Э.2012-2013.Теория коллективного выбора (Субочев)

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т в о Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Программа дисциплины
Теория коллективного выбора
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Автор программы: А.Н. Субочев, к.ф.-м.н., asubochev@hse.ru
Одобрена на заседании учебно-научного департамента математики на факультете экономики
«___»____________ 20 г
Зав. департаментом: Ф.Т. Алескеров
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС]«___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины "Теория коллективного выбора" устанавливает
минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды
учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
изучающих дисциплину "Теория коллективного выбора".
Программа разработана в соответствии с:

Рабочим учебным планом факультета экономики по направлению 080100.62
«Экономика» подготовки бакалавра, утвержденным 30 августа 2012 г.
2. Цели освоения дисциплины
Цель дисциплины - углубление понимания обучающимися такого социального феномена,
как коллективный выбор, учебные задачи курса - углубленное освоение ряда основных
разделов теории выбора, таких как теория локальных процедур агрегирования, теория
решений, основанных на правиле большинства, и пространственная теория голосования.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать: основные факты теории локальных процедур агрегирования, теории решений,
основанных на правиле большинства, пространственной теории голосования;
Уметь: строго доказывать все утверждения, сделанные при изложении материала курса;
Владеть: терминологией и методами теории выбора.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
готов использовать
основные законы
научных дисциплин в
профессиональной̆
деятельности, применять
методы математического
анализа и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования в
экономике
владеет культурой̆
критического
мышления, способен к
обобщению, анализу,
восприятию
информации, постановке
цели и выбору путей̆ её
достижения
владеет иностранным
языком на уровне,
достаточном для
разговорного общения, а
также для поиска и
анализа иностранных
источников информации
способен выбрать
инструментальные
средства для обработки
экономических данных в
соответствии с
поставленной задачей̆,
проанализировать
результаты расчетов и
обосновать полученные
выводы
ОНК-1
СЛК-1
СЛК-14
ПК-5
умеет дать формальнологическое описание и
построить математическую
модель ситуации выбора,
умеет применить различные
критерии для оценки
моделируемой реальности
использование
формально-логических
доказательств, практика
анализа реальных
ситуаций с помощью
построения их
математических моделей
умеет дать формальнологическое описание и
построить математическую
модель ситуации выбора,
умеет применить различные
критерии для оценки
моделируемой реальности
использование
формально-логических
доказательств, практика
анализа реальных
ситуаций с помощью
построения их
математических моделей
знает английскую
терминологию, умеет
прочесть английский текст
научной статьи по данной
предметной области
чтение специальной
литература на английском
языке, знакомство с
международной
(английской)
терминологией данной
предметной области
умеет дать формальнологическое описание ситуации
выбора, подобрать
математический метод
обработки эмпирических
данных, умеет применить
различные критерии для
оценки применяемых методов,
умеет интерпретировать
получаемые результаты
вычислений
решение задач, в которых
осваиваются
математические модели и
методы, позволяющие
анализировать и
интерпретировать
различную информацию,
использующуюся для
принятия управленческих
решений
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу факультативных дисциплин и блоку дисциплин,
обеспечивающих подготовку бакалавров по направлению 080100.62 «Экономика».
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

Методы оптимальных решений
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра


Дискретные математические модели
Теория игр
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:

необходимо знать основные факты теории множеств, теории графов и теории игр,
владеть базовой терминологией этих дисциплин, уметь строить и анализировать логически
строгие доказательства математических утверждений.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:

