Модель инвестиций в условиях ожидания кризиса

Ващенко Михаил Петрович
ВЦ РАН
г. Москва
Модель инвестиций в условиях ожидания кризиса1
В докладе обсуждается проблема оценки доходности инвестионных проектов в
ситуации, когда момент завершения инвестиционной деятельности заранее не известен и
связан с кризисным явлением, точного момента наступления которого инвестор не знает.
Для оценки исследуется уравнение Беллмана в модифицированной модели Кантора –
Липмана ([1]). Обсуждаются эффективность осторожной стратегии инвестирования,
гарантирующей неразорение инвестора, оценки доходности инвестиционных проектов для
осторожного инвестора.
Описание модели

Финансовое состояние инвестора описывается вектором s (t )   r 1 , i -ая
компонента которого равна денежным остаткам в момент времени (t  i) при условии, что
начиная с момента времени t , новые проекты не начинались. Если обозначить через u (t ) –
интенсивность реализации проекта в момент времени t , то динамика финансовых
состояний будет описываться уравнением:



s (t  1) = A( s (t )  u (t )b ),
(1)
где

b = {b0 , b1 ,.., br }, bi =
i
a j ,
j =0
0 1 0  0


0 0 1  0
     
.
A( r 1)( r 1) = 
0 0 0  1


0 0 0  1




Предполагается,
что
инвестиционная
деятельность
ведется
в
условиях
самофинансирования. Это означает, что денежные остатки у инвестора должны быть
неотрицательны в любой момент времени: si (t )  0, i = 0,, r .
В каждый момент времени возможны два события: проект либо остается попрежнему доступным для инвестиций, либо проект «закрывается» (исчезает спрос на
инвестиции) и тогда инвестор должен завершить все уже начатые инвестиционные
проекты, не начиная новые. При этом делается предположение, что вероятность
наступления второго события постоянна и и равна  .


Обозначим через ( s ) r компоненту вектора s с номером r , считая, что нумерация
начинается с нуля. Тогда можно записать задачу инвестора:
Работа поддержана грантами РФФИ (08-07-00158, 09-01-13534 офи-ц), РГНФ N 08-02-00347, программой
поддержки ведущих научных школ НШ 2982.2008.01, ПФИ ОМН РАН N3, ПФИ президиума РАН N2, ФЦП
"Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (проект П949).
1
1











1   t 1 (s (t ))r  max,

t =1

s (t  1) = A( s (t )  u (t )b ), t = 0,1,  ,

s (t )  0 t = 0,1, ,
u (t )  0 t = 0,1,  ,

s (0) = s 0 .
(2)

Обозначим через V (s ) функцию Беллмана, которая будет оценивать наилучший
результат инвестирования в описанных условиях при начальном финансовом состоянии

s . Тогда

V (s ) =
max
 




[( s  ub ) r  (1  )V ( A( s  ub ))].
{u|u 0,s ub 0}
Этому уравнению соответствует оператор Беллмана:

BW ( s ) =
max
 




[( s  ub ) r  (1  )W ( A( s  ub ))].
{u|u 0,s ub 0}
Стратегию, соответствующую решению уравнения Беллмана,





u ( s ) = argmax{u|u 0,s ub 0}[( s  ub ) r  (1  )V ( A( s  ub ))],
назовем оптимальной стратегией инвестирования.
Теорема 1 ([2]). Обозначим: B1 = max | bt | B2 = min | bt | . Если  > 1 
1t r:bt <0
1t r
B2
, то
4 B1
осторожная стратегия будет оптимальной, т.е.:
u ( s) =
 si 
  .
0i r:bi <0  bi 
(3)
min
Теорема 1 подтверждает гипотезу о том, что если риск превышает некую оценку
эффективности проекта, то инвестор будет вести себя осторожно. В нашем случае
характеристикой риска является вероятность наступления кризиса  , а оценкой
доходности проекта - выражение
4 B1  B2
, где B2 – минимальные необходимые для
4 B1
реализации проекта вложения, B1 – максимальные чистые поступления от проекта за все
время его реализации .
Оценка темпа роста капитала
Будем далее рассматривать систему
(1) при  > 1 
B2
. Как было показано
4 B1
(Теорема 1), при таком условии оптимальной стратегией инвестирования является

 (s ) =
 si
 
0i  r:bi < 0  bi
min

 . Таким образом мы приходим к динамической системе:







 s (t  1) =  s (t ) = A s (t )   ( s (t ))b , t = 0,1,2, ,
 


 s (0) = s0 .


