Задания С4 в формате ЕГЭx

Задания С4 в формате ЕГЭ-2014
Условиязаданий
С4.1а Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая,
пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что площадь треугольника АКМ равна 35 ,
а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите длину отрезка КМ .
С4.1б Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая,
пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что длина отрезка КМ равна 32 , а
расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 16 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите площадь треугольника АКМ .
С4.1в Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая,
пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что длина отрезка КМ равна 8 , а
расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 16 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите площадь треугольника АКМ .
С4.1г Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В . Через точку В проведена прямая,
пересекающая эти окружности ещё в точках К и М . Известно, что площадь треугольника АКМ равна
1260 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите длину отрезка КМ .
С4.2а В трапеции АВСТ основания ВС и АТ равны соответственно 7 и 26 , а боковые стороны АВ и СТ
равны соответственно 23 и 12 . К – точка пересечения биссектрис углов А и В , а М – точка пересечения
биссектрис углов С и Т .
1) Покажите, что КМ параллельно АТ .
2) Найдите длину отрезка КМ .
С4.2б В трапеции АВСТ основания ВС и АТ равны соответственно 21 и 11 , а боковые стороны АВ и СТ
равны соответственно 9 и 15 . К – точка пересечения биссектрис углов А и В , а М – точка пересечения
биссектрис углов С и Т .
1) Покажите, что КМ параллельно АТ .
2) Найдите длину отрезка КМ .
Ответыиуказания
С4.1 1) Достаточно показать, что углы ВКМ и АО1О2 , ВМК и АО2О1
измеряются половинами соответствующих дуг АВ .
2а) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны
от прямой АВ , а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ .
Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия
треугольников ВКМ и АО1О2 равен
Поэтому КМ =
, то есть
.
О1О2 = 14.
2б) Покажите, что центры окружностей расположены по одну сторону
от прямой АВ , от прямой АВ , а точка В лежит между точками К и М .
Площадь треугольника АО1О2 равна 160 , коэффициент подобия
треугольников ВКМ и АО1О2 равен
, то есть 2 .
Поэтому площадь треугольника АКМ =
160 = 640.
2в) Покажите, что центры окружностей расположены по одну сторону
от прямой АВ , а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ .
Площадь треугольника АО1О2 равна 160 , коэффициент подобия
треугольников ВКМ и АО1О2 равен
, то есть
Поэтому площадь треугольника АКМ =
.
160 = 40.
2г) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны
от прямой АВ , а точка В лежит между точками К и М .
Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия
треугольников ВКМ и АО1О2 равен
Поэтому КМ =
, то есть
.
О1О2 = 84.
С4.2 1) Достаточно показать, что равны расстояния от точек К и М до оснований
трапеции, так что эти точки лежат на средней линии трапеции.
2) Покажите, что всегда
Поэтому в 4.2а КМ = 1 , а в 4.2б КМ = 4 .
.