НИМ_Задачи программирования на языке Java

Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский государственный индустриальный университет
ГОУ ВПО МГИУ
Научно-образовательный материал
«Задачи программирования на языке Java»
Состав научно-образовательного коллектива:
Курасов Ю.В., ведущий инженер
Москва 2010 г.
Задачи программирования на языке Java
Полным решением задач, приведенных ниже, не может считаться только
текст правильно написанной программы. Во всех случаях необходимо
изложение теоретической части решения и описание соответствия между
переменными программы и обозначениями, использованными при теоретическом исследовании.
1. Задачи на рекурсию. При решении задач из этого раздела необходимо
обосновать как то, почему программа заканчивает работу, так и то, почему
после ее завершения будет получен требуемый результат.
ЗАДАЧА.. Напишите рекурсивную программу, перемножающую два
целых числа, одно из которых неотрицательно, без использования операции
умножения. Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная
сложность которой не должна превосходить в (log 6), таковы: Q = (а 6 2W
Л Ъ 6 Ъм Л Ъ ^ 0), R = (z = а&). Числа а и 6 в программе изменять нельзя.
ЗАДАЧА .. Напишите программу, печатающую значение многочлена
степени п^Ов заданной точке XQ. Коэффициенты многочлена хранятся в
массиве а в порядке убывания степеней и являются целыми числами, также
как и значение XQ. Величины п, Хо и элементы массива а изменять в
программе нельзя.
ЗАДАЧА . Напишите рекурсивную программу, печатающую значение
производной многочлена степени п ^ 0 в заданной точке XQ. Коэффициенты
многочлена хранятся в массиве а в порядке убывания степеней и являются
целыми числами, так же как и значение XQ. Величины п, XQ
И
элементы
массива а изменять в программе нельзя.
УКАЗАНИЕ. Пусть Рп{х) = а^хп + а\Хп~1 + ... + ап-\Х + ап. Продифференцируем по х равенство Рп(х) = х ■ Рп_\(х) + ап и подставим затем х = XQ.
МЫ получим следующие соотношения: РоЫ = о,
Р'п(х0)
=
х0
■
Р^Ы
+
Рп-гЫ-
Воспользовавшись ими и формулами
РоОо) = а<ь
Рп{Хо) — ж0 - Рп-1\%о) + ап>
легко определить рекурсивную функцию неотрицательного целого аргумента д: Ъм —> 2W х ^Mi #(^) = (Рп(хо), Рп(хо)) Для вычисления которой и
пишется программа.
2. Проектирование цикла при помощи инварианта. При решении задач
из этого раздела необходимо построить и доказать правильность
построенной программы вида "SO;while(e)S;", а при отсутствии в условии
задачи явно заданных инварианта цикла и ограничивающей функции
объяснить предварительно, каким образом они были получены.
ЗАДАЧА Напишите программу, перемножающую два целых числа,
одно из которых неотрицательно, без использования операции умножения.
Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность
которой не должна превосходить в (log 6), таковы: Q = (а 6 Ъм 1\Ь 6 2W Л
Ь ^ 0), R = (z = ab). При написании программы величины а и Ъ изменять не
разрешается, следует использовать инвариант /= (у ^ 0 /\z + xy = ab) и
ограничивающую функция h = у.
ЗАДАЧА
Напишите программу, возводящую целое число в целую
неотрицательную степень. Точные пред- и постусловия требуемой программы
таковы: Q = (а Е %м Л Ъ Е ^м Л а > О Л 6 ^ 0), Л = (z = ab). При написании
программы величины а и 6 изменять не разрешается, следует использовать
инвариант /= (у ^ 0 Л z ■ ху = аь) и ограничивающую функцию h = у.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую приближенное значение
квадратного корня а Е 2^ из заданного неотрицательного целого числа п. Вот
более точная формулировка пред- и постусловия: Q = (n Е ZM Лп^О), Л= (аЕ
ZM Л а ^ 0 Л а2 ^ п Л (а + I) 2 > п). При написании программы величину п
изменять нельзя.
ЗАДАЧА . Напишите программу (линейный поиск), определяющую
первое вхождение заданного целого числа х в заданный массив Ь[0..т — 1]
целых чисел (т > 0). Известно, что х находится в массиве Ъ. Значения
элементов массива Ь и число х в программе изменять нельзя.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую сумму s элементов
заданного целочисленного массива Ь[0..п — 1], элементы которого и величину п изменять нельзя. Точные пред- и постусловия: Q = (п > 0),
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую приближенное значение
квадратного корня а Е Ъ\^ из заданного неотрицательного целого числа п.
Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность
которой не должна превосходить O(logn), таковы: Q = (п Е Ъм А п ^ 0), R = (а
Е Ъм А а ^ 0 Л а2 < п А (а + I)2 > п). При написании программы величину п
изменять нельзя.
ЗАДАЧА . Найдите минимальное число, содержащееся в каждом из трех
упорядоченных по возрастанию массивов целых чисел, в предположении, что
таковое существует.
ЗАДАЧА . Напишите программу, печатающую п-ое число Фибоначчи (/о
= 0, /i = 1, fk = /fc_i + /fc_2 для к > 1). При написании программы используйте Q
= (п Е Ъм An > 0), R = (а = /п), I = ( l ^ . i ^ . n A a = f i A b = fi-i), h = п — г.
Число п в программе изменять нельзя.
ЗАДАЧА. Напишите программу, находящую частное q и остаток г от
деления х на г/, не использующую операций умножения и деления. При
написании программы положите Q = [х Е Ъм А у Е %м А х * ^ 0 А у > 0 ) ,
R = (0 ^ г < у A qy + г = х), I = (0 ^ г АО < у A qy + г = х), h = г — у + 1.
Величины х и у в программе изменять не разрешается.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую наибольший общий
делитель gcd(X, У) двух целых положительных чисел X и У, не использующую операций умножения и деления и не изменяющую величин X и У. При
написании программы положите Q = (X € ЪмАУ € ЪмАХ > 0AY > 0), Д = (ж =
г/ = #cd(X, У)), I = (0 < ж Л 0 < г/ Л #сф, у) = gcd(X, У)), h = х + у — 2 ■ gcd(x,
у).
УКАЗАНИЕ. Воспользуйтесь следующими свойствами наибольшего об
щего делителя двух чисел не равных одновременно нулю (не забудьте на
учиться
доказывать
gcd(x,
у)
=
gcd(x,
у)
=
gcd(x,x) = x,
все
у
gcd(x,
gcd(x,
у
gcd(x,y) = gcd(y,x),
эти
х)
+
х)
=
=
свойства):
gcd(x
gcd(x
у),
-у,
+
у,у),
gcd(x, 0) = gcd(0, x) = x.
ЗАДАЧА. Напишите программу, находящую приближенное значение
квадратного корня а 6 2^ из заданного неотрицательного целого числа п. Вот
более точная формулировка пред- и постусловия: (Q = п е Ъм А п ^ 0), R = (а е
Ъм А а ^ 0 Л а2 < п А (а + I)2 > п). При написании программы величину п
изменять нельзя. Для построения инварианта удалите из постусловия
конъюнктивный член а2 ^ п. Оцените временную сложность получившейся
программы и сравните ее со сложностью программы, построенной в задаче
2.1.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую первое вхождение
заданного целого числа х в заданный массив массивов Ь\0..т — 1][0..п — 1]
целых чисел (га > 0,п > 0). Значения элементов массива Ь и числа ж, га и п в
программе изменять нельзя. В момент завершения должно быть либо b[i][j] =
ж, либо, если числа х в массиве нет, г = га. Точные пред-и постусловия
требуемой программы таковы: Q = (га > 0 An > 0), R = ((0^г <mA0 ^j < п А х
= b[i\[j}) V (г = га Л х <£ Ъ[0..т - 1][0..п - 1])).
УКАЗАНИЕ. Используйте инвариант, утверждающий, что х не находится
в уже проверенных строках 6[0..г — 1] и среди уже проверенных элементов
b [i] [0 .. j — 1] текущей строки г. В качестве ограничивающей функции
возьмите h = (га — г) • п — j + га — г.
ЗАДАЧА . Напишите программу (бинарный или двоичный поиск),
определяющую для упорядоченного по неубыванию массива Ь[0..п — 1]
целых чисел и заданного целого числа х позицию г, в которую может быть
вставлено это число без нарушения упорядоченности массива. Точные пред- и
постусловия требуемой программы, временная сложность которой не должна
превосходить G(logn), таковы: Q = (х 6 1>м Л n Е
Ъм Л п > 0 Л (Vj 0 < j < п - 1: b[j] < b[j + 1])), R = ((г = -1 Л х < Ь[0]) V (0 ^ г <
п - 1 Л Ь[г] < х < Ь[г + 1]) V (г = п Л Ь[п - 1] < х)). При написании программы
величины х, п и элементы массива 6 изменять не разрешается, для построения
инварианта используйте метод замены константы переменной.