Современные методы принятия решений

Принятие решений при многих критериях

Принятие индивидуальных и коллективных решений

Современные модели теории игр

Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений

Анализ и поддержка решений

Математические модели политической экономики
5. Тематический план учебной дисциплины
Модули
Всего часов / зачетных
Вид учебной работы
единиц
1
2
3
Аудиторные занятия (всего)
42
22
20
Лекции
28
14
14
Семинары
14
8
6
Самостоятельная работа (всего)
39
20
19
часы
81
42
39
зачетные единицы
1
Вид итоговой аттестации - экзамен
Общая трудоемкость
№
Наименование раздела
п/п
дисциплины
1.
2.
3.
4.
Постановка задачи выбора
Функция выбора и предпочтения
Агрегирование индивидуальных
мнений/решений в коллективное
мнение/решение
Нормативные свойства (аксиомы)
процедур коллективного выбора.
Аксиома независимости от
посторонних альтернатив
Лекции
Семинары
СР
Всего
2
6
0
2
0
6
2
14
4
2
8
14
4
2
8
14
4
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
5.
6.
7.
8.
(локальность) и ее значение
Конструирование коллективных
предпочтений. Парадокс Кондорсе.
Турнирные решения
Решения, основанные на принципе
устойчивости. Правило Коупланда.
Матрично-векторное представление
решений.
Метод собственного вектора:
решение длинного пути и марковское
решение.
Теоретико-игровые решения в задаче
выбора на мажоритарном графе
2
2
2
6
4
2
6
12
2
2
3
7
4
2
6
12
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Итоговый
Форма
контроля
1
1 год
2 3
Зачет
4
Кафедра
Параметры
письменный зачет, 80
минут, просмотр работ
проводится не позднее 7
дней после даты
проведения экзамена
*
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Знания студента оцениваются по его способности правильно решать задачи по темам курса.
Критерием оценки знаний студента является количество правильно решенных задач по
темам курса на зачетной контрольной работе. Оценивается как наличие правильного ответа,
так и правильность решения. Правильный ответ без решения не принимается (задача
оценивается
неудовлетворительно).
Ошибка,
выявляющая
незнание
теоретического
материала, приводит к снижению оценки за задачу на 3-7 баллов в зависимости от степени
грубости ошибки. Прочие ошибки приводят к снижению оценки за задачу на 1-3 балла (в
зависимости от степени тяжести). Оценки за все задачи зачетной контрольной работы
выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине
Данный курс является факультативом, и рабочий учебный план не предусматривает
проведения по данной дисциплине никаких форм промежуточного контроля, поэтому
накопленная оценка не вычисляется. При заполнении ведомости накопленная оценка
полагается равной оценке, полученной на зачетной контрольной работе.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
Формой итогового контроля является зачетная контрольная работа, которая проводится в
конце 3 модуля. Задания зачетной контрольной работы состоят из задач, эквивалентных или
аналогичных
тем,
которые
в
течение
курса
были
предложены
студентам
для
самостоятельной работы. На написание зачетной контрольной работы дается 80 мин. Любой
факт списывания, отмеченный преподавателем, приведет к получению оценки «1» (единица)
за данную работу. Оценки за все задачи зачетной контрольной работы выставляются по 10ти балльной шкале. При оценке задачи оценивается как наличие правильного ответа, так и
правильность решения. Правильный ответ без решения не принимается (задача оценивается
неудовлетворительно). Ошибка, выявляющая незнание теоретического материала, приводит
к снижению оценки за задачу на 3-7 баллов в зависимости от степени грубости ошибки.
Прочие ошибки приводят к снижению оценки за задачу на 1-3 балла (в зависимости от
степени грубости). 10-бальная оценка за зачетную контрольную работу Озачет равна среднему
10-бальных оценок за задачи. Способ округления оценки за зачетную контрольную работу:
арифметический. Результирующая оценка за итоговый контроль равна оценке за зачетную
контрольную работу.
Оитоговый = Озачет
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой
по учебной дисциплине.
7. Содержание дисциплины
№
п/п
Наименование
раздела дисциплины
1.
Постановка задачи
выбора
2.
Функция выбора и
предпочтения
Содержание раздела
Общий взгляд на проблему выбора. Описание возможных
задач,
связанных
с
рациональным
выбором:
агрегирование мнения экспертов, сравнение рейтингов,
многокритериальное
оценивание,
определение
победителя
в
спортивном
турнире.
Парадоксы
голосования. Очерк истории теории коллективного
выбора.
Внешнее формальное описание выбора - функция выбора,
