Практическое применение логарифмической и

Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И
ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И МАТЕМАТИКИ
В курсе математики средней и старшей школы мы получаем большой
объём математических знаний.
Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11
классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где
применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?»
Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли
применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции.
Задавшись целью (исследовать в каких областях науки, техники нашли
применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции) и
определив задачи (актуализация практической значимости математических
знаний; развитие нравственных представлений о природе математики,
сущности и происхождении математических абстракций; понимание
значимости математики для научно-технического прогресса.) мы провели
большую исследовательскую работу и выяснили, что логарифмы,
логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в
следующих областях естествознания: физике, химии, биологии, географии,
астрономии, а так же экономике банковского дела и производства.
История возникновения логарифма
Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная
часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных
чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в
голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение,
сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и
арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.
Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и
надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению
логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в
своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не
приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.
1
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
 В 1614 году шотландский математиклюбитель Джон Непер опубликовал
на латинском языке сочинение под
названием «Описание удивительной
таблицы логарифмов». В нём было
краткое описание логарифмов и их
свойств, а также 8-значные таблицы
логарифмов синусов, косинусов и
тангенсов, с шагом 1'. Термин
логарифм, предложенный Непером,
утвердился в науке. Логарифмом
числа x называют показатель степени
y, в которую надо возвести
некоторое фиксированное число a,
чтобы получить исходное число x: ay=x. Записывают: y = loga x.
 Уже спустя 5 лет, в 1619 г.,
лондонский учитель математики
Джон Спайделл переиздал таблицы
Непера, преобразованные так, что
они фактически стали таблицами
натуральных логарифмов (хотя
масштабирование до целых чисел
Спайделл сохранил). Термин
«натуральный логарифм»
предложил итальянский математик
Пьетро Менголи в середине XVI
века.
 И только в ХХ веке Владимир
Модестович Брадис придумал способ,
позволяющий до минимума сократить
утомительные расчеты. Выбрать наиболее
необходимые для инженерных расчетов
функции, один раз посчитать их значения
с приемлемой точностью в широком
интервале аргументов. А результаты
расчетов представить в виде таблиц.
Кропотливых расчетов В.М. Брадису
предстояло проделать много. Но они
экономили
массу
времени
всем
последующим пользователям его таблиц.
Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930 года их издавали едва
ли не ежегодно в течение тридцати лет. Эту книжку читали миллионы.
Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех.
2
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
В наше время нельзя представить экономику банковского дела без
расчетов с логарифмами, примером этому следуют представленные нами
задачи:
Задача 1
Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через
сколько лет его вклад удвоится?
Решение
Сначала давайте поймем, как будут накапливаться деньги. Через год на счету
12
вкладчика будет сумма:10 000 + 10 000 100 (руб.), т.е. исходная сумма плюс
проценты. Еще через год эта сумма составит
12
12
12




10
.
000

10
.
000


10
.
000

10
.
000






(руб.), т.е. сумма денег
100
100
100




после первого года и проценты от денег первого года. Ясно, что дальше все
будет происходить по этой же схеме, однако не складывать же нам все эти
суммы до тех пор, пока не получим сумму в 20 000 руб.!
Попробуем найти закон образования суммы вклада после каждого года.
12  12

.
000

1
.
000

10
.
000
1


После первого года: 10
.
100
100

После второго
года:
2
12
12
12
12
12
1









10
.
000
1


10
.
000
1



10
.
000

1


1


10
.
00
1











100
100
100
100
100
1









После третьего
года:
2
2
2
3
12
12
12
12
12
1









10
.
000
1


10
.
000
1



10
.
000

1


1


10
.
00
1











100
100
100
100
100
1









Внимательно присмотревшись к правым частям наших равенств, можно
заметить закономерность построения этих денежных сумм и увидеть, что
n
 12

.000
1
  рублей.

