Вписанные и описанные правильные многоугольники
advertisement
Урок №3 «Вписанные и описанные правильные многоугольники» ТЕОРИЯ Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности связаны следующими формулами a n =2R sin 180/n; r=R cos180/n. где a n - сторона правильного многоугольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности. Длина окружности находится по формуле: С=2πR. Длина дуги окружности находится по формуле: L=πRα/180, где α – соответствующий центральный угол в градусах. Задача №1 Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников отличные BOC, DOE от точки O, и FOA, являются вершинами правильного треугольника со стороной R. Решение. Пусть K,L,M — точки пересечения описанных окружностей треугольников FOA и BOC, BOC и DOE, DOE и FOA; 2,2 и 2 — углы при вершинах равнобедренных треугольников BOC,DOE и FOA (рис). Точка K лежит на дуге OB описанной окружности равнобедренного треугольника BOC, поэтому OKB = 90° + . Аналогично OKA = 90° + . Так как + + = 90°, то AKB = 90° + . Внутри правильного треугольника AOB существует единственная точка K, из которой его стороны видны под данными углами. Аналогичные рассуждения для точки L, лежащей внутри треугольника COD, показывают, что OKB = CLO. Докажем теперь, что KOL = OKB. В самом деле, COL = KBO, поэтому KOB + COL = 180° – OKB = 90° – , а значит, KOL = 2 + (90° – ) = 90° + = OKB. Следовательно, KL = OB = R. Аналогично LM = MK = R. Задача №2. Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через перпендикулярно его вершины сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что a2 + b2 = c2. Решение: Пусть точки A1,…,E1 симметричны точкам A,…,E относительно центра окружности S; P,Q иR— точки пересечения прямых BC1 и AB1, AE1 и BA1, BA1 и CB1 (рис). и QR = b. Тогда PQ = AB = a Так как PQAB и ABA1 = 90°, то PR2 = PQ2 + QR2 = a2 + b2. Прямая PR проходит через центр окружности S и AB1C = 4 · 18° = 72°, поэтому PR — сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности окружности S. с центром B1, радиус B1O которой равен радиусу Задача№3 Найдите сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Решение: Обозначим через Sk сумму квадратов расстояний от вершины Ak до всех остальных вершин. Тогда Sk = AkA12 + AkA22 + … + AkAn2 = ) + A1O2 + … + AkO2 + 2( AkO , OA = AkO2 + 2( AkO , OA 1 ) + AnO2 = 2nR2, n так как n OA i=1 = 0 . Поэтому i n Sk = 2n2R2 . Поскольку квадрат каждой из сторон и диагоналей дважды входит в эту сумму, искомая k=1 сумма равна n2R2. Задача№3. Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырех сторонах пятиугольника. Решение Пусть перпендикуляры, восставленные к прямой AB в точках A и B, пересекают стороны DE и CD в точках P и Q. Любая точка отрезка CQ является вершиной прямоугольника, вписанного в пятиугольник ABCDE (стороны этого прямоугольника параллельны AB и AP), причем при перемещении этой точки от Q кC отношение длин сторон прямоугольников изменяется от AP/AB до 0. Так как угол AEP тупой, то AP > AE = AB. Поэтому для некоторой точки отрезка QC отношение длин сторон прямоугольника равно 1.
