2022x, 754066 байт

2022
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ
«ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ»
Составители:
В. Я. Ярославцева, О.А. Воронина, Л.Н. Казьмина,
Н.Ф. Палинчак
Издательство ЛГТУ
2011
1
УДК 517.2(07)
Д-503
Рецензент
Ю. Д. Ермолаев, профессор ЛГТУ, кандидат физико-математических наук
Д-503 Типовой расчет по теме «Дифференцирование функций нескольких
переменных».⁄ сост.: В. Я. Ярославцева [и др. ]. - Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2011.
– 25с.
Настоящий типовой расчет составлен в соответствии с Государственным
общеобразовательным стандартом высшего профессионального образования и
предназначен для студентов технических специальностей, изучающих
дифференцирование функций нескольких переменных в курсе математики.
©Липецкий
государственный
технический университет, 2011
2
Теоретические вопросы
Понятие m-мерного евклидова пространства 𝐸 𝑚 .
Множества точек пространства 𝐸 𝑚 .
Последовательности точек в пространстве 𝐸 𝑚 .
Понятие функции m переменных.
Предел функции в точке. Теоремы о пределах.
Повторные пределы.
Непрерывность функции в точке. Основные теоремы о непрерывных
функциях.
8. Частные производные.
9. Производная по направлению.
10. Понятие дифференцируемости функции.
11. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных
функции.
12. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
13. Дифференцируемость сложной функции.
14. Градиент функции.
15. Дифференциал функции.
16. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
17. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных
производных.
18.Дифференциалы высших порядков.
19.Формула Тейлора. Многочлен Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и
Коши.
20.Понятие локального экстремума функции.
21.Необходимое условие локального экстремума функции.
22.Достаточное условие локального экстремума функции.
23.Достаточное условие локального экстремума в случае функции двух
переменных.
24.Понятие неявной функции.
25.Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции.
26.Понятие условного экстремума функции.
27.Метод исключения.
28.Метод Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума функции.
29.Достаточное условие условного экстремума функции.
Достаточное условие условного экстремума в случае функции двух
переменных.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3
30.Нахождение наибольших и наименьших значений функций.
Теоретические упражнения
1. Доказать, что для любых точек А, В, С пространства 𝐸 𝑚 справедливо
неравенство треугольника
𝜌(А, В)
𝜌(А, С)+ 𝜌(С, В).
2. Доказать, что m-мерный шар {М: 𝜌(М, А) ≤ 𝑅} является замкнутым
множеством.
3. Существует ли предел
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥 2 +𝑦 2
?
4. Доказать, что функция
f(x,y) =
f(x,y)
𝑥𝑦
𝑥 2 +𝑦2
=
, если 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0,
0, если 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0,
непрерывна в точке О(0,0) по каждой переменной x и y, но не является
непрерывной в этой точке по совокупности переменных.
5. Доказать, что функция
f(x,y) =
f(x,y)
𝑥 3 +𝑦3
𝑥 2 +𝑦2
=
, если 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0,
0, если 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0,
имеет в точке О(0,0) частные производные, но не дифференцируема
в этой точке.
6. Доказать, что дифференцируемая в данной точке функция непрерывна в
этой точке. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение
неверно.
7. Доказать, что функция
f(x,y) = 𝑥𝑦
f(x,y)
=
𝑥 2 −𝑦 2
𝑥 2 +𝑦 2
, если 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0,
0, если 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0,
имеет в точке О(0,0) смешанные частные производные второго
порядка, но при этом 𝑓𝑥𝑦 (0,0) 𝑓𝑦𝑥 (0,0).
4
8. Показать, что функция u =
1
𝑟
, где
r = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 , удовлетворяет при r ≠ 0
уравнению Лапласа ∆𝑢 = 0 .
9. На эллипсоиде 𝑥 2 +2𝑦 2 + 4𝑧 2 =8 найти точку, наиболее удаленную от
точки (0,0,3).
10. Найти локальные экстремумы неявной функции z (x,y,z), заданной
уравнением 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 - 2x+2y- 4z- 10 =0.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции.
1.1. z = х  5 у + ln (4-x²-y²).
1.2. z = arcsin
1.15. z =
х2
.
у2
1.16. z= 3  х 2  у 2  х .
1.3. z = arcsin (2- x²-y²).
1.4. z =
1.17. z = 4x +
1
1
 ln( 2 y) 
.
3х
1 x  y
1.18. z =
1.5. z = arcos (x+y).
1.6. z = ln (4+4x-y 2 ) +ln(2y-x).
1.7. z =
у
.
2х  5 у
3х  3 у
.
х  у2  4
2
1.19. z = arcsin (у-2х).
ху
.
2
х  у2
1.20. z =
1.21. z =
1.8. z = ln (x² + y² - 3).
1.9. z =
1
.
х  у2  6
2
4 xy
.
x  3y 1
4 ху
.
х  у2
2
у 2  х 2  ху .
х2 у2