через n лет хранение денег их количество составит 10
 100

На самом деле мы сейчас вывели формулу, которая в экономике называется
n
P

  , где A-начальная сумма
1
формулой сложных процентов: SA
 100

вклада, P-процентная ставка (годовая), n-срок хранения вклада (в годах), а Sнакопительная (итоговая) сумма вклада.
3
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле
n
 12

S

10
.
000
1
 . Нам необходимо найти n, при котором

 100

n
12
 12


20
.
000

10
.
000
1
 , т.е. решить уравнение 2

1
.
 100

 100

n
Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и
получить, что n=log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к
основанию 10, пользуясь калькулятором.
lg
20
,
3010

n

log
2



6
,
11
1
,
12
.
lg(
1
,
12
)0
,
0492

Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет (с небольшим).
Задача №2
Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в P% годовых.
Через сколько лет эта сумма составит S руб.?
Решение
Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение
n
 12


10
.
000
1
 . Логарифмируя это уравнение по

относительно n: S
 100

основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в
n
 
P 
A
1

случаях с прямыми подсчетами), получим: lg S = lg  
,
100

 

n
lgS  lg A
P 

P

P .
1
, откуда n= 
lg S = lg A + lg 1100 , lg S – lg A = n lg
lg1

 100



100


Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты
является очень важной составляющей экономического анализа, особенно
в случаях с принятием оптимального решения.
Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под
проценты, причём неважно: в банк, в производство и т.д. Но реальные
ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные,
поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением.
Задача №3
Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000
руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с
вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это
может делать?
Решение
Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A-исходная сумма, Sснимаемая сумма ежегодно, P-процентная ставка.
4
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Тогда через год на счету будет
Р

А1
,
100


а после снятия денег
Р

А
1
S;
 100

Через два года:
 Р
Р
 
 Р

 Р
 


А
1


S

1


S
А
1
 
S
1

1
 




,
или
;


100
 
 100

 100
 

 100
2
Через три года:
2


Р
Р
 

Р



А
1


S
1

1

1


S








100
  100

100
 , или



Р
 Р
 
 Р



А
1


S
1

1

1



;


100
100
100

 



3
2
Через четыре года:
3
2

Р
Р

Р

Р



А
1


S
1

1


1

1


S








100
100
100

 100



, или

4
2
3

Р
Р

Р

Р



А
1


S
1

1


1


1







и т. д.

100
100
100
100








Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остается сумма
в
n
2
n

1

Р
Р
Р
Р





 



А
1


S
1

1


1




1









количестве 
руб


100
100
100
100

 
   

Сумма
2
n

1
 Р


Р

Р



1

1


1




1






представляет


100
100
100








собой
конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем
n

 Р
 


1

1
 
1
n

100



 
Р
100
Р






1
 
1
 
1
,
а
значит,
эта
сумма
равна
.


100
Р
Р
100




1
 
1
100
n
n

100
 Р

 Р
 


1


S
 
1


1

Тогда в итоге получаем А
-закон


Р
100
100





образования суммы в конце каждого года после съема денег с вклада. В
нашем случае получаем:

100
5

5



150
.
000
1


25
.
000

1


1




,


100
5
100






n
n
и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной
нулю.

100
5

5



150
.
000
1


25
.
000

1


1

0




;

100
5
100
 
 


n
n
5
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
n
n
n
n








150
.
000
1
,
05

500
.
000
1
,
05

1
1
,
05

50
1
,
05

1
; 15
;







15
1
,
05
50

1
,
05

50
1
n 50

,05
; 35
;
1,05n 10;
7
n

n
10
lg
0
,
1549

n 1010
7


lg
1
,
05

lg
;
n
lg
1
,
05

lg
;
n

;
n
 
7
,
31
.
7
7
lg
1
,
05
0
,
0212

Таким образом, выполнение денежных операций в полном объеме
возможно на протяжении 7 лет.
Задача №4
Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого
компонента, В некоторый другой момент времени t имеющийся
компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток
времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет
заданного количества B единиц.
Для того чтобы это сделать, сначала напомним, то процессы, у
которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются
x
показательной функцией вида y  c0 a .
Решение
В нашем случае будем считать, что начальный момент времени
x
соответствует нулю, тогда q  c0 a , и значит, c0 =q, т.е. функция,
x
описывающая этот процесс, имеет вид y  qa . В следующий момент
t
времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением qp  qa ,
т.е. p=at, откуда lg p=lg at, lg p=tlga,
lg
p
lg
p
t
lg
a
 ,a

10
.
t
lg p

10 t
Таким образом, по данным условия мы получаем функцию y=q 


. И

теперь ясно, что мы ищем x, при котором y=B, т.е. надо решить уравнение
lg p

10 t
B=q 



.

lg p

10 t
Выполняя логарифмирование уравнения B=q 



 по основанию 10,

получим
x
x
lg
p
lg
p
lg
p






l
p


t
t
t




lg
B

lg
q

10
,
lg
B

lg
q

lg
10
,
lg
B

lg
q

x

lg
10
,
lg
B

lg
q

x

.






