Практическое занятие №3

Практическое занятие №3
Тема: Высказывания. Вычисление и исчисление высказываний.
1. Высказывания.
Термин высказывание используется для логических переменных, принимающих одно из
двух значений F и Т, которые представляют понятия «ложь» и «истина». На значениях типа
«логический» определены пять операций: отрицание: (NOT b), конъюнкция: (b AND с),
дизъюнкция: (b OR с), импликация: (b  с), равенство: (b = с). Высказывания строятся по
следующим правилам.
1. F и Т – высказывания.
2. Идентификаторы (непустая последовательность букв и цифр, начинающаяся с буквы)
являются высказываниями.
3. Если b – высказывание, то (NOT b) высказывание.
4. Если b и с – высказывания, то (b OR с), (b AND с), (b = с), (b  с) – также высказывания.
2. Вычисление постоянных высказываний.
Вычисление постоянных высказываний, содержащих в качестве операндов только
константы, имеет три определяемых структурой высказывания е случая: е без операций, е с
одной операцией, е с более чем одной операцией.
1. Значение Т есть Т, значение F есть F.
2. Значения (NOT b), (b AND с), (b OR с), (b  с), (b = с), где b и с – константы F и Т в
любой комбинации, определяются по таблице, называемой таблицей истинности.
b
c
NOT b
b AND с
b OR с
bс
b=с
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
3. Значение постоянного высказывания, содержащего более чем одну операцию,
получается
последовательным
применением
таблицы
истинности
к
подвысказываниям этого высказывания и заменой подвысказываний на их значения
до тех пор, пока высказывание не сведется к F или Т.
3. Вычисление высказываний в данном состоянии.
Состояние s – это функция из множества идентификаторов в множество значений F и Т.
Высказывание е определено в состоянии s, если каждый идентификатор из е встречается в s. s(e)
– значение е в состоянии s – получаемое заменой всех вхождений идентификаторов b в
высказывание е на их значения s(b) и вычислением получившегося постоянного высказывания.
Тавтология – высказывание, истинное в любом состоянии, в котором оно определено.
Высказывание выражает, или описывает, множество состояний, в котором оно истинно.
Правила старшинства операций:
1. Последовательность одноименных операций вычисляется слева направо.
2. Порядок вычислений различных между собой и смежных в записи высказывания
операций определяется списком: NOT, AND, OR, , =.
4. Перевод с естественного языка на язык высказываний.
Перевод состоит в том, чтобы представить «элементарные части» предложения
идентификаторами, а их отношения описать через логические операции. Пусть идентификатор r
обозначает - идет дождь, р – прогулка отменяется, w – вымокнуть, s - остаться дома. Тогда, если
идет дождь, но я остался дома, я не вымокну: (r AND s)  NOT w; я вымокну, если идет дождь:
r  w. Если идет дождь, а прогулка не отменена или я не остался дома, то я вымокну:
((r AND NOT p) OR NOT s)  w, либо r AND (NOT p OR NOT s)  w. Здесь второй перевод лучше.
1
5. Законы эквивалентности.
Вычисление высказываний редко бывает самоцелью. Чаще необходимо манипулировать
ими, чтобы вывести «эквивалентные», но более простые высказывания.
Высказывания Е1 и Е2 эквивалентны, если и только если Е1 = Е2 есть тавтология. Здесь
Е1  Е2 эквивалентность.
1.
Законы коммутативности: (Е1  Е2) = (Е2  Е1),  - обозначает операции = , AND, OR.
2.
Законы ассоциативности: (Е1  Е2)  Е3 = Е1  (Е2  Е3),  - обозначает операции
AND, OR.
3.
Законы дистрибутивности: (Е1  Е2)  Е3 = (Е1  Е3)  (Е2  Е3),  и  обозначают операции AND, OR.
4.
Законы де Моргана: NOT (Е1  Е2) = NOT Е1  NOT Е1),  и - обозначают операции
AND, OR.
5.
Закон отрицания: NOT (NOT Е1) = Е1.
6.
Закон исключенного третьего: Е1 OR NOT Е1 = Т.
7.
Закон противоречия: Е1 AND NOT Е1 = F.
8.
Закон импликации: : (Е1  Е2) = NOT Е1 OR Е2.
9.
Закон равенства: (Е1 = Е2) = (Е1  Е2) AND (Е2  Е1).
10. Законы упрощения OR: Е1 OR Е1 = Е1, Е1 OR (Е1 AND Е2) = Е1, Е1 OR Т = Т,
Е1 OR F = Е1.
11. Законы упрощения AND: Е1 AND Е1 = Е1, Е1 AND (Е1 OR Е2) = Е1, Е1 AND Т = Е1,
Е1 AND F = F.
12. Закон тождества Е1 = Е1.
6. Правила подстановки и транзитивности.
Правило постановки: Если е1 = е2 – эквивалентность, а Е(х) – высказывание, записанное
как функция от одного из своих идентификаторов х. Тогда Е(е1) = Е(е2) и Е(е2) = Е(е1)
эквивалентности.