.
9
4
1
z = ln(x+y)+ 2 2 .
х у
1.22. z = 1 
7 x2 y
.
x  4y
x
1.11. z = arcsin .
y
5
1.12. z =
.
7  x2  y2
1.10. z =
1.23.
1.24. z = 1  х 2  4 у 2  х  у .
1.25. z = 9  х 2  у 2  ху .
1.26. z = х 2  у 2  3  у .
1.13. z = arcsin (2x-y).
1.14. z= ln(𝑥 2 + 𝑦 − 9)+√𝑥 − 𝑦.
1
x
1.27. z = ln( 3x  y )  .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функции.
2.1. z= ln 2 (3x+2y).
2.2. z = x 2 у  е ху .
2.3. z = ln(3x 2  у 4 )  е у .
2.4. z = е3 х 5 у .
2
2.5 .
2.6 .
2.7 .
2.8 .
3
5
z = arcctg (xy 2 ).
z = (3x²- y+3) 4 .
z = sin 5 х 2  у 3 .
z = x  ln y  xy2 .
2.9. z = ctg (3x – 2y) +
2.11. z = ln 2 ( ху  1 ).
y3 .
х2
.
х  у2
х2
2.12. z =  ln y 2  x 4 y .
у
x2
2.13. z = arctg .
y
x
2.14. z = e (cos y  x  sin y) .
x y
2.15. z = sin
.
x y
2.16. z = sin (xy 3 ) .
2.10. z =
2.20. z = x 2 e3 x y .
3
2.21. z = arcctg
2.22. z = sin ( e x y ).
2
y
.
x y
2.23. z = cos
2.24. z = ln (y² - e  х ).
2.25. z = arcsin ху .
2.26. z = arcctg (x²+y²).
x
.
x y
2.17. z = tg
x3
.
y
2.27.
2.18. z = ln (x + y²) - x .
2.19. z = ln (2 x - 3 x ).
z = cos (x 3 2 xy) 
x
y
Задание 3. Найти полный дифференциал первого порядка функции.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
z = cos (2 x  ln( xy)) .
z = arcsin( 2 x3 y) .
z = ln 2 (4 y  x3 )  x3 y 7 .
z = cos( x  xy3 ) .
3.5. z = y  arctg
3.16. z =
3.17. z = е х  у 
2
3.20. z = ctg x 2 y 
3.13. z = ln
x2  y2
x
.
y
3.21. z = cos 3x 2  2 y 3  x 4 y 5 .
3
х у
х2  у 2
1
х2
.
у
y2
3.19. z = arccos 2 .
x
3.8. z = e  x  y .
3.9. z = у ln x  y  x .
3.10. z = arcos (3x-y²).
3.11. z = cos² (xy).
3.12. z = sin
2
3.18. z = 2  х 2  у 2  sin( xy) .
x
.
y2
2x  y2
3.6. z = tg
.
x
3.7. z = (5x 2  x3 y  y 3 x  7)4 .
3
у
 х е у .
3х  5 у
3.22. z = ln( x 2 y 3  3) .
3.23. z = tg( x3 y 4 )  e x y .
3.24. z =
.
x3
y
.

x y x y
3.25. z = 23 x  у  ln( x 4  y3 ) .
2
e .
xy
3.26. z = cos
3.14. z = ln( x3  y 3 )  3 xy .
3.15. z = sin 2 (3х  4 у) .
5
y 3 2
 x y
x
.
Задание 4. Найти производную функции у = у(х), заданной неявно.
6
у
х
х
4.1. y= е х соsy  e y sin x .
4.15. arctg  ln x 2  y 2 .
4.2. y -2y-sinx = 0.
4.16. y х 
4.3. xy + ln (xy) =1.
4.17 sin 2 ( х  у )  ( х 2  ху  у ) 2 .
4.18. y sin x  sin( xy) .
4.4. e аrctg( x y )  x .
4.5. y 2 
x y
.
x y
у
 1.
4.19. (x²+y²-x)² =x²+y².
4.6.x²-1+cos (xy) =0
4.20. (y-x²)² = x 5 .
4.7. e x y  x  y
4.21. y sin x + x² +y³=1.
y
4.8.y =ln tg .
x
sin y
4.9.x²y+x  0 .
4.22. xy = y х .
4.23. xy + ln (x+2y) = 5.
4.10. x cos(πy)-y sin (πx) =x-1.
4.25. уе х  е
4.11. (y-x)³+x+6 =0.
0.
4.26. arctg (2 x  y)  e x  0 .
4.12. y  х .
х2
у х
х
4.13. ln (x³+2y³) =
4.27. sin y  e x  xy2  0 .
ху .
Задание 5. Найти частные производные первого порядка функции z =z(x, y),
заданной неявно.
y
5.9. arcsin( xz2 )  2 z y .
z
z

x
5.1.
.
5.2. arctg
yz

x2
5.10. z²ln (z+x) = xy + 1.
z.
5.11. sin² (
y
x
5.3. cos (xy) -ln 2  z 3  z .
5.4. sin (x+y+z) =
х у 3
 z.
z
5.12. x + y + z = e z  x y .
cos( xyz)
.
z
5.13.
z
x
cos z 2
 ln( y  xz) .
y
5.5. z ln x 2  e y z  .
5.14. z +ln (x+y+z) = 0 .
5.6. x cos y + y cos z + z cos x = 1.
5.15. sin (e х е у )  сos  .
y
z
5.7. z (cos y + sin x) – tg (zy) = 1.
5.16.
5.8. z – x = y ctg (z-x).
7
arctg ( xyz)  xy  z .
z
x
5.17.
z sin 2 ( x3 y)  ln( z  y 3 ) .
5.18.
1  z 2  sin( xyz  1) .
5.22.
arctg
y
 ln x 2  y 2  z 2 .
z
5.23.
cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  x  y  z .
5.19.
x2  y 2 z  1
.