t








lg
B

lg
q t
lg
B

lg
q
x

,x

.
lg
p
lg
p
t
6
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Логарифмы в биологии
В нашу современную жизнь вторгается
математика с ее особым стилем мышления,
становящимся сейчас обязательным и для
инженера, и для биолога.
Задача №5
В начальный момент времени было 8
бактерий, через 2 ч после помещения
бактерий в питательную среду их число
возросло до 100. Через сколько времени с
момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500
бактерий?
Решение.
q=8, t=2, p=100/8, B=500.
Значит, требуемое время соответствует значению выражения


2

lg
500

lg
8
2

1
,
7959



3
,
27
100
1
,
0970
 , то есть
lg
8
примерно через 3 ч. 15 мин
Задача №6
Примером быстрого размножения
бактерий является процесс
изготовления дрожжей, при котором
по мере их роста производится
соответствующая добавка
перерабатываемой сахаристой массы.
Увеличение массы дрожжей
выражается показательной функцией
m= m”(1,2t), где m” – масса дрожжей в
процессе дрожжевания. Вычислим m,
если m”=10 кг, и t=9 ч.
Решение.
Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания:
m = 10 * (1.2)9= 51.6 кг
Ответ : 51.6 кг
Логарифмы
в химии и биофизике
Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются?
Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих
средствах.
В химии эту пометку принято называть водородным показателем.
За что же он отвечает?
7
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Водородным показателем pH называется
отрицательный
десятичный
логарифм
концентрации ионов водорода.
Переводя на доступный язык, можно
сказать, что с помощью водородного
показателя
определяется
уровень
кислотности среды.
С помощью логарифмов ученые научились
определять точный возраст ископаемых
пород и животных. Наиболее распространен
Радиоуглеродный анализ.
На примере задачи попытаемся понять суть этого метода.
Задача №7
Известно, что соотношение между углеродом C12 и его радиоактивным
изотопом C14 во всех живых организмах постоянно. Период полураспада
углерода C14 составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта,
найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание
изотопа C14 в них составляет 26% от его количества в живом организме.
Решение.
14
Пусть изначально изотопа C было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B =
0,26m, и значит,
0
,
26
m
5760

lg







t
lg
B

lg
q
5760
lg
0
,
26
m

lg
m
5760
lg
0
,
26
576


0
,
58

m
x
 


 


