Олимпиада по математике – 2012-2013 уч.год

Олимпиада НГУЭУ по математике 2012-2013
1. Доказать, что если для квадратных матриц А и В выполнено АВ=Е, то А и В –
невырожденные матрицы и B  A1 .
2. Доказать, что для произвольных квадратных матриц второго порядка выполнено
следующее: A  B  A  B ( A - определитель матрицы А).
3. Доказать, что уравнение x 3  3 x 2  x  9  0 имеет ровно один действительный корень.
4. Построить график функции f ( x)  lim
n
5.
2n  x
n
2n  x
n
.
ABCDA1 B1C1 D1 - правильный куб с ребром 1. Точка К делит отрезок B1 D1 пополам,
точка L делит ребро C1 D1 в отношении 1:2, считая от вершины D1 , точка М делит
ребро AB в отношении 1:3, считая от вершины А. Найти объем тетраэдра BKLM.
6. Две блохи Кристина и Сережа прыгают навстречу друг другу. У Сережи каждый
следующий прыжок короче предыдущего в три раза, а у Кристины – в четыре.
Доказать, что они никогда не встретятся, если исходное расстояние между ними было
100 метров, а первый прыжок у каждой блохи составлял 1 метр.
Найдите максимальное расстояние между Кристиной и Сережей, которое они никогда
не смогут преодолеть.
7. Известно, что числа a, b, c связаны соотношением a  b  c  0 . Доказать, что
ab  ac  bc  0 .
8. Дан треугольник ABC. Доказать, что ( AB, BC )  ( BC , CA)  (CA, AB)  0.
_________________________________________________________________________
Олимпиада НГУЭУ по математике 2012-2013
1. Доказать, что если для квадратных матриц А и В выполнено АВ=Е, то А и В –
невырожденные матрицы и B  A1 .
2. Доказать, что для произвольных квадратных матриц второго порядка выполнено
следующее: A  B  A  B ( A - определитель матрицы А).
3. Доказать, что уравнение x 3  3 x 2  x  9  0 имеет ровно один действительный корень.
4. Построить график функции f ( x)  lim
n
5.
2n  x
n
2n  x
n
.
ABCDA1 B1C1 D1 - правильный куб с ребром 1. Точка К делит отрезок B1 D1 пополам,
точка L делит ребро C1 D1 в отношении 1:2, считая от вершины D1 , точка М делит
ребро AB в отношении 1:3, считая от вершины А. Найти объем тетраэдра BKLM.
6. Две блохи Кристина и Сережа прыгают навстречу друг другу. У Сережи каждый
следующий прыжок короче предыдущего в три раза, а у Кристины – в четыре.
Доказать, что они никогда не встретятся, если исходное расстояние между ними было
100 метров, а первый прыжок у каждой блохи составлял 1 метр.
Найдите максимальное расстояние между Кристиной и Сережей, которое они никогда
не смогут преодолеть.
7. Известно, что числа a, b, c связаны соотношением a  b  c  0 . Доказать, что
ab  ac  bc  0 .
8.
Дан треугольник ABC. Доказать, что ( AB, BC )  ( BC , CA)  (CA, AB)  0.