как зависимость множества выбранных вариантов от
множества
вариантов,
доступных
для
выбора
(предъявления). Мотивы выбора (предпочтения) - способ
экономного описания и инструмент нормативной оценки
выбора. Связь функции выбора и предпочтений: аксиома
выявленных предпочтений. Представление предпочтений
бинарными отношениями. Представление отношений с
помощью графов. Путь и цикл в графе. Понятие
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
3.
Агрегирование
индивидуальных
мнений/решений в
коллективное
мнение/решение
4.
Нормативные свойства
(аксиомы) процедур
коллективного выбора.
Аксиома
независимости от
посторонних
альтернатив
(локальность) и ее
значение.
5.
Конструирование
коллективных
предпочтений.
Парадокс Кондорсе.
максимального
элемента
отношения.
Связь
наличия/отсутствия максимальных элементов отношения
с наличием/отсутствием циклов в соответствующем
графе. Типы бинарных отношений с всегда непустыми
множествами максимальных элементов: ациклические
отношения, строгие частичные порядки, слабые порядки,
линейные порядки. Рационализируемость функции
выбора бинарным отношением. Аксиома рационального
выбора: рациональный выбор - выбор максимальных
элементов бинарного отношения, представляющего
предпочтения. Принадлежность предпочтений к классу
слабых порядков как необходимое и достаточное условие
возможности
введения
функции
полезности.
Принадлежность предпочтений к классу линейных
порядков как необходимое и достаточное условие
однозначности выбора.
Агрегирование вида СС: и индивидуальные мнения, и
коллективное решение выражаются в виде функций
выбора: правило относительного большинства (plurality
rule) голосование в два тура, одобряющее голосование с
квотой, инверсное правило большинства. Агрегирование
вида PС: индивидуальные мнения выражаются в виде
бинарных отношений, а коллективное решение в виде
функции выбора: процедура Хаара, процедура Кумбса,
правило Борда, инверсное правило Борда. Агрегирование
вида PP: и индивидуальные мнения, и коллективное
решение выражаются в виде бинарных отношений.
Проблема оценки и выбора процедуры принятия
коллективных
решений.
Нормативные
свойства
(аксиомы) процедур коллективного выбора: свойство
положительной и
отрицательной ненавязанности,
монотонность,
нейтральность,
анонимность.
Положительный и отрицательный принцип Парето.
Определенность
выбора.
Примеры
нарушения
монотонности (голосование в два тура), нейтральности
(принцип старшинства) и анонимности (решающий
председатель). Аксиома независимости от посторонних
альтернатив (локальность) и ее связь с возможностью
интерпретации агрегированного ранжирования как
коллективных предпочтений. Списочное представление
процедур, удовлетворяющих аксиоме независимости от
посторонних
альтернатив
(локальных
процедур).
Отражение нормативных свойств локальных процедур
коллективного выбора
в структуре
списочного
представления. Конструирование локальных процедур с
заранее заданными свойствами. Теорема Эрроу.
Правило большинства, как единственный способ
агрегирование
индивидуальных
предпочтений,
удовлетворяющий
нормативным
свойствам
монотонности, нейтральности, анонимности, принципу
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
Турнирные решения
6.
Решения, основанные
на принципе
устойчивости. Правило
Коупланда. Матричновекторное
представление
решений.
7.
Метод собственного
вектора: решение
длинного пути и
марковское решение.
8.
Теоретико-игровые
решения в задаче
выбора на
мажоритарном графе
Парети и аксиоме независимости от посторонних
альтернатив. Отношение мажоритарного доминирования
µ и отношение равенства голосов  как система
предпочтений коллектива, принимающего решения.
Теорема МакГарви. Турниры. Победитель Кондорсе.
Парадокс Кондорсе. Понятие решения в задаче
оптимального коллективного выбора (турнирного
решения).
Максимальный цикл TC, непокрытое множество UC,
незахваченное
множество
UCp,
минимальное
слабоустойчивое множество MWS. Связь этих решений с
путями и циклами в орграфе, репрезентирующем
отношение . Теоретико-множественные соотношения
этих решений. Понятие k-устойчивой альтернативы и kустойчивого множества. Ранжирование по степени
устойчивости. Ранжирование по Коупланду. Матричновекторное представление решений.
Решение длинного пути, основанное на ранжировании с
помощью
собственного
вектора
матрицы,
представляющей отношение . Марковское решение,
основанное на ранжировании по вероятностям,
связанным со случайными блужданиями по орграфу,
представляющему отношение  (модифицированный
метод собственного вектора).
Множество Бэнкса как результат стратегического
поведения в ходе принятия коллективных решений с