1
1
lg
p

lg
2
lg
2
0
,
301

lg
2
Возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.
8
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Логарифмы «на слуху» и в ухе
Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то
вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого
музыкального действия.
Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой
непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании
струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим
звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых
находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются
по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы
понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.1).
Рис.1.Схема строения уха человека:
1 — наружный слуховой проход; 2 — барабанная перепонка; 3 — полость
среднего уха (барабанная полость); 4 — молоточек; 5 — наковальня; 6 —
стремечко; 7 — полукружные каналы; 8 — преддверие; 9 — улитка; 10 —
овальное окно; 11 — евстахиева труба.
Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется
улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части
действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную
трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в
математике.
9
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Логарифмическая спираль
У логарифмической спирали все время
выдерживается постоянный угол относительно оси (раковина улитки).
Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт
(1596—1650).
Спирали, встречающиеся
в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и
улитки, соцветия маргаритки и подсолнечника, шишки сосны и паутина,
сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков, эпейра. Наиболее
впечатляющим примером является спиральная структура галактик. И этот
факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения.
Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате
вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали.
У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то
есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться.
10
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что
говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.
Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу
поверхности в единицу времени. Эта физическая величина не выражает
величины нашего звукового ощущения- громкости.
Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они
покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется
разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.
В 1846г. физиолог Вебер установил зависимость
между ощущением и раздражением, вызывающим
это ощущение. Им было доказано, что при едва
заметном приросте ощущения отношение прироста
раздражения к его первоначальной величине всегда
остается постоянным. Названное отношение можно
выразить в процентах. Вебер заметил, что прирост
громкости (слухового восприятия) получится при
увеличении силы звука на 10%.
В
дальнейшем
(в
1860г.) уже другой
ученый
–
Фехнер
подверг закон Вебера
математической обработке. По результатам
исследования был сформулирован общий
психофизический закон Вебера - Фехнера,
согласно которому ощущение изменяется
пропорционально логарифму раздражения: S=k
lg J/J0, где S – ощущение, J0 – первоначальное
раздражение, J –последующее раздражение, k –
коэффициент пропорциональности.
Человеческое ухо способно воспринимать звуки,
сила которых может изменяться в миллиарды
раз. Единицей измерения силы звука является
бел. Однако чаще всего пользуются децибелом – единицей измерения,
которая в 10 раз меньше бела.
11
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Логарифмы
и равномерная темперация
дие́з — это знак альтерации, обозначающий повышение стоящей справа
от него ноты на один полутон
Ко́мма - один из наименьших музыкальных интервалов,
На протяжении многих столетий существует так называемая пифагорова
комма античной гаммы.
В пифагоровой музыкальной гамме целый тон делился на два неравных
полутона. А в новом, 12-ступенном строе октава стала состоять из 12
равных полутонов:
«до1» - «до-диез»; «до-диез» - «ре»; «ре» - «ре-диез»; «ре-диез» - «ми»;
«ми» - «фа»; « «фа» - «фа-диез»; «фа-диез» - «соль»; «соль» - «соль-диез»;
«соль-диез» - «ля»; «ля» - «ля-диез»; «ля-диез» «си»; «си» - «до 2».
На клавиатуре фортепиано каждая октава
разделена на основные тоны и «диезы»
соответственно белыми и черными клавишами.
Известно, что частота верхнего звука октавы
больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при
переходе к каждому из 12 полутонов частота
увеличивается в х раз. Эти условия дают
возможность составить уравнение:
х12=2 или х=212.
Но с какого звука начать? Начнем, конечно, с «ля»
первой октавы. С ним связана следующая легенда.
Очень давно у древнеегипетского города Фивы
каждое утро этот звук издавала колоссальная
статуя Мемнона. Звучавшее «ля» давало
возможность музыкантам получить чистый настрой
струн своих инструментов.
Позже люди
научились
получать звук «ля»
с помощью
специального прибора – камертона.
Камертон служит эталоном высоты звука.
Он состоит из стального стержня
прямоугольного или квадратного сечения,
