МБОУ «Школа №99» «Построение вписанных и описанных правильных многогранников»

МБОУ «Школа №99»
«Построение вписанных и описанных правильных
многогранников»
Выполнила:
Скрынникова Анастасия, 11 класс
Руководитель:
Кренева Светлана Дмитриевна,
учитель информатики
высшей квалификационной категории
Читеишвили Нана Константиновна
учитель математики
первой квалификационной категории
г. Ростов-на-Дону
2015 г.
Оглавление
Введение ....................................................................................................................... 3
1. Построение вписанных и описанных правильных многогранников. .............. 4
1.1 Построение куба. ................................................................................................ 4
1.2 Построение вписанного в куб правильного тетраэдра. ................................. 4
1.3 Построение вписанного в куб правильного октаэдра. ................................... 4
1.4 Построение описанного около куба правильного октаэдра. ......................... 5
1.5 Построение вписанного в куб правильного икосаэдра. ................................. 5
1.6 Каскад из вписанных многогранников ............................................................ 6
Заключение .................................................................................................................. 7
Литература ................................................................................................................... 8
Приложения ................................................................................................................. 9
Приложение 1 ........................................................................................................... 9
Приложение 2 ......................................................................................................... 10
Приложение 3 ......................................................................................................... 11
Приложение 4 ......................................................................................................... 12
Приложение 5 ......................................................................................................... 13
Приложение 6 ......................................................................................................... 14
Приложение 7 ......................................................................................................... 15
Приложение 8 ......................................................................................................... 16
2
Введение
Тема «Многогранники» изучается в курсе геометрии в 10 и 11 классах
и является одной из основных. Центральная роль многогранников
определяется, прежде всего, тем, что многие результаты, относящиеся к
другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для
многогранников. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное
расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение
признаков параллельности и перпендикулярности. Эта тема развивает
логическое, пространственное и абстрактное мышление, что, несомненно,
будет помогать мне в дальнейшей учебе и работе.
Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Так, в куб
можно вписать октаэдр. Центры граней куба образуют вершины вписанного
в него октаэдра. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины
вписанного в него куба. Меня заинтересовала тема «Каскады из правильных
многогранников», которая в школьном курсе математики не изучается.
Целью работы является создание проекта в системе объектноориентированного программирования Microsoft Visual Studio.Net, который
позволит строить вписанные и описанные правильные многогранники.
На первом этапе я рассчитывала длины ребер вписанных и описанных
правильных многогранников, считая, что они будут вписаны в куб или
описаны вокруг куба.
Для проведения расчетов мне необходимо было более глубоко изучить
теорию построения вписанных и описанных правильных многогранников. В
среде
программирования
VB.Net
я
графических построений.
3
подробно
изучила
возможности
1. Построение вписанных и описанных правильных
многогранников.
Многогранник — это такое тело, поверхность которого составлена из
многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника,
их стороны — ребрами, а вершины — вершинами многогранника [1]. На
первом этапе мы поставили перед собой задачу построить куб и вписать в
него правильный тетраэдр.
1.1 Построение куба.
Для построения куба мы использовали математическую систему
координат. Очень часто ключом к решению является первый шаг, который
позволит свести задачу по стереометрии к планиметрии. Исходными
данными при построении являлись координаты вершины куба и длина ребра
куба (приложение 1, 2).
1.2 Построение вписанного в куб правильного тетраэдра.
Для того, чтобы вписать в куб правильный тетраэдр мы берем одну из
вершин куба за исходную, находим три противоположные вершины.
Найденные
вершины
описанного
куба
будут
являться
вершинами
правильного тетраэдра, вписанного в куб. Обозначим через
a 6  длину ребра куба ,
a 4  длину ребра вписанного тетраэдра, тогда
a 4  a6 2
(приложение 3).
1.3 Построение вписанного в куб правильного октаэдра.
Вершины вписанного октаэдра были найдены как середины граней
описанного куба. Обозначим через
4
a6  длину ребра куба
a8  длину ребра вписанного октаэдра, тогда
a8 
2
a6
2
(приложение 4).
1.4 Построение описанного около куба правильного октаэдра.
Центры граней октаэдра являются вершинами вписанного в него куба.
Для построения описанного октаэдра проведем прямые через центры
противоположных граней куба, которые пересекаются в точке О – центре
куба и являются взаимно перпендикулярными. На каждой из этих прямых по
обе стороны от центра куба отложим отрезки длинной 1,5a6, где a6 – длина
ребра куба. Концы этих отрезков являются вершинами правильного октаэдра
[8].
(приложение 5).
1.5 Построение вписанного в куб правильного икосаэдра.