ЗАДАЧА . Напишите программу, печатающую факториал введенного
неотрицательного целого числа, изменять которое нельзя. Для построения
инварианта используйте метод замены константы переменной.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую наибольшее целое число,
являющееся степенью двойки, не превосходящее заданного натурального
числа п 6 2W) изменять которое в программе нельзя.
УКАЗАНИЕ. Сначала выпишите формальную спецификацию программы,
а затем постройте инвариант с помощью метода устранения конъюнктивного
члена.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую сумму s элементов
заданного целочисленного массива Ь[0..п — 1], элементы которого и величину п изменять нельзя. Точные пред- и постусловия: Q = (п > 0),
(
П 1
\ R = I s = 2_. Ъ[з\ ) • Инвариант постройте методом замены
~
константы 0 в
V
j=o
/ постусловии R
новой переменной г.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую приближенное значение
квадратного корня а Е Ъм из заданного неотрицательного целого числа п.
Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность
которой не должна превосходить O(logn), таковы: Q = (п е Ъм Л п ^ 0), R = (а е
Ъм Л а ^ 0 Л а2 < п Л (а + I)2 > п). При написании программы величину п
изменять нельзя, а инвариант следует построить методом замены константы а
на переменную Ъ в конъюнктивном члене а2 $С п постусловия R.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую наименьшее значение х € Ъм
в
заданном массиве целых чисел Ь[0..п — 1], где п > 0. Значения элементов
массива Ь и число п в программе изменять нельзя, Q = (n Е Ъм Л п > 0), R =
((Vj 0 < j < п х < b[j}) Л (ЗИ О < " = ВД)), инвариант постройте методом
замены константы п на переменную г.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую длину р ^ 1 самой длинной
площадки в упорядоченном по неубыванию массиве Ь[0..п — 1] целых чисел.
Площадкой мы называем последовательность нескольких равных значений.
Значения элементов массива Ъ и число п > 0 в программе изменять нельзя, Q
= (п 6 2WЛп > 0A(Vj 0 ^ j < п — 1 b[j] ^ 6[j + l])),
R = (((ЗА; 0 < к < п - р Ъ[к] = Ъ[к + р - 1]) Л (Vj О < j < п - р + 1 b[j] ф b[j +р]))),
инвариант постройте методом замены константы п на переменную г.
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую число т ^ 1 площадок в
упорядоченном по неубыванию массиве Ь[0..п — 1] целых чисел. Площадкой
мы называем последовательность нескольких равных значений. Значения
элементов массива Ь и число п > О в программе изменять нельзя.
УКАЗАНИЕ. Воспользуйтесь формулировкой предыдущей задачи.
ЗАДАЧА . Напишите программу, печатающую значение многочлена
степени п ^ 0 в заданной точке XQ. Коэффициенты многочлена хранятся в
массиве а в порядке убывания степеней и являются целыми числами, так же
как и значение XQ. Величины n, XQ
И
элементы массива а изменять в
программе нельзя. Для построения инварианта используйте метод замены
константы переменной.
3. Схема вычисления инвариантной функции. При решении задач из этого
раздела необходимо указать множества X, Y и Хр, функцию F и
преобразование Т (см. определение инвариантной функции). Должна быть
объяснена
программная
реализация
преобразования
Т
и
доказана
правильность построенной программы вида "SO;while(e)S;Sl;".
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую наибольший общий
делитель gcdix, у) двух целых неотрицательных чисел ж и «/, не равных
одновременно нулю. Воспользуйтесь следующими свойствами наибольше
го общего делителя (не забудьте научиться доказывать все эти свойства):
gcd(x,
у)
=
gcd(x,
у)
=
gcd(x,x) = x,
у
gcd(x,
gcd(x,
у
gcd(x,y) = gcd(y,x),
+
х)
х)
=
=
gcd(x
gcd(x
-у,
+
у),
у,у),
gcd(x, 0) = gcd(0,x) = x.