согнутого U – образно так, что две его
ветви идут параллельно. Если камертон
укрепить на открытом с одной стороны
деревянном ящике, полость которого
настроена в резонанс с его собственным
тоном, то звук будет особенно
12
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
усиливаться, станет чистым и хорошо слышимым. Камертон не
использовался в качестве музыкального инструмента (разве может
музыкальный инструмент издавать только один звук?). Этот прибор
служит для получения нормального тона для настройки музыкальных
инструментов.
Итак, зная частоту звука «ля» и используя коэффициент, 212можно
получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например,
частота звука «ля-диез» равна 440*212 =466,16 Гц
Помимо частот звуков равномерно темперированной гаммы запишем еще
и их логарифмы по основанию 2, а также логарифмы по тому же
основанию частот соответствующих интервалов гаммы, т.е. от звука «до»
(его частота обозначена через f0) до данного звука. Любую частоту в табл.
2 обозначим через fk , таким образом, k = 0, 1…,12.
В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:( формула 1).На
втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез»(это так
называемая малая секунда). На третьем месте - логарифм отношения
частот звуков «до»-«ре» (большая секунда). На пятом - логарифм
отношения частот звуков «до»-«ми» (большая терция):
Свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел
равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить
логарифм интервала кварта («до» - «фа»), достаточно найти разность:
8,448-8,031=0,417
Итак , логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с
разделением октавы на интервалы , равные 1/12 ,которые соответствуют
полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно
составлять целый тон.
С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые
наиболее распространены в музыке. Среди них октава, квинта, кварта,
секста, терция, секунда, септима.
Измерение интервалов в долях такой крупной единицы, как октава,
устраивает музыкантов, но далеко не достаточно для акустиков. Они
придумали себе более мелкую единицу.
Такой единицей, по предположению
английского акустика Эллиса, стал цент,
равный 1/100 темперированного полутона или
1/1200 октавы. Применение центов
используется в музыкальных опытах, которые
приводят к созданию все новых и
совершенных музыкальных инструментов.
Если принять в качестве стандартной высоты
основного тона музыкальной настройки
частоту звука «ля»,равную 440 Гц, то частоту
любого другого тона можно выразить
следующими формулами:
13
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
В октавах (формула 2)
В полутонах (формула 3(вписать формулы)
В центах (формула 4)
Надо сказать, что он не сразу был принят музыкантами. Да и математики
того времени возражали против нововведения. Музыкантов не убеждала
даже возможность модулирования(перехода в другую тональность) в
новом строе. Они предпочитали держаться за старые способы настройки
инструментов. А математикам казалась необоснованной важная роль
логарифмов в расчетах гаммы. Но всех сомневающихся убедил
гениальный немецкий музыкант Иоганн Себастьян Бах.
История открытия природы звука, закономерности равномерной
музыкальной темперации – яркие свидетельства того, как тесно
переплетены математика и музыка
Логарифмы в физике
Разделы физики
(в которых выявлено применение логарифмов)
• Макроскопическая физика
• Механика
• Термодинамика
• Оптика
• Акустика
• Электродинамика
• Микроскопическая физика
• Статистическая физика
• Физика конденсированных сред
o Физика твёрдого тела
o Физика атомов и молекул
o Физика наноструктур
• Квантовая физика
• Ядерная физика
• Физика высоких энергий
• Физика элементарных частиц
АКУСТИКА
Белл обнаружил, что порог слышимости ребенка составляет около 10-12
Вт/м2, а уровень, при котором возникают болевые ощущения - около 10
Вт/м2. Таким образом, диапазон громкости, нормально воспринимаемый
человеком, составляет 13 порядков!
ДЕЦИБЕЛ - десятая часть бела, безразмерной единицы для измерения
отношения некоторых величин (например, энергетических — мощности и
энергии или силовых — напряжения и силы тока) по логарифмической
шкале.
Шкала звуковой мощности
Исходя из полученных значений, Белл определил шкалу звуковой мощности
от 0 до 13. Ощущение громкости базируется на логарифмической шкале
14
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
уровня мощности, Преобразование между мощностью и громкостью по
шкале Белла выглядит следующим образом: громкость (в белах) = lg(P1/P0),
где P0 - порог слышимости звука. Белл стал фактически стандартной
единицей измерения логарифма отношения двух энергетических уровней:
отношение, выраженное в белах, есть lg(P1/P0), т.е. увеличение на 3 бела
соответствует увеличению в 1000 раз. Если новое значение убывает, то
логарифм отношения становится отрицательным. Чтобы сделать обратное
преобразование необходимо 10 возвести в степень, равную белам.
Уровень звукового давления
(англ. SPL, Sound Pressure Level) — измеренное по относительной шкале
значение звукового давления, отнесённое к опорному давлению = 20 мкПа,
соответствующему порогу слышимости синусоидальной звуковой волны
частотой 1 кГц: дБ.
p
SPL