xz2
xy
5.24.
arccos xz  x 2  y 2  z 2  0 .
5.20.
arcctg z  x  y  z  0 .
5.25.
lg( x  y)  lg( x  y  z)  z  0 .
5.26.
cos( x  y  z )  x3  xyz  1 .
Задание 6. Найти производную сложной функции
Найти производную
dz
сложной функции z = z (x,y), если х = х (t); y = y (t).
dt
6.1. z = 𝑒 2𝑥−3𝑦 ; х = sin t; y = t³.
6.7. z =
6.2. z = ln (e х  y) ; x = t 2 ; y = t .
6.3. z = y x ; x =ln (t-1) ; y = e .
6.9. z = arctg (xy); x =t-10; y = e 5t
.
6.4. z = e у2 х7 ; x = sin 3t; y = cos 5t.
6.6. z = arcsin
1
t
x= ;
y= ln t.
x
y
y
x
6.10. z =  ; x=sin 2t; y =tg t.
x
; x=2-e 3t ; y = arctg t.
y
Найти частные производные
x=1-3t² ; y =t 3 .
6.8. z = ln(e  х  е 2 у ); x=e t ; y =cos t 2
.
t
2
6.5. z = x 3 e 2 у ;
х2
;
у 1
z
z
и
сложной функции z=z(x,y), если
u
v
x=x(u,v); y=y(u,v).
6.11. z  arctg ( x  y ) ; x  u 2 ; y  u 3 .
6.17. z  arccos
6.12. z  x  y 1 ; x  cos(u ) ; y  u .
y  cos(u  ) .
6.13. z  ln( e 2 x  e 3 y ) ; x  u ; y  e 2u 3
6.14. z  arcsin
y2
; x  sin( u )
x
6.18. z 
2y
u