ЗАДАЧА . Напишите программу, перемножающую два целых числа, одно
из которых неотрицательно, без использования операции умножения. Точные
пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность которой не
должна превосходить в (log Ь), таковы: Q = (а 6 Ъм Л Ь € Ъм Л Ь ^ 0), Л1 = [z =
ab). При написании программы величины а и Ь изменять не разрешается.
Воспользуйтесь тем, что функция F: Ъм х Ъм х ^м —^ ^м? F(x, y , z ) = z + ху
является инвариантной относительно преобразования Т: Ъм х %м х Ъм -^ ^м х
Ъм х Ъм-, задаваемого
J (2x,y/2,z),
если у-четно,
формулой Г(ж, у, я) = <
I (ж, г/ — 1, £ + х), иначе.
ЗАДАЧА. Напишите программу, находящую наибольший общий делитель
gcd(x, у) двух целых неотрицательных чисел ж и «/, не равных одновременно
нулю. Воспользуйтесь следующим свойством наибольшего общего делителя
(докажите его!):
если х ^ у,
jgcd(x%y,y),
gcd{x, у) = \
\дса{х,у/ох), иначе.
Здесь операция х%у позволяет найти остаток от деления х па, у.
ЗАДАЧА . Напишите программу, возводящую целое число в целую
неотрицательную степень. Точные пред- и постусловия требуемой программы
таковы: Q = (а 6 Ъм Л Ь 6 Ъм Л а > О Л 6 ^ 0), Rl = (z = ab). При написании
программы величины а и Ь изменять не разрешается. Воспользуйтесь тем, что
функция F: Ъм
х
^м
х
^м ~~^ ^м? ^(^, у, ^) = ££у является инвариантной
относительно преобразования Т: Ъм х Ъм х ^м -> Ъм х ^м х ЪМ-, задаваемого
формулой Т(х, y , z ) = (х,у — 1, xz).
ЗАДАЧА . Напишите программу, находящую наибольший общий
делитель gcd(x, у) двух целых неотрицательных чисел х и г/, не равных
одновременно нулю. Программа должна иметь временную сложность по
рядка 0(logmax(£, у)) и не использовать операций деления и нахождения
остатка от деления (допустимо деление пополам, реализуемое с помощью
операции сдвига). Воспользуйтесь следующими свойствами наибольшего
общего
делителя
gcd(2x, 2у) = 2gcd(x, у),
(докажите
их!):
gcd(2x, 2у + 1) = gcd(x, 2у + 1).
УКАЗАНИЕ. Воспользуйтесь инвариантностью функции F(x, г/, z) = z •
gcd(x, у) относительно следующего преобразования Т:
' (х/2, у/2, 2z\
(х/2, у, z),
если оба числа х и у — четны,
если х — четно, а у
T ( x , y , z ) = < — нечетно,
(х, у/2, z),
если х — нечетно, а у — четно,
(х — г/, у, г),
если х и у — нечетны и х ^ г/,
^(х,у — ж, z),
если х и ?/ — нечетны ж х < у. Не
забудьте доказать Т-инвариантность функции F.
4. Задачи на индуктивные функции. При решении задач из этого раздела
необходимо выяснить, является ли индуктивной заданная функция /. В случае
ее индуктивности следует предъявить отображение G, иначе нужно построить
индуктивное расширение F исходной функции и предъявить G для него. В
последнем случае нужно также указать отображение 7Г и исследовать
построенное расширение на минимальность (минимальность не является
обязательным
условием).
Завершить
решение
следует
написанием
программы, реализующей однопроходный алгоритм,
с указанием соответствия между программными переменными и обозначениями, использованными в теоретической части решения. Необходимо
объяснить, как в программе реализуется вычисление / или F на пустой (или ее
заменяющей) цепочке, как именно реализовано перевычисление функции при
удлинении цепочки, и как находится ir(F(u)) в случае использования
индуктивного расширения.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую значение в целой точке t
многочлена, заданного последовательностью его целых коэффициентов (в
порядке убывания степеней).
ЗАДАЧА . Напишите программу, вводящую последовательность целых
чисел, и печатающую количество ее максимальных элементов.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую номер / первого
элемента, равного XQ, В последовательности целых чисел. В том случае, если
число XQ В последовательности не встречается, положите / равным нулю.
ЗАДАЧА
.
Напишите
программу,
вводящую
последовательность
вещественных чисел, и печатающую среднее арифметическое ее элементов
(для непустой последовательности).