помощью процедуры внесения поправок.
Турнирная игра. Победитель Кондорсе как равновесие
Нэша в чистых стратегиях в турнирной игре. Связь
отношения покрытия альтернатив с отношением
доминирования стратегий. Слабое седло в турнирной игре
- минимальное покрывающее множество. Равновесие
Нэша в смешанных стратегиях в турнирной игре двухпартийное множество.
8. Образовательные технологии
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Курс "Теория коллективного выбора" является более глубоким изучением материала,
излагающегося в курсе "Методы оптимальных решений", поэтому рекомендуется читать
один курс после того, как прочитан другой.
Занятия по курсу проходят в форме лекций и семинаров, с элементами живого обсуждения,
что требует хорошей самостоятельной подготовки студентов, которую следует мотивировать
заданиями для самостоятельной работы. Студенты должны быть строго ориентированы на
самостоятельное овладение вопросами дисциплины и самостоятельное выполнение заданий,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
предусмотренных данным курсом. Самостоятельная работа студентов является важнейшей
частью их занятий по данному курсу. Для усвоения материала курса и подготовке к зачетной
контрольной работе студенты обязаны дома решать задачи, которые им высылает
преподаватель. Для выполнения заданий для самостоятельной студентов можно разделить на
мини-группы по три человека.
Другим элементом самостоятельной работы студентов являются их индивидуальные
консультации с преподавателем. Преподаватель принимает студентов на кафедре во время
своих присутственных часов. Все возникающие в процессе обучения по курсу вопросы,
связанные
с
содержанием
учебного
материала,
студенты
должны
обсуждать
с
преподавателем на консультациях.
Перед зачетом необходимо проводить установочную консультацию в часы и дни,
согласованные с деканатом. Время проведения установочной консультации доводится до
студентов учебной частью деканата.
Преподаватель должен согласовать с группой время проведения индивидуальных
консультаций и регламент электронного общения, а также выслать студентам все
необходимые информационные электронные ресурсы (программу курса, литературу, задачи
для самостоятельной работы и подготовки к зачетной контрольной работе) или довести до
сведения студентов соответствующие адреса в адреса в Интернете, где они размещаются.
Занятия по курсу "Теория коллективного выбора" рекомендуется проводить на английском
языке.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля и вопросы для самопроверки
Задачи для самостоятельной работы. Данные задачи также используются для составления
вариантов письменной зачетной работы в конце курса.
Часть I.
1) Привести пример функции выбора не рационализируемой никаким бинарным
отношением.
2) Для данной функции выбора определить рационализируема ли она каким-либо бинарным
отношением, рационализируема ли она частичным, слабым или линейным порядком.
3) Доказать, что частичный порядок является ациклическим отношением. Доказать, что
линейный порядок является частичным порядком.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
4) Пусть бинарное отношение RAA является слабым порядком. Отношение I строится
следующим образом:  x, yA (x, y)I  ((x, y)R  (y, x)R). Доказать, что I – отношение
эквивалентности.
5) Доказать что множество максимальных элементов транзитивного отношения всегда
непусто.
6) Для данного профиля индивидуальных предпочтений определить результат коллективного
выбора и построить агрегированный рейтинг альтернатив с помощью следующих правил:
а) правило относительного большинства (plurality rule);
б) одобряющее голосование с квотой q (approval voting with quota q);
в) процедура Хаара (Hare procedure, instant run-off procedure, alternative vote);
г) инверсное правило большинства (inverse plurality rule);
д) процедура Кумбса (Coombs procedure);
е) правило Борда (Borda rule);
ж) инверсное правило Борда (inverse Borda rule).
7) Найти такой профиль, для которого все вышеперечисленные правила агрегирования дают
различный результат коллективного выбора. Найти такой профиль, для которого все
вышеперечисленные правила агрегирования дают различный агрегированный рейтинг
альтернатив.
Описание данных процедур можно найти в статье Алескерова и Курбанова (1999).
8) Доказать (построив соответствующий пример), что ни одна из вышеперечисленных
процедур построения агрегированного рейтинга не удовлетворяет свойству независимости от
посторонних альтернатив.
9) Для всех вышеперечисленных процедур проверить удовлетворяют ли они свойствам
положительной
