 2 ;4 .
 3 2
 1 1
Ñ ) 2 ;4 .
 3 2
D)0;1.
log 3 ( y  x)  1
Решить систему уравнений:  x 1 y
3  2  24
A)3;3.
Â)0;3.
Ñ)3;3.
D) 3;3
Å)3;0.
 1 1
Å ) 2 ;4 .
 3 2
Тест № 2
1.
Вычислите : 3 log 2 (log 4 16)  log 0,5 2.
A)4.
2.
Â)  4.
Ñ )  2.

A)9.
Â)3.

log6 914
Ñ )4.
.
D)5.
Å )6.
Решите уравнение: log 2 (3x  1)  log 2 (4  x)  4  log 2 ( x  1).
A)5.
4.
Å )6.
Используя определение и свойства логарифмов, найдите значение выражения:
3
log 4
  log 2 32  27 3
7
3.
D)2.
Â)6.
Ñ )3.
D)8.
Å )9.
Решить неравенство: lg x  2  lg 4
A)0;. Â)0;25. Ñ) ;0. D)25;. Å) ;25.
5.
log ( x  y )  4,
Решить систему уравнений  2
2 x  y  5.
A)7;9.
6.
D)7;6
Å)9;7.
Â)2.
Ñ )1,25.
D)1,5.
Å )0,5.
Найдите произведение корней уравнения: lg 2 x  2 lg x  3  0.
A)3.
8.
Ñ)8;4.
log 5 (5  4 x  x 2 )
 2.
Решите уравнение:
log 5 x
A)5.
7.
Â)0;12.
Â)10.
Ñ )100.
D)  10.
Решите неравенство: log 0,5 x  2  log
Å )  3.
2
x  2  log 2 x  2  6.
A) 2;8. Â) ;6. Ñ) 2; . D) 2;6  6;7. Å) 2;6.
9.
Решите неравенство:
x 2  3x
 0.
log 5 ( x  2)
A) 2;3. Â) 1;0  (3; ). Ñ) 1;3. D) 2;1  0;3. Å) 2;0  (0;3).
10.
log 2 ( x  y )  1,
Решить систему уравнений  x y 1
2 3  72.
A)2;1.
Â)1;0.
Ñ)1;1.
D)3;1
Å) 1;1.
Тест № 3*
1.
Найти значение выражения: 2 log 7 32  log 7 256  2 log 7 14.
A)16.
2.
Ñ )1.
Â)6,5.
627
.
626
D)12,5.
Å )16,5.
Ñ )  4;5.
Â)10.
D)4.
Å )5.
Â) 3;4.
Ñ)0;3.
D)0;4.
Å)3;4.
Â)
258
.
257
Ñ)
83
.
82
3
D) .
2
Å)
18
.
17
10  lg 0,5  log 5 4  log 5 0,5
.
Вычислите:
log 5 6  log 5 12
Â)1.
Ñ )  1.
D)  2.
Å )2.
Решите уравнение: 3 log 3 x x  2 log 9 x x 2 .
A)1; 9.
9.
1
log 3 16  3 log 3 0,5.
2
x
Найдите x  1  1, где х – это корень уравнения log 1 x  log 1 x  log 1 x  7.
16
4
2
A)  3.
8.
Å )9.
lîg 3 ( x  2)  0,
Решить систему неравенств:  2
 x  16  0.
A)
7.
D)3.
Ñ )9,5.
A) Íåò ðåøåíèÿ .
6.
Å )2.
Решите уравнение: (lg( õ  20)  lg õ)lîg õ 0,1  1.
A)  5;4.
5.
Â)5.
Решите уравнение: log 3 x 
A)0,5.
4.
D)  4.
Чему равно выражение: log 5 log 4 log 3 81?
A)0.
3.
Ñ )  2.
Â)4.
Â)1.
Ñ )9.
D) Íåò êîðíåé .
Å )1;
1
.
9
Решите неравенство: log 3 x  4  0
2
1

 1
 1
 1
A)  ;   9;. Â) 0;   (1;). Ñ ) 0;   9;. D) ;1  0;4. Å ) 0;   9;.
9

 9
 9
 9
10.
lg 2 x  lg x  2  0,
Решить систему неравенств: 
log 2 x  0.
A) ;0,01  1;. Â) ;1  10;. Ñ)0,01;10. D)0,01;1. Å)1;10.
Код правильных ответов по теме «Логарифмы»
№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Тест № 1
C E D E B C E D C B
Тест № 2
D E C D A C C E D D
Тест № 3*
C A A E E E A A E E