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую количество вхождений
образца abed в последовательность символов.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую количество минимальных элементов в последовательности неположительных целых чисел.
УКАЗАНИЕ. В данном случае для доопределения индуктивного расширения на пустой цепочке нет необходимости использовать величины
Integer.MIN.VALUE или Integer.МАХ_VALUE.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую дисперсию не пустой
последовательности действительных чисел. Дисперсией d последо1 " вательности х\, Х2, ■ ■
•, хп называется величина — У (xi — га) , где га =
п *-^
i=i
[х\ +Х2 + • • . + хп)/п — среднее арифметическое элементов последовательности.
УКАЗАНИЕ. Так как d = - У^(ж* - га)2 = - У^(ж2 - 2тх{ +
1=1
1
/ п
п
п
i=i
\
i
/
n
п
,2
га ) = — I у xi — га у Xi — га У \ х г ~ т) ) — — I 7 , х% ~ т / , хг
' '
i=l
)
\г=1
i=l
Глава II. Построение программ
1
п
1
/ п
п
\z
п
— У^ Xi ------- ( 2_, Хг\ э ТО ВВОДЯ Обозначения SQ = У, 1 = п, Si
2
= У.
II
II
п '—'
nz
г=1
п
S2 = У.%1-, получим d = S^/SQ — (si/so)2. Легко проверить, что функция
г=1
F = (s2, 5i, So) является индуктивной.
ЗАДАЧА. Напишите программу, определяющую значение в целой точке t
многочлена, заданного последовательностью его целых коэффициентов (в
порядке возрастания степеней).
ЗАДАЧА 8. Напишите программу, определяющую значение в целой точке
t производной многочлена, заданного последовательностью его целых
коэффициентов (в порядке убывания степеней).
УКАЗАНИЕ. Продифференцировав по х равенство Рп(х) = x-Pn-i(x)-\-ап и
подставив затем х = t, получите соотношения PQ(£) = 0 и P'n{t) = t • P'n-i(t) +
Pn-i(t), которые помогут построить индуктивное расширение исходной
функции.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую значение в целой точке t
производной
многочлена,
заданного
последовательностью
его
целых
коэффициентов (в порядке возрастания степеней).
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую значение в целой точке t
второй производной многочлена, заданного последовательностью его целых
коэффициентов (в порядке убывания степеней).
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую правильность формулы
над алфавитом из четырех символов X = {(,),£,+}. Формула считается
правильной, если она может быть получена с помощью следующей НФБН: е >• t | (е + е).
УКАЗАНИЕ. Рассмотрите следующее индуктивное расширение F =
(/ь/2,/з) Функции /, где h: X* -► {T,F}, /2: X* -► ZM, /3: X* -+ X, определены
следующим образом:
/i (^) — ^ может быть продолжена до правильной формулы, /г(^)
— разность числа левых и правых скобок в со, /з(^) = последний
элемент ал
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую номер / последнего
элемента, равного XQ, В последовательности целых чисел. В том случае, если
число XQ В последовательности не встречается, положите / = 0.
ЗАДАЧА. Напишите программу, определяющую число локальных
максимумов
последовательности целых чисел. Элемент называется ло-
кальным максимумом, если у него нет соседа большего, чем он сам. Например, в любой одноэлементной последовательности всегда ровно один
локальный максимум.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую среднюю длину связной
возрастающей подпоследовательности в последовательности целых чисел.
ЗАДАЧА . Напишите программу (быстрое возведение в степень),
возводящую целое число а в целую неотрицательную степень 6, временная
сложность которой не должна превосходить О (log 6).
УКАЗАНИЕ. Рассмотрите эту функцию /, как функцию на пространстве
последовательностей над алфавитом {0,1}. В качестве последовательности и
нужно взять инвертированное представление числа Ь в двоичной системе
счисления. Данная последовательность получается естественным образом —
последняя цифра числа Ъ есть "Ь&1", предпоследняя получается по той же
формуле после сдвига вправо ("Ь>>>=1;") и так далее. Индуктивное
расширение F исходной функции / легко находится, что и позволяет написать
требуемую программу.
ЗАДАЧА . Напишите программу, определяющую количество вхождений
образца аЪаЬ в последовательность символов.
ЗАДАЧА. Напишите программу, определяющую значение в целой точке t
fc-ой производной многочлена, заданного последовательностью его целых
коэффициентов (в порядке убывания степеней).