УРОК 1: Правильный многоугольник Цель: Сформировать у учащихся понятие правильного многоугольника. Вывести формулу для вычисления угла х правильного многоугольника, научиться пользоваться данной формулой. Задачи: • Повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника; • научиться пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника как с вычислениями в тетради , так и с использованием компьютера. Ход урока: 1.Актуализация опорных знаний учащихся: Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника 2.Изучение нового материала Определение правильного многоугольника Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Вопросы учащимся: Какие правильные многоугольники вы уже знаете? У какого многоугольника все углы равны, но он не является правильным? У какого многоугольника все стороны равны, но он не является правильным? Сумма углов многоугольника n – число сторон n-2 - количество треугольников Сумма углов одного треугольника - 180º, умножим на количество треугольников n -2, получим S= (n-2)*180. C B D х S=(n-2)*180 Формула для вычисления угла х правильного многоугольника Выведем формулу для вычисления угла A х правильного n- угольника. В правильном многоугольнике все углы равны, сумму углов делим на количество углов, получим формулу x =(n-2)*180/n E F Задание 1. Решить задачи 1081(а, б), 1083 (а, б). Задание 2: Построить таблицу изменения суммы углов многоугольника и величины каждого угла, построить диаграмму. 1. Запустить Excel. 2. В ячейки А1,А2,А3… ввести число сторон правильного многоугольника n = 3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,... 3. В ячейку А2 ввести формулу для вычисления угла правильного многоугольника =(A1-2)*180. 4. Выделить блок ячеек В2:N2 и копировать формулу 5. В ячейку А3 ввести формулу =(A1-2)*180/A1. 6. Выделить блок ячеек А3:N3 и копировать формулу. Ячейки выровнять. 7. Вставить строку над первой строкой. Написать «Правильный многоугольник», цвет «голубой», шрифт 16, полужирный, курсив. 8. Вставить 2 столбца слева от таблицы. В ячейку А2 ввести текст «Сторона», в А3 – «Сумма всех углов», в А4 – «Величина одного угла». 9. Добавить строку сверху. В ячейку В2 ввести слово «формула», в В3 –n, в В4 – формулу S = (n-2)*180, в В5 – x=(n-2)*180/n. 10. Автоформатировать таблицу. 11. Построить диаграмму: диаграмма - нестандартные графики (2 оси) - далее готово. Параметры диаграммы заголовки название диаграммы «правильный многоугольник», ось х (категорий) –число сторон, ось у (значений) – сумма всех углов), вторая ось у – величина одного угла. Домашняя работа: Самостоятельно изучить теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника, вписанной в правильный многоугольник. Повторить свойство касательной к окружности. Ученикам дать оформить доказательство теоремы об описанной окружности. Решить № 1081( в, г, д), 1083( г, д) из учебника Атанасян. Геомерия 7-9. Пояснения к выполнению задания Правильный многоугольник Формула Число сторон n Сумма всех углов Величина одного угла 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100 200 18 S=(n-2)*180) 180 360 540 720 900 1080 1260 1440 3240 5040 6840 8640 17640 35640 2880 x=(n-2)*180/n 60 90 108 120 128,5714286 135 140 144 162 168 171 172,8 176,4 178,2 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 Правильный многоугольник Число сторон 200 150 100 50 0 Величина одного угла Сумма всех углов Правильный многоугольник Число сторон 5 n34 Сумма всех углов S=(n-2)*180) 180 360 540 Величина одного угла x=(n-2)*180/n 60 90 108 ? 150 2880 УРОК 2 Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Цель: Изучить теоремы об окружности, описанной многоугольника и вписанной в правильный многоугольник около правильного Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Доказательство: Пусть А1 А А2 А3 …… А n - правильный многоугольник, О- точка пересечения биссектрис углов А1 и А2 Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn…Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1= ОА2 = …ОАn. Так как А1 = А2, то 1 = 3, поэтому треугольник А1 А2 О1 равнобедренный, и, следовательно, ОА1 = ОА2 .. А1А2О= А3А2О ( I признак), следовательно, ОА3 = ОА1 . Итак, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника. Описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, так как через них проходит только одна окружность, то около многоугольника можно описать только одну окружность. А3 А4 А2 3 1 4 А5 А1 2 Аn Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Пусть А1 А 2 …А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. При доказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, так же равны. Поэтому окружность с поэтому окружность с центром О и радиусом ОН проходит через точки H ,H , H и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника., т.е. Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. А2 А3 H1 H2 H3 А1 Hn Аn О 2.