; x 2 ; y .
x
u

2
y
y

;
;
.
x



2
u
x2 1
u
u
6.19. z  x 3e  y ; x   2  u 2 ; y  ln .
2

6.15. z  x  y 2  5 ; x  ln y  eu  .
6.20. z  tg (3x  5 y ) ; x  u cos ;
y   sin u .
x
y
6.16. z  ; x  3 u 2  2 ; y  3u 2 2 .
8
Найти производную
dz
сложной функции z  z (t , x, y ) , если x  x(t ) ; y  y (t ) .
dt
6.21. z  53t  y  2 x ; x  3 t ; y 
y
t
1
.
t
t
x
6.24. z   ; x  sin t ; y  cos t .
tx
1
6.22. z  ctg
; x ; y t.
t
y
t2
2t  1
6.25. z  t  x  y ; x 
; y .
3
5
6.23. z  cos( x 2  y 2  t 2 ) ; x  2t 3 ; y  5t 2 .
6.26. z  y 2 xt ; x  3t  1 ; y  3 .
3
2
1
t
Задание 7. Найти частные производные высших порядков.
7.1. z  sin( xy),
3 z
.
yx 2
7.12. z  e3 x sin y,
5 z
.
x 2 y 3
7.2. z  cos( x  sin y),
3 z
.
x 2y
7.13. z  x 2 ln y,
5 z
.
x 2 y 3
7.3. z  arcrg
x y
,
1  xy
7.4. u  x 3 y 5 ( z  1) 7 ,
2 z
.
xy
u
.
xyz
3
x  8 xy
,
x  2y
 z
.
xy
76. z  x 2 y 3  x 5 y,
 z
x 2y 3 .
7.5. z 
4
3
7.8. z  cos(7 y  5 x),
 z
.
x 3y 2
79. u  x 7 y 3 (1  5z ) 4 ,
2
5
u
.
yxz
3
3 z
7.10. z  7 x 3  y 4  5x 2 y 3 ,
.
y 2x
7.11. z  sin(cos y  x),
7.15. z  y 2 x 4  sin y 3  3 x 2 ,
3 z
.
yx 2
2 z
.
xy
7.18. z  sin( y  cos x),
3 z
.
xy 2
7.19. z  y 3 ln x,
5 z
.
y 2 x 3
7.20. z  cos( x 3 y 3 ),
3 z
.
x 2y
7.21. z  ln( x 2  y 2 ),
3 z
.
x 2y
7.22. z  (4 x  3 y) ,
3 z
.
x 2y
6
 z
.
xy 2
3
9
 3u
.
zxy
7.17. z  e x y ,
2 3
5
 z
.
xy
3 z
.
x 2y
7.16. u  (7 x  5 y)5 z 4 ,
2
7.7. z  arctg (2 x  y ),
7.14. z  (2 x  3 y)5 ,
7.23. z  ye x  e y x ,
3 z
.
xy 2
7.24. z  ln cos( x  y),
7.25. z  cos(2 y  x  e y ),
3 z
.
x 2y
x
7.27. z  3 y 
3 z
.
xy 2
x
,
y
Задание 8. Найти полный дифференциал второго порядка функции.
8.1. u = cos (x+yz).
8.14. u = cos (xy +3yz).
8.2. u = x arctg y + xyz.
8.15. u = ln (xy²z³).
8.3. u = x³y 5 ( z  1)7 .
8.16. u = ln (xy²) + xe  z .
8.4. u = sin (x+2y +yz²).
8.17. u = xy 4 5 z  y 2 z 3 .
8.5. u = ln (x+2y-5z).
8.18. u = (xy) z .
8.6. u = ln (2x-y+z).
8.19. u = e xyz .
8.7. u = xyz +e уz .
8.20. u = sin (xy+xz).
8.8. u = arctg z + e xy .
8.21. u = ln (x³+2 у +tg 3x).
8.9. u = x yz .
8.22. u = x 2 2 у 2  3z 3  6 xyz .
8.10. u = x²+y²+z²- 4xy²z³.
8.23. u = z xy .
8.11. u = x³y + y³x+z³y.
8.24. u = z arctg x + xy.
8.12. u = e 2 х сos( x  3 y) .
8.25. u = x 2  y 2  z 2 .
8.13. u = z
x2  y2 .
8.26. u = ye xz .
Задание 9. Вычислить приближенно.
9.1. 1, 022  0, 052 .
9.7.
9.2. 1, 021,98  ln1, 03.
9.8.
9.3. ln (0,04 3 0,993 ).
9.9. (1,02) 3 (0,97)2 .
9.4. ln (4e 0,03 3,02).
9.10.
9.5. (0,97) 2,02 .
9.11.
9.6. (0,98) 3,05 .
9.12. ln ( 3 1,02  3 0,97 1).
10
1, 041,99  ln1, 02.
5
33е0,02  1, 01.
3
0,98  ln1, 03.
4,052  2,932 .
2 z
.
xy
1, 03  ln1, 02.
9.13.
5е0,02  2, 032 .
9.20.
9.14.
(1,03) 4 (0,98)2 .
9.21.
9.15.
(1,03) 3,98 .
9.22.
0,97
9.16.
е 0,01 1, 03.
9.23.
ln (e 0,02 0, 03).
1, 02  ln 0,97.
9.24.
ln ( 1, 02  0,98  1.
9.18.
ln (3e 0,02 2, 03).
9.25.
9.19.
(1,02) 4,05 .
9.26.
9.17.
3
3
3е0,08  0,992 .
3
4,02
.
0,97  ln1, 02.
ln (e 0,03 0, 02).
Задание 10. Написать уравнение касательной и нормали к поверхности S
в точке М.
10.1. S: z =x 2 у  у 2 х3 , М (1,1,0) .
10.2. S: 2x 2 3 у 2  z 2  8xz  z  6  0, М (1,0,1) .
10.3. S: z =3x 2  у 2 , М (1,1,4) .
10.4. S: 3x 4 2 у 3 z  3z 2 xy  z 3 x  3  0, М (1,2,2) .
10.5. S: z = xy, М(5,1,5).
10.6. S: x 2  ху  8х  z  5  0, М (2,3,1) .
10.7. S: z = x 2  у 2 , М (3,1,8) .
10.8. S: x 2 2 у 2  3z 2  6, М (1,1,1) .
х
у
10.9. S: z=sin , М ( ,1,0) .
10.10. S: x 3  у 3  z 3   xyz, М (1,1,1) .
10.11. S: z =x+y², M(0,-1,1).
10.12. S: х 8  у13  5z  7, М (1,1,1) .
 1
10.13. S: z = sin (xy), M(1, , ).
6 2
10.14. S: z = xy +xz +yz , М (1,1,1) .
11
10.15. S: z = x 3  у 3 , M (1,1,0) .
10.16. S: x 3  z 3  3xz  3, M (1,4,2) .
10.17. S: z = е х2 у1 , M (1,1,1) .
10.18. S: x 2  у 2  z 2  3x, (M 2,1,1) .
10.19. S: z=x 2  у 2 , M (1,2,5) .
10.20. S: е z  z  xy  3, M (2,1,0) .
10.21. S: z  x 2 y 3  xy2  5, M (2,1,3) .
10.22. S: xy=z 2 , М (1,4,2) .
10.23. S: z = x у  х2  у  6х  3, М (0,1,2) .
у
z
10.24. S: 2 z 2 x  6, M (1,2,2) .
у
10.25. S: z=tg х , М (4,  ,1) .
10.26. S: х 2  у 2  z 2  2 y, M (1,1,0) .
10.27. S: z=y х  2 у 2  х  14 у, М (1,0,1) .
Задание 11.
11.1. Найти grad z в точке (5;3), если z  x 2  y 2 .
11.2. Найти градиент функции z  x 2  2y 2 в точке М(1,1) и производную этой
функции в точке М в направлении градиента.
11.3. Найти grad z в точке (2;1), если z  x 3  y 3  3xy .
11.4. Найти градиент функции z  4  x 2  y 2 в точке (2,1).
11.5. Найти grad u в точке (1;2;3), если u  xyz .
11.6. Найти grad u и |grad u| в точке (2;1;1), если u  xyz.
11.7. Найти угол между градиентами функции z  ln
В(1;1).
12
x
y
в точках А(0,5;0,25) и
11.8. Найти grad z в точке (5;5), если z  arcsin
x
.
x y
11.9. Найти градиент функции z  2 x 2  y 2 в точке (1,1).
y
x
11.10. Найти grad z в точке (1;1), если z  arctg .
11.11. Найти grad z в точке (1;4), если z  xе y .
11.12.Найти градиент функции z  2x 3  3 y 3  2 xy в точке M(2,1) и
производную этой функции в направлении градиента.
11.13. Найти grad u и |grad u| в точке (2;-2;1), если u  x 2  y 2  z 2 .
11.14. Найти угол между градиентами функции u = ln (xyz ) в точках А(1;1;1) и
В(0,5;1;0,5).

4
11.15. Найти grad z и |grad z | в точке ( ;
 