Правило транзитивности: Если е1 = е2 и е2 = е3 – эквивалентности, то е1 = е3 эквивалентности.
7. Исчисление высказываний.
Исчисление это метод рассуждений посредством вычислений над символами.
Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется произвольная конъюнкция
(дизъюнкция) высказываний без бинарных операций.
Дизъюнктивной нормальной формой (д. н. ф.) называется дизъюнкция элементарных
конъюнкций без повторений.
Конъюнктивной нормальной формой (к. н. ф.) называется конъюнкция элементарных
дизъюнкций без повторений.
2
Задания
1. Вычислить высказывание в обоих состояниях
2. Выписать таблицы истинности, дающие значения высказываний во всех возможных
состояниях
3. Переведите предложения на язык логики высказываний
4. Проверить, что законы 1 – 12 являются эквивалентностями, построив таблицы
истинности.
5. Доказать, используя правила подстановки и транзитивности:
6. Упростить до одного из шести высказываний: Т, F, x, y, x AND y, x OR y:
7. Показать:
8. При каких значениях x, y, z, ложно высказывание:
9. Привести к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной формам:
Вариант 1.
№п/п
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4.
5.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7.
8.
9.
Высказывание
m
n
p
q
m
n
p
q
NOT (m OR n)
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
(m OR n)  p
(m = n) AND (p = q) F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
(m  (n  p))  q F
b OR с OR d.
b OR (с AND d).
(NOT b = с) OR b.
x < y или х = у.
Все следующие утверждения истинны: x < y, y < z, v = w.
Следующие утверждения не истинны одновременно: x < y, y < z, v = w.
Будет или не будет дождь я пойду купаться.
Живут, как кошка или собака.
3аконы 1, 4, 7, 10.
Закон тождества.
x OR (y OR x) OR NOT y
(x OR y) AND (x OR NOT y) AND (NOT x OR y) AND (NOT x OR NOT y)
NOT x  (x AND y)
NOT x  (NOT x  (NOT x AND y))
Что любое высказывание е можно преобразовать в эквивалентное ему в д. н. ф.
(((x  (z AND y))  (NOT y  NOT x))  NOT y)
(((x  y)  (z  NOT x))  (NOT y  NOT z))
Вариант 2.
№п/п
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Высказывание
m
n
p
Q
M
n
p
q
NOT m OR n
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
m OR (n  p)
m = (n AND (p = q)) F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
(m  n)  (p  q) F
b AND с AND d.
NOT b  (с OR b).
(b OR с) AND (b  c) AND (c  b).
Либо x < y, х = у, либо x > y.
Самое большее одно из следующих утверждений истинно: x < y, y < z, v = w.
Когда x < y, тогда y < z; когда x  y, тогда v = w.
Живут как кошка с собакой.
Если будет дождь, я не пойду купаться.
3
4.
5.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7.
8.
9.
Законы 2, 5, 8, 11.
NOT Т  F.
(x OR y) AND (x OR NOT y)
(x AND y) OR (x AND NOT y) OR (NOT x AND y) OR (NOT x AND NOT y)
Т  (NOT x  х)
NOT x  x
Что любое высказывание е можно преобразовать в эквивалентное ему в к. н. ф.
(((x OR y) OR z)  ((x OR y) AND (x OR z)))
(((((x  y)  NOT x)  NOT y)  NOT z)  z)
Вариант 3.
№п/п
Высказывание
m
N
p
q
m
n
p
q
1.1.
NOT (m AND n)
T
F
T
T
F
T
T
T
1.2.
m = (n AND p = q)
F
F
T
F
T
F
F
F
1.3.
T
F
T
T
T
F
F
(m = n) AND (p  q) F
1.4.
F
F
F
F
T
T
T
T
(m = n AND p)  q
2.1.
b AND (с OR d)
2.2.
NOT b = (с OR b)
2.3.
(b = с) = (b  c) AND (c  b)
3.1.
Если x > y, а y > z, то v = w.
3.2.
Ни одно из следующих утверждений не истинно: x < y, y < z, v = w.
3.3.
Когда x < y, y < z означает, что v = w, но если x  y, то y < z не может
выполняться; однако если v = w, то x < y.
3.4.
Если дождь будет лить как из ведра, то будь я проклят, купаться не пойду.
3.5.
Если, когда я буду купаться, дождь будет лить как из ведра, то будь я проклят.
4.
Законы 3, 6, 9, 12.
5.
NOT F  Т.
6.1.
x OR y OR NOT х
6.2.
(NOT x AND y) OR x
6.3.
x  (у  (x AND y))
6.4.
NOT x  NOT x
7.
Что любое высказывание е можно преобразовать в эквивалентное ему в д. н. ф.
8.
((x OR y)  ((NOT x AND y) OR (x AND NOT y)))
9.
((x  (y  z))  ((x  NOT z)  (x NOT y)))
4