20
lg
20
мПа
Уровни звукового давления от различных источников
• 10 дБ SPL — шёпот;
• 20 дБ SPL — норма шума в жилых помещениях;
• 40 дБ SPL — тихий разговор;
• 50 дБ SPL — разговор средней громкости;
• 70 дБ SPL — шум пишущей машинки;
• 80 дБ SPL — шум работающего двигателя грузового автомобиля;
• 100 дБ SPL — громкий автомобильный сигнал на расстоянии 5—7 м;
• 110 дБ SPL — шум работающего трактора на расстоянии 1 м;
• 120 дБ SPL — порог болевого ощущения;
• 150 дБ SPL — взлёт самолёта;
• 200 дБ SPL — взрыв атомной бомбы.
• Давление свыше 140 дБ SPL может вызвать разрыв барабанной
перепонки, баротравмы и даже смерть.
15
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Задача №8
Во сколько раз возрастет громкость звука, если вместо одной скрипки будут
играть десять?
Решение.
если на скрипке исполняется определенная нота с уровнем звукового
давления L1 = 60 дБ с частотой 880 Гц (Ля второй октавы), это, как следует из
кривых равной громкости (Рис. 1), соответствует уровню громкости Ls = 60
фон. Если теперь будут вместе играть десять скрипок, то создаваемая ими
громкость определяется следующим образом: интенсивность звука одной
скрипки I1, интенсивность звука десяти скрипок Iсум = 10I1 (интенсивности
складываются). При этом суммарный уровень интенсивности равен:
10lgIсум/I0 = 10lg 10I1/I0 = 10lgI1/I0 + 10lg10 = =10lgI1/I0 + 10 дБ(2).
Если теперь учесть, что интенсивность звука пропорциональна квадрату
звукового давления, то получим: 10 lg Iсум/I0 = 10lg p2/p02 = 20 lg pсум/p0.
Из соотношения (2) получается: 20lg pсум/р0 = 20lg p1/p0 + 10 дБ, т.е.
суммарный уровень звукового давления увеличится на 10 дБ: Lp=L1+10 дБ.
Поскольку начальный уровень звукового давления был 60 дБ, то суммарный
уровень звукового давления будет 70 дБ, что соответствует уровню
громкости 70 фон (рисунок 5), отсюда по формуле (1) можно рассчитать
громкость, она равна 8 сон. Ответ: когда вместо одной скрипки (или любого
другого источника сигнала) будут играть десять скрипок, громкость вырастет
только в два раза (от 4 сон до 8 сон).
PS:
Умение решать такие задачи необходимо в технологии звукозаписи.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА
Примеры применения:
• Шкала Рихтера интенсивности землетрясений
• Шкала экспозиций в фотографии
• Звездные велечины — шкала яркости звезд
• Шкала рН
• Шкала интенсивности звука — децибелы
• Шкала частоты звука — нотная шкала
вывод
Логарифмы применяются для измерения энергетических (мощность, энергия)
или силовых (напряжение, сила тока) величин. Эти величины встречаются
практически во всех разделах физики.
В момент причаливания корабля к пристани, для того чтобы его остановить ,
используют следующий прием. С судна на пристань бросают канат, который
оборачивают около тумбы, после чего достаточно усилий и одного человека,
чтобы под действием силы трения остановить даже очень большой корабль.
Не вдаваясь в физику, будем считать, что уравновешивание силы корабля и
человека происходит по закону F=F0x3n, где F – сила корабля, F0 – сила
человека, а n – число витков. Найти, сколько следует сделать витков каната,
16
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
чтобы человек с приложением силы 8H смог остановить у причала корабль с
силой 120H. Совершенно очевидно, что для ответа на поставленный вопрос
нам необходимо найти n из уравнения 120=8х3n.
Полученный математический результат означает, что необходимо
сделать 3(не меньше) оборота каната вокруг тумбы.
Разумеется, на практике никто логарифмов не считает, и, как правило, при
причаливании корабля человек накручивает количество витков, исходя из
своего опыта. Однако это не означает, что так будет всегда: возможно
появление нестандартных ситуаций, а для того чтобы их спрогнозировать
и дать соответствующую
рекомендацию, нужны знания, а не
только опыт.
Логарифмы в географии
«Без знания математики нельзя
понять ни основ современной техники,
ни того, как
ученые изучают природные и
социальные явления»
Колмогоров. А.Н
Для планирования развития городов,
других населенных пунктов,
строительства жилья, дорог, других
объектов мест проживания людей,
необходимы расчеты – прогнозы на 5,
10, 20 лет вперед.
Покажем, как в таких расчетах
применяются логарифмы.
Задача №9
По данным газеты «Зори» от 12 апреля 2011 года из доклада П. Е. Шишкина
население в городе Старый Оскол за один год увеличилось с 256100 человек
до 257135 человек. Через сколько лет население этого города увеличится в
1,5 раза?
Решение.
Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов:
A=a(1+p/100)x. Примем население города, которое было, за а=256100, тогда
А=257135-это население, которое стало, х -неизвестно.
р=((257135256100)/257135)100≈0,4%
Сделав подстановку в формулу, получим
256100∙1,5=256100(1+0,4/100) x
Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его.
xlg 1,004=lg1,5, откуда x =lg 1,5 /lg1,004
Найдя по таблице lg1,5 и lg1,004 , получим
17
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
x=0,18/0,002≈90.
Ответ : примерно через 90 лет
Задача №10
Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в
настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост
