ТЕМА: Прямая и обратная пропорциональная зависимость

ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ
Задача 1. Із свіжих слив одержують 32 % сушених. Скільки взяли свіжих
слив, якщо одержали 8 кг сушених?
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
100 % свіжих слив - 32 % сушених слив.
100 кг свіжих слив - 32 кг сушених слив,
х кг свіжих слив - 8 кг сушених слив.
Складаємо рівняння:
100 : х = 32 : 8,
32х=100∙8,
х=800:32,
х = 25.
Відповідь. 25 кг.
Задача 2. Плащ коштує 132 грн. Через деякий час його ціну підвищили на
5,28 грн. На скільки відсотків підвищилась ціна?
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
132 грн. - 100 %,
5,28 грн. - х %.
Складаємо рівняння:
132 : 5,28 = 100 :х,
132х = 5,28 ∙100,
х = 528: 132,
х = 4.
Відповідь. На 4 %.
Задача 3. Маса деталі після обробки на токарному верстаті зменшилася з 6 кг
до 4,2 кг. На скільки відсотків зменшилася маса деталі?
Задача 4. Коли фабрика випустила 204 пари взуття, то план був виконаний
на 85 %. Скільки пар взуття мала випустити фабрика за планом?
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
204 пари взуття - 85 %,
х пар взуття - 100 %.
Складаємо рівняння:
204 : х = 85 : 100,
85х = 204∙100,
х = 20 400: 85,
х = 240.
Відповідь. 240 пар взуття.
Задача 5. Із 150 кг свіжих вишень одержали 36 кг сушених. Скільки відсотків
сушених вишень виходить із свіжих?
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
150 кг свіжих вишень - 100 %,
36 кг сушених вишень - х %.
Складаємо рівняння:
150:36=100:х,
150х = 36∙100,
х =3600: 150,
х =24.
Відповідь. 24 %.
Задача 6. Коли цех випустив 360 деталей, то виконав 120 % місячного плану.
Який місячний план цеху?
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
360 деталей - 120 %,
х деталей - 100 %.
Тут х деталей становить місячний план цеху.
Складаємо рівняння:
360 : х = 120: 100,
120х = 360∙100,
х = 36 000: 120,
х = 300.
Відповідь. 300 деталей.
Задача 7. 26 кг рису містять 19,5 кг крохмалю. Знайти відсотковий вміст
крохмалю в рисі.
Розв'язання.
Складаємо відсоткову пропорцію:
26 кг рису - 100 %,
19,5 кг крохмалю - х %.
Складаємо рівняння:
26 : 19,5 = 100 : х,
26х= 19,5 ∙100,
х= 1950: 26,
х = 75.
Відповідь. 75 %.
Задача 8. У процесі виготовлення силосу втрачається 12 % закладеної зеленої маси. Скільки одержать силосу із 450 т зеленої маси?
Розв'язання.
1.
Скільки відсотків становить силос?
100 % - 12 % = 88 %.
2.
Скільки одержали силосу із 450 т зеленої маси?
88% = 0,88;
450∙0,88 = 396 (т).
Відповідь. 396 т.
Задача 9. Комбайнер до обіду намолотив 21 т пшениці. Це становить 70 %
пшениці, намолоченої ним за день. Скільки пшениці намолотив комбайнер
після обіду?
Розв'язання.
1.
Скільки пшениці намолотив комбайнер за день?
70 % = 0,7;
21 : 0,7 = 30 (т).
2.
Скільки пшениці намолотив комбайнер після обіду?
30 - 21 = 9 (т).
Відповідь. 9 т.
Задача 10. Із 50 саджанців яблунь прийнялися 42 саджанці, а інші загинули.
Скільки відсотків становлять саджанці, що загинули?
Розв'язання
1.
Скільки саджанців загинуло?
50 - 42 = 8 (садж.).
2.
Скільки відсотків становлять саджанці, що загинули?
8:50 = 0,16=16%.
Відповідь. 16 %.
Задача 11. Учні трьох класів посадили 340 дерев. Учні одного класу посадили 25 % усіх дерев, учні другого класу посадили 35 % дерев, а учні третього
класу - решту. Скільки дерев посадили учні третього класу?
Розв'язання
1.
Скільки відсотків дерев посадили учні двох класів?
25 % + 35 % = 60 %.
2.
Скільки відсотків дерев посадили учні третього класу?
100 % - 60 % = 40 %.
3.
Скільки дерев посадили учні третього класу?
40 % = 0,4;
340 ∙ 0,4 = 136 (дер.).
Відповідь. 136 дерев.
Задача 12. Велосипедист першого дня проїхав 34 % всієї траси, другого дня 35 % всієї траси, а третього дня - решту 124 км. Яка довжина всієї траси?