; ), если
3 2
u  3 sin y  x  sin 2 y  z  ctgz
11.16. На графике функции z  x 3  2 xy  y 2 найти точки, градиент функции z
в которых равен вектору a (5;4).
11.17. На графике функции z  x  y найти точку, градиент функции z
в которой равен вектору a (1;1).
11.18. Найти угол между градиентами функции u  4 x 2  y 2  z 2
в точках А(1;1;1) и В(1;-1;-1).
11.19. Найти угол между градиентами функции u  ( x  y  z ) 2
в точках А(1;0;1) и В(1;1;1).
11.20. Найти градиент функции u = 2 xyz в точке М(1,1,1) .
11.21. Найти градиент функции z  ln( 5 x  3 y ) в точке M(2;2).
11.22. Найти градиент функции z  arctg
13
y2
x
в точке M(2;1).
11.23. Найти градиент функции z 
xy
в точке M(2;1).
x y
11.24. Найти градиент функции z  2 x 4  8 x 2 y 3 в точке M(2;-1).
11.25. Найти градиент функции z  ln( 2 x 2  y 3 ) в точке M(3;-1)
11.26. Найти градиент функции z  3x3  8x 2 y 4 в точке M(2;1).
Задание 12. Найти производную по направлению.
12.1. Найти производную функции u  x 3 yz 2 в точке Mo (1; -1; 3) в
направлении вектора 𝑎̅ (2; 3; -1).
12.2. Найти производную функции
направлении вектора 𝑎̅ (1; -2; -1).
u  x 2  3 yz  5
12.3. Найти производную функции u  x  ln( y 2  z 2 )
в точке Mo (1;2; -1) в
в точке Mo (2;1;1)
в
направлении вектора a (-2;4; -3).
12.4. Найти производную функции
u  x3 
y2  z2
в точке Mo (1;  3;4) в
направлении вектора a(2;3;3) .
12.5. Найти производную функции z  3x 4  xy  y 3
направлении, составляющем с осью (OX ) угол в 60 0 .
1
4
12.6. Найти производную функции u  x 2 y  x 2  5 z 2
в точке Mо ( 1; 2) в
1
2
в точке Mo (2; ;1) в
направлении вектора a (2;-3;4).
12.7. Найти производную функции
направлении вектора 𝑎̅ (1; -2; -1).
u  ln( 1  x 2 )  xy z
12.8. Найти производную функции u  x 3 y  xz3  xyz
в точке Mo (2;2;4) в
в точке Mo (1;1;1) в
направлении вектора 𝑎̅ (1; -2; 3).
12.9. Найти производную функции z  x 3 y  x 2 y 3  3 y  1 в точке Mo (2;1) в
направлении, идущем от этой точки к началу координат.
12.10. Найти производную функции u  y ln (1 + x 2 )  arctg z в точке
Mo (0;1;1) в направлении вектора а (2;  3;2) .
14
12.11. Найти производную функции
x2  y2
z = ln
в точке Р (1;1) в
направлении биссектрисы первого координатного угла.
12.12. Найти производную функции u = z 2 - 2 ln ( x  4 y) в точке Mo (1;2; -1) в
направлении вектора
а
(3;2;  2) .
12.13. Найти производную функции u = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑧 3 в точке Mo (1;3;2) в
направлении вектора а (  3;2;2).
12.14. Найти производную функции z = 5 x 2  3x  y  1 в точке Mo (2;1) в
направлении, идущем от этой точки к точке N (5;5).
12.15. Найти производную функции u = xy  yz  zx
направлении, идущем от этой точки к точке N (5;5;15).
12.16. Найти производную функции u = ( x  y  z )
2
2
2
3
2
в точке Mo (2;1;3) в
в точке Mo (0;  3;4) в
направлении вектора а (2; -3;4).
12.17. Найти производную функции z = x 2  xy  2y 2
направлении, составляющем с осью (OX) угол в 30 0 .
в точке Mo (  1;2) в
12.18. Найти производную функции u = x 2 y  xy  z 2 в точке Mo (1;5;  2)
в направлении вектора a (2;  2;5) .
12.19. Найти производную функции
u = xz 2  x 3 y
в точке Mo (2;2;4) в
направлении вектора а (2;1;3).
12.20. Найти производную функции u = sin ( x + 2y) +
 3
Mo ( ;
2
2
xyz в точке
;3) в направлении вектора а (4;3;1).
3x
y2
12.21. Найти производную функции z 
в точке Mo (3;4) в направлении
вектора а (3;4).
12.22. Найти производную функции
направлении вектора а (6;8).
z  5x 2 y  3xy2
15
в точке
Mo (1;1)
в
12.23. Найти производную функции
направлении вектора а (2;3).
z  ln( 2 x  3 y )
12.24. Найти производную функции
направлении вектора а (5;12).
z  x 3 y  xy 2
в точке
Mo (1;3)
в
12.25. Найти производную функции z  ln(2 x  4 y )
направлении вектора а (2;3).
в точке
Mo (1;2)
в
y
x
в точке
Mo (-1;2)
в
12.26.
Найти производную функции
z  arctg
в точке
Mo (2;2) в
направлении вектора а (1;1).
12.27. Найти производную функции z  arctg
3y
в точке Mo (6;2) в
x
направлении вектора а (1;1).
Задание 13. Разложить по формуле Тейлора до членов указанного k-го
порядка функцию f (x,y) в окрестности данной токи А.
13.1
f ( x, y )  1  x 2  y 2
13.2
f ( x, y)  2 x 2  xy  y 2  6 x  3 y  5 ; k=3; A (1;-2)
13.3
f ( x, y, z )  x 3  y 3  z 3  3xyz ;
13.4
f ( x, y)  e x sin y ;
k=3; A (0;0)
13.5
f ( x; y)  sin( x 2  y) ;
k=3; A (0;0)
15.6
f ( x, y, z )  2 x 3  y 3  2 z 3  xyz ;
k=4; A (1;1;1)
13.7
f ( x, y )  4  4 x 2  4 y 2
k=3; A(0;0)
13.8
f ( x, y )  x y ;
k=2; A(1;1)
13.9
f ( x, y)  e x cos y ;
k=4; A(0;0)
13.10
f ( x, y)  e x ln( 1  y) ;
k=3; A(0;0)
13.11
f ( x, y, z )  e x  y  z ;
k=2; A(0;0;0)
;
k=3; A (0;0)
;
k=4; A (1;1;1)
16
13.12
f ( x, y)  sin( x 2  y 2 ) ;
13.13
f ( x, y, z )  x 3  2 y 3  z 3  x  y  z ; k=4; A(0;0;0)
13.14
f ( x, y )  ln( 1  x) ln( 1  y ) ;
k=3; A(0;0)
13.15
f ( x, y)  e y ln( 1  x) ;
k=3; A(0;0)
13.16
f ( x, y)  y x ;
k=2; A(1;1)
13.17
f ( x, y, z )  e x ( y  z ) ;
k=2; A(0;1;1)
13.18
f ( x, y ) 
13.19
f ( x, y, z )  z cos( x  y ) ;
k=2; A (1; ; )
13.20
f ( x, y, z )  sin( x  y  z ) ;
k=2; A ( ; ; )
13.21
f ( x, y)  e x  y  z ,
k=2, A(0;0;0)
13.22
f ( x, y, z )  3x 2  y 2  2 z 2  2 xy  2 yz ,k=3, A(1;0;1)
13.23
f ( x, y)  x  y ,
k=3, A(2;2)
13.24
f ( x, y, z)  x  y  z ,
k=2, A(1;0;0)
13.25
f ( x, y)  x 2 y ,
1
;
x y
k=3; A(0;0)
k=3; A(2;1)
 