населения составляет 3,5%?
Решение.
Численность населения изменяется по формуле: B=B0(1+p/100)x.В нашей
задаче В=300 тыс.человек,р=3,5%,х=10 лет,B0-численность населения 10 лет
тому назад. Тогда 300=B0(1+3,5/100)10; 300=B0*1,03510
B0=300/1,03510 ≈212,7 тысяч человек.
Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек
Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением
атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря.
Задача №11
Зависимость давления атмосферы р ( в сантиметрах ртутного столба) от
выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой
p=76*2,7-h/8. Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине
Эльбруса, высота которой 5,6 км?
Решение.
Вычислим атмосферное давление на вершине Эльбруса высотой 5,6 км:
p=76*2,7-5,6/8 ≈37,92 мм рт. ст.
Ответ: 37,92 мм рт. ст.
Задача №12
Высота над уровнем моря вычисляется по формуле h=(8000/0,4343)lg(p0 /p),
где p0 =760 мм рт.ст., р - давление на высоте h м.
Давление в городе Старый Оскол на 15 апреля 2011 года равно 738 мм рт.
ст. Вычислим, на какой высоте находится наш город.
Решение. Найдем высоту, на которой находится наш город:
h=(8000/0,4343)lg(760/738) ≈235 м
Ответ: 235м.
Мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, поскольку это
сделать просто невозможно. Логарифмы находят самое широкое
применение и при обработке результатов тестирований в психологии и
социологии , в составлении прогнозов погоды и т.п.
В заключении познакомимся еще с двумя интересными примерами
применения логарифмов, но уже для нужд самой математики. При этом
предварительно отметим неравенства, истинность которого мы докажем в
курсе математического анализа.
Итак, при всех натуральных значениях n , n>3 имеет место неравенство
nlg(n+1)<(n+1)lgn.
18
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Задача №13
Сравнить числа 2003
и 2004 .
Решение.
Нетрудно сообразить, что воспользоваться калькулятором или
компьютером для их сравнения нам не удастся, поскольку такие числа
просто в них «не влезут». Поэтому мы найдем десятичные логарифмы
этих чисел и у нас получится:
lg20032004 = 2004lg2003 = (2003+1)lg2003,
lg20042003 = 2003lg2004 = 2003lg(2003+1).
Поскольку 2003>3, то можно применить неравество nlg(n+1)<(n+1)lgn,
которое позволит записать числовое неравенство (2003+1)lg2003>
2003lg(2003+1), откуда lg20032004> lg20042003, и значит, руководствуясь
тем, что функция y=lgx возрастающая, окончательно получим: 20032004>
20042003.
Ответ: 20032004> 20042003.
Задача №14
Определите, сколько цифр содержится в десятичной записи числа 3030 .
Решение
Сначала поймем, что от нас требуется. Как известно,
запись числа в десятичной системе является поразрядной ,следовательно
,нам необходимо найти число разрядов. А вот теперь главное: число разрядов
,например ,у чисел 243, 576, 831 одинаковое ,также оно будет одинаковым и
у всех четырехзначных чисел ,и у всех пятизначных и т.д. значит ,мы можем
искать количество цифр не в числе 3030,а в каком – нибудь другом числе
,более удобном ,лишь бы их количество разрядных единиц совпадало. но в
такой ситуации самым удобным является число, представляющее собой
степень десятки. Ведь эти числа всегда начинают группу и к тому же легко
записываются: 10n.Так, двузначные числа начинаются с 10 ,трехзначные с
102 =100… единственное ,что нам пока не нравится ,это несовпадение
разряда со степенью n ,ведь двузначным числам отвечает n =1,трехзначным
n=2 и т.д. Поэтому мы, понимая ,что ищем число с большим количеством
разрядов, заменим его на чисто вида 10n-1.
Итак, задача сводится к нахождению наибольшего натурального значения
n, при котором верно неравенство 3030 больше или равно 10n-1 , а решение
таких неравенств уже пустяки.
2004
2003
Вывод
Рассмотренные нами примеры убедительно показывают, что знание
математики ( в таком объёме) нужно не только человеку непосредственно
связанного с математикой, но и людям многих других специальностей.
Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является
очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с
принятием оптимального решения.
19
Муниципальное общеобразовательное учреждение
“Лицей №3”
_____________________________________________________________________________
Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий,
радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций
и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной
функции.
Итак, логарифмы имеют непосредственное отношение к физике, химии,
биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.
Библиографический список:
1.Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. :Учеб.
пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С.
Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 11-е изд.,стереотип.М.:Мнемозина, 2004.-288 с.: ил.
2.Самсонов П.И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно
– научный профиль.-М.:Школьная Пресса, 2005.-208 с. (Библиотека
журнала «Математика в школе». Вып. 32.)
3.Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарноматематический курс. -М. :Школа-Пресс,1998.-160 с.:ил. (Библиотека
журнала «Математика в школе». Вып. 7.)
4.Математика для школьников, №3,4 2010.
20