Розв'язання
1.
Скільки відсотків траси проїхав велосипедист за два дні?
34 % + 35 % = 69 %.
2.
Скільки відсотків траси проїхав велосипедист за третій день?
100 % - 69 % = 31 %.
3.
Яка довжина всієї траси?
31 % = 0,31;
124 : 0,31 = 400 (км).
Відповідь. 400 км.
ПРЯМА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ
Задача 1. Господарка варить вишневе варення. На 3 склянки вишень вона
кладе 2 склянки цукру. Скільки цукру потрібно покласти на 12 склянок
вишень?
Розв'язання.
Складаємо пропорцію:
3 склянки вишень - 2 склянки цукру,
12 склянок вишень - х склянок цукру.
У цій пропорції дві величини знаходяться у прямо пропорційній залежності,
тобто із збільшенням однієї величини збільшується і друга величина.
Складаємо рівняння:
3:12 = 2:х,
3х = 12∙2,
х = 24 : 3,
х = 8.
Відповідь. 8 склянок цукру.
Задача 2. У 800 г розчину міститься 50 г солі. Скільки солі в 240 г розчину?
Розв'язання.
Складаємо пропорцію:
800 г розчину - 50 г солі,
240 г розчину - х г солі.
У цій пропорції дві величини знаходяться у прямо пропорційній залежності,
тобто із збільшенням однієї величини збільшується і друга величина.
Складаємо рівняння:
800 : 240 = 50 : х:,
800х = 240∙50,
х = 12 000: 800,
х =15.
Відповідь. 15 г солі.
Задача 3. Щоб засіяти 8 га поля, витратили 14,4 ц зерна. Скільки потрібно
зерна, щоб засіяти 12 га поля?
Розв'язання.
Складаємо пропорцію:
8 га поля - 14,4 ц зерна,
12 га поля - х ц зерна.
У цій пропорції дві величини знаходяться у прямо пропорційній залежності,
тобто із збільшенням однієї величини збільшується і друга величина.
Складаємо рівняння:
8:12 = 14,4 : х,
8х = 14,4∙12,
х = 172,8: 8,
х = 21,6.
Відповідь. 21,6 ц.
Задача 4. Із 36 ц буряків одержали 7,2 ц цукру. Скільки цукру вийде з 52 ц
цукрових буряків?
Розв'язання.
Складаємо пропорцію:
36 ц буряків - 7,2 ц цукру,
52 ц буряків - х ц цукру.
У цій пропорції дві величини знаходяться у прямо пропорційній залежності,
тобто із збільшенням однієї величини збільшується і друга величина.
Складаємо рівняння:
36:52 = 7,2:х,
36х = 7,2 ∙ 52,
х = 374,4: 36,
х =10,4.
Відповідь. 10,4 ц.
Задача 5. За 1,2 кг м'яса заплатили 7,2 грн. Скільки потрібно заплатити 2,5 кг
такого м'яса?
Розв'язання.
Складаємо пропорцію:
1,2 кг - 7,2 грн.,
2,5 кг - х грн.
У цій пропорції дві величини знаходяться у прямо пропорційній залежності,
тобто із збільшенням однієї величини збільшується і друга величина.
Складаємо рівняння:
1,2 : 2,5 = 7,2 :х,
1,2х = 2,5∙7,2,
х = 18: 1,2,
х = 15.
Відповідь. 15 грн.
Похідні пропорці
де
Вивід:
Із
слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):
Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:
[ред.] Часткові випадки
,
Очевидно,
Урок по теме "Задачи на прямую и обратную
пропорциональные зависимости. Задачи на пропорции"
Зверева Наталья Жоржевна, учитель математики
Статья отнесена к разделу: Преподавание математики
Цели урока:




решение более сложных задач на пропорциональные величины («Сложное тройное
правило»);
развитие не только логического, но и образного мышления, фантазии детей и их
способности рассуждать, ставить вопросы и отвечать на них, т.е речи обучаемых;
расширение кругозора при решении старинных практических ( или правдоподобных) задач;
формирование представлений о богатстве культурно – исторического наследия
человечества.
Ход урока
I. Организационный момент:
Сегодня приступаем к решению более сложных, но не менее интересных задач на
пропорциональные величины.
Изучение пропорций и указанных зависимостей имеет большое значение для последующего
изучения математики.
Позже с помощью пропорций вы будете решать задачи по химии, физике и геометрии.
С чего же начинали?