(4)
Т.е. на каждом шаге t = 1,2,... применяется один из операторов
2
 st
Ai : Ai s (t ) = A( s (t )    i
 bi
Каждый из операторов  i задается матрицей

0



0



Ai =  0


0


0



i
1 0
b
0  1 0
bi
0
0 1
0 
b2
0
bi
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0 
br
0
bi
0
0 0
0 
br
0
bi
0

 b ), ãäå i : bi < 0.

(5)

0 


0 



0}i 1  .


1 


1 



Оценки сверху на темп роста капитала
Определение 1. Совместным спектральным радиусом операторов
 1 ,,  d  L( r 1 ) называется число
ˆ (A1 , , Ad ) = lim max( A (1)
m

A ( m)
1
m
),
где максимум берется по всевозможным функциям  (x) , где  :1,, m 1,, d . A
В системе (4) оценкой сверху на максимальный темп роста капитала будет
совместный спектральный радиус операторов (5). Далее будем рассматривать матрицы
{ Ak : k = 1,, d } , соответствующие операторам (9).
Вычисление совместного спектрального радиуса – достаточно сложная процедура.
В [3] показано, что вычисление совместного спектрального радиуса с произвольной
точностью – NP полная задача. Следующие факты позволяют реализовать достаточно
затратную (с точки зрения времени) процедуру расчета совместного спектрального
радиуса с заданной точностью.
Теорема 2 ([4]). Пусть { Ak   ( r 1)( r 1) : k = 1,, d } , и M A - матрица линейного
оператора X  AXAT : S  S , где S - симметрическая матрица. Тогда
1 1/2
 ( M A1   M Ad )  ˆ ( A1 , , Ad )   1/2 ( M A1   M Ad ),
d
где  - спектральный радиус опреатора.
3
На основе последней теоремы в среде MatLab был реализованы расчеты
совместного спектрального радиуса, произведено сравнение оценки Кантора–Липмана и
совместного спектрального радиуса.
Пример 1.
Был взят инвестиционный проект, заданный следующим вектором

a = [1,2,3, 7,5, 5,7].

Для него вектор b выглядит следующим образом:

b = [1,1,4, 3,2, 3,4].
Пример 2.
Был взят инвестиционный проект, заданный следующим вектором

a = [1,2,3, 7,6, 5,4].

Для него вектор b выглядит следующим образом:

b = [1,1,4, 3,3, 2,2].
На рисунках (1), (2) показаны совместный спектральный радиус операторов (5),
доходность проектов к моменту времени t – ( f (t ) = ([s (t )]r )1/t ) и оценка Кантора–Липмана
для проектов. Из примеров видно, что возможны ситуации, когда более качественную
оценку сверху на темп роста капитала в системе (4) дает IRR, возможны ситуации, когда
наблюдается обратная картина. Также следует заметить, что ожидание кризиса
существенным образом влияет на оценку доходности проекта: в примерах традиционная
оценка Кантора–Липмана оказывается выше фактической доходности более чем в два
раза.
Рис. 1: Оценки на темп роста капитала в примере 1
4
Рис. 2: Оценки на темп роста капитала в примере 2
Оценки снизу на темп роста капитала
При расчетах для сравнения верхних оценок оказалось, что на практике
траектория системы (4), как правило, оказывается периодической в смысле применяемых


операторов из набора (5). Т.е. t 0 , j1 , j2 ,, jT : b jk < 0 , t  t0 s (t  T ) = A jT A jT 1  A j1 s (t ) .
Поэтому имеет смысл брать в качестве оценки снизу темп роста капитала, который
реализуется на такой периодической в смысле применяемого в силу системы набора
операторов траектории.
Определение 2. Будем говорить, что у системы (4) существует траектория
сбалансированного роста с темпом  на периоде длины T , задаваемая операторами



 j ,  j , ...,  j , если t0 : s (t  T ) =  j  j   j s (t ) = s (t ), t  t0 .
1
T
T
1
2
T
Теорема 3 ([5]). Система (4) имеет траекторию сбалансированного роста с
темпом  на периоде длины T , тогда и только тогда, когда имеет решение следующая
система:













p  0,

B j 1 A j B j p  0,
k2
k1
k1

B j 1 A j A j B j p  0,

k3
k2
k1
k1
(6)