и
отрицательной
ненавязанности,
монотонности,
нейтральности,
анонимности, принципу Парето (положительному и отрицательному).
10) Построить списочные представления для всех процедур агрегирования мнения трех и
четырех человек, строящихся с помощью всех возможных сочетаний операции объединения
и пересечения бинарных отношений. Проверить выполнения свойств 1-6 (указанных в статье
Алескерова и Айзермана).
11) Для каждого из допустимых сочетаний свойств 1-6, перечисленных в Разделе 1
Приложения статьи Алескерова и Айзермана (стр. 145-146), построить списочное
представление процедуры агрегирования, реализующей данное сочетание.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
Часть II.
Prove that Borda aggregation rule can't produce relations, which may be regarded as collective
preferences.
Prove that for any two dominant sets it always holds true that one of them includes the other.
Prove that any dominant set is a direct sum of top cycles of all degrees no greater than some natural
number i.
Prove that the set of all generally stable alternatives coincides with the top cycle.
Prove that the uncovered set coincides with the set of 2-stable alternatives.
Prove that Copeland set is always a subset of the uncovered set.
Prove that Banks set is always a subset of the uncovered set.
Prove alternative x covers alternative y in tournament T iff strategy x dominates strategy y in
corresponding 2-player tournament game G(T).
For a tournament on A, |A|=7, calculate
1. uncovered set UC;
2. union of minimal weakly stable sets MWS;
3. uncaptured set UCp;
4. top cycle TC;
5. all dominant sets;
6. ranking based on stability (k-stable alternative and sets);
7. Copeland ranking and Copeland set C;
8. Banks set B;
9. Long path ranking and Long path solution LP;
10. Markov ranking and Markov solution MK;
11. Minimal covering set MC;
12. Bipartisan set BP.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные
решения. М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006.
10.2 Основная литература
1.
Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии. М.: Академия, 1995.
(Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
2.
Алескеров Ф.Т., Субочев А.Н. Об устойчивых решениях в ординальной задаче выбора
// Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426. №3. С. 318-320. (Есть электронная версия.
Размещена на личной странице автора на сайте НИУ ВШЭ.)
3.
Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Задача Эрроу в теории группового выбора (анализ
проблемы) // Автоматика и телемеханика. 1983. № 9. С. 127-151. (Есть электронная версия.
Высылается студентам по электронной почте.)
4.
Субочев А.Н. Доминирующие, слабоустойчивые и непокрытые множества: свойства и
обобщения // Автоматика и Телемеханика. 2010. №1. C. 130-143. (Есть электронная версия.
Высылается студентам по электронной почте.)
5.
Мюллер Д. Общественный выбор III. М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2007.
6.
Aleskerov F., Kurbanov E. A Degree of Manipulability of Known Social Choice Procedures
// Current Trends in Economics: Theory and Applications / Eds. Alkan A., Aliprantis Ch., Yannelis
N. N.Y.: Springer-Verlag, 1999. P. 13-27. (Есть электронная версия. Высылается студентам по
электронной почте.)
7.
Aleskerov F., Subochev A. Modeling optimal social choice: matrix-vector representation of
various solution concepts based on majority rule // Journal of Global Optimization. 2012. DOI
10.1007/s10898-012-9907-2. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной
почте.)
10.3 Дополнительная литература
1.
Алескеров Ф.Т., Писляков В.В., Субочев А.Н., Чистяков А.Г. Построение рейтингов
журналов по менеджменту с помощью методов теории коллективного выбора: препринт
WP7/2011/04. Москва: НИУ ВШЭ. 2011.
2.
Aizerman M., Aleskerov F. Voting operators in the space of choice functions //
Mathematical Social Sciences. 1986. V. 11. N. 3. P. 201-242.
3.
Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models. Dordercht: Kluwer Academic Publishers, 1999.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплин «Теория коллективного выбора» для направления 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
4.
Duggan J. 2007. A systematic approach to the construction of non-empty choice sets //
Social Choice and Welfare. 2007. V. 28. P. 491-506.
5.
Laslier J.F. Tournament Solutions and Majority Voting. Berlin: Springer, 1997.
6.
Subochev A. Dominant, Weakly Stable, Uncovered Sets: Properties and Extensions.
Working paper WP7/2008/03. Moscow: State University - Higher School of Economics, 2008.