1. Познакомились с понятиями «отношение», «пропорция»
(отношение - ………., пропорция - ………(ожидаются ответы учащихся)
2. Научились решать пропорции и выяснили, что основной способ их решения должен
опираться на ……. (основное свойство пропорций)
3. Научились выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости
между ними. (прямая или обратная зависимости)
4. Научились делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию (уменьшение
величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх)
Но не забываем, что
5. разбирали способ решение задач вообще без пропорций (применению этого приёма
должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении задач: во сколько раз
увеличилась или уменьшилась величина?)
Будем продвигаться вперёд от простого к сложному.
II. Устная работа.
1. Из данных величин выберите те, которые являются прямой или обратной
пропорциональностью:
а) длина стороны квадрата и периметр.
б) длина стороны квадрата и его площадь.
в) длина и ширина прямоугольника при заданной площади.
г) скорость автомобиля и путь, который он проедет за определённое время.
д) скорость туриста, идущего с турбазы на станцию, и время, за которое он дойдёт до станции.
е) возраст дерева и его высота.
ж) объём стального шарика и его масса.
з) число прочитанных страниц в книге и число страниц, которые осталось прочитать.
(Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за
пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите
внимание на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то
же число раз.).
2. Разберём задачу:
Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько
страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц.
3. Рассмотрим задачи («провокационного характера»):
а) За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа.
б) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов.
в) * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За
сколько недель пруд покроется лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8
недель?
(Решение: так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как
пруд полностью покроется лилиями, его площадь была ими покрыта наполовину, т.е. пруд
покрылся лилиями наполовину за 7 недель)
III. Решение задач:
(условие задач предоставлено на доске)
1. из «Арифметики» А.П. Киселёва: 8 аршин сукна стоит 30 рублей. Сколько стоит 15 аршин
этого сукна?
Краткое условие и два способа решения предлагается очень быстро сделать учащимся на доске.
1 способ:
2 способ: количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше
Х=30*15/8=56р25к
2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и
спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно
в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с
ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько
человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?
На доске записано незаконченное краткое условие:
Дополнить условие и решить задачу двумя способами.
I вариант: пропорцией
II вариант: без пропорций
В это же время двое учащихся работают у доски.
I.
II. Х = 20*6 = 120 работников
3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и
захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько
человек надо убавить?
Старинная задача.
(запись на доске)
(заполнение краткой записи учащимися)
Решить эту задачу без пропорции:
(Количество месяцев увеличивается в
560 :
раз, значит количество солдат уменьшается в
раз.
= 392
560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)
В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения.
Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух
величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».
Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось
«пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение
этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».
Попробуем !!!
4. Возьмём задачу, которая предлагалась вам как дополнительная.
Задача из домашней работы.
Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
Ответ у задачи получается ………?
Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:
Куриц
3
12
дней
3
12
яиц
3
х
В ходе диалога нужно выяснить:
- Во сколько раз увеличилось число кур? ( в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)
- Во сколько раз увеличилось число дней? ( в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)
Х = 3*4*4 =48(яиц)
5. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать
405 листов за 9 дней?
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона
Писцов
строк
листов
1
8
15
Х
9
405
Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.
(количество писцов увеличивается от увеличения листов в
от увеличения дней работы
раз и уменьшается
(писцов)).
Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.
Одну задачу, с шестью величинами, возьмите в качестве необязательного домашнего задания те
учащиеся, которые любят распутывать головоломные задачи.
6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате
горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в
каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
из «Арифметики» А.П. Киселёва
комнат
дней
керосина
лампы
18
48
120
4
20
Х
125
3
Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске
может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..
Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в
раза.
Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.
Х = 48 *
*
= 60 (дней)
:
Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.
IV. Итог урока.
Решали весь урок теперь уже почти забытые задачи. Двигались от простого к сложному. Было
видно, что старинные задачи вызывают интерес, приятно наблюдать вашу упорную работу при
решении задач, провели хорошую тренировку в различении прямой и обратной
пропорциональности.
Понятными кажутся объяснения, предлагаемые учителем, но вы должны и самостоятельно
продвигаться вперёд.
V. Домашнее задание.
1. 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10
дней?
Синиц
дней
зерна
100
100
100
10
10
х
Х = 100: 10: 10 = 1кг
2. Старинная задача.
Дирхем - денежная единица.
Если 10 дирхемов приносят доход 5 дирхемов за два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за
три месяца?
Дирхемов
10
срок
доход
2
5
8
х
3
3.*Дополнительная задача.
Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал
в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30
землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть
10 м, глубина 18 дм?
Длина
человек
дней
часов
ширина
глубина
96
26
40
12
20
12
Х
39
80
10
10
18
решение.
Х = 320
http://festival.1september.ru/index.php?numb_artic=413965
УРОК МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ.
Учитель Уразова О.Б.
ТЕМА:
Прямая и обратная пропорциональная
зависимость
величин.