Для построения икосаэдра, вписанного в куб, поместим на средних
линиях граней куба отрезки одинаковой длины с концами на равных
расстояниях от ребер. Расположим отрезки и выберем их длину так, чтобы,
соединяя концы одной грани с концом отрезка другой грани, получить
равносторонний треугольник, причем из каждой вершины должны выходить
пять ребер [7].
a6  ребро куба
a20  ребро вписаннго икосаэдра
a20 

a6  1 
2
5

(приложение 6).
5
Для наглядности я посчитала нужным раскрасить грани икосаэдра.
Используя уравнения прямых для ребер икосаэдра, я закрасила грани по
точкам, выясняя, принадлежит ли данная точка заданной области.
Границы для счетчика – наименьшее значение x, y и наибольшие значения x,
y для данной грани (приложение 7).
1.6 Каскад из вписанных многогранников
Как было показано выше, длина ребра описанного октаэдра a8 связана с
длиной ребра вписанного куба a6. В свою очередь ребра вписанных
тетраэдра, октаэдра, икосаэдра также связаны с ребром куба [8]. Это
позволяет нам получить 3 каскада:
октаэдр куб тетраэдр
октаэдр куб октаэдр (приложение 8)
октаэдр куб икосаэдр
6
Заключение
Передо мной стояла задача построить вписанные и описанные
правильные многогранники, используя среду программирования Visual
Basic.Net.
В ходе выполнения проекта были построены тетраэдр, вписанный в
куб; октаэдр, вписанный в куб; октаэдр, описанный около куба; икосаэдр,
вписанный в куб; каскад: октаэдр куб октаэдр. Планирую продолжать
работу над проектом и построить другие каскады из правильных
многогранников.
Благодаря
выполненной
работе
я
глубже
изучила
язык
программирования Visual Basic и систему объектно-ориентированного
программирования Microsoft Visual Studio.Net. Кроме того, мною изучен
материал по геометрии по теме вписанные и описанные правильные
многогранники, который выходит за рамки школьной программы.
Работа
имеет
практическую
ценность,
так
как
может
быть
использована на уроках информатики в старших классах средней школы при
изучении раздела «Графика» в языке программирования Visual Basic.Net и на
уроках геометрии при изучении темы «Многогранники».
7
Литература
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев и др., Геометрия. 10—11 классы:
учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. — 21е изд. —М.: Просвещение, 2012. — 255 с.: ил.
2. Баврин И.И., Садчиков В.А. Новые задачи по стереометрии. – М.:
Владос, 2000.
3. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и
задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. — М.:
Высш. шк., 1985. — 232 с., ил
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.:
Наука, 1970. – 664 с.
5. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т.2 Д - Коо. –
М.: «Советская Энциклопедия», 1979. – 1104 ст. б, ил.
6. Начала Евклида. Книги XI—XV. Перевод с греческого и комментарии Д.
Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского
—
М.—Л.:
Государственное
издательство
технико-теоретической
литературы, 1948—1950. — (Классики естествознания).— 1950. — 331 с.
7. Смирнова И.М. Каскады из правильных многогранников. //Математика в
школе. – 1994. - № 3.
8. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
9. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для
10 класса. – 3-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2008. –
387 с.: ил.
8
Приложения
Приложение 1
Построение координатных осей
Построение куба
Private Sub НарисоватьОсьToolStripMenuItem_Click_1(ByVal sender As System.Object,
ByVal e As System.EventArgs) Handles НарисоватьОсьToolStripMenuItem.Click
ColorDialog1.ShowDialog()
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
Graph1 = Me.PictureBox1.CreateGraphics()
Graph1.Clear(Color.White)
For x = -300 To 300 Step 100
Graph1.DrawString(x, drawFont, drawBrush, x + 300, 200)
Next x
For y = 0 To 400 Step 100
Graph1.DrawString(y - 200, drawFont, drawBrush, 300, 400 - y)
