и (2) - Братский политехнический колледж

Государственное бюджетное образовательное учреждение
БРАТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
ЛОГАРИФМЫ
Методические указания к решению упражнений
при изучении темы «Свойства логарифмов»
г. Братск, 2012г.
Логарифмы: Методические указания / Сост. Лапина Н.Л. – Братск: БрПК, 2012–
14с.
Данные методические указания содержат необходимые теоретические
сведения по теме «Логарифмы» дисциплины математика, примеры решения
упражнений, набор упражнений для самостоятельного решения с ответами к
некоторым из них, десять вариантов для выполнения контрольной работы.
Вариант заданий определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
Рецензент: Носырева Н.В. заместитель директора по УМР ГБОУ СПО БрПК
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………………………..4
1. Определение логарифма ……………………………………………………………………5
1.1.
Примеры для самостоятельного решения………………..…………….7
2. Преобразование логарифмических выражений………………..…………….7
2.1.
Примеры для самостоятельного решения…………………………………..9
3. Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»………………….11
Список литературы ………………………………………………………………….…………14
Введение
Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам всех
форм обучения при изучении темы «Свойства логарифмов». Разделы указаний
содержат необходимые теоретические сведения (определения, формулы без
доказательства) и подробно разобранные упражнения. В конце каждого раздела
предлагаются
задания
для
самостоятельного
решения
с
ответами
для
самопроверки.
Теоретические сведения и примеры для самостоятельного решения дают
возможность использовать данные методические указания на практических
занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Свойства
логарифмов».
В конце указаний приведены десять вариантов заданий для выполнения
контрольной работы. Вариант определяется последней цифрой номера зачетной
книжки студента. Работа выполняется письменно в отдельной тетради.
1. Определение логарифма
Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений,
например, решим уравнение 2 х  16 , в котором необходимо найти показатель х,
представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени 2 х  2 4 . В
этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с
одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения х  4 . Но уравнение 2 х  15
таким способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют
логарифмом числа b по основанию а и обозначают logаb. Например, корнем
уравнения 2 х  16 является число 4, т.е log216=4.
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а>0, а  1
называется показатель степени, в которую надо возвести основание a,
чтобы получить число b.
Из определения следует, что записи logаb=х. и ах=b равносильны.
Например, log28=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3
получается 8: 23=8, действительно 2  2  2=23=8. Значит в результате вычисления
логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при
возведении в которую получаем восемь.
Определение логарифма можно кратко записать так: а
справедливо при b>0, a>0, а  1. Его обычно
логарифмическим тождеством.
loga b
 b . Это равенство
называют
основным
Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения
степени следующих чисел:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
61 = 6
62 = 36
63 = 216
71 = 7
72 = 49
73 = 343
81 = 8
82 = 64
83 = 512
91 = 9
101 = 10
92 = 81
102 = 100
93 = 729
103 = 1000 и т.д.
Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с
отрицательным, дробным и нулевым показателем: а0=1; а
n
m
1
 n ; а n  n am
а
Пример 1. log 3 27  3 , т.к. 33=27
Пример 2. log 3 1  0 , т.к. 30=1
Пример 3. log 2
1
1
 1 , т.к. 2-1=
2
2
Пример 4. Вычислить log 32 64
Пусть log 32 64  t . По определению логарифма 32t=64. Это простейшее
6
показательное уравнение. 32=25, 64=26, поэтому (25)t=26; 25t=26 ; 5t=6, t= 5
Ответ:
6
5
2 log5 6
Пример 5. Вычислить 5
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество,
1
1

2
36
6
 2 log5 6
 (5 log5 6 )  2  6  2 
находим 5
Пример 6. log 2 log 8 64  log 2 2  1
Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный
log10х=lgx, натуральный logех=lnx.
Пример 7. lg1000=3 , т.к. 103=3
Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10-2=
1
=0,01
100
1.1.
Примеры для самостоятельного решения:
1) log 9 81 ;
2) log 1
3
1
;
81
3) log 3 1;
4) log 5 5 ;
5) log 1 4;
2
1
;
4
7) log 2 log 3 9;
6) log 4
8) lg 100;
9)9 2 log9 5 ;
10) log 64 8
Ответы:
№
задания
ответ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
0
1
-2
-1
1
2
25
0,5
2. Преобразование логарифмических выражений
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при
вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства
логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а>0, а  1, b>0, с>0, p – любое действительное число. Тогда
справедливы формулы
log a (b  c)  log a b  log a c
(1)
b
 log a b  log a c
c
(2)
log a
log a b p  p log a b
(3)
log a b 
log c b
,c  1
log c a
(4)
log a b 
1
,b  1
log b a
(5)
Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим
логарифмы с одинаковыми основаниями.
Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к
другому.
Пример 1. Вычислить: log 8 12  log 8 15  log 8 20
На основе формул (1) и (2) преобразуем log 8 12  log 8 15  log 8 20  log 8
12  20
 log 8 16
15
Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в
данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко вычислить при основании 2, тогда
log 8 16 
log 2 16 4

log 2 8 3
Пример 2. Вычислить log 2 3 2
Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с
рациональным показателем ( а
n
m
m
n
 a ), тогда
1
3
log 2 2  log 2 2 
3
1
1
1
 log 2 2   1 
3
3
3
Пример 3. Зная, что log 2 а  14 , найти log 2 (8а )
Применяем формулу (1) log 2 (8а)  log 2 8  log 2 a  3  14  17
25a 4
Пример 4. Прологарифмировать выражение c по основанию 5.
 25  a 4 