ЦЕЛИ УРОКА:
1. Общеобразовательные: обобщить и закрепить
Знания
учащихся
о
прямой
и
обратной
пропорциональных зависимостях; закрепить навыки
решения уравнений, записанных в виде пропорции;
способствовать развитию умения решать задачи.
2. Развивающие:
способствовать
развитию
подсознательной активности учащихся, логического
мышления, внимания, памяти, речи.
3. Воспитательные:
содействовать
развитию
активности,
мобильности,
умению
слушать,
воспитанию интереса к математике и повышению
общей культуры.
Тип урока – урок повторения и обобщения.
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.
Урок основан на технологии личностно-ориентированного обучения.
Девиз темы:
«Чтобы переваривать знания, надо поглощать их
с аппетитом».
Анатоль Франс.
ПЛАН УРОКА.
1 ЭТАП. Организационная часть, целеполагание.
П ЭТАП. Мотивационная (учащиеся раскрывают необходимые
умения решения задач данного цикла в реальной
ситуации, жизни.)
Ш ЭТАП. Актуализация
опорных
знаний
(повторение
и
обобщение).
?
1. Что такое пропорция?
2. Как называются числа х и у;
m
и
n
в пропорции
x : m = n : y
3.Сформулируйте основное свойство пропорции.
4. Укажите верную пропорцию
а) 2 : 3 = 5 : 10
в) 1,5 : 9 = 0,5 : 3
б) 1,6 : 0,6 = 8 : 3
г)
7
0,7

10 0,01
д) 3 : 0,1 = 60 : 2
Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член,
если все остальные члены известны.
?
Как найти неизвестный крайний член пропорции?
Как найти неизвестный средний член пропорции?
А. Задание 1.
Найти неизвестный член пропорции (с комментированием у
доски).
а) 18 : х + 6 : 0,1
б)
у
40
=
2,5
0,2
?
Какие величины называют прямо пропорциональными?
Какие величины называют обратно пропорциональными?
Б. Задание 2.
(учащимся предлагается работа в парах: лист № 1, задание
№ 1).
Определите, является ли прямой пропорциональной,
обратной пропорциональной
или не является
пропорциональной зависимость между величинами:
а) путем, пройденным автомашиной с постоянной
скоростью, и временем ее движения;
б) скоростью движения и временем, если длина пути 120
км;
в) количеством машин и их грузоподъемностью;
г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его
количеством;
д) объемом прямоугольного параллелепипеда и высотой,
если площадь его основания 15 дм2 ;
е) числом рабочих, выполняющих с одинаковой
производительностью труда некоторую работу и временем
выполнения работы;
ж) площадью квадрата и длиной его стороны;
з) ростом ребенка и его возрастом.
В. Решение задания № 2 (лист 1).
(самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой: учащимся
предлагается по вариантам выполнить задание (1 в. №1; П в. № 2; двое
учащихся с обратной стороны доски решают задачи с последующим
комментированием выполненного).
1 ВАРИАНТ.
Расстояние между городами А и В на карте равно
5,6 см, а на местности 420 км.
Какое расстояние между городами С и Д на
местности, если на этой же карте расстояние между
ними 3,6 см?
К

5,6 см
3,6
420
5,6
=
;
х
3,6
М
420 км
х
х =

задача на прямо пропорциональную зависимость
3,6  420
= 270
5,6
Ответ: 270 км.
2. ВАРИАНТ.
28 рабочих могут выполнить строительные работы за
17 дней.
Сколько нужно рабочих, чтобы выполнит те же
работы за 14 дней, если производительность труда
останется неизменной?
Решение.

28 раб.
17 дн.
Х раб.
14 дн.
28
14
=
;
х
17
х =

Задача на обратную пропорциональную зависимость
28  17
= 34
14
Ответ: 34 рабочих.
Г. В каких из следующих таблиц даны прямо пропорциональные величины,
а в каких обратно пропорциональные величины (УСТНО).
а 1 2 3 4
в 5 10 15 20
m 8
n 16
p
q
4
8
2
4
х
у
1
2
1 0,5 0,1 0,01
10 5
1
1
c
d
1
6
1 3
24 8
2
3
4
9
3
2
24
1
4
1,5
Д. Заполните таблицу прямо пропорциональных величин а и в; величин х и
у (УСТНО).
а
в
1
4
2
3
4
х
у
5
12
60 30 15 7,5
1V ЭТАП.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА УЧАЩИХСЯ
(в 3-х уровнях)
1 уровень
(при затруднении можно воспользоваться карточкой
коррекции знаний, прикрепленной с обратной стороны
листа).