2 2
  
4 4 4
k=2, A(1;1)
13.26. f ( x, y, z)  e y ( x  z);
k  2; A(1;0;1).
13.27. f ( x, y, z )  2 x y z ;
k  2; A(0;0;1).
Задание 14. Исследовать функцию z = f(x,y) на экстремум.
14.1.
z  x 2  xy  y 2  3x  6 y.
14.2 . z  xy 
50 20
 ; x>0, y>0.
x
y
14.3.
z  x3  3xy 2  15x  12 y.
14.4.
z  2 x  xy  5x  y .
14.5.
z  4( x  y)  x  y .
3
2
2
2
14.6.
z  x 3 y 2 (12  x  y) ; x>0, y>0.
14.7.
z  y x  2 y 2  x  14 y.
14.8.
z  x3  y 2  6 xy  39 x  18 y.
14.9.
z  2 x3  2 y 3  6 xy  5.
2
14.10. z  2( x  y)  x2  y 2 .
2
17
14.11. z  x3  3x  2 y 2 .
14.19.
z  1  6 x  x 2  xy  y 2 .
14.12. z  12 x  x3  3 y 2 .
14.20.
z  xy  3x 2  2 y 2 .
14.13.
z  x 2  xy  y 2  3x  2 y  1.
14.21.
z  x3  8 y 3  6 xy  5.
14.14.
z  12 y  y 3  2 x 2 .
14.22.
z  x 2  3( y  2)2 .
14.15.
z  x3  8 y 3  6 xy  1.
14.23.
z  x3  y 3  3xy.
14.16 . z  y x  y 2  x  6 y.
14.24.
z  2 xy  3x 2  2 y 2  10.
14.25.
z  x 2  y 2  xy  x  y.
14.17.
z  xy (6  x  y ).
14.18 . z  ( x  5)2  y 2  1.
14.26. z =1+6x-2xy+3y.
Задание 15. Исследовать на экстремум следующие функции.
15.1.
u  x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  2 z.
15.2.
𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 − 3𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧.
15.3.
u  2 x 2  y 2  z 2  2 xy  6 y  2 z  5.
15.4.
u  xy  x 2  z 2  x  2 y  1 .
15.5.
u y
15.6.
u  4 y  z 2  x 2  8 z  3.
15.7.
u  x3  y 2  z 2  12 xy  2 z.
15.8.
u  2  y  x2  2 y 2  5z 2 .
15.9.
u  5  x 2  y 2  z 2  5x  2 y  z.
15.10.
e
 ( x2  y 2  z 2 )
.
2
𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 − 8𝑧. .
 ( x2  y2 z2 )
e
15.11.
u  z
15.12.
u  xy  yz  zx  2 x 2 .
15.13.
u  x3  xy  y 2  2 xz  2 z 2  3 y  1.
15.14.
.
u  x 2  y 2  z 2  2 x  3 y  z.
18
15.15.
u  2 x 2  3z 2  2 xy  2 x  4 y  6 z.
15.16.
u  x
 ( x2  y2 z2 )
e
.
15.17. u  10  y  3xy  2 x 2  2 y 2  z 2 .
15.18.
u  x 2  2 y 2  z 2  4 x  1.
15.19.
u  2 xy  yz  xz  x 2 .
15.20.
𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑧 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 + 4𝑧.
15.21.
𝑢 = 𝑥 2 + 4𝑦 2 + 2𝑧 2 − 2𝑥𝑦 − 6𝑦 − 𝑧.
15.22.
u  z 3  yz  y 2  2 xz  2 x 2  3 y.
15.23.
𝑢 = 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 𝑧 2 − 5𝑥𝑦 +
15.24.
𝑢 = 𝑥 2 + 4𝑦 2 +
15.25.
u  x 2  xy  y 3  2 yz  2 z 2  3x  10.
15.26.
u  x 2  2 xy  y 3  2 yz  2 z 2  x  6.
𝑧2
9
− 2𝑥𝑦 +
13𝑦
5
13𝑦
5
− 2𝑧.
− 6𝑦 −
2𝑧
9
.
Задание 16. Исследовать функцию z(x,y) на условный экстремум.
16.1.
z  x2  y2
16.2.
z  x y  xy

при x  y  1.
16.10. z  cos 2 x  cos 2 y при y  x  .
3
3
3
при x  y  1.
x y
  1.
2 3
при
16.3. z  x 2  y 2
16.4. z  cos2 x  2cos y при
16.5.
z  x2  y2
16.6. z  1  x 2  y 2
16.7.
16.9.
z  xy
2
при