Запишем данное выражение в виде log 5 
 c 
Теперь применим формулы (1), (2) и (3)
 25  a 4 
  log 5 25  log 5 a 4  log 5 c  2  4  log 5 a  log 5 c
log 5 
 c 
Пример5. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):
log 4 х 
1
log 4 a  log 4 c  2
2
В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного
логарифма по основанию 4: log 4 х 
1
2
log 4 х  log 4 a  log 4 c  log 4 16
 a c

log 4 х  log 4 

 16 
х
1
log 4 a  log 4 c  2
2
(2 представили в виде log416)
(применили формулы (1), (2) и (3))
a c
16
2.1.
Примеры для самостоятельного решения:
9
1. log 3 3
4
2. log 4 log 2 2
3. log 9 27
4. log 9 3 9
5. log 6 30  log 6 5
36
6. log 6 4  log 6
4
7. log 9 15  log 9 18  log 9 10
8. Зная, что log 2 k  3,4 , найти log 2 (16  k)
0,1a 2
9. Прологарифмировать выражение n по основанию 10.
10.Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):
1
log 3 х  log 3 a  log 3 m  1
5
Ответы:
№
задания
1
ответ
2
9
1
3
4
1,5
1
3
5
1
6
7
2
1,5
8
9
0,6
10
-1+2lga-lgn
х
5
a 3
m
Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»
1. Вычислить:
1.
2.
log 3 9
3.
log 1 25
4.
5
log 3
log 1
3
1
3
5. log 3 81
1
9
6. log 1 16
9. log 1 125
7. log 1 27
5
3
8. log 7 49
10. log 6
4
1
36
2. Вычислить:
1. log 27 9
3. log 100 10
5. log 36 216
7. log 81 9
9. log 343 49
2. log 125 25
4. log 32 64
6. log 27 81
8. log 1000 100
10. log 32 8
3. Вычислить:
1. log 3 3 9
3. log 2 6 8
5. log 7 4 49
7. log 2 5 4
9. log 10 6 100
2. log 5 4 25
4. log 10 3 10
6. log 6 3 36
8. log 2 3 32
10. log 9 3 81
4. Вычислить:
2
1. log 4 log 2 2
5
3. log 25 log 6 6
3
5. log 9 log 8 8
4
7. log 16 log 6 6
7
2. log 49 log 3 3
9
4. log 81 log 2 2
3
6. log 27 log 9 9
10
8. lg log 5 5
4
9. log 4 log 2 2
4
10. log 4 log 2 2
5. Вычислить:
1
5
7
7
15
log
15

log
2.
2
2
16
1
3. log 3 54  log 3
2
1
 log 1 250
10
5
5
2
log
6

log
7.
3
3
3
1
log
 log 1 9
1
8.
225
5
5
1. log 1 245  log 1
6. log 1
4. log 3 108  log 3 4
9. log 3 0,09  log 3 100
1
 log 8 32
16
10. log 0,3 9  log 0,3 100
5. log 8
6. Вычислить:
2 log5 7
1. 5
3 log6 2
3. 6
 log 11
5. 9 9
7. 4
2 log7 8
2. 7
4 log9 3
4. 9
2 log 7
6. 5 5
3 log6 10
8. 6
2 log4 3
9. 2
3 log2 6
10. 10
2 log1 0 5
7. Доказать тождество:
1. log 2 12  log 2 6  log 2 18  2
6. log 6 8  log 6 2  log 6 9  2
2. log 2 6  log 2 3  log 2 9.  1
7. log 7 6  log 7 14  log 7 21  2
3. log 5 8  log 5 2  log 5
25
2
4
8. lg 8  lg 2  lg
25
2
4
4. log 5 2  log 5 4  log 5 50  2
9. log 3 36  log 3 20  log 3 45  4
5. log 4 20  log 4 15  log 4 12  2
10. log 2 18  log 2 6  log 2 12  2
8. Найти значение выражения:
1. log 7 49a  , если log 7 a  8,6.
6. log 2 16a  , если log 2 a  3
2. log 4 64c , если
7. log 8 64c , если log 8 c  5
3.
log 4 c  3,5.
log 5 b 4 , если log 5 b  5
4. log 6
36
, если log 6 a  6
a
5. log 5 125d  , если log 5 d  3,1.
8. log 7
7
, если log 7 a  6
a
9. log 5
125
, если log 5 c  9
c
10. log 10
0,01
, если log 10 n  1
n
9. Прологарифмировать выражение:
16a
16
7
6. n  m по основанию 4
c по основанию 2
27 a
8a 4
7. n по основанию 2
n 3 по основанию 3
125a 6
k  a 1
по основанию 5
8. 64 по основанию 8
m
81
9c
3
по
основанию
3
9. n  3 по основанию 9
a n
c3
c  a 3
10. 100  n 2 по основанию 10
36 по основанию 6
2
1.
2.
3.
4.
5.
10.Найти х по данному его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0):
1
1. log 2 х  log 2 a  log 2 m  2
5
1
2. log 3 х  3  log 3 a  log 3 m
2
3. log 5 х  log 5 a  2 log 5 m  2
1
4. log 2 х  2  log 2 с  log 2 n
2
1
5. log 2 х  3  log 2 h  log 2 m
6
1
6. log 4 х  log 4 a  2  2 log 4 m
3
7. log 6 х  log 6 a  3 log 6 m  1
1
8. log 7 х  log 7 a  log 7 с  2
3
1
9. log 8 х  log 8 k  log 8 m  1
9
1
10. log 3 х  1  log 3 a  log 3 c
6
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа – учебник для 10-11 кл.
общеобразоват. Учреждений – М.: Просвещение, 2006.- 384с.
2. Креславская О.А. ЕГЭ-2009. Математика: Сдаем без проблем! – М.:
Эксмо, 2008.-192с.