08-11-03

08-11-03. Измерение углов дугами окружностей.
1. Измерение вписанных углов дугами окружностей позволяет многие другие углы
выразить через связанные с ними дуги.
В этом пункте разберем, как можно измерять угол, вершина которого лежит вне
данной окружности, а каждая сторона пересекает окружность в двух точках.
Для удобства луч, пересекающий окружность в двух различных точках M и N
будем называть секущей и обозначать MN .
Рассмотрим секущие AB и CD , проведенные из точки P вне окружности (рисунок
1). Соединим точки A и D (рисунок 2). Для треугольника PAD угол BAD является
внешним. Поэтому
BAD  APD  ADP
откуда
APC  APD  BAD  ADC
Так как углы BAD и ADC вписаны в окружность, то
1
1
BAD  BD ADC  AC
2
2
Следовательно,
1
APC  ( BD  AC )
2
В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между двумя
секущими окружности.
Величина угла между двумя секущими окружности равна полуразности угловых
мер дуг, заключенных между сторонами угла.
APC  12 ( AC  BD) .
Пример 1. В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD , у которого
AB  2 R и CD  R (рисунок 4). Найдем угол между сторонами BC и AD .
Решение. Рассмотрим дуги AKB и CD . Так как AB диаметр, то AKB  180 . Так как
COD  60 , то CD  60 . Поэтому угол APB между секущими BC и AD равен
1
1
( AKB  CD)  (180  60 )  60 
2
2
2. Разберем, как можно измерять угол, образованный секущей и касательной к
окружности, проведенными из одной точки вне окружности.
Рассмотрим секущую AB и касательную PK , проведенные к окружности из точки P
(рисунок 5). Через точку B , лежащую внутри отрезка AP , проведем хорду BM ,
параллельную PK . Тогда APK  ABM как соответственные при параллельных
прямых. Угол ABM — вписанный, а поэтому APK  ABM  12 AM . Так как хорда
BM параллельна касательной PK , то дуги BK и BM равны. Поэтому
AM  AK  MK  AK  BK Следовательно APK  12 ( AK  BK )
В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между
секущей и касательной.
APK  12 ( AK  BK )
Величина угла между секущей и касательной, проведенными к окружности из одной
точки, равна полуразности угловых мер дуг, заключенных между сторонами угла.
Пример 2. Из точки A вне окружности проведены касательная AB и секущая,
пересекающая окружность по диаметру CD , причем BAC  20 (рисунок 7). Найдем
углы треугольника BCD .
Решение. Угол
образован касательной и секущей, а поэтому
BAC
1
BD  BC  40 . Так как CD диаметр, то
BAC  20  2 ( BD  BC ) . Отсюда
BD  BC  180 , откуда ( BC  40 )  BC  180 ,
CDB и BCD вписанные, а поэтому CDB 
угол CBD треугольника BCD прямой.
1
2
BC  70 . Тогда
BC  35 , BCD 
1
2
BD  110 . Углы
BD  55 . Третий
3. Разберем, как можно измерять угол между хордой и касательной, проведенными из
одной точки окружности.
Рассмотрим окружность и из точки A этой окружности проведем хорду AB и
касательную AC . При этом возможны три случая.
Первый случай. Хорда AB — диаметр (рисунок 8). Тогда по свойству касательной
угол BAC прямой. Угол BAC высекает на окружности дугу AMB , поэтому
AMB  180 . Следовательно, в рассматриваемом случае можно написать равенство
1
BAC  BMA
2
Второй случай. Хорда AB образует острый угол с касательной AC (рисунок 9).
Проведем диаметр AD . Так как угол ABD опирается на диаметр окружности, то
ABD  90 . Поэтому BAD  BDA  90 , откуда BDA  90  BAD . Так как
AD , то BAD  BAC  90 .
касательная
AC перпендикулярна диаметру
Следовательно,
1
BAC  90  BAD  BDA  AB
2
потому что вписанный угол BDA опирается на дугу AB .
Третий случай. Хорда AB образует тупой угол с касательной AC (рисунок 10).
Рассмотрим угол KBC , дополняющий угол ABC до развернутого. Тогда на основании
предыдущего случая KAB  12 AB . Поэтому
1
1
CAB  180  KAB  (360  AB)  APB
2
2
В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол между хордой
и касательной.
Величина угла между хордой и касательной, проведенными из одной точки
окружности, равна половине угловой меры дуги, заключенной между сторонами угла.