Next y
Graph1.ScaleTransform(1, -1)
Graph1.TranslateTransform(300, -200)
Graph1.DrawLine(Pen1, -300, 0, 300, 0)
Graph1.DrawLine(Pen1, 0, -200, 0, 200)
For x = -300 To 300 Step 100
Graph1.DrawLine(Pen1, x, -5, x, 5)
Next x
For y = -200 To 200 Step 100
Graph1.DrawLine(Pen1, -5, y, 5, y)
Next y
End Sub
9
Приложение 2
Расчет вершин куба при разных углах поворота
Public Class Form1
Const Pi = 3.14
Dim Graph1 As Graphics
Dim Pen1 As New Pen(Color.Red, 3)
Dim X1, X2, Y1, Y2, kol As Integer
Dim drawFont As New Font("arial", 10)
Dim b(8, 2), o(6, 2), a, alf1 As Single
Dim u1, u0(12, 2), iopr, jopr As Single
Dim drawBrush As New SolidBrush(Color.Black)
Dim x, y, i, j, yy, xl, yl, nx, k, ny As Integer
Sub Kub1(ByRef x, ByRef a, ByRef y, ByRef b, ByRef alf1)
b(1, 1) = x
b(1, 2) = y
alf1 = Val(TextBox4.Text)
alf1 = alf1 * Pi / 180
i = 1
Do While j < 9
b(i, 1) = b(1, 1)
b(i, 2) = b(1, 2)
b(i + 1, 1) = b(1, 1)
b(i + 1, 2) = b(1, 2) + a
b(i + 2, 1) = b(i + 1, 1) + a
b(i + 2, 2) = b(i + 1, 2)
b(i + 3, 1) = b(1, 1) + a
b(i + 3, 2) = b(i + 2, 2) - a
For j = 5 To 8
b(j, 1) = b(i, 1) + a * Math.Cos(alf1)
b(j, 2) = b(i, 2) - a * Math.Sin(alf1)
i = i + 1
Next j
Loop
End Sub
Фрагмент программы построения куба
Private Sub КубToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As
System.EventArgs) Handles КубToolStripMenuItem.Click
Kub1(x, a, y, b, alf1)
ColorDialog1.ShowDialog()
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
Graph1 = Me.PictureBox1.CreateGraphics()
For i = 1 To 3
Graph1.DrawLine(Pen1, b(i, 1), b(i, 2), b((i + 1), 1), b((i + 1), 2))
Graph1.DrawLine(Pen1, b((4 + i), 1), b((4 + i), 2), b((5 + i), 1), b((5 + i),
2))
Graph1.DrawLine(Pen1, b(i, 1), b(i, 2), b((i + 4), 1), b((i + 4), 2))
Next i
End Sub
10
Приложение 3
Построение вписанного в куб правильного тетраэдра.
Private Sub ВписанныйТетраэдрToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object,
ByVal e As System.EventArgs) Handles ВписанныйТетраэдрToolStripMenuItem.Click
ColorDialog1.ShowDialog()
a = Val(TextBox1.Text)
x = Val(TextBox2.Text)
y = Val(TextBox3.Text)
alf1 = Val(TextBox4.Text)
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
Kub1(x, a, y, b, alf1)
Tetra(b)
End Sub
11
Приложение 4
Построение вписанного в куб правильного октаэдра.
Private Sub ВписанныйОктаэдр2ToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object,
ByVal e As System.EventArgs) Handles ВписанныйОктаэдр2ToolStripMenuItem.Click
ColorDialog1.ShowDialog()
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
Kub1(x, a, y, b)
Okta1(b, o)
Okta2(o)
End Sub
12
Приложение 5
Построение октаэдра, описанного около куба
Private Sub ОписанныйОктаэдрToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object,
ByVal e As System.EventArgs) Handles ОписанныйОктаэдрToolStripMenuItem.Click
ColorDialog1.ShowDialog()
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
Kub1(x, a, y, b)
Okta1(b, o)
OP1(o, oo1, a, alf1)
OktaO(oo1)
End Sub
13
Приложение 6
Построение икосаэдра, вписанного в куб
Private Sub ВписанныйИкосаэдрToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object,
ByVal e As System.EventArgs) Handles ВписанныйИкосаэдрToolStripMenuItem.Click
ColorDialog1.ShowDialog()
Pen1.Color = ColorDialog1.Color
a = Val(TextBox1.Text)
x = Val(TextBox2.Text)
y = Val(TextBox3.Text)
Icos(x, y, o, a)
Icosa(u0)
End Sub
14
Приложение 7
Фрагмент программы закрашивания грани икосаэдра
j = 1
For iopr = u0(1, 1) To u0(2, 1) Step 1
For jopr = u0(1, 2) To u0(9, 2) Step 1
xris(j) = iopr
yris(j) = jopr
j = j + 1
Next jopr
Next iopr
For i = 1 To 1000000
If (yris(i) >= k1ris * xris(i) + b1ris) And (yris(i) <= k2ris * xris(i) +
b2ris) And (yris(i) <= k3ris * xris(i) + b3ris) Then
Pen1.Color = Color.Green
Graph1.DrawRectangle(Pen1, xris(i), yris(i), 1, 1)
kol = kol + 1
End If
Next i
15
Приложение 8
Каскад:
Октаэдр  Куб  Октаэдр
16