2
.
1
x
16.13. z  x 3  xy
при x  y  0.
при y  x  0.
16.14. z  x 3  15x  12 y при x  y  1.
при
16.15. z  y 3  2x 2
16.8. z  2  x  y при
2
yx
16.12. z  xy 
при x  y  1.
при x  y  2.
при
z  x2  y2
16.11. z  3 y  x 3
x  y  1.
x y
  1.
3 2
x  y  2.
x  y  4.
19
при y  x  1.
16.16. z  xy
при x  2 y  2.
16.17. z  2( x  y)  x 2
при
16.18. z  4  x 2  y 2
при x  y  2.
x  y  2.
при
16.19. z  xy
16.20. 𝑧 =
1
√𝑥
+
7
16.21. z  9  x  y
16.23. 𝑧 = √𝑥 + 7√𝑦 при 3x+21y=1.
при 5x+35y=1.
√𝑦
2
x  y  1.
2
16.22. z  x 2  y 2
при
x  y  3.
при
x  y  2.
16.24 z  3x 2  3 y 2
при
16.25. z  x 2  xy
при y  x  1.
16.26. z  25  x 2  y 2
при
Задание 17. Исследовать функцию Z(x,y) на условный экстремум при
заданном уравнении связи.
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
17.10
17.11
17.12
17.13
17.14
17.15
17.16
17.17
17.18
17.19
17.20
17.21
17.22
17.23
17.24
17.25
17.26
17.27
z = xy
z = ln(xy)
z = 1 + 1/x + 1/y
z = 1 – 4x – 8y
z = 5 – 3x – 4y
z = 6 – 5x – 4y
z = yx
z = x + 2y
z = 4 – 4x – 3y
z=x+y
z = - y – 2x
z = 6 – 4x – 5y
z = x/2 + y
z = x/3 + y/3
z = ln(2xy)
z = xy
z = 2 – 4x – 3y
z = 2 – 8x – 4y
z = xy
z = 2 – 4x – 5y
z = ln(4xy)
z = xy
z = 1/x + 1/y
z = 2 – 3x – 4y
z = ln(3xy)
z = 1/x + 1/y
z = xy
при x² + y² = 8.
при x³ + xy + y³ = 0.
при 1/x² + 1/y² = 1/8.
при x² - 8y² = 8.
при x² + y² = 25.
при x² - y² = 9.
при x² + y² = 1.
при x² + y² = 5.
при x² + y² = 25.
при 1/x² + 1/y² = 2.
при x² + y² = 5.
при y² - x² = 9.
при x² + y² = 4.
при x² + y² = 18.
при x³ + xy + y³ = 0.
при x²/8 + y²/2 = 1.
при x² + y² - 25 = 0.
при y² - 8x² = 8.
при x²/2 + y²/8 = 1.
при y² - x² - 9 = 0.
при x³ + y³ + xy = 0.
при x² + y² = 4.
при 1/x² + 1/y² = ¼.
при x² + y² = 25.
при x³ + y³ + xy = 0.
при 1/x² + 1/y² = 1.
при x² + y² = 36.
Задание 18. Исследовать функцию u = u(x,y,z) на условный экстремум.
18.1. u = xyz
при x + y + z = 3, x>0,y>0,z>0.
20
y  x  1.
x  y  5.
18.2. u = xy²z³
при 3x + y² + z³ = 3, x>0,y>0,z>0.
18.3. u = x² + y² + 2z² при x – y +z = 1.
18.4. u = x³y²z
при x³ + y² + 3z = 3, x>0,y>0,z>0.
18.5. u = x³y³yz
при 3x + 4y + z = 8, x>0,y>0,z>0.
18.6. u = x + y + z -3
при 8x² + 8y² + 16z² = 5.
18.7. u = x³ + y³ -z³+5
при x + y – z = 1.
18.8. u = x – 2y + 6z+3 при 16x² + 8y² + 8z² - 1 = 0.
18.9. u = xyz
при x + y – z = 3, x – y – z = 8.
18.10. u = x –y +2z+3
при x² + 2y² + z² = 22.
18.11. u = x²y³z
при 2x + 3y + z = 12 , x>0,y>0,z>0.
18.12. u = 9z + 6y –2x
при x² + y² + z² = 1.
18.13. u = x + y +z²
при z – x = 1, y – xz = 1.
18.14. u = xy²z³
при 3x + y² + 27z³ = 3, x>0,y>0,z>0.
18.15. u = xyz
при x + y + z + 6 = 0, x>0,y>0,z>0.
18.16. u = x³yz²
при 27x³ + 3y + z² = 3, x>0,y>0,z>0.
18.17. u = xyz
при x + y – z = -1, x – y + 2z = 1.
18.18. u = 2x –y –2z
при x² + y² + z² = 1.
18.19. u = x² +y² +z²
при x + y + z = 3.
18.20. u =2x+ 6y +z–3
при 8x² + 8y² + 16z² - 1 = 0.
18.21. u = xy³z³z
при x + 3y + 4z + 8 = 0, x>0,y>0,z>0.
18.22. u = 2x + y –z +1 при x² + y² + 2z² = 22.
18.23. u = 2x – y +z²
при 2z – x = 6, y – xz = 3.
18.24. u = x²y³z
при 3x² + 9y³ + z – 1 = 0, x>0,y>0,z>0.
18.25. u = x² + y³ - z³ + 1 при x + y – z = 1.
18.26. u = xy²z³
при x + 3y² + 9z³ = 1, x>0,y>0,z>0.
21
18.27. u = x² + y² + z²
при 2x – 3y + z = 1.
Задание 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) в
области D, ограниченной заданными линиями.
19.1. z = x³ + y³ - 3xy,
D: x = 0, x = 2, y = 1, y = 2.
19.2. z = 2xy,
D: y = 0, y = √1 − 𝑥 2 .
19.3. z = xy + x + y,
D: x = 0, x – 2y + 2 = 0, x + y + 2 = 0.
19.4. 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 1,
D: y = -1, y = x+1, y = -x+1.
19.5. z = x² - 2y² + 4xy – 6x – 1, D: x = 0, y =0, x + y = 3.
19.6. z = x² - y²,
D: y = 0, y = - √1 − 𝑥 2 .
19.7. z = x³ + 8y³ - 6xy + 1,
D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 1.
19.8. 𝑧 = −𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4, D: y = x-5, x = 5, y=-5.
19.9. z = x² + y² - xy + x + y,
D: x = 0, y = 0, x + y = -3.
19.10. 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4𝑥,
D: x = 0, y = 0, 2x+3y = 12.
19.11. z = x² +3 y²+x - y,
D: x = 1, y = 1, x + y – 1 = 0.
19.12. z = y² + 2xy + x + y – 3,
D: y = x² - 1, y = 0.
19.13. z = 12xy – 4x²y – 3xy²,
D: x = 0, y = 0, 4x + 3y – 12 = 0.
19.14. z = arctg(x² - xy + y),
D: x = -2, x = 2, y = -3, y = 3.