4. Разберем, как можно измерять угол, вершина которого находится внутри данной
окружности.
Пусть стороны угла с вершиной P пересекают окружность S в точках A и B , как на
рисунке 11. Найдем точки C и D пересечения продолжений лучей PA и PB с
окружностью S (рисунок 12). Рассмотрим треугольник APD . Угол APB является
внешним для этого треугольника, поэтому APB  ADP  DAP  ADB  CAD . Так
как углы ADB и CAD вписанные, то ADB  12 AB , CAD  12 CD . Поэтому
1
APB  ( AB  CD )
2
В результате приходим к правилу, по которому можно вычислять угол с вершиной
внутри окружности.
Величина угла, вершина которого внутри окружности, равна полусумме угловых
мер дуг, одна из которых заключена между сторонами угла, а вторая — между
продолжениями сторон угла.
Иногда это правило формулируют по-другому:
угол между двумя хордами окружности равен полусумме
противоположных дуг, заключенных между этими хордами.
угловых
мер
Применяя правило в этой формулировке, нужно следить за соответствием между
углами и дугами окружностей.
Пример 3. Около треугольника ABC описана окружность и отмечены середины дуг,
на которые точки A , B , C разбивают окружность (рисунок 8): точка M середина дуги
AB , точка N середина дуги BC , точка K середина дуги AC . Докажем, что MN  BK .
Решение. По условию AM  12 AB , AK  12 AC , BN  12 BC . Применяя правило
измерения угла с вершиной внутри окружности, получаем
1
1
MPK  ( MK  BN )  ( AM  AK  BN ) 
2
2

1
1
( AB  AC  BC )   360  90 
4
4
Следовательно, MP  PK , что и требовалось доказать.
Контрольные вопросы
1. Как измеряется угол между двумя секущими, проведенными из одной точки?
2. Как измеряется угол между секущей и касательной, проведенными из одной точки?
3. Как измерить дугами окружностей угол между двумя касательными, проведенными из
одной точки вне окружности?
4. Как измеряется угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки
окружности?
5. Как измеряется угол между двумя лучами, проведенными из одной точки внутри
окружности?
Задачи и упражнения
1. Из точки окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между
ними.
2. Из точки окружности проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найдите
угол между ними.
3. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная.
Определите острый угол между хордой и касательной.
4. Через один конец диаметра окружности проведена касательная, а через другой –
секущая, которая с касательной составляет угол в 20 30 . Найдите меньшую из дуг,
заключенных между касательной и секущей.
5. Определите, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный к хорде
из ее конца, делит дополнительную до окружности дугу в отношении 5:2.
6. Точки A и B соединены двумя дугами, лежащими по разные стороны от прямой AB .
Дуга ACB содержит 117 23 и дуга ABD содержит 42 37 . Середины C и D этих дуг
соединены с точкой A . Определите угол CAD .
7. В данном круге проведены две равные параллельные между собой хорды, расстояние
между которыми равно радиусу данного круга. Найдите острый угол между
пересекающимися отрезками, соединяющими концы этих хорд.
8. Хорды AB и AC стягивают дугу AB в 110 23 и дугу AC в 38 . Определите угол
BAC . Сколько различных ответов имеет эта задача?
9. Концы диаметра удалены от касательной на 0,6 и 1,6. Определите длину диаметра.
10. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник, на стороне которого
построен квадрат. Вычислите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
11. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что касательные,
проведенные через концы образовавшихся хорд, параллельны.
12. Дуга AB окружности имеет величину 73 27 . Через точку B к окружности проведена
касательная, пересекающая продолжение радиуса OA в точке C . Найдите величину угла
ACB .
13. В окружности с центром O проведена хорда AB и продолжена на расстояние BC ,
равное радиусу. Из точки C через центр O проведена секущая, пересекающая
окружность в точках D и E так, что O лежит на отрезке CD . Докажите, что угол AOD
равен утроенному углу ACD .
14. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны по 50 . Точка
D внутри треугольника выбрана так, что DAC  10 , DCA  30 . Найдите угол BAD .
15. Из точки A окружности S проводятся хорды AB , AC , AD так, что
BAC  CAD  60 . Докажите, что AC  AB  AD .
16. Из точки A , расположенной вне окружности S с центром O , проведена касательная
AB , а из точки B опущен перпендикуляр BC на прямую OA . Докажите, что если
проведенная из точки A секущая пересекает окружность S в точках M и N , то
MCB  NCB .