№ 1, 2 балла
Проверь, верно ли равенство (используйте основное свойство дроби)
а)
18
24
=
;
3
4
б)
16
32
=
4
8
№ 2, 4 балла
Найдите неизвестный член пропорции:
а) 5 : 6 = х : 12;
б) 1,2 : 3 = 1,6 : х;
№ 3, 6 баллов
За 5 часов велосипедист проехал 60 км. Сколько километров он проедет
за 10 часов, если будет двигаться с такой же скоростью?
№ 4, 8 баллов
Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. За сколько дней
бригада из 6 человек выполнит то же задание?
Примечание:
если учащийся справляется с заданием уровня 1, то ему
предлагается выполнить уровень П.
П уровень.
№ 1, 4 балла
Найти неизвестный член пропорции
а : 0,6 + 17 : 1,2
№ 2, 6 баллов
За 7 часов велосипедист проехал 106 3/4 км. Какое расстояние проедет
велосипедист за 10 часов?
№ 3, 8 баллов
11 монтеров могут выполнить монтажные работы за 48 дней. Сколько
необходимо монтеров, чтобы выполнить эти работы за 33 дня при той
же производительности труда?
№ 4, 10 баллов
Площадь земельного участка прямоугольной формы 6а. Найдите
площадь прямоугольника, изображающего этот участок на плане,
масштаб которого 1 : 500.
Ш уровень.
№ 1, 7 баллов
С помощью 12 комбайнеров агрофирма наметила убрать урожай
зерновых за 8 дней. Сколько таких же комбайнов необходимо
добавить, чтобы сократить сроки уборочной на 2 дня?
№ 2, 8 баллов
Масса 10 м3 воды 10 т. Какова масса воды в баке шириной 2 м, длиной
3,5 м, а вода налита до высоты 80 см?
№ 3, 10 баллов
Ковш экскаватора вмещает 80 м3. Сколько вагонов может заполнить
экскаватор за 100 поднятий? Грузоподъемность вагона 40 т, а 1 м3 песка
весит 1,5 тонны.
Примечание:
учащимся, справившимся с самостоятельной работой,
Предлагается выполнить задание из конверта «Испытай
судьбу».
Отношение чисел а и в равно 2
2
3
Найдите отношение
а)
ав
3а
б)
а  2в
а
V ЭТАП. РЕФЛЕКСИЯ.
Итак, наш урок заканчивается. Подведем итоги. Кто хочет высказать
свое мнение?
Ученики. Сегодня мы укрепили свои знания по теме «Прямая и
обратная пропорциональная зависимость».
Повторили решение уравнений, записанных в виде пропорций,
отработали умение определять вид пропорциональной зависимости и
решать задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
Учитель. Думаю, наш урок достиг поставленных целей, т.е. мы
полностью раскрыли практическую необходимость и теоретическую
значимость темы «Прямая и обратная пропорциональная зависимость». На
следующем уроке я сообщу вам результаты самостоятельной работы,
проанализируем ошибки, которые, возможно, будут допущены и разберем
решения более трудных задач.
1V ЭТАП.
1 уровень
П уровень
Ш уровень
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНО.
815 (а);
815 (в);
815 (г);
819;
820; 818 (доп.)
855; 818 (доп.)
ВСЕМ СПАСИБО ЗА РАБОТУ.
УРОК ОКОНЧЕН.
http://sch52.minsk.edu.by/sm.aspx?uid=84321
Нестандартный урок - урок взаимообучения учащихся
Селявко Валентина Григорьевна, учитель
Статья отнесена к разделу: Преподавание математики
Цель: совершенствование способов учебной работы.
Особенность урока: взаимопомощь и взаимоответственность учащихся.
Тема: Прямо пропорциональные величины.
Цели:



обеспечение усвоения учащимися понятия прямой пропорциональной зависимости и
использование прямо пропорциональной зависимости при решении задач; закрепление
навыков решения уравнений с помощью пропорции;
развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для
достижения поставленной задачи уже полученные знания; развитие умения применять
полученные знания на практике.
воспитание интереса к математике; взаимопомощи и взаимоответственности.
В классе три доски (средняя имеет два крыла). Ученики сидят по два за партой в три ряда. До
начала уроков в классе формируются “экипажи” из 4 человек: командира (наиболее
подготовленного ученика), штурмана и двух пилотов. Все задания для устной и письменной
работы используемые в ходе урока, учитель заранее подготовил на доске. Работа учеников
оценивается по пятибальной системе, заносится в таблицу.
Поприветствовав учеников, учитель называет тему и вместе с учащимися определяют цель урока.
Сообщает, что освоить новый материал надо взаимообучением в “экипажах”.
В реальной жизни всего надо добиваться самому. Один из способов освоение человеком мира – включение
его в процесс добывания знаний.