Закрепление теорем 1 и 2: Задачи 1086 и 1084; обсудить решения задач 1080 и 1082. Задача: Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны. Самостоятельная работа: Вариант1. 1.Впишите в данную окружность правильный шестиугольник. 2.Докажите, что три вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного квадрата. Вариант 2. 1.Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник 2.Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата. Домашняя работа: 1.Повторить материал пунктов 105-107, 109. 2.Решить задачи 1085,1131,1130 (Объяснить) УРОК 3 Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. Цель: Выработать у учащихся умение выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной правильного nугольника, на их основе научит учащихся получать формулы для вычисления αn через R и r и конкретизировать их для случая n =3, n = 4, n= 6, выработать навыки применения полученных знаний при решении задач. Ход урока 1.Проверка домашнего задания. 2.Изучение нового материала (Проводится самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному рисунку 308 учебника). Пусть S –площадь правильного многоугольника,a n-его сторона, Р – периметр, а r R – радиусы вписанной и описанной окружностей. А2 а А3 rH1 rH2 rH3 А1 R rHn Аn О Выводим формулы и получаем таблицу: Закрепление изученного материала: 1. Решение задач: 1) В окружность радиуса R=12 вписан правильный n- угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n=3, б) n = 4, в) n=6. 2) Около окружности радиуса r =6 описан правильный n–угольник. Определите его сторону и периметр, если а) n=3, б) n = 4, в) n=6. 3) Для правильного n- угольника со стороной а =6см найдите радиус описанной около него окружности, если а)n=3, б) n = 4, в) n=6. 2. Решить задачу 1089, 1092. 3. Итоги урока. 4. Задание на дом: изучить пункт 108, задачи 1087, 1988, 1094(а,б). УРОК 4 Построение правильных многоугольников. Цель урока: 1. Научиться строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки. 2.Получить навыки При построении правильных многоугольников, руководствуемся тем, что около любого многоугольника можно описать окружность. Ход урока: Задание 1. Построить правильный шестиугольник с произвольной стороной. Задание 2. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку: а) при помощи циркуля и линейки ( стр.279 учебника), б) с помощью программы Paint Задание 3. Построить правильный 5-угольник. Домашняя работа: Построить 1. с помощью циркуля и линейки 2. на компьютере правильный 12-угольник,правильный 16-угольник используя рисунки, полученные на уроке(Слайды 22,23) по заданной стороне, УРОК 5 Длина окружности Цель: Вывести формулу для вычисления длины окружности, формулу для вычисления длины ℓ дуги окружности? Закрепить изученное. Ход урока: 1.Математический диктант I вариант 1.Найдите угол правильного десятиугольника (использовать слайд 14) 2.Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2м.(использовать слайд 11) 3.Найдите радиус окружности., вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2м (использовать слайд 19) 4.Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно2м.(Слайд 12) 5.Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется…» 6.Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?(Слайд 14) 7.Чему равен cos 0 °? 8.С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник. II вариант 1.Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°? (Слайд 14) 2.Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.(слайд 19). 3.Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости… 4.Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равен 2 дм.(слайд 19) 5.Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.(Слайд 19) 6.Чему равен sin 0 °? 7.Найдите угол правильного девятиугольника.(Слайд 14) 8.С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник. 2. Изучение нового материала (лекция) Вспомнить материал из учебника математики для шестого класса (практическая работа по определению числа π с помощью нитки, обмотанной около дна стакана) • Вывод формулы длины окружности , он основан на интуитивном представлении о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника , вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности • Вывод формулы длины дуги окружности • Решить задачи №1101,1102,1103, 1109 (а, б),1111. • 3. Итоги урока. • • 4. Задание на дом: Самостоятельно изучить материал пункта 111 («Площадь круга»). Решить задачи №1109(в, г),1106,1104(а),1105(а). УРОК 6 Площадь круга (Лекция учащихся) Цель: Изученный учащимися самостоятельно материал продемонстрировать на уроке. Ход урока: 1.Изучение нового материала (Лекция учащихся с показом слайдов). 2.Закрепление изученного материала: 1. Решить задачу. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м.Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты. 2. Решить №1118(самостоятельно). 