19.15. z = x² + 2xy – 4,
D: x = 2, y = -1, y = x +1.
19.16. z = 2x² - xy – 2x + y + 5,
D: y = x² + 1, y = 5.
19.17. z = xy + 2x + y,
D: x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.
19.18. z = 3x²+ xy - y² + 5,
D: x = 0, y = 4, y = 2x.
19.19. z = x³+ y³ - 2x² + 4xy – 2y², D: x = 0, x = 6, y = 0, y = 6.
19.20. z = xy – 2y – 3x + 4,
D: x = 0, y = 2, 2x + 3y – 18 = 0.
19.21. z = x³ + y³ - 9xy + 27,
D: x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.
22
19.22. z = - xy + x – 2y + 4,
D: x = -4, y = 3, y = x.
19.23. z = x³ + 3y² - 3xy,
D: x = 0, x = 2, y = 0, y = 1.
19.24. z = x² - 2xy - y² + 3,
D: x = 0, y = -1, x – 2y + 4 = 0.
19.25. z = x² + 3y² - x + 18y – 4,
D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
19.26. z = 2xy – 2y + 5,
D: x = 1, y = 0, 4x – 3y – 16 = 0.
19.27. z = 2xy – 2x²y - xy²,
D: x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
Задание 20.
20.1. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма, если его
полная поверхность равна заданной величине S.
20.2. Найти наибольший объём, который может иметь прямоугольный
параллелепипед, если сумма длин рёбер равна a.
20.3. Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра,
поверхность которого (без крышки) равна S.
20.4. Определить наибольшую вместимость конической воронки, поверхность
которой равна S.
20.5. Определить наибольшую вместимость цилиндрической ванны с
полукруглым сечением, если поверхность ванны равна S.
20.6. Из всех треугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, площадь
которого наибольшая.
20.7. Из всех треугольников, имеющих заданный периметр P, найти
наибольший по площади.
20.8. Определить размер конуса наименьшей боковой поверхности при
условии, что его объём равен V.
20.9. Из всех прямоугольников с заданной площадью s найти такой, периметр
которого имеет наименьшее значение.
20.10. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной
площади S наименьший периметр.
20.11. Из всех треугольников с данным основанием a и углом при вершине α
найти треугольник с наибольшим периметром.
23
20.12. Найти кратчайшее расстояние от точки A(1,0) до эллипса
4x² + 9y² = 36.
20.13. Найти кратчайшее расстояние от точки (-1,5) до параболы y² x.
20.14. На плоскости 3x – 2z = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний
которой от точек A(1,1,1) и B(2,3,4) наименьшая.
20.15. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма при
условии, что длина его диагонали равна d.
20.16. Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна и равна m, найти
наибольший по площади.
20.17. Окно имеет форму прямоугольника, завершённого сверху полукругом.
Определить размеры окна так, чтобы при данном периметре l оно пропускало
больше света.
20.18. Найти наименьшее расстояние между параболой y = x² и прямой
x – y – 2 = 0.
20.19. В эллипс x² + 3y² = 12 вписать равнобедренный треугольник с
основанием, параллельным большей оси так, чтобы площадь треугольника
была наибольшей.
20.20. Цилиндр вписан в шар радиуса R. Найти размеры цилиндра, имеющего
при этом наибольший объём.
20.21. На плоскости (хоу) найти такую точку A, сумма квадратов расстояний от
которой до трёх точек P1(0,0), P2(1,0),P3(0,1) имеет наименьшее значение.
20.22. В шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
20.23. В полушар радиусом R вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объёма.
20.24. Из всех треугольников с основанием a и углом при вершине α найти
треугольник с наибольшей площадью.
20.25. В прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H вписать
прямоугольный параллелепипед наибольшего объёма.
20.26. Определить размеры открытой прямоугольной ванны вместимостью V,
имеющей наименьшую площадь поверхности.
24
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ
«ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ»
Составители:
Ярославцева Валентина Яковлевна
Воронина Ольга Александровна
Казьмина Лилия Николаевна
Палинчак Наталия Ференцовна
Редактор Е.Н. Черникова
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Ризография.
Печ л.
Тираж 100 экз. Заказ №
Издательство Липецкого государственного технического
университета. Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.
398600 Липецк, ул. Московская, 30.
25
26