17. Вершины треугольника ABC разбивают окружность S на три дуги, точка M —
середина дуги AB , точка N — середина дуги BC . Пусть O — центр окружности,
вписанной в треугольник ABC , а точки K и L – - точки пересечения отрезка MN со
сторонами AB и BC . Докажите, что четырехугольник OKBL – ромб.
18. Найдите множество всех точек плоскости, из которых два равных отрезка AB и BC ,
не лежащие на одной прямой, видны под равными углами.
19. На плоскости дан квадрат ABCD . Найдите множество всех точек плоскости, из
которых отрезки AB и CD видны под равными углами.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 5. Указание. Одна из получающихся дуг равна полуокружности.
Задача 6.
Указание. ACB  180  12 117 23 , ADB  180  12  42 37 .
Задача 12. Указание. Треугольник OCB прямоугольный и COB  AOB .
Задача 13. Указание. OAB  OBA  2 ACD .
Задача 14.
Указание. Построим окружность с центром в точке B и радиусом BA. Так как
ABC  80 , то из точек меньшей дуги AC отрезок AC виден под углом 180 
 12  80  140 . Из условия ADC  140 . Поэтому при симметричном отражении точки
D относительно прямой AC получим точку K , которая попадает на дугу AC (рис. 1).
В равнобедренном треугольнике ABK с равными сторонами AB и BK угол BAK равен
50  10  60 . Поэтому AD  AK  AB . Но тогда в равнобедренном треугольнике ABD
угол BAD равен 50  10  40 , откуда следует, что BDA  70 .
Задача 15.
Указание. Построим на отрезке AC точку M так, что AM  AD (рис. ?).
Рассмотрев треугольники ABD и CMD , удается доказать, что эти треугольники равны.
Задача 16. Указание. Углы ABM и BNA измеряются половиной дуги BM , и
поэтому равны. Отсюда следует, что треугольники ABM и ANB подобны, откуда
AN
AB
AB
ABC и AOB также подобны, откуда AO
AB  AC . Из
AB  AM . Далее, треугольники
полученных равенств отношений следует подобие треугольников AMC и AON , откуда
можно сделать вывод, что точки M , C , O , N лежат на одной окружности (рис. 3).
Задача 17. Указание. Пусть точка D — середина дуги AC . Измеряя углы дугами
окружности, удается доказать, что отрезки MN и BD перпендикулярны. Так как лучи
AN и CM являются биссектрисами углов треугольника ABC , то точка пересечения
этих лучей является центром вписанной окружности. Из условия следует, что
BMN  CMN . Поэтому отрезок BO делится прямой MN пополам.
Аналогично получается, что отрезок KL делится прямой BO пополам.
Задача 18. Указание. Искомое множество есть объединение множества точек
серединного перпендикуляра к отрезку AC  лучей AL и CN, прямой AC, дуги AFC
окружности, описанной около треугольника ABC ,за исключением самих точек A  B  C
( рис 5).
Доказать, что каждая точка указанного множества удовлетворяет условию задачи,
можно без особых сложностей. Значительно труднее доказать, что нет других точек, из
которых отрезки AB и BC видны под равными углами. Рассмотрим один из возможных
способов доказательства.
Пусть точка M
удовлетворяет условию задачи, то есть AMB 
 BMC . Возможны два случая взаимного расположения точек.
I. Точки A и C расположены в одной полуплоскости относительно прямой BM .
Но тогда точки A и C лежат на одном луче с вершиной M , а поэтому точка M лежит
либо на луче AL , либо на луче CN .
II. Точки A и C расположены в разных полуплоскостях относительно прямой
BM . Симметрично отобразим точку C относительно прямой BM в точку C2 . Из
условия следует, что точка C2 попадет на луч MA , а так как BC  BA , то возможны два
случая.
1). Точка C2 совпадает с точкой A . Но тогда треугольники ABM и CBM равны, а
поэтому точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC .
2). Точка C2 не совпадает с точкой A (рис. 6). Тогда MCB 
MAB  MC2 B  MAB  180 . Отсюда можно сделать вывод, что точка M лежит на
дуге AFC окружности, описанной около треугольника ABC .
Задача 19. Указание. Искомое множество на рис. 7 выделено жирными линиями.
Доказательство аналогично тому, как сделано в указании к решению задачи 18.