B j 1 A j
 A j A j B j p  0,
kT
kT 1
k2
k1
k1


B j 1 A j  A j A j B j p =   p.
k1
kT
k2
k1
k1
где
Bj
k
jk
jk




t









= z0 , z1 ,, z r , zt = 00 1 00  bt  00 , t  jk , z j = 00  b j
00.
k
k 








 
5
Утверждение теоремы 3 сводит проблему поиска траекторий сбалансированного
роста к решению системы (6). Это позволяет эффективно решать поставленную задачу
проверки существования у системы (4) траектории сбалансированного роста на периоде
длины T , задаваемой некоторым заданной функцией j : {1,2,, T }  {i | bi < 0} . Для этого
достаточно решить задачу на поиск собственных чисел и собственных векторов оператора
(последнее равенство системы (6)), после чего проверить,
B jk1 A jk  A jk A jk B jk
1
T
2
1
1

удовлетворяет ли хотя бы она пара  , p неравенствам системы (6). Среди тех пар,
которые будут удовлетворять этому условию, можно взять пару с максимальным
значением  . Это и будет оценка снизу на темп роста капитала в системе (4).
Пример 3.
Возьмем
инвестиционный
проект,
заданный
следующим
вектором



a = [4, 1,7, 2,3] . Для него вектор b выглядит следующим образом: b = [4, 5,2,0,3] , а
система (8):
s0 (t ) = s1 (t )   ( s (t )),
s1 (t ) = s2 (t )  7   ( s (t )),
s2 (t ) = s3 (t )  2   ( s (t )),
(7)
s3 (t ) = s4 (t )  3   ( s (t )),
s4 (t ) = s4 (t )  3   ( s (t )),
s (0) = [1,1,1,1,1].
В силу Теоремы 3 у системы (7) существует траектория сбалансированного роста с
 = 1.422
темпом
на
периоде
длины
где
2,
jk = 2 ,
jk = 1 ,
1
2
p = [0.1912, 0.0794, 0.5648, 0.5648, 0.5648 ] . Матрицы из системы
(6) выглядят следующим
образом:
0

0
1
B1 A2 B2 =  0

0
0

0
2
0
3
3
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 2


0
0 0
1
0  , B2 A1 A2 B2 =  0 3


1
0 3

0 3
1

1 0.8
0 0.2
0 0
0 0
0 0
0

0
1 .

1
1 
Можно сравнить темп роста, реализующийся на траектории, IRR и оценку
Кантора–Липмана для этого проекта . Оценка Кантора–Липмана и IRR имеют смысл
годовой доходности проекта, а показатель  , который мы рассчитали, имеет смысл
доходности проекта за период, соответствующий длине траектории, на которой
реализуется рост, – два года. Поэтому, для сравнения показателей, их необходимо
привести к одинаковой размерности, например, извлечь соответствующий корень из
показателя  , т.е. рассматривать 1/2 .
На рисунке 3 показаны средняя доходность проекта за период [1;t ] в годовом
выражении – f (t ) = sr (t ) 1/t , годовая доходность проекта, реализующаяся на траектории
сбалансированного роста – 1/2 , и оценка Кантора–Липамана.
6
Рис. 3: Оценки на темп роста капитала в примере 3
Литература
1. Л.И. Биккинина, Шананин А.А. К теории доходности инвестиционных проектов в
условиях несовершенного финансового рынка // Сб. трудов XLVI конф. МФТИ.
Москва–Долгопрудный: МФТИ, 2003. C.136–137.
2. Ващенко М.П. Исследование уравнения Беллмана в одной задаче оптимального
инвестирования // Сб. статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. М.: Изд.
отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006. Вып. №3. C.32–43.
3. Tsitsiklisy J., Blondel V. The Lyapunov exponent and joint spectral radius of pairs of
matrices are hard – when not impossible – to compute and to approximate)// Mathematics
of Control, Signals, and Systems, 10, 1997. P.31–40.
4. Blondel V., Nesterov Y. Computationally efficient approximations of the joint spectral
radius// SIAM Journal of Matrix Analysis, 27:1, 2005. P.256–272.
5. Ващенко М.П. Оценка доходности инвестиционных проектов условиях
неопределенности // Математическое моделирование, 2009. Т 21. №3. с.18–30.
6. Ващенко М.П. Оценка доходности инвестиционных проектов в модифицированной
модели Кантора-Липмана // Вест. Моск. Ун-та Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн.,
2009. №2. с.29–37.
7