Прежде чем приступить к выполнению задания необходимо проверить готовность “экипажей”.
Работаем по опорному конспекту.
Отношения и пропорции.
- отношение показывает…
Пропорция – это…
a:b=c:d или
Свойство:
a*d=b*c
Решите уравнения:
а) 21:Х=36:12
б) Х:30=54:40
в)
Виды:
1. Прямо пропорциональная зависимость
2. Обратно пропорциональная зависимость
Вопросы всему классу.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называют отношением двух чисел?
Отношение показывает…
Что такое пропорция?
Как называются числа a и d в пропорции a:b=c:d?
Как называются числа b и c в пропорции a:b=c:d?
Сформулируйте основное свойство пропорции? Приведите свои примеры.
Решите уравнения:
а) 21:х=36:12
б) x:30=54:40
в)
8. Как называются виды зависимостей между двумя величинами?
9. Какие величины называют прямо пропорциональными?
Вот мы подошли к цели урока: необходимо ввести понятие прямо пропорциональных
величин.
Перед вами задача – освоить новый материал взаимообучением в “экипажах”.
Действия “экипажей”
1. Каждый член экипажа получает индивидуальное задание. Работает над ним.
2. Пилоты свои задания и выводы проговаривают друг другу.
3. Командир:
- защищает свою работу у учителя;
- повторяет материал всему “экипажу;
- принимает зачет у штурмана.
4. Командир и штурман опрашивают пилотов и, если те готовы (усвоили материал), ставят им
зачеты и оценки. “Экипаж” готов к выполнению особых заданий.
5. Важно поразмыслить над практическим применением теории: знает не тот кто безошибочно
отвечает, а тот кто правильно применяет…
6. “Экипаж” выполняет особое задание и один из членов “экипажа” оформляет его на доске.
7. “Экипаж”, первым выполнивший особое задание, “экипаж” - “экзаменатор” принимает
зачеты у других “экипажей”.
8. Защита заданий:
- командир вытягивает жетон-жребий от которого зависит процедура защиты;
- “экипаж” сам определяет (делегата) посланца, которому предстоит отстаивать честь
“экипажа”.
9. Если на защите член “экипажа” получил оценку ниже, чем заслужил в группе, оценки всех
членов “экипажа” снижаются.
10. Приведем содержание карточек-заданий членам “экипажа”.
Карточка №1
Рассмотрите решение задач и ответьте на вопрос: какие величины называются прямо
пропорциональными? Приведите примеры.
Задача 1. За каждый час велосипедист проезжает 12 км. Какой путь он проедет за 1, 2, 3, 4, 5, 6
часов? [3]
Решение (S=?*t) запишем в виде таблиц.
Время, ч
1
2
3
4
5
6
Пройденный путь, км.
12
24
36
48
60
72
Из таблицы мы видим, что при увеличении одной величины (времени) в 2, 3, …, 6 раз значение
другой величины(пройденное расстояние) тоже увеличивается в 2, 3, …, 6 раз.
Если будем рассматривать таблицу справа налево, то заметим, что при уменьшении значений
одной величины в несколько раз значение другой величины уменьшится во столько же раз.
Например, отношение времени(6ч:2ч=3) равно отношению соответствующих им значений
пройденных путей(72км:24км=3). Если с увеличением (уменьшением) одной величины в
несколько раз увеличивается(уменьшается) другая величина во столько же раз, то такие
величины называются прямо пропорциональными. Эта особенность используется для
составления пропорции при решении задач. В нашем примере из полученных отношений можно
составить пропорцию 6:2=72:24
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений
этих величин равны.
Задача 2. За 5 часов катер прошел 100 км. Какое расстояние катер пройдет за три часа при той же
скорости движения.[3]
Решим задачу с помощью пропорции. Так как время движения и пройденный путь при постоянной
скорости находятся в прямо пропорциональной зависимости, то можем составить пропорцию. Для
этого сначала запишем условие задачи в виде схемы, обозначив неизвестное время через Х
часов.


5 ч — 100 км
3 ч — Х км
Рассуждаем, во сколько раз 5ч больше 3ч (пишем 5:3) во столько раз 100 км больше Х км (100:Х).
Получим пропорцию 5:3=100:Х. отсюда
Ответ: 60 км.
Надо помнить, что при решении задач с помощью пропорции сначала надо установить, являются
ли заданные величины прямо пропорциональными.
Карточка №2
Рассмотрите решение задачи и дайте определение прямо пропорциональным величинам.
Приведите примеры.
Задача 1. Один стул стоит 6 руб. Сколько рублей потребуется на покупку 2, 3, 4, 5, 8, 10 стульев.