3. Решить №1119,1125,1116 на доске и в тетрадях. 3. Итоги урока. 4. Домашняя работа: Повторить пункты 105-110, изучить материал пункта 112, решить №1114,1115,1117(а) УРОК 7 Площадь кругового сектора. Цель: Изученный учащимися самостоятельно материал (понятие кругового сектора, сегмента, вывод формул для вычисления площадей кругового сектора, сегмента) продемонстрировать на уроке, научить применять полученные знания при решении задач. Ход урока: 1.Проверка изученного материала: • Формула длины окружности. Выражение радиуса окружности через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга. • Формула длины окружности • Решить задачу 1115(устно) 2.Изучение нового материала (Лекция учащихся с показом слайдов). 3.Закрепление изученного: Решить задачу 1126 (самостоятельно), 1127 (на доске и в тетрадях. 4. Вывести формулу для вычисления площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами. (Объяснение учителя) 5. Итоги урока: 6. Задание на дом: Повторить материал пунктов 105-112, ответить на вопросы 1-12 (стр. 290), решить задачи №1121, 1128, 1124. УРОК 8: Решение задач Цель: Закрепить знания учащихся по изученному материалу главы. Ход урока 1.Устный опрос учащихся по карточкам: Карточка 1. 1.Сформулируйте определение правильного многоугольника. 2.Сформулируйте теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. 3.Найдите площади сектора, на которые разбивают круг два радиуса, если угол между ними равен 36°, а радиус окружности равен 4м. Карточка 2. 1.Какая точка называется центром правильного многоугольника? 2.Докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. 3.Найдите длины дуг, на которые разбивают окружность два радиуса, если угол между ними равен 72°, а радиус окружности равен 6 дм. Карточка 3. 1.Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение? 2.Напишите формулы для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности. 3.Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса3 см. Карточка 4. 1.Как выражается сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности? 2.Напишите формулу для вычисления радиуса окружности , вписанной в правильный n-угольник, через радиус окружности, описанной около него. 3. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, если их радиусы равны 5 и 10 м. 2. Самостоятельная работа Вариант 1. 1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности. 2. Найдите длину окружности радиуса 9м, если градусная мерам дуги равна 120°. 3. Длина дуги окружности равна 3π, а её радиус равен 8.Найдите градусную меру этой дуги. 4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см. 5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°. 6. Площадь кругового сектора равна 18π м2 , а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора. Вариант2. 1. Длина окружности равна С .Найдите площадь ограниченного ею круга. 2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см. 3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°. 4. Площадь кругового сектора равна 10π м2, а его радиус равен 6м, Найдите центральный угол сектора. 5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если её градусная мера равна 120°. 6. Найдите радиус окружности, если длина окружности равна 6π, а её градусная мера равна 60°. 3.Проверочная самостоятельная работа. Вариант1. Задачи №1125, 1129(в), 1132(а), 1144(а),1197. Вариант2. Задачи №1128,1129(в), 1132(б), 1143(б),1139 4. Итоги урока: Выставление оценок за устный опрос по карточкам, за математический диктант, Проверочную самостоятельную работу собрать на проверку. 5.Домашняя работа: Повторить главу 12 «Длина окружности и площадь круга»(пункты 105-112), подготовиться к контрольной работе, посмотреть по тетрадям решение задач по всей главе. УРОК 10 Контрольная работа Цель: Проверить умение учащихся решать задачи по изученной 12 главе. Ход урока I.Выполнение контрольных заданий: Вариант 1(2) 1.Периметр правильного треугольника(шестиугольника), вписанного в окружность, равен 45 см(48м). Найдите сторону правильного восьмиугольника (квадрата), вписанного в ту же окружность. 2.Найдите площадь круга (длину окружности), если площадь вписанного в ту же окружность квадрата (правильного шестиугольника) равна 72дм2 (72√3 см2). 3.Найдите длину дуги окружности(кругового сектора) радиуса 3 см (12 см), если её градусная мера равна 150°(120°). Вариант 3(4) 1.Периметр квадрата (правильного треугольника), вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность. 2.Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см.(Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45 π м2 а радиус меньшей окружности равен 3м. Найдите радиус большей окружности. 3.Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой, если длина хорды равна 4 м (2м), а градусная мера дуги равна 60° (а диаметр окружности равен 4 см) II. Итоги.