[3]
Решение задачи запишем в виде таблице.
Кол-во стульев, шт.
1
2
3
4
5
8
10
Стоимость покупки, руб.
6
12
18
24
30
48
60
Из таблицы видим, что при увеличении одной величины (кол-ва стульев) в 2, 3, …, 10 раз значение
другой величины (стоимость покупки) тоже увеличиться в 2, 3, …, 10 раз.
Если будем рассматривать таблицу справа налево, то заметим, что при уменьшении значений
одной величины в несколько раз значение другой величины уменьшится во столько же раз.
Например, отношение количества стульев (10шт:5шт=2) равно отношению соответствующих им
стоимости покупки (60руб:30руб=2). Если с увеличением (уменьшением) одной величины в
несколько раз другая величина увеличивается(уменьшается) во столько же раз, то такие
величины называются прямо пропорциональными величинами. Эта особенность прямо
пропорциональных величин используется для составления пропорций при решении задач. В
нашем примере из полученных отношений можно составить пропорцию 10:5=60:30.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений
этих величин равны.
Задача 2.
Лыжник прошел 44 км за 4 часа. За сколько часов он пройдет 33 км при той же скорости движения?
[3]
Решим задачу с помощью пропорции. Так как время движения и пройденный путь при постоянной
скорости находятся в прямо пропорциональной зависимости, то можем составить пропорцию.
Для этого сначала запишем условие задачи в виде схемы, обозначив неизвестное время через Х
часов:


44 км — 4ч
33 км — Х ч
Далее рассуждаем: во сколько раз 44 км больше 33 км (пишем 44:33), во столько раз 4 ч больше Х
ч (4:Х).
Получим пропорцию: 44:33=4:Х
Отсюда
Ответ: 3 ч.
Надо помнить, что при решении задач с помощью пропорции сначала следует установить,
являются ли заданные величины прямо пропорциональными.
Карточка №3
Пилоты работаю с учебником стр. 131 п.22
Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Разбирают текст (1 части), т.е. только на стр.
131 и решение задачи №1 на стр. 132 (6 абзац сверху). Отвечают на вопросы (1-3) стр. 133.
стр. 131. Текст. Если станок с числовым программным управлением за 2 часа изготавливает 28
деталей, то за вдвое большее время, т.е. за 4ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т.е.
28*2=56 деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше
деталей он изготовить. Значит равны отношения 4:2 и 56:28. Следовательно, верна пропорция
4:2=56:28. Такие величина, как время работы станка и число изготовленных деталей называют
прямо пропорциональными величинами. Две величины называют прямо пропорциональными
если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая
увеличивается(уменьшается) во столько же раз.
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих
величин равны.
Задача 1. стр. 132 [1]
За 3,2 кг товара заплатили 115,2 руб. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?
Решение. Запишем кратко условия задачи в виде таблицы, обозначив буквой Х стоимость (в
рублях) 1,5 кг этого товара.
Запись будет иметь следующий вид:
Кол-во товара
Стоимость товара
I покупка
3,2 кг
115,2 р
II покупка
1,5 кг
Хр
Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, т.к. если
купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличиться во столько же раз.
Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками.
Запишем пропорцию:
Теперь найдем неизвестный член пропорции:
Ответ: 54 руб.
Стр. 133 ?



Какие величины называют прямо пропорциональными?
Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин?
Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
Выполнив п. 4 инструкции “Действия экипажей”, командиры заносят оценки в таблицу за работу с
опорным конспектом – проверка готовности “экипажей” и за выполнение индивидуального задания.
Затем по жребию выбирается одно из следующих особых заданий для каждого “экипажа”
(представитель каждого “экипажа” оформляет решение у доски).
Особое задание
№ 767 [1]. Стальной шарик объемом 6 см3 имеет массу 46,8г. Какова масса шарика из той же
стали, если его объем 2,5 см3?
Решение:


6 см3 — 46,8 г
2,5 см3 — Х г
Запишем пропорцию:
Ответ: 19,5 г.
№ 768 [1]. Из 21 кг. хлопкового семени получили 5,1 кг. масла. Сколько масла получится из 7 кг.
хлопкового семени?
Решение:
Хлопковое семя
Хлопковое масло
I
21 кг
5,1 кг
II
7 кг
Х кг
Запишем пропорцию:
Ответ: 1,7 кг.
№ 41 [3] Со 125 гусей получат 4 кг пуха. Сколько пуха можно получить с 875 гусей.
Решение:


125 гусей — 4 кг пуха
875 гусей — Х кг пуха
Запишем пропорцию:
Ответ: 28 кг.
№ 41 [3] Из 30 кг свежих слив выходит 10,5 кг сушеных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы
получить 14,7 кг сушеных слив.
Решение:


30 кг свежих слив — 10,5 кг сушеных
Х кг свежих слив — 14,5 кг сушеных
Запишем пропорцию:
Ответ: 42 кг.
“Экипаж-экзаменатор”
Принимает зачет по усвоению нового материала. Оценки заносятся в таблицу.
Рефлексия
Проводит по таблице “экипаж-экзаменатор”.
Задание на дом. п. 22 (1 часть) №795, 797, 803 (б) [1]
Оформление доски
1. № 767
№ 41
2. Опорный конспект
Действия экипажей
3. № 768
№ 50
Во внутренней части центральной доски
Номер “экипажа”
Готовность “экипажа” (ОК)
Индивидуальные задания
Зачет
Итог
I
II
III
IV
Список литературы
1.
2.
3.
4.
Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.. Математика: Учеб. Для 6 кл.. М.: Просвещение, 2004.
Подласый И.П.. Педагогика 1 том. М.:Владос, 2001.
Соваленко В.К.. Система обучения математике в 5-6 кл. М.: Прсвещение, 1991.
Журнал “Математика в школе”. М.: “Школа-Пресс”, №6, 1994.
http://festival.1september.ru/index.php?numb_artic=416527
http://sbiryukova.narod.ru/Met_pos_04-05/6_1_8.htm
Калмыкова Евгения Алексеевна
средняя школа N 14 г. Ярославль
учитель - методист
отличник народного образования
Проценты
(из опыта работы в инженерном классе)
Выпускной экзамен по математике в инженерном классе является одновременно
и вступительным экзаменом в Ярославский государственный технический
университет. В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на
проценты. Задачи на проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина,
на мой взгляд, в том, что тема "Проценты" изучается в младших классах, причем
непродолжительно, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Тем
не менее, учеников нужно надо подготовить к решению задач на проценты.
Поэтому работая в инженерном классе, я рассмотрела наиболее часто
встречающиеся виды задач. Все задачи по их видам записываются у учеников в
тетради-справочнике. Я подготовила несколько рассчетных работ по теме
"Проценты". Кроме того, использую творческие домашние задания, когда
ученикам предлагается придумать свои задачи на проценты. Некоторые пробуют
даже писать стихи о процентах. Предложенные задачи можно найти в вариантах
вступительного экзамена по математике в технический университет за прошлые
годы, а также из сборника задач по математике для поступающих во ВТУЗы под
редакцией М.И.Сканави.
Различные виды задач на проценты
Определение процента от числа
Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.
Ответ: 30.
Определение числа по известной его части, выраженной в
процентах
Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.
После рассмотрения этих простейших задач можно
рассмотреть задачи типа:
1. На сколько процентов 10 больше 6?
2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%
Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на
25%, а потом понизить на 25%?
Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%.
Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием
"процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю
задачи на эти понятия.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Задача:
Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют
%-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
Задача:
Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание
олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес
данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Концентрация.
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это
означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Пример.
Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого
серебра в сплаве 261 г.
300 . 0,87 = 261 (г).
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси
называется объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом
случае концентрация - безразмерная величина.
Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится
по формуле:
р
к=
100%
к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).
Дополнительные задачи.
1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20%
серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после
сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение:
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда
получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8
(кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового
сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:
8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.
Ответ:
13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав,
содержащий 32% серебра.
2. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили
8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
Решение.
Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х)
л, в котором содержиться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора
содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л)
соли. Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.
Ответ:
добавили 10 л 5%-ного раствора.
Расчетные задачи по теме "Проценты".
1. Найти 14% от 84.
2. Найти число, если 12% его составляют 9,03.
3. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб.
На сколько процентов снижена цена?
4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли.
Определить себестоимость товара.
5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%. Сколько сухих
фруктов получится из 20 кг свежих?
6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди.
Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было
40% меди?
7. имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%.
Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с
содержанием никеля в 30%?
8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора
йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
9. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в
сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?
10. Площадь прямоугольника равна 100 см2. Одна сторона
прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти
площадь нового прямоугольника.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом
20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого,
чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
2. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом
30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после
их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27%
олова?
3. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом
20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после
их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14%
меди?
4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом
50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого,
чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?
5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава
и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового
сплава, содержащего 50% золота?
6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав
содержал 30% железа.
7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и
какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового
сплава, содержащего 10% олова?
Ответы
Расчетные задания.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11,76
76,25
10,94%
1290
7
1,5
40; 100
441
661500
104,5.
Самостоятельное решение.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
13 1/3.
3; 7.
9; 6.
15.
50; 30.
15.
10; 30.
http